Komputer kwantowy. Arkadiusz Wójs. idea i perspektywy realizacji. Instytut Fizyki Politechnika Wrocławska

Transkrypt

1 Komputer kwantowy idea i perspektywy realizacji Arkadiusz Wójs Instytut Fizyki Politechnika Wrocławska Wykład otwarty Oddziału PTF w Szczecinie 9 stycznia

2 Plan Elementarz informatyki Bardzo krótka historia komputerów Prawo Moore a wykładniczego rozwoju Współczesne (super)komputery Problemy obliczeniowe o wykładniczej złożoności Mechanika kwantowa x2 Idea komputera kwantowego Problem utraty informacji kwantowej Wykorzystanie egzotycznych cząstek kwantowych Dalszy rozwój komputerów perspektywy

3 Maszyna Turinga (abstrakcyjny model komputera, 1930) 1. Taśma; ciąg nieskończonej liczby komórek; każda komórka zawiera literę ze skończonego alfabetu (np. 0 i 1 ) lub jest pusta 2. Maszyna; może być w jednym ze skończonej liczny stanów 3. Głowica; ustawiona nad dowolną komórką Rozkaz/instrukcja: (litera 1, stan 1 ) (litera 2, stan 2, ruch głowicy) Program = sekwencja rozkazów Alan Mathison Turing ( ) angielski matematyk kryptolog współtwórca informatyki

4 Rozstrzygalność w matematyce David Hilbert: Czy istnieje algorytm dla każdego problemu matematyki? Kurt Gödel (1931): Nie! W każdym zbiorze aksjomatów i reguł istnieją zdania, których prawdziwości nie można rozstrzygnąć (w obrębie tego zbioru) David Hilbert ( ) niemiecki matematyk Każdy dostatecznie złożony system logiczny (np. +, ) jest niezupełny (więc także nierozstrzygalny) Kurt Gödel ( ) austriacki logik System logiczny jest: spójny nie można udowodnić że S i ~S są jednocześnie prawdziwe zupełny albo S, albo ~S jest prawdziwe rozstrzygalny można udowodnić czy S jest prawdziwe Są zadania arytmetyczne, których nie rozwiąże żaden komputer (maszyna Turinga, choć nieskończona, jest ograniczona; nie wiadomo czy są potężniejsze)

5 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: =? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) a

6 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) a

7 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

8 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

9 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

10 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

11 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) c

12 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) d

13 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

14 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) c

15 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) d

16 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) b

17 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3=? (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 ) c

18 Dodawanie na maszynie Turinga Układ jedynkowy alfabet zawiera tylko jeden znak: 1 Cztery stany głowicy (a, b, c, d) Zapis liczb: 1= 1, 2= 11, 3= 111, itd. Program: Przykład: 2+3= 5 (a ) (b ) (b ) (c ) (b 1) (b 1 ) (c ) STOP (c 1) (d ) (d ) (b 1 )

19 Układ dwójkowy Liczby całkowite: Np.: n n 1 n = n 1 = k k = 0 ( ) a a a a 2 a 2 a 2 a 2 ( ) = = = 203 Liczby zmienno-przecinkowe: Np.: = = = ( ) Układ dwójkowy - wygoda zapisu liczb w urządzeniach elektrycznych: 1 bit = dwie wartości (0 lub 1) = dwa stany napięcia elektrycznego (off/on) ( ) n 1 = a a a. a a a a 2 n m 2 k k = m k k

20 Arytmetyka w układzie dwójkowym Tabliczka dodawania bitów dwójkowo dzięsiętnie dodawanie mnożenie

21 Teza Churcha-Turinga Algorytm: skończony, uporządkowany ciąg dokładnie zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania zadania Hipoteza C-T: Każda funkcja obliczalna algorytmem jest obliczalna na maszynie Turinga i odwrotnie. Stephen Cole Kleene ( ) amerykański matematyk Nie wszystkie funkcje/problemy są rozwiązywalne na maszynie Turinga (algorytmicznie) np. funkcja pracowitego bobra 1 lub problem stopu 2 1 Wyznaczenie Σ N = maksymalnej jedynek (znaków 1 ) zapisanych przez maszynę Turinga o zadanej liczbie stanów N przed zatrzymaniem; Σ 0 =0, Σ 1 =1, Σ 2 =4, Σ 3 =6, Σ 4 =13, Σ N>4 = nieznane/nieobliczalne 2 Stwierdzenie czy program realizujący dany algorytm zatrzyma się po skończonej liczbie kroków

22 Elementarne bramki logiczne Obliczenie (algorytm) wykorzystuje przekształcenia liczb dwójkowych. Wygodnie jest zdefiniować przekształcenia elementarne, czyli bramki: NOT FAN OR NOR XOR AND NAND SWAP

23 Układy zupełne bramek Działanie bramek logicznych związane jest prawami De Morgana, np. ~(p q) = ~p ~q Układ zupełny umożliwia konstrukcję dowolnej funkcji logicznej Przykład: AND, OR, XOR, FAN dodawanie s = a + b (c = bit przeniesienia): Augustus De Morgan ( ) angielski matematyk i logik

24 Przykład konstrukcji elektronicznej Bramka NAND z opornika (R) i pary tranzystorów (T 1, T 2 ): Bramka NAND jest funkcjonalnie pełna (przy użyciu samych NAND można zbudować układ realizujący dowolną funkcję logiczną)

25 Pierwszy komputer Maszyna analityczna (pierwszy projekt: 1837): konstrukcja mechaniczna, napęd - silnik parowy, wejście karty perforowane, wyjście drukarka/ploter, rozdział pamięci i jednostki obliczeniowej (tak jak współcześnie); maszyna kompletna w sensie Turinga (pętle, warunki, itp.); pierwszy komputer dla którego napisano programy. Charles Babbage ( ) angielski matematyk, astronom i mechanik autor tablic logarytmicznych, konstruktor mechanicznych maszyn liczących Muzeum Nauki (Londyn)

26 Pierwszy komputer elektroniczny ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) 27 ton, 167m 2, 18,000 lamp elektronowych; 10 cyfr, 5kHz, 357 mnożeń/sekundę John William Mauchly ( ) amerykański fizyk John Adam Presper Eckert Jr. ( ) amerykański inżynier Próby - jesień 1945, start - lato większa moc obliczeniowa niż wcześniejsze maszyny Plan - obliczenia balistyczne dla artylerii Rzeczywistość - m.in. bomba wodorowa

27 Prawo Moore a Prawo empiryczne - obserwacja (1965), że liczba tranzystorów w układzie scalonym w kolejnych latach rośnie wykładniczo (podwaja się co miesiące). Przez analogię,prawo Moore'a stosuje się też do innych parametrów sprzętu komputerowego (pojemności dysków, wielkości pamięci, itp.) Dla porównania: średnie zużycie energii na osobę: Bangladesz - 200W Polska - 3.3kW USA kW Norwegia kW ludzka praca fizyczna ~ 10W Gordon Earle Moore (1929-) współzałożyciel Intela

28 Wzrost wykładniczy ( ) = ( 1+ )( 1+ ) ( 1+ ) f t f r r r 0 0 = f ( 1 r) = f + = f e t τ t T t (r = tempo wzrostu) (τ = czas podwojenia) r 1% 5% 10% 20% τ (1+r) Albert Einstein ( ) Największym wynalazkiem ludzkości jest procent składany

29 Współczesne procesory Miniaturyzacja: wymiar tranzystora 180nm szerokość ścieżki 32nm (=59 atomów krzemu) Złożoność: liczba tranzystorów >500M (>1B) Szybkość: częstość taktowania min. 3GHz (liczba operacji/sekundę = , czas 1 operacji = s = 0.3 ns = 10 cm świetlnych) Równoległość: kilka rdzeni/wątków (obecnie - 6/12; wkrótce: 22nm Knight s Corner - 50) Intel Core i7-3960x (15M Cache, 3.30 GHz) data wprowadzenia: IV kwartał 2011 Moc 130W; rozmiar ~15mm problem chłodzenia

30 Współczesne komputery R max (Pflop) Pamięć (TB) Liczba rdzeni Zeus Cluster Platform 3000 BL 2x220, Xeon X5650 6C 2.66 GHz, Infiniband Cyfronet Polska Moc (kw) Mflop /W Silna równoległość (główny) problem z przesyłem danych (także: zasilanie/chłodzenie, bezawaryjność, bezpieczeństwo danych ) superkomputer komputer znacznie przewyższający możliwościami powszechnie używane komputery

31 K computer Advanced Institute for Computational Science Riken, Japonia Fujitsu, 2011 moc obliczeniowa: Pflops ( kei = ) liczba rdzeni: , pobór mocy: 12.7 MW, pamięć: 1410 TB

32 Ewolucja listy Top-500 (prawo Moore a) (porównanie ze wzrostem tempa przetwarzania energii: W w ciągu całej historii)

33 Ewolucja listy Top-500 (prawo Moore a) 100 różnicy między #1 a #500

34 Ewolucja listy Top-500 (prawo Moore a) 100 różnicy między #1 a #500 6 lat życia od #1 do #500

35 Ewolucja listy Top-500 (prawo Moore a) 100 różnicy między #1 a #500 6 lat życia od #1 do #500 notebook (i7)

36 Ewolucja listy Top-500 (prawo Moore a) 100 różnicy między #1 a #500 6 lat życia od #1 do #500 notebook (i7) inteligentny telefon

37 Problem o dużej złożoności: Rozkład liczby całkowitej na dzielniki pierwsze Problem typu: rozwiązanie jest trudne, ale łatwo weryfikowalne. Mnożenie pary liczb: 2 2 ( ) log p = d p n = pq wymaga liczby operacji o = log 2 p log2 q = długość (liczba cyfr) p w przedstawieniu dwójkowym Ogólnie, liczba operacji jest proporcjonalna do iloczynu długości: o d p d q ( ) ( ) Znalezienie dzielników wymaga nadwielomianowej liczby operacji: ( ) o n rośnie szybciej niż jakakolwiek potęga Liczba operacji dla najlepszego znanego algorytmu (sito ciała liczbowego): o ( ) log n 1 C d 3 ( ln d ) e 2 3 (gdzie C 1.9 oraz d = log n)

38 Kwantowy algorytm faktoryzacji (1994) Liczba operacji potrzebna dla faktoryzacji liczby za pomocą kwantowego algorytmu Shora wynosi: 3 ( ) ~ d o n Następujący rozkład liczby 129-cyfrowej na dzielniki 64- i 65-cyfrowe wymagała (w 1994) użycia 1600 komputerów rozproszonych na całym świecie: n Peter Williston Shor = Załóżmy że rozkład ten trwa 1 miesiąc algorytmem klasycznym i kwantowym. Wówczas rozkład liczby 400-cyfrowej potrwałby: (1959-) na komputerze kwantowym: poniżej 3 lat na komputerze klasycznym: ~10 miliardów lat (wiek Wszechświata)

39 Inne problemy o dużej złożoności Faktoryzacja liczb pierwszych jest istotna dla kryptografii. Inne klasycznie nierozwiązywalne problemy: Symulacje układów kwantowych ogólna inżynieria materiałów złożone cząsteczki (leki) dynamika białek życie świadomość Problem fizyki klasycznej jest efektywnie nierozwiązywalny jeśli czas obliczeń jest rzędu czasu trwania zjawiska: o ~ t (zamiast, np.: o ~ log t) np. chaos

40 Algorytmy kwantowe Znamy dopiero niewielką liczbę algorytmów kwantowych (wykładniczo szybszych niż najszybszy algorytm klasyczny) Najważniejsze: Algorytm Deutscha-Jozsa (1992) odróżniania funkcji dwójkowej zrównoważonej (x x lub x ~x) od stałej (x 0 lub x 1) rozwiązanie wymaga obliczenia f(0)+f(1) Algorytm Shora (1994) znajdowania liczb pierwszych Algorytm Kitajewa (1995) szybkiej kwantowej transformacji Fouriera Algorytm Grovera (1996) przeszukiwania bazy danych Algorytm Simona (1997) znajdowania maski XOR funkcji 2-na-1

41 Mechanika kwantowa Dwa istotne elementy rzeczywistości zasadniczo odmienne od (ludzkiej) intuicji: 1. Superpozycja (złożenie) stanów Niels H. D. Bohr ( ) Louis V. P. R. de Broglie ( ) model atomu Bohra (Nobel 1922) orbitale elektronu w atomie wodoru (Nobel 1929) różne położenia jednocześnie hybrydyzacja sp 3 różne momenty pędu jednocześnie (0 lub ħ Js)

42 Mechanika kwantowa Dwa istotne elementy rzeczywistości zasadniczo odmienne od (ludzkiej) intuicji: 1. Superpozycja (złożenie) stanów ψ = α 0 + β 1 + Wielkość A, jest określona w stanach 0, 1,, czyli powtarzany pomiar zawsze daje te same wartości: A 0 w stanie 0, A 1 w stanie 1, W stanie ψ ta wielkość (A) jest nieokreślona, czyli jej powtarzany pomiar daje różne wyniki. (Hitachi 1989) Prawdopodobieństwa uzyskania wyników A 0, A 1, wynoszą α 2, β 2, Układ w stanie ψ nie zachowuje się średnio, lecz losowo (jak 0 albo 1)

43 Mechanika kwantowa Dwa istotne elementy rzeczywistości zasadniczo odmienne od (ludzkiej) intuicji: 1. Superpozycja (złożenie) stanów 2. Splątanie stanów Dwie cząstki, każda w stanie* 0 lub 1 W takich stanach układu pomiary dla każdej cząstki są przewidywalne: 00, 01, 10, 11 W takich stanach wyniki są losowe, ale nie skorelowane: , John Stewart Bell ( ) *np. fotony o polaryzacji +/, elektrony o spinie /, cząstki w obszarze lewy / prawy W takich stanach (splątanych) wyniki są skorelowane: , oberstufenphysik.de

44 Mechanika kwantowa Richard Phillips Feynman ( ) amerykański fizyk teoretyk laureat nagrody Nobla 1965 I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics...while I am describing to you how Nature works, you won't understand why Nature works that way. But you see, nobody understands that.

45 Informacja kwantowa qubit bit (binary digit) podstawowa jednostka informacji (klasycznej) qubit (quantum bit) jednostka informacji kwantowej ψ = cos 0 + sin 1 θ i 2 e ϕ θ 2 dowolna superpozycja pary klasycznych stanów logicznych (umownie: 0 i 1) sfera Blocha Felix Bloch ( ) szwajcarski fizyk

46 Obliczenia kwantowe Informacja wejściowa (dane) superpozycja stanów 0 i 1 ψ = α 0 + β 1 Obliczenie proces fizyczny, przebiegający inaczej dla 0 i 1 (ewolucja układu w czasie opisywana prawami mechaniki kwantowej) ( ) F ( ) 0 F 0, 1 1 Wynik superpozycja (nie średnia!) wyników dla danych 0 i 1 ( 0) F ( 1) ψ α F + β Obliczenie równolegle na obu bitach (0 i 1) Dla liczby K-bitowej zrównoleglenie wykładnicze (2 K )

47 David P. DiVincenzo (1959-) Problemy, przeszkody 1. Odczytanie wyniku = pomiar (probabilistyczny) dla niektórych zagadnień konieczność powtarzania obliczenia 2. Nietrwałość informacji kwantowej dekoherencja - spontaniczna utrata informacji przez nieuniknione oddziaływanie z otoczeniem 3. Fizyczna implementacja qubitu fotony, elektrony, jądra atomowe, atomy, kropki kwantowe, 4. Konstrukcja uniwersalnego zestawu bramek logicznych np.: Hadamard + R θ + CNOT θ

48 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce kwantowej elektrony Gaz elektronów w dwóch wymiarach, w silnym polu magnetycznym B Animacje Layla Hormozi (Pennsylvania State University)

49 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce K. von Klitzing R. B. Laughlin H. L. Störmer D. C. Tsui Nobel 1985 Nobel 1998 ciecz Przy odpowiedniej kombinacji natężenia pola magnetycznego B i koncentracji elektronowej (liczba/powierzchnia) gaz elektronów kondensuje do nowego stanu skupienia cieczy elektronowej

50 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce kwantowej elektron (ładunek = e) kwazicząstki (ładunek = e/3) Elektron dodany do cieczy elektronowej rozpada się na kilka ułamkowo naładowanych kwazicząstek (elektrony rozsuwają w cieczy się wzajemnie pozostawiając trzy zgrubienia obdarzone m.in. ładunkiem elektrycznym i poruszające się niezależnie od siebie)

51 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce kwantowej czas Zamiana w lewo 2 wymiary (płaszczyzna) Zamiana w prawo Linie świata cząstek w 2+1 wymiarach tworzą warkocze

52 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce kwantowej 1 2 U 1 U = U U W 2+1 D: Podwójna zamiana tożsamość 1 2 U 2 1

53 Cząstki o ułamkowej nieprzemiennej statystyce kwantowej Konwencjonalne cząstki kwantowe (np. elektrony): zamiana pary cząstek miejscami stan nieodróżnialny od wyjściowego stan kwantowy (wektor) co najwyżej zmienia znak: fermiony (-1; elektrony, kwarki) lub bozony (+1; fotony) Kwazicząstki cieczy elektronowej: zamiana pary miejscami zmiana wektora stanu o e iφ (statystyka ułamkowa), lub zmiana wektora stanu na całkiem inny (jeśli cząstki mają pamięć statystyka nieprzemienna) Qubit w postaci określonego nawinięcia kwazicząstek (historii) a nie ich położeń jest odporny na utratę informacji!

54 Michio Kaku Wizje (1997) Perspektywy Rozwój komputerów wszechobecność/niezauważalność komputerów (jak litery czy silniki elektryczne) inteligencja (działanie w odpowiedzi na sygnał inteligentny dom, samochód) komunikacja z człowiekiem (klawiatura, mysz, ekran dotykowy, głos, twarz, ) zdrowy rozsądek (rozumienie człowieka, czyli zdań nielogicznych) rozsądny komputer obliczenia rozwój nauki/wiedzy/cywilizacji wolność/człowieczeństwo (?) Rozwój internetu (największy wynalazek ludzkości?) komunikacja między ludźmi i między komputerami (cała wiedza dostępna zawsze i wszędzie) złożoność świadomość? Wynalazek komputera kwantowego symulacja rzeczywistości (układów kwantowych) rozwiązanie problemów zupełności opisu fizycznego, życia, świadomości?... odpowiedź na każde pytanie? Aspekt ludzki psychologia (np. potrzeba stabilności, intuicyjności świata) Prawo Moore a