MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 16 (1978) OPTYMALIZACJA KSZTAŁTU PRĘ TA Ś CISKANEGO Z UWZGLĘ DNIENIEM CIĘ Ż ARU WŁASNEGO METODĄ PROGRAMOWANIA DYNAMICZNEGO* JAN B Ł A C H U T (KRAKÓW) 1. Wstę p Niniejsza praca pś wię cna jest ptymalnemu kształ twaniu prę ta sprę ż ysteg pddaneg ś ciskaniu siłą skupiną raz siłami rzł ż nymi wzdłuż dł ugś ci prę ta, a pchdzą - cymi d cię ż ar u wł asneg. Pszukiwać bę dziemy maksymalnej siły krytycznej przy stałej bję tś i c prę ta i graniczeniach nałż nych na przekrój pprzeczny. Rzpatrywać bę - dziemy peł ne nieliniwe równanie linii ugię cia. Otrzymane wyniki prównamy ze znanymi rzwią zaniami analitycznymi dla przypadku ptymalneg kształtwania prę ta sprę - ż ysteg, ś ciskaneg siłą stałej wartś ci, ustalnym kierunku dział ania i punkcie przyłż enia (tak zwana siła eulerwska). Prównanie t dtyczyć bę dzie tych zagadnień w których pminię t wpływ cię ż ar u własneg., Optymalizacji knserwatywnych zagadnień statecznś ci pś wię cna jest znaczna liczba prac. Obszerny spis literatury zawierają mię dzy innymi publikacje [1 6]. Rzwią zanie ś cisłe zagadnienia ptymalizacji prę ta ś ciskaneg siłą eulerwska przedstawin w pracy [6], gdzie pszukiwan minimum bję tś i c prę ta przy danej sile krytycznej, pwdują cej utratę statecznś ci przez wybczenie. W przypadku prę ta płask- zbież neg stałej wyskś ci trzyman rzwią zanie w którym przekrój zmierzał d zera w punkcie przyłż enia sił y krytycznej. Stsują c bezpś rednie metdy numeryczne ptymalizacji w pracy [7] rzwią zan pewien prblem ptymalneg kształ twania prę ta w stanie zakrytycznym przy duż ych sprę ż ystych ugię ciach. Pszukiwan ptymalneg stsunku gię tnej sztywnś ci dwóch dcinków prę ta stał ych przekrjach. Prę t ś ciskan daną siłą siwą, przy ustalnej jeg bję tś ci, a kryterium ptymalnś ci stanwił w jednym przypadku minimum wychylenia kń ca prę ta x k, zaś w drugim minimum ką ta dchylenia teg kń ca d pinu. W niniejszej pracy, w parciu zasadę ptymalnś ci Bellmana raz metdę gradientwą zaprpnwaną przez CLAUDONA [8], przedstawine zstanie pdejś cie numeryczne umż liwiają ce ptymalizację prę ta przy utracie statecznś ci (w parciu statyczne kryterium statecznś ci). 2. Sfrmułwanie zagadnienia Rzpatrywać bę dziemy pł askzbież ny, sprę ż yst y prę t jednstrnnie sztywn utwierdzny bcią ż ny siłą eulerwska P i cię ż arem własnym (rys. 1). '. *' Praca wyknana zstał a w ramach prblemu wę złweg 05.12 pt. - ^Wytrzymałść i ptamalizacja knstrukcji maszynwych i budwlanych^, krdynwaneg przez IPPT PAN.
344 J. BLACHUT Obję tść takieg prę ta wynsi i (1) F= cja(5)ds, gdzie a = EJ; c stała. (2) przy (3) gdzie (4) gdzie Należy znaleź ć: stałej bję tś ic V = VI c; graniczeniu nałż nym na pszukiwany przekrój a(s) ca x < V < ca 2. Rys. 1 max/ " V cnst ai < a(s)< a.2, 3. Równanie funkcyjne Bellmana Rzwią zanie wariacyjnych zadań statecznś ci mż na sprwadzić d wyznaczenia minimum nastę pują ceg funkcjnału [9]J F< l Kx,y,y')dx (5) gdzie i r(i), <P (0 są t dstatecznie gładkie funkcje zmiennych x, y, y'. Krzywa realizują ca ekstremum wyraż enia (5), pwinna spełniać nastę pują cy układ równań róż niczkwych 19]: (6) = 0
OPTYMALIZACJA PRĘ TA Ś CISKANEGO 345 raz równanie cał kwe pstaci (7) j (F - t<pm)dx= G, gdzie t parametr liczbwy. Pniż ej pkaż emy, jak rzwią zać pwyż sze zadanie metdą prgramwania dynamiczneg. W szczególnś ci zamienimy funkcjnał (5) na funkcjnał addytywny raz psł uż ymy się równaniem funkcyjnym Bellmana d wyznaczenia jeg- minimum. Funkcjnał (5) ma w naszym przypadku pstać: (8) ' " A ł - / (l- cs<p)ds gdzie ę '= - j- ; Ci = - pr^y; Y cię ż arwł aś ciwy ; b wyskś ćprzekrju;/ dł ugś. ć Prgramwanie dynamiczne pzwala wykluczyć z rzważ ań równanie (6). Szukaną krzywą <p{s) i P pszukujemy w prcesie minimalizacji funkcjnał u (7), który w naszym przypadku mż na zapisać nastę pują c : i i ( J Zadanie plegają ce na wyznaczeniu bcią ż eni a krytyczneg P kr dla daneg rzkł adu OL{S) sprwadza się d minimalizacji funkcjnał u (9) z uwzglę dnieniem warunku <p(q) 0, przy czym P pwinn przyjąć wartść najmniejszą. Minimum funkcjnału (9) wyznaczać bę dziemy w prcesie wieletapwym dzieląc przedział cał kwania [0,1] na N etapów dł ugś i ca każ dy, tak, że N- A = I. Etapy bę dziemy numerwać d swbdneg kń ca psuwając się ku sztywnemu utwierdzeniu. T znaczy JV = H dpwiadać bę dzie pczą tkwi prcesu JV- etapweg, zaś Ń = 1 statniemu krkwi w tym prcesie. W dwlnym punkcie k wprwadzimy znaczenia (10) = c>(a); <p' 9k - y'(*a); k = 1,..,,W. k Pchdną q>'(s) zastą pimy ilrazem róż nicwym: di) ' w Warunek pczą tkwy q>(q) = 0, (sztywne utwierdzenie), weź miemy w pstaci <p N = c. Zastę pując (9) sumą rzymujemy (12) Rn^ MY- ip+ c^aail- unria. k- \ ^ /=1 J Zapiszmy minimalną wartść sumy (12) dla JV statnich krków (13)
346 J. BŁACHUT Wielkść f N (ć ) nazywać bę dziemy dalej funkcją celu. Z zasady ptymalnś ci trzymujemy nastę pują ce równanie funkcyjne (14) f N (c) = min j[^l(^) 2 gdzie (p N - i= (p N + A<pH. Analgicznie trzymujemy dla nastę pnych etapów: (15) I V a, (16) j[^ ( N 07) / ityi) = minjf^^') 2 - (JP + CI ^a^ja- cs^j gdzie <PN- 2 = <PNcp 1 = ( Rzwią zywanie równań funkcyjnych (14) (17) prwadzimy psuwając się etapami d swbdneg kń ca ku utwierdzeniu, rzpczynają c d fi(q>i) gdzie q> t,...,q> N są t dpuszczalne wartś ci zmiennej sterwania <p(s). 4. Obliczanie siły krytycznej P jednrazwym wyknaniu prcedury równania funkcyjneg Bellmana (14) (19) trzymujemy wartś ci q> 0, ip L,..., ę N - t, które realizują minimum wyjś ciweg prblemu (14). Minimum t bliczamy dla dwlnej wartś ci P, przy ustalnym rzkł adzie a(s). Siłę krytyczną trzymamy dla R = 0. Wykrzystując fakt, iż R jest liniwą funkcją P przeprwadzamy na wstę pie jeden raz bliczenia dla dwlnej wartś ci P ±. Otrzymane minimum wyraż enia (13) znaczymy f N1. Nastę pnie pwtarzamy te same bliczenia dla P 2, a trzymane minimum znaczmy f m. Wtedy siłę krytyczną P kt bliczamy z wyraż enia JN2~JNI 5. Metda gradientwa prcedura bliczania przekrju ptymalneg Obliczenia (9) (15) rzpczynamy przyjmują c stał y przekrój a 0 = cnst tak, by (16)
OPTYMALIZACJA PRĘ TA Ś CISKANEGO 347 Równcześ nie sił ę krytyczną wyznaczyć mż na z relacji (17) P k 1 r 1 / y(?>') 2 - ci( J aw)(lmin - - i-^ j (1 cs (p)ds Natmiast zgdnie z [8] bę dziemy pszukiwać «plepszneg» rzkładu masy w nastę - pują cej pstaci gdzie e mały parametr, A stała nrmują ca taka, że (19) J A«x ds = 1, zas 75 należy rzumieć nastę pują c: i Kr J (1 cs w) ds Z (19) trzymujemy nastę pują cą pstać stałej nrmują cej 9) trzymujemy nastę pują cą pstać (21) Wzry (18) i (21) dają w kń cu nastę pują cą frmuł ę na «przekrój plepszny» (22) Cał y cykl bliczeń przebiega nastę pują c: Na wstę pie startujemy z a 0 = 1. W parciu wzry (9) - (15) wyznaczamy siłę krytyczną dla daneg przekrju a (s), pwtarzają c dwukrtnie prcedurę równania funkcyjneg. Przy trzecim pwtórzeniu wyznaczamy q>(s) dla bcią ż eni a krytyczneg. Dalej psł ugują c się wzrami (16) - (22) wyznaczamy plepszny przekrój, który wstawiamy w miejsce a (s) rzpczynają c pprzez dwukrtne pwtórzenie prcedury równania funkcyjneg kreś lenie nwej sił y krytycznej, a przy trzecim pwtórzeniu bliczamy klejny «plepszny» rzkład masy. Na każ dą iterację składa się zatem trzykrtne pwtórzenie równania funkcyjneg Bellmana, a na kń cu wedł ug schematu (16) - (22) znajdujemy każ drazw nwy rzkł ad masy. Algrytm ten jest szybk zbież ny. Na rys. 2 przedstawin schemat blkwy teg algrytmu.
348 J. BŁACHUT Wczytane Jeś li i =3 Prcedura równania funkcyjneg Bellmana Jeś li i- I i'2 Obliczenie Obliczenie X Obliczenie I p kr I I Obliczenie dp^/ dc raz li Druk ±. Sprawdzenie zbież nś ci P kr Rys. 2 Tablica 1 Tablica 2 Iteracja Sita krytyczna Iteracja Siła krytyczna 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2,471* 2,732 2,859 2,961 3,024 3,058 3,092 3,108 3,121 3,138 3,139 3,139 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2,321 2,609 2,761 2,867 2,940 2,981 3,014 3,021 3,055 3,074 3,087 3,087 *) wartść dkładna 2,467 [Ul
OPTYMALIZACJA PRĘ TA Ś CISKANEGO 349 6. Wyniki bliczeń a) Optymalne kształ twanie przy bcią ż eniusilą skupiną P. W celu sprawdzenia pwyższej metdy płż n najpierw w (8) c± = 0 raz nie bran pd uwagę graniczeń (4). W tablicy 1 przedstawin wartś ci siły krytycznej dla róż nych iteracji. Widać, że sią g- nię t dbrą dkładnść rzwią zywaneg zadania wariacyjneg, przy bliczaniu P kr dla stał eg przekrju a (V), [11], Na rys. 3 przedstawin zmianę u(s) dla róż nych iteracji raz pfzekrój ptymalny. 0,2-0- 0,2 0,6 W Rys. 3 1,8 Z pracy [6] wynika, że stsunek ptymalnej siły krytycznej d przekrju a w punkcie sztywneg utwierdzenia jest równy 2. Również wyniki naszych bliczeń dają tę samą wartś ć. b) Optymalne kształ twanie przy bcią ż eniusilą skupiną P i graniczeniu przekrju. Dalsze bliczenia uwzglę dniały warunek (4) w pstaci: (23) ) Rys. 4
350 J. BŁACHUT Prcedura wyznaczania sił y krytycznej pzstaje nadal taka sama. Mdyfikacji ulega jedynie statnia czę ść pisana wzrami (16) - (19). W miejsce tych przekri c(fca), gdzie k= 1,...,N, które nie spełniają warunku (23) pdstawia się a(&a) = a ±. Uzyskane przekrje pkazuje rys. 4, dla a t 0,4; 0,6 raz 0,8. 0,4 0,8 1,2 Rys. 5 W c) Optymalne kształ twanie przy bcią ż eniusilą skupiną P i cię ż aremwł asnym. Obliczenia przeprwadzn przy pminię ciu warunku (4). Wartś ci siły krytycznej dla róż nych iteracji zestawin w tablicy 2, zaś trzymane kształ ty raz kształ t ptymalny pkazan na rys. 5. 7. Uwagi kń cwe Cechą charakterystyczną ' przedstawinej metdy jest wariacyjne sfrmułwanie równania statyki prę ta i rzwią zanie g bezpś rednią metdą terii sterwania ptymalneg jaką jest prcedura równania funkcyjneg Bellmana. Omawiany spsób rzwią zania zagadnienia' statecznś ci psł uż yć mże jak jedna z metd d bliczania bcią ż eń krytycznych elementów knstrukcyjnych dwlnym kształcie (niekniecznie cią głym na przykł ad skkwym), przy uwzglę dnieniu dwlneg bcią ż eni a cią głeg np. cię ż ar u własneg. Przedstawiny spsób rzwią zania zadania ptymalizacji plegają cy na skjarzeniu metdy gradientwej [8] z prgramwaniem dynamicznym [10] mże być przystswany d ptymalizacji niektórych zagadnień zwią zanych z utratą statecznś ci płyt siw symetrycznych. Literatura cytwana w tekś cie 1. A.M. BRANDT, Kryteria i metdy ptymalizacji knstrukcji, Warszawa. 2. <I>. H. HnPflcHj II. IIE,HEPCEH, O630p uccjiedeauuu n nmuma/ tbhojuy npekmupeauuw KOHcmpyKicuu, MexaHHKa, CSOPHHK IlepeBflOB, 2 (1973), 136-157. 3. A. GAJEWSKI, Wybrane zagadnienia ptymalizacji kształtu prę tów, Czas. Techn., Z- 4M (1972).
OPTYMALIZACJA PRĘ TA Ś CISKANEGO 351 4. A. GAJEWSKI, M. Ż YCZKOWSKI, Optimal design f elastic clumns subjected t the general cnservative behaviur f lading, J. f Appl. Math, and Phys., ZAMP, 21 (1970), 806 818. 5. A. GAJEWSKI, Optymalne kształtwanie wytrzymałś ciwe w przypadku materiałów nieliniwś ci fizycznej, Zesz. Nauk. Plit. Krak., 5 (1975). 6. H. T. ^EimB, CTOHKH HaHMenhiuer Beca 5 Tpyflbi JUAFH, 1936, 265. 7. J. BLACHUT, Optymalne ksztaltwaie prę ta ś ciskanegprzy duż ychugię ciach metdą prgramwania dynamiczneg, Mech. Ter. Sts., 3, 15 (1977), 375 385. 8. J. L. CLAUDON, Characteristic curves and ptimum design f tw structures subjected t circulatry lads, Jurnal de Mccanique, 14 (1975), 531 543. 9. 1O. M. ITOHTMAH, A. JI. KOJIECHITTEHKOJ ^ucneune petueuue OOHOZO KJiacca 3txdm MexauuKu cn/ ttuhu cpedu MemdM dimamuneckz npipammupeanun, H3B. Ai<a#. HayK APMHHCKOH CCP 3 MexaHHKa, 2 (1972), 90-95. 10. R. BELLMAN, Prgramwanie dynamiczne, Warszawa 1969. 11. N. BIELAJEW, Wytrzymałś ć materiałów, Warszawa 1954. P e 3 i M e OnTHMAJlfcHOE npoekthpobahhe IIO METOflY nporpammhpobahjm OKATOrO CTEP>KHfl C COBCTBEHHOrO BECA,D,aHO peniehhe 3afla^H Hax>KfleHnn MaKCHMajiBHft KpHTiwecKii CHJiH 3 np Me ctep5i<hh. 3afla^ia peniaetch Ha chobe ctathmeckr KpHTepHH yctohmhbcth. KpHTHMecKHe HaxflaxcH H3 ycjibhh MHHHMyiwa HHTerpana ntehn.hajibhoh 3Hepran c Hcnjit3OBaHHeM HanbHr ypabhehuh BejiŁMaHa. «t>pma CTep>KHH npeflejiena n rpaflnehthomy MeTOfly KnflOHA [8]. PaccMOTpeH BnaaHHe rpahh^iehhh nnepeihr ceqehiw ciep>khh. HccneflOBairbi CTepwHH Jinim. nphmyrjibhr ceqemra. Summary OPTIMAL DESIGN OF A BAR UN DER AXIAL FORCE AND OWN WEIGHT BY MEANS OF DYNAMIC PROGRAMMING The subject f this paper is t maximize the critical frce under a cnstant vlume f a bar. The prblem f stability is based n the statical stability criterin. The criticar frces were calculated numerically by minimizing the ptential energy, Bellman' sfunctinal equatin being used. The prblem f shape ptimizatin was als slved numerically n the basis f CLAUDON [8] gradient methd. The influence f cnstrained crss- sectin is shwn. Only the rectangular crss- sectin f a bar was discussed. INSTYTUT FIZYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ Praca zstała złż naw Redakcji dnia 23 listpada 1977 r.