Agnieszka amińska Dorota onczek lan wynikowy MATeMAtyka Zakres podstawowy i rozszerzony Warszawa 09
Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające ogrubieniem oznaczono tematy i wymagania, które wykraczają poza podstawę programową oziom. LICZBY RZECZYWISTE 8. Liczby naturalne definicja dzielnika liczby naturalnej definicja liczby pierwszej podaje przykłady liczb pierwszych, parzystych i nieparzystych cechy podzielności liczb podaje dzielniki danej liczby naturalnej naturalnych przedstawia liczbę naturalną w postaci iloczynu liczb pierwszych R definicja liczby parzystej oblicza NWD i NWW dwóch liczb naturalnych i nieparzystej przeprowadza dowody twierdzeń dotyczących podzielności liczb D W rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze znajdowanie NWD i NWW twierdzenie o rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze. Liczby całkowite. Liczby definicja liczby całkowitej wymierne definicja liczby wymiernej rozpoznaje liczby całkowite i liczby wymierne oś liczbowa wśród podanych liczb i odwrotnie: zaznacza punkt o podanej współrzędnej na osi liczbowej kolejność wykonywania działań podaje przykłady liczb całkowitych i wymiernych odczytuje z osi liczbowej współrzędną danego punktu wykonuje działania na liczbach wymiernych
3. Liczby niewymierne definicja liczby niewymiernej konstruowanie odcinków o długościach niewymiernych 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej postać dziesiętna liczby rzeczywistej metoda przedstawiania ułamków zwykłych w postaci dziesiętnej metoda przedstawiania ułamków dziesiętnych w postaci ułamków zwykłych reguła zaokrąglania błąd przybliżenia 5. ierwiastek kwadratowy definicja pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej działania na pierwiastkach kwadratowych wskazuje liczb liczby niewymierne wśród podanych konstruuje odcinki o długościach niewymiernych zaznacza na osi liczbowej punkt odpowiadający liczbie niewymiernej szacuje wartości liczb niewymiernych wykazuje, dobierając odpowiednio przykłady, że suma, różnica, iloczyn oraz iloraz liczb niewymiernych nie muszą być liczbami niewymiernymi dowodzi niewymierności liczb, np., 3 oraz liczb będących iloczynem lub sumą liczby wymiernej i niewymiernej wskazuje liczby wymierne oraz niewymierne wśród liczb podanych w postaci dziesiętnej wyznacza rozwinięcia dziesiętne ułamków zwykłych wyznacza n-tą cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego okresowego danej liczby zamienia skończone rozwinięcia dziesiętne na ułamki zwykłe przedstawia ułamki dziesiętne okresowe w postaci ułamków zwykłych zaokrągla liczbę z podaną dokładnością oblicza błąd przybliżenia oblicza wartość pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej wyłącza czynnik przed znak pierwiastka kwadratowego wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki kwadratowe, stosując prawa działań na pierwiastkach usuwa niewymierność z mianownika, gdy w mianowniku występuje wyrażenie a b, oraz szacuje przybliżoną wartość takich wyrażeń oziom R D R D W D R R R R 3
6. ierwiastek sześcienny definicja pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej definicja pierwiastka stopnia parzystego i nieparzystego działania na pierwiastkach 7. otęga o wykładniku całkowitym definicja potęgi o wykładniku naturalnym definicja potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym twierdzenia o działaniach na potęgach o wykładnikach całkowitych 8. Notacja wykładnicza definicja notacji wykładniczej sposób zapisywania małych i dużych liczb w notacji wykładniczej działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej oblicza wartość pierwiastka trzeciego stopnia z liczby nieujemnej oblicza wartość pierwiastka dowolnego stopnia wyłącza czynnik przed znak pierwiastka włącza czynnik pod znak pierwiastka porównuje liczby zapisane za pomocą pierwiastków wyznacza wartości wyrażeń arytmetycznych zawierających pierwiastki, stosując prawa działań na pierwiastkach usuwa niewymierność z mianownika ułamka, gdy w mianowniku 3 występuje a oblicza wartość potęgi liczby o wykładniku naturalnym i całkowitym ujemnym porządkuje liczby zapisane w postaci potęg, korzystając z własności potęg stosuje prawa działań na potęgach do obliczania wartości wyrażeń stosuje prawa działań na potęgach do upraszczania wyrażeń algebraicznych porównuje liczby zapisane w postaci potęg zapisuje i odczytuje liczbę w notacji wykładniczej wykonuje działania na liczbach zapisanych w notacji wykładniczej oziom R R R R R R R R R 4
9. otęga o wykładniku wymiernym 0. Logarytm i jego własności definicja potęgi o wykładniku n liczby nieujemnej definicja potęgi o wykładniku wymiernym liczby dodatniej prawa działań na potęgach o wykładnikach wymiernych definicja logarytmu dziesiętnego definicja logarytmu o podstawie a > 0 i a z liczby dodatniej własności logarytmu: log a = 0, log a a =, gdzie a > 0 i a twierdzenia o logarytmie iloczynu, logarytmie ilorazu oraz logarytmie potęgi. rocenty pojęcie procentu i promila pojęcie punktu procentowego. owtórzenie wiadomości 3. raca klasowa i jej omówienie zapisuje pierwiastek n-tego stopnia w postaci potęgi o wykładniku n oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym upraszcza wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach oblicza logarytm danej liczby stosuje równości wynikające z definicji logarytmu do obliczeń wyznacza podstawę logarytmu, gdy dana jest wartość logarytmu, podaje odpowiednie założenia dla podstawy logarytmu oraz liczby logarytmowanej stosuje twierdzenia o logarytmie iloczynu, ilorazu oraz potęgi do obliczania wartości wyrażeń z logarytmami stosuje twierdzenia o logarytmie iloczynu, ilorazu i potęgi do uzasadniania równości wyrażeń uzasadnia podstawowe własności logarytmów oblicza procent danej liczby interpretuje pojęcia procentu i punktu procentowego oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba wyznacza liczbę, gdy dany jest jej procent zmniejsza i zwiększa liczbę o dany procent stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych stosuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych dotyczących płac, podatków, rozliczeń bankowych oziom R R R R R R D 3 5
oziom. JĘZY MATEMATYI 0. Zbiory sposoby opisywania zbiorów zbiory skończone i nieskończone posługuje się pojęciami: zbiór, podzbiór, zbiór pusty, zbiór zbiór pusty skończony, zbiór nieskończony definicja podzbioru wymienia elementy danego zbioru oraz elementy do niego relacja zawierania zbiorów nienależące zapis symboliczny zbioru opisuje słownie i symbolicznie dany zbiór R określa relację zawierania zbiorów R wypisuje podzbiory danego zbioru R. Działania na zbiorach iloczyn zbiorów suma zbiorów posługuje się pojęciami: iloczyn, suma oraz różnica zbiorów różnica zbiorów wyznacza iloczyn, sumę oraz różnicę danych zbiorów R dopełnienie zbioru przedstawia na diagramie zbiór, który jest wynikiem działań prawa De Morgana na trzech dowolnych zbiorach wyznacza dopełnienie zbioru R formułuje i sprawdza hipotezy dotyczące praw działań na zbiorach W 3. rzedziały określenie przedziałów: otwartego, domkniętego, lewostronnie domkniętego, prawostronnie rozróżnia pojęcia: przedział otwarty, domknięty, lewostronnie domknięty, prawostronnie domknięty, ograniczony, domkniętego, ograniczonego, nieograniczony nieograniczonego zapisuje przedział i zaznacza go na osi liczbowej zapis symboliczny przedziałów odczytuje i zapisuje symbolem przedział zaznaczony na osi 4. Działania na przedziałach iloczyn, suma, różnica przedziałów liczbowej wyznacza przedział opisany podanymi nierównościami wymienia liczby należące do przedziału spełniające zadane warunki wyznacza iloczyn, sumę i różnicę przedziałów oraz zaznacza je na osi liczbowej wyznacza iloczyn, sumę i różnicę różnych zbiorów liczbowych oraz zapisuje je symbolicznie D 6
5. Rozwiązywanie nierówności 6. Wyłączanie jednomianu przed nawias 7. Mnożenie sum algebraicznych nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą sprawdza, czy dana liczba rzeczywista jest rozwiązaniem nierówności równoważne nierówności rozwiązuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, w tym nierówności sprzeczne i tożsamościowe zapisuje zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału stosuje nierówności pierwszego stopnia z jedną niewiadomą do rozwiązywania zadań osadzonych w kontekście praktycznym uzasadnia niektóre własności nierówności wyłączanie jednomianu przed nawias wyłącza wskazany jednomian przed nawias zapisuje wyrażenia algebraiczne w postaci iloczynu stosuje metodę wyłączania jednomianu przed nawias do dowodzenia podzielności liczb mnożenie sum algebraicznych mnoży sumy algebraiczne przekształca wyrażenia algebraiczne, uwzględniając kolejność wykonywania działań wykonuje działania na liczbach postaci a b c wykorzystuje wyrażenia algebraiczne do opisu zależności dowodzi podzielności liczb rozwiązuje równania i nierówności, stosując działania na wyrażeniach algebraicznych oziom R W R D R R R D W D 7
8. Wzory skróconego mnożenia 9. Zastosowanie przekształceń algebraicznych wzory skróconego mnożenia (a b)² oraz a² b² zastosowanie przekształceń algebraicznych do przekształcania równoważnego równań i nierówności usuwanie niewymierności z mianownika 0. Wartość bezwzględna definicja wartości bezwzględnej interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej. Własności wartości bezwzględnej stosuje odpowiedni wzór skróconego mnożenia do wyznaczenia kwadratu sumy lub różnicy oraz różnicy kwadratów przekształca wyrażenie algebraiczne z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia stosuje wzory skróconego mnożenia do wykonywania działań na liczbach postaci a + b c wyprowadza wzory skróconego mnożenia stosuje wzory skróconego mnożenia do dowodzenia własności liczb stosuje przekształcenia algebraiczne do przekształcenia równoważnego równań oraz nierówności usuwa niewymierność z mianownika ułamka stosuje wzory skróconego mnożenia do dowodzenia twierdzeń oblicza wartość bezwzględną danej liczby upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną rozwiązuje, stosując interpretację geometryczną, elementarne równania i nierówności z wartością bezwzględną zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne (x, y) spełniają warunki zapisane za pomocą wartości bezwzględnej własności wartości bezwzględnej stosuje podstawowe własności wartości bezwzględnej korzystając z własności wartości bezwzględnej, rozwiązuje proste równania i nierówności z wartością bezwzględną korzystając z własności wartości bezwzględnej, upraszcza wyrażenia z wartością bezwzględną oziom R D R D W R D D W R D D 8
. owtórzenie wiadomości 3. raca klasowa i jej omówienie oziom 3. UŁADY RÓWNAŃ 3. Co to jest układ równań pojęcie układu równań rozwiązanie układu równań podaje pary liczb spełniające równanie liniowe z dwiema niewiadomymi sprawdza, czy dana para liczb jest rozwiązaniem układu równań dopisuje drugie równanie tak, aby dana para liczb spełniała dany układ równań zapisuje podane informacje w postaci układu równań. Rozwiązywanie układów rozwiązywania układów równań równań metodą metodą podstawiania rozwiązuje układ równań metodą podstawiania R podstawiania definicja układu równań określa typ układu równań (czy dany układ równań jest układem oznaczonego, sprzecznego, oznaczonym, nieoznaczonym czy sprzecznym) nieoznaczonego dopisuje drugie równanie tak, aby układ równań był układem oznaczonym, nieoznaczonym lub sprzecznym 3. Rozwiązywanie układów rozwiązywania układów równań równań metodą metodą przeciwnych rozwiązuje układ równań metodą przeciwnych współczynników przeciwnych współczynników zapisuje rozwiązanie układu równań w przypadku, gdy jest to współczynników układ nieoznaczony R 4. Układy równań zadania zastosowanie układów równań do tekstowe rozwiązywania zadań tekstowych układa i rozwiązuje układ równań do zadania z treścią D rozwiązuje zadania tekstowe dotyczące sytuacji praktycznych, w tym zadania dotyczące prędkości oraz wielkości podanych za 4 pomocą procentów: stężeń roztworów i lokat bankowych 5 owtórzenie wiadomości 6. raca klasowa i jej omówienie 4 4 9
oziom 4. FUNCJE. ojęcie funkcji definicja funkcji sposoby opisywania funkcji stosuje pojęcia: funkcja, argument, dziedzina, wartość funkcji, pojęcia: dziedzina, argument, miejsce zerowe funkcji przeciwdziedzina, wartość funkcji rozpoznaje wśród danych przyporządkowań te, które opisują definicja miejsca zerowego funkcji funkcje R podaje miejsca zerowe funkcji opisuje funkcję różnymi sposobami: za pomocą grafu, tabeli, opisu słownego R odczytuje wartość funkcji dla danego argumentu odczytuje argumenty, dla których funkcja przyjmuje określoną wartość R. Szkicowanie wykresu wykres funkcji funkcji szkicuje wykresy funkcji o zadanej dziedzinie R przedstawia funkcję za pomocą wzoru R szkicuje wykres funkcji określonej nieskomplikowanym wzorem, w tym prostą, parabolę, hiperbolę R szkicuje wykres funkcji określonej różnymi wzorami w różnych przedziałach D sprawdza, czy dany punkt należy do wykresu funkcji R rozpoznaje, czy dana krzywa jest wykresem funkcji R oblicza wartość funkcji dla danego argumentu R 3. Monotoniczność funkcji definicje: funkcji rosnącej, malejącej i stałej stosuje pojęcie funkcji monotonicznej (rosnącej, malejącej, stałej, pojęcie funkcji monotonicznej nierosnącej, niemalejącej) definicje: funkcji nierosnącej na podstawie wykresu funkcji określa jej monotoniczność R i niemalejącej rysuje wykres funkcji o zadanych kryteriach monotoniczności R pojęcie funkcji przedziałami bada na podstawie definicji monotoniczność funkcji określonej monotonicznej wzorem W 0
4. Odczytywanie własności funkcji z wykresu 5. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OY 6. rzesuwanie wykresu wzdłuż osi OX 7. Wektory w układzie współrzędnych 8. rzesuwanie wykresu o wektor 9. rzekształcanie wykresu przez symetrię względem osi układu współrzędnych zbiór wartości funkcji największa i najmniejsza wartość funkcji znak wartości funkcji metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q > 0 metoda otrzymywania wykresów funkcji y = f(x p) dla p 0 oraz y = f(x + p) dla p 0 pojęcie wektora wektor przeciwny do danego współrzędne wektora i ich interpretacja geometryczna metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x p) + q metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) i y = f( x) stosuje pojęcia: zbiór wartości funkcji, największa i najmniejsza wartość funkcji odczytuje z wykresu funkcji jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne; argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie; maksymalne przedziały monotoniczności funkcji, najmniejszą i największą wartość funkcji oraz argumenty, dla których te wartości są przyjmowane odczytuje z wykresu rozwiązania równań i nierówności rysuje wykresy funkcji: y = f(x) + q dla q > 0 oraz y = f(x) q dla q > 0 rysuje wykresy funkcji: y = f(x p) dla p > 0 oraz y = f(x + p) dla p > 0 posługuje się pojęciem wektora i wektora przeciwnego oblicza współrzędne wektora wyznacza współrzędne początku lub końca wektora, jeśli ma dane współrzędne wektora i współrzędne jednego z punktów znajduje obraz figury w przesunięciu o dany wektor szkicuje wykres funkcji y = f(x p) + q zapisuje wzór funkcji otrzymanej w wyniku danego przesunięcia szkicuje wykresy funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f( x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) oziom D R R R R R 3 R R
0. Inne przekształcenia wykresu. roporcjonalność odwrotna. owtórzenie wiadomości 3. raca klasowa i jej omówienie metoda otrzymywania wykresu funkcji y = f(x) i y = f( x ) pojęcie proporcjonalności odwrotnej współczynnik proporcjonalności odwrotnej na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x) i y = f( x ) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykres funkcji będący efektem wykonania kilku operacji wyznacza współczynnik proporcjonalności odwrotnej a szkicuje wykres funkcji f x, gdzie a > 0 i x > 0 x stosuje proporcjonalność odwrotną do rozwiązywania zadań np. dotyczących drogi, prędkości i czasu oziom 3. FUNCJA LINIOWA 9. Wykres funkcji liniowej definicja funkcji liniowej wykres funkcji liniowej rozpoznaje funkcję liniową, jeśli ma dany jej wzór oraz szkicuje jej współczynnik kierunkowy prostej wykres interpretacja geometryczna współczynników występujących interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej i wskazuje wśród danych wzorów funkcji liniowych te, we wzorze funkcji liniowej których wykresy są równoległe pojęcia: pęk prostych, środek pęku sprawdza, czy punkt należy do wykresu funkcji liniowej wyznacza wzór funkcji liniowej, której wykres spełnia zadane warunki, np. jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez dany punkt stosuje własności funkcji liniowej do obliczania pól wielokątów D D R R 4
. Własności funkcji liniowej 3. Równanie prostej na płaszczyźnie 4. Współczynnik kierunkowy prostej miejsce zerowe funkcji liniowej monotoniczność funkcji liniowej proporcjonalność prosta równanie kierunkowe prostej równanie ogólne prostej współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego wyznacza miejsce zerowe i określa monotoniczność funkcji liniowej danej wzorem wyznacza współrzędne punktów, w których wykres funkcji liniowej przecina osie układu współrzędnych, oraz podaje, w których ćwiartkach układu znajduje się wykres określa monotoniczność funkcji liniowej w zależności od parametru rozpoznaje wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalnie podaje równanie kierunkowe i ogólne prostej zamienia równanie ogólne prostej, która nie jest równoległa do osi OY, na równanie w postaci kierunkowej (i odwrotnie) wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty rysuje prostą opisaną równaniem ogólnym wyznacza wartości parametru, dla których prosta spełnia określone warunki wyznacza wartości parametrów, dla których proste dane równaniem w postaci ogólnej są równoległe oblicza współczynnik kierunkowy prostej, jeśli ma dane współrzędne dwóch punktów należących do tej prostej szkicuje prostą, wykorzystując interpretację współczynnika kierunkowego odczytuje wartość współczynnika kierunkowego, jeśli ma dany wykres; w przypadku wykresu zależności drogi od czasu w ruchu jednostajnym podaje wartość prędkości wyprowadza równanie prostej o danym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez dany punkt oziom R R D D R D W 3
5. Warunek prostopadłości prostych 6. Interpretacja geometryczna układu równań liniowych 7. Układy nierówności liniowych warunek prostopadłości prostych o danych równaniach kierunkowych wyznaczanie równania prostej prostopadłej do danej prostej interpretacja geometryczna układu oznaczonego, sprzecznego i nieoznaczonego interpretacja geometryczna nierówności z dwiema niewiadomymi pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej ilustracja geometryczna układu nierówności podaje warunek prostopadłości prostych o danych równaniach kierunkowych wyznacza równanie prostej prostopadłej do danej prostej i przechodzącej przez dany punkt udowadnia warunek prostopadłości prostych o danych równaniach kierunkowych rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań bada, czy proste dane równaniem w postaci ogólnej są prostopadłe, wyznacza wartości parametrów, dla których takie proste są prostopadłe interpretuje geometrycznie układ równań rozwiązuje układ równań metodą algebraiczną i graficzną wykorzystuje związek między liczbą rozwiązań układu równań a położeniem prostych rozwiązuje układ równań z parametrem oraz określa jego typ w zależności od wartości parametru interpretuje geometrycznie nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi oraz pojęcie półpłaszczyzny otwartej i domkniętej zaznacza w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi zapisuje układ nierówności opisujący zbiór punktów przedstawionych w układzie współrzędnych rozwiązuje graficznie układ kilku nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi wyznacza w układzie współrzędnych iloczyn, sumę i różnicę zbiorów punktów opisanych nierównościami liniowymi z dwiema niewiadomymi oziom R D W R D R R W D D 4
8. Równania i nierówności liniowe z parametrem 9. Funkcja liniowa zastosowania. owtórzenie wiadomości. raca klasowa i jej omówienie liczba rozwiązań równania liniowego tworzenie modelu matematycznego opisującego przedstawione zagadnienie praktyczne wyznacza współczynniki we wzorze funkcji liniowej, aby spełniała podane warunki przeprowadza analizę liczby rozwiązań równia liniowego w zależności od wartości danego parametru przeprowadza analizę zadania z treścią, a następnie zapisuje odpowiednie równanie, nierówność liniową lub wzór funkcji liniowej rozwiązuje ułożone przez siebie równanie, nierówność lub analizuje własności funkcji liniowej przeprowadza analizę wyniku i podaje odpowiedź oziom 6. LANIMETRIA 3. Miary kątów w trójkącie klasyfikacja trójkątów twierdzenie o sumie miar kątów klasyfikuje trójkąty ze względu na miary ich kątów w trójkącie stosuje twierdzenie o sumie miar kątów wewnętrznych trójkąta dwusieczna kąta, kąt przyległy, kąt do rozwiązywania zadań R zewnętrzny trójkąta oblicza sumę miar kątów wewnętrznych n-kąta R punkty specjalne w trójkącie przeprowadza dowód twierdzenia o sumie miar kątów w trójkącie oraz o mierze kąta zewnętrznego trójkąta D. Trójkąty przystające definicja trójkątów przystających cechy przystawania trójkątów podaje definicję trójkątów przystających oraz cechy przystawania nierówność trójkąta trójkątów wskazuje trójkąty przystające R stosuje nierówność trójkąta do rozwiązywania zadań D stosuje cechy przystawania trójkątów w zadaniach na dowodzenie R W D D R R D 4 5
3. Twierdzenie Talesa twierdzenie Talesa twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa podaje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa wykorzystuje twierdzenie Talesa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do rozwiązywania zadań wykorzystuje twierdzenie Talesa do podziału odcinka w danym stosunku przeprowadza dowód twierdzenia Talesa przeprowadza dowody twierdzeń z zastosowaniem twierdzenia Talesa 4. Wielokąty podobne definicja wielokątów podobnych skala podobieństwa rozumie pojęcie figur podobnych zależność między obwodami oblicza długości boków w wielokątach podobnych wielokątów podobnych a skalą wykorzystuje zależności między obwodami wielokątów podobieństwa podobnych a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań udowadnia elementarne własności wielokątów podobnych 5. Trójkąty podobne cechy podobieństwa trójkątów podaje cechy podobieństwa trójkątów sprawdza, czy dane trójkąty są podobne oblicza długości boków trójkąta podobnego do danego w danej skali układa odpowiednią proporcję, aby wyznaczyć długości brakujących boków trójkątów podobnych wykorzystuje podobieństwo trójkątów do rozwiązywania zadań, udowadnia podobieństwo trójkątów, stosując cechy podobieństwa 6. ola wielokątów zależność między polami podobnych wielokątów podobnych a skalą wykorzystuje zależności między polami wielokątów podobnych podobieństwa a skalą podobieństwa do rozwiązywania zadań oziom D D W D W R D D W R D R W D 6
7. Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie. owtórzenie wiadomości 3. raca klasowa i jej omówienie twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie wykorzystuje twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie do rozwiązywania zadań przeprowadza dowód twierdzenia o dwusiecznej kąta w trójkącie oraz inne dowody, stosując twierdzenie o dwusiecznej oziom 7. FUNCJA WADRATOWA 5. Wykres funkcji wykres i własności funkcji f(x) = ax f(x) = ax, gdzie a 0 szkicuje wykres funkcji f(x) = ax podaje własności funkcji f(x) = ax stosuje własności funkcji f(x) = ax do rozwiązywania zadań R. rzesunięcie wykresu metoda otrzymywania wykresów funkcji f(x) = ax o wektor funkcji: f(x) = a(x p) + q podaje wzór funkcji kwadratowej otrzymanej w wyniku własności funkcji: przesunięcia wykresu funkcji f(x) = ax o wektor f(x) = a(x p) + q szkicuje wykresy funkcji postaci f(x) = a(x p) + q współrzędne wierzchołka paraboli i podaje ich własności równanie osi symetrii paraboli stosuje własności funkcji f(x) = a(x p) + q do rozwiązywania zadań R D W 4 7
3. ostać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej postać ogólna funkcji kwadratowej postać kanoniczna funkcji kwadratowej trójmian kwadratowy wyróżnik trójmianu kwadratowego współrzędne wierzchołka paraboli wzory rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci f(x) = a(x p) + q 4. Równania kwadratowe metoda rozwiązywania równań przez rozkład na czynniki zależność między znakiem wyróżnika a liczbą rozwiązań równania kwadratowego wzory na pierwiastki równania kwadratowego interpretacja geometryczna rozwiązań równania kwadratowego podaje wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej i kanonicznej oblicza wyróżnik trójmianu kwadratowego oblicza współrzędne wierzchołka paraboli, podaje równanie jej osi symetrii przekształca postać ogólną funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej (z zastosowaniem uzupełniania do kwadratu lub wzoru na współrzędne wierzchołka paraboli) i szkicuje jej wykres przekształca postać kanoniczną funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wyznacza wzór ogólny funkcji kwadratowej, mając dane współrzędne wierzchołka i innego punktu jej wykresu wyprowadza wzory na współrzędne wierzchołka paraboli stosuje wzory skróconego mnożenia oraz zasadę wyłączania wspólnego czynnika przed nawias do przedstawienia wyrażenia w postaci iloczynu rozwiązuje równanie kwadratowe przez rozkład na czynniki rozwiązuje równania kwadratowe, korzystając z poznanych wzorów interpretuje geometrycznie rozwiązania równania kwadratowego stosuje poznane wzory przy szkicowaniu wykresu funkcji kwadratowej rozwiązuje równania kwadratowe z wartością bezwzględną oziom R R R R D D 8
5. ostać iloczynowa funkcji kwadratowej 6. Nierówności kwadratowe 7. owtórzenie wiadomości 8. raca klasowa i jej omówienie definicja postaci iloczynowej funkcji kwadratowej twierdzenie o postaci iloczynowej funkcji kwadratowej metoda rozwiązywania nierówności kwadratowych definiuje postać iloczynową funkcji kwadratowej i warunek jej istnienia zapisuje funkcję kwadratową w postaci iloczynowej odczytuje wartości pierwiastków trójmianu podanego w postaci iloczynowej przekształca postać iloczynową funkcji kwadratowej do postaci ogólnej wykorzystuje postać iloczynową funkcji kwadratowej do rozwiązywania zadań rozumie związek między rozwiązaniem nierówności kwadratowej a znakiem wartości odpowiedniego trójmianu kwadratowego rozwiązuje nierówność kwadratową wyznacza na osi liczbowej iloczyn, sumę i różnicę zbiorów rozwiązań kilku nierówności kwadratowych oziom R 4 Razem 0 9