Prof. dr hab. inż. Zygmunt Meyer 1 mgr inż. Grzegorz Szmechel 2 ANALIZA MOŻLIWOŚCI ANALITYCZNEJ APROKSYMACJI KRZYWEJ OBCIĄŻENIE OSIADANIE DLA TESTÓW STATYCZNYCH PALI ŻELBETOWYCH W GRUNTACH SYPKICH 1. Wstęp Rosnące zapotrzebowanie na nowe tereny inwestycyjne oraz chęć wznoszenia coraz większych obiektów sprawiają, iż w praktyce inżynierskiej wykorzystanie posadowienia na palach nabiera coraz większego znaczenia. Obecnie stały się one jedną z najbardziej popularnych form posadowienia obiektów przenoszących na podłoże znaczne obciążenia, szczególnie w trudnych warunkach gruntowych. Wobec tego pojawia się problem optymalizacji nośności pali. Jednym z możliwych podejść jest projektowanie pali w oparciu o wyniki testów statycznych, czyli z zachowaniem warunków najbardziej zbliżonych do rzeczywistego zachowania pala w gruncie. Badania te maja na celu określenie nośności pala, wielkości osiadań, potwierdzenia prawidłowości zaprojektowanego rozwiązania. Często jesteśmy także zainteresowani określeniem granicznej nośności pala N gr, ponieważ to właśnie nośność graniczna określa zapas bezpieczeństwa. W praktyce stan nośności granicznej podczas badań statycznych jest rzadko osiągany, z uwagi na bardzo duże siły, jakie należałoby w tym celu przyłożyć na pal. Jako efekt obciążeń statycznych pala otrzymujemy krzywą obciążenie osiadanie, czyli krzywą Q-S. W celu określenia całego przebiegu krzywej Q-S, a co za tym idzie nośności granicznej pala, w literaturze znaleźć można wzory pozwalające w sposób przybliżony określić jej przebieg. Ocena analityczna krzywej Q-S jest zagadnieniem złożonym z uwagi na wiele czynników warunkujących pracę pala, w tym min. układ warstw geotechnicznych, występowanie naprzemienne gruntów spoistych i niespoistych, technologię wykonywania pali, sztywność fundamentu i układ grupy palowej to tylko niektóre z ważnych czynników mających wpływ na przebieg krzywej osiadania. W literaturze znaleźć można wiele metod analitycznego określenia krzywej obciążenie osiadanie. [1,2.3,4,5,6,7,8] Dotychczas dla pala pojedynczego najczęściej stosowano metody w dużej mierze bazujące na teorii sprężystości, w tym teorii Mindlina [5], oraz metody bazujące na wykorzystaniu funkcji transformacyjnych [4,5,6]. Coraz częściej do takiej analizy wykorzystuje się badania in situ sondowań CPT, CPTU itp. W dobie rozwiniętej technologii komputerowej należy także wspomnieć o rozwiązaniach opartych o metodę elementów skończonych i brzegowych MES i MEB [3]. Z punktu widzenia niniejszej pracy interesujące są rozwiązania bazujące na wzorach empirycznych i pół empirycznych opartych na pomiarach na badaniach terenowych. Celem pracy jest opracowanie 1 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Geotechniki 2 Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, Katedra Geotechniki
metody, która szybko i z dostateczną dla celów inżynierskich dokładnością pozwoli na prognozowanie przebiegu krzywej. Metodą taką jest aproksymacja przedstawiona przez Kowalowa-Meyera w [8]. Równanie to zmodyfikowano poszukując możliwości wykorzystania analizy wstecznej do wyznaczenia parametrów gruntowych. 2. Analiza zjawiska Przedstawiona w literaturze [3] krzywa aproksymująca wyniki testów statycznych pali spełnia następujące warunki brzegowe: Dla N 0 krzywa S(N) dąży do linii prostej (asymptota ukośna) Dla N N gr osiadanie S powinno dążyć do nieskończoności, czyli mamy tu do czynienia z asymptotą pionową Dla tak przyjętych warunków funkcja aproksymująca ma postać: gdzie: A- stała [m] κ- bezwymiarowy wykładnik potęgi N- siła przyłożona w głowicy [kn] N gr - graniczne obciążenie pala [kn] (1) Aproksymacja parametrów krzywej przy zastosowaniu tego wzoru dla małych N, może nastręcza pewnych trudności z uzyskaniem dokładności. W niniejszej pracy zaproponowano opis tej krzywej, przy zastosowaniu rozwinięcia w szereg Maclaurina. Próbne obciążenia wskazują, że dla małych obciążeń N krzywa Q-S w otoczeniu punktu 0 jest prostą. Można ją wyznaczyć przez analizę stycznej do krzywej w tym miejscu. Mamy: (2) stąd: (3) Podstawiając zależność (3) do wzoru (1) otrzymujemy: (4)
Wprowadzenie stałej C wynika z przyszłych zamiarów wykorzystania jej w opisie zjawiska liniowej teorii Bousinessqa. Wyrażenie z mianownika znajdujące się w nawiasie we wzorze (1) można rozwinąć w szereg Maclaurina otrzymujemy [11]: gdzie: (5) (6) Ciąg ten jest szybko zbieżny. Użycie do obliczeń 6-7 wyrazów daje nam dobrą zgodność rzędu 10-5. Rozwinięta postać tego wyrażenie można przedstawić jako: Można, także wykazać, że wyrażenie: (7) (8) (9) Biorąc pod uwagę strukturę wyrażeń (7),( 8) i (9) można wykazać, iż do wyznaczenia stałej C z obciążeń statycznych pala wystarczy wykorzystać przedział 0<N<0,3N gr Przyjmując powyższe założenia możemy napisać ostatecznie: (10) W dalszej analizie wygodnie przyjąć oznaczenie: (11) Aby możliwe było posłużenie się metodami statystycznymi wzór (12) sprowadzamy do postaci liniowej, przy wykorzystaniu funkcji F 1. Parametry gruntu w tak przyjętym modelu opisywane będą przez współczynnik κ, zależny najprawdopodobniej od udziału średnic dominujących (krzywa uziarnienia) w gruncie, oraz od N gr. Mamy wówczas: gdzie: (12)
(13) Otrzymujemy wzór na osiadanie, który zawiera dwie stałe κ oraz N gr : (14) Do wyznaczenia tych stałych zastosowano metodę najmniejszych kwadratów odchyłek w elementarnej postaci. W rozpatrywanym przypadku możemy teraz obliczyć dokładność przybliżenia współczynników κ i N gr. W tym celu obliczamy średnią odchyłkę kwadratową ze wzoru: (15) Mając powyższy dane opis matematyczny zjawiska z wykorzystaniem funkcji kolejnym krokiem, było stworzenie prostego programu komputerowego w języku VBA do obliczania funkcji F 1 (N). Aby uprościć obliczenia kolejnych wyrażeń zastosowano wzór rekurencyjny, który dla funkcji F 1 przyjął postać: (16) Wyrażenie I j ma postać: gdzie: (17) (18) Za pomocą programu komputerowego wyliczono sumy ciągów dla poszczególnych punktów krzywej z obciążeń statycznych pala, i na podstawie wzoru (15) obliczono tangens nachylenia krzywej doświadczalnej dla N=0 z przedziału 0<N<0,3Ngr można było dobrać parametry teoretycznej krzywej Q-S, czyli współczynnik κ i wartość siły N gr tak by suma odchyłek kwadratowych pomiędzy punktami krzywej doświadczalnej i teoretycznej była jak najmniejsza. Podejście takie umożliwia nieuwzględnienie w obliczeniu C punktów na krzywej dla bardzo małych obciążeń, które mogą być obarczone błędem wynikającym z niedokładności urządzeń itp. 3. Przykład obliczeniowy W celu sprawdzenia przedstawionego opisu matematycznego krzywej Q-S wykorzystano wyniki statycznych obciążeń 5 pali wykonanych podczas budowy przeprawy mostowej przez Regalicę w Szczecinie [2]. Badania prowadziła Katedra Geotechniki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego.
Wszystkie pale były palami żelbetowymi, typu wibrex o przekroju okrągłym 0,508 m. Długość ich wynosiła od 15 do 16 m. Wszystkie zagłębiano w zbliżonych warunkach gruntowych. W górnej warstwie podłoża zalegały namuły i grunty zastoiskowe akumulacji rzecznej, natomiast głębiej holoceńskie piaski drobne w stanie średnio zagęszczonym. Stopy pali posadowiono w piaskach drobnych rzecznych o uśrednionym I d =0,6. Najważniejsze dane z przeprowadzonej symulacji przedstawiono w tablicach od 1 i 2 Tablica 1. Dane wejściowe (osiadania w [2]) Nr pala 8 11 11 11 16 Obiekt WD 3 WD 3 WD1 WD 1 WD 1 Podpora 10 2 4 1 1 H [m] 16 15,9 15 16 16 D [m] 0,508 A [m 2 ] 0,202 E q [MPa] 85 70 78 68 60 E t [MPa] 58 50 55,7 40 50 Wartości modułów ściśliwości gruntu odpowiadają wartościom normowym ustalone metodą C zgodnie z PN-B-0320:1998. Dla warunków gruntowych jak w dokumentacji. E q oznacza wartość modułu pod podstawą pala natomiast moduł E t wyliczono zgodnie z założeniem jak na rysunku: Rys 1. Schemat obliczenia modułu Et wzdłuż pobocznicy pala Dla uproszczenia przyjmijmy, iż moduł ściśliwości Et wzdłuż pobocznicy pala przyjmujemy jako średnią ważoną poszczególnych modułów wzdłuż pobocznicy i pod podstawą pala. Wzór na uśredniony moduł Et przyjmie postać: (19)
Wyniki analizy pracy pali przedstawiono w tablicy drugiej, wykresy 1-5 ilustrują przebieg krzywych doświadczalnych zestawiony z przebiegiem krzywych teoretycznych. Tablica 2. Wyniki analizy Nr pala 8 11 11 11 16 Obiekt WD 3 WD 3 WD1 WD 1 WD 1 Podpora 10 2 4 1 1 C[mm/kN] 0,00102 0,001279 0,001093 0,001729 0,001396 κ 0,7 0,01 0,1 0,15 0,5 N gr [kn] 2650 2700 2800 4400 5400 Σδ 2 [mm 2 ] 0,288 0,0165 0,017 0,04 0,108 Rys 2. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej analitycznie. N gr =2650 kn, κ=0,7
Rys 3. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej analitycznie. N gr =2700 kn, κ=0,01 Rys 4. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej analitycznie. N gr =2700 kn, κ=0,01
Rys 5. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej analitycznie. N gr =4400 kn, κ=0,15 [κν] [mm] Wykres 5. Wyniki osiadania pomierzone w wyniku testów statycznych na tle krzywej określonej analitycznie. N gr =5400 kn, κ=0,5
N gr Optymalizacja parametrów κ i N gr wykonana została w oparciu o metody statystyczne. Parametry były dobierane poprzez minimalizację sumy odchyłek kwadratowych w funkcji współczynnika k i nośności granicznej. Przykładowo pokazano w tablicy 3 jak zmienia się suma kwadratów odchyłek dla różnych κ oraz N gr Tablica 3. Suma kwadratów odchyłek jako funkcja κ i N gr dla pala Nr 16 WD 1 κ 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5 0,55 3800 0,119 0,132 0,152 0,1795 0,214 0,257 0,3082 0,368 0,4364 0,5124 0,6018 4000 0,112 0,115 0,125 0,1405 0,162 0,191 0,226 0,268 0,3178 0,3749 0,4399 4200 0,114 0,111 0,113 0,1196 0,131 0,149 0,173 0,202 0,237 0,2785 0,3267 4400 0,124 0,115 0,111 0,1109 0,115 0,125 0,139 0,158 0,1827 0,2123 0,2474 4600 0,137 0,124 0,116 0,1108 0,10983 0,113 0,12 0,131 0,14725 0,1675 0,1926 4800 0,150 0,137 0,125 0,1165 0,1111 0,1092 0,1108 0,116 0,12536 0,1384 0,1555 5000 0,169 0,1525 0,137 0,126 0,1173 0,1116 0,109 0,1095 0,1133 0,1206 0,1314 5200 0,188 0,169 0,152 0,138 0,127 0,118 0,1123 0,10896 0,10859 0,1112 0,1169 5300 0,198 0,1782 0,1607 0,1457 0,133 0,1229 0,1153 0,1104 0,10831 0,1089 0,1125 5400 0,2075 0,1871 0,1689 0,153 0,1393 0,1281 0,1193 0,1129 0,10916 0,10804 0,1096 5500 0,2171 0,1961 0,1774 0,1606 0,1461 0,1338 0,1238 0,1162 0,111 0,1083 0,1081 4. Wnioski 1. W pracy przedstawiono metodę aproksymacji krzywej Q-S otrzymanej ze statycznych testów pali w oparciu o zależności podane w [3]. W celu uzyskania większej dokładności obliczeń oraz przyspieszenia procedury zastosowano rozwinięcie funkcji S w szereg potęgowy Maclurina. 2. Uzyskane podczas symulacji wyniki wskazują iż przedstawiona metoda analitycznej aproksymacji krzywej obciążenie osiadanie w gruntach sypkich pozwala z dużą dokładnością aproksymować krzywą Q-S z wykorzystaniem funkcji F 1. 3. Uzyskane wartości nośności granicznej odpowiadają wartością oczekiwanym i mieszczą się w przedziale od 2650 kn do 5400 kn. 4. Współczynnik κ waha się od 0,01 do 0,7. Parametr C jako styczna z przedziału od 0 do 0,3 N gr będzie wykorzystany w dalszej części badań w celu określenia parametrów gruntowych. Praktyka próbnych obciążeń statycznych wskazuje iż dla bardzo małych obciążeń przykładanych w głowicy, a co za tym idzie minimalnych osiadań, występuje spory błąd. Wynika on z błędu pomiaru, niedokładności przyrządów, luzów technologicznych, ruchu ciężkiego sprzętu w okolicy badanego pala itd. Z tego też powodu zrezygnowano z określenia stałej C dla N=0, a do obliczeń wzięto dłuższy
odcinek krzywej tj. N od 0 do 0,3 N gr. Błąd pomiaru będzie można zmniejszyć poprzez zastosowanie metod statystycznych. Obliczenia potwierdziły to założenie. 5. Uzyskanie analitycznego związku obciążenie osiadanie oraz wartości N gr pozwala na weryfikację projektu posadowienia i ewentualne korekty. 6. Problemem, który wymaga dalszej analizy jest ocena możliwości określenia parametrów gruntowych (zwłaszcza modułów ściśliwości) z wykorzystaniem stałej C, która odpowiada poszczególnym krzywym obciążenia dla bardzo małych obciążeń. Zakłada się że w pierwszej fazie pracy dla bardzo małych obciążeń można przyjąć liniową teorię Boussinesqa. Zależność tę można wykorzystać i zbudować stosowne zależności, które pozwolą rozwiązać zadanie odwrotne, jakim jest określenie modułów ściśliwości. Zagadnienie to będzie przedmiotem dalszych badań. 7. Innym problemem jest zbadanie czy istnieje zależność modułu ściśliwości gruntu od obciążenia granicznego. Problem ten również będzie przedmiotem dalszych badań. LITERATURA: 1. Bengt. H. Fellenius: What capacity value to choose from the results of static load test. 2. Bednarek R., Kozłowski T.:Wyniki badań próbnych obciążeń przeprawy mostowej przez Regalicę. Katedra Geotechniki ZUT Szczecin 3. Bzówka J. Współpraca kolumn wykonywanych techniką iniekcji strumieniowej z podłożem gruntowym. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej. Gliwice, 2009 4. Cichy L., Rybak J., Tkaczyński G.: Badanie nośności pali prefabrykowanych. Nowoczesne Budownictwo Inżynieryjne, 2009 5. Gwizdała K., Fundamenty palowe. Tom 1, PWN 2010 6. Gwizdała K.: Kontrola nośności pali i jakości robót palowych. Geoinżynieria i Tunelowanie Nr 01/2004 7. Gwizdała K., Dyka I.: Analityczna metoda określania krzywej osiadania pala pojedynczego. Inżynieria i Budownictwo nr 12/2001 8. Meyer Z: Analiza Naprężeń na pobocznicy oraz pod podstawę pojedynczego pala w oparciu o liniową teorię Boussinesqa. XVIII Seminarium Naukowe z cyklu Regionalne problemy inżynierii środowiska. 25.06.2010r 9. Meyer Z., Kowalów M.: Model Krzywej Aproksymującej wyniki testów statycznych pali. Inżynieria Morska i Geotechnika Nr 3/2010 10. Norma Palowa PN-B-02482:1983 11. Bronsztejn I, Siemiendiajew K: Matematyka Poradnik Encyklopedyczny. PWN Warszawa 2010 Wydanie XX.