Manuscript submitted revised , initially accepted for publication , published in March 2018

Transkrypt

1 RAFAŁ PIOTROWSKI 1 ANDRZEJ SZYCHOWSKI Kielce Universit of Technolog 1 rafalp@tu.kielce.pl Manuscript submitted revised , initiall accepted for publication , published in March 018 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH DOI: /sae A b s t r a c t The stud presents the results of theoretical investigations into the effect produced b support closed section ribs on the critical moment for lateral torsional buckling (Mcr) of bismmetric I-beams. Elastic restraint against warping, at the site of support, was provided b closed section ribs made from selected rolled profiles (longitudinall cut circular tubes, angles, and channels). Detailed calculations were made for beams under uniform load applied to the top flange of the section. The results obtained in the investigations were compared with the values obtained for beams with end plate. The analsis was conducted of the impact of ribs on the increase in the critical resistance of beams. Analticall estimated critical moments for lateral torsional buckling were verified using FEM tools (TBeamN, Abaqus). Kewords: critical moment for lateral torsional buckling, closed section ribs, elastic restraint against warping S t r e s c e n i e W prac predstawiono wniki badań teoretcnch wpłwu podporowch żeber amkniętch na moment krtcn wichrenia (Mcr) belek o bismetrcnm prekroju dwuteowm. Sprężste amocowanie preciw spaceniu w miejscu podparcia stanowił żebra o prekroju amkniętm, które wkonano wbranch profili walcowanch (podłużnie rocięte rur, kątowniki, ceowniki). Oblicenia scegółowe wkonano dla belek obciążonch równomiernie obciążeniem prłożonm do półki górnej prekroju. Uskane wniki porównano wartościami otrmanmi dla belek żebrowaniem w postaci blach cołowej. Preprowadono analię wpłwu żeber na więksenie nośności krtcnej belek. Osacowane analitcnie moment krtcne wichrenia werfikowano a pomocą MES (TBeamN, Abaqus). Słowa klucowe: moment krtcn wichrenia, żebra o prekroju amkniętm, sprężste amocowanie preciw spaceniu 1. Introduction One of the methods for increasing the critical resistance of steel beams, which results from lateral torsional buckling condition, is the use of support ribs that confine the warping of the section. Different tpes of ribs are used to this end [7]. The advantages offered b the use of closed section ribs were reported, among others, b Kowal [1, 5], Trahair [7], and Gosowski [3, 4]. Ribs of that tpe show high torsional stiffness in the plane of the section flanges. Stiff connections of ribs to beam flanges and to the web considerabl restrain the possibilit of the rotation of flanges relative to each other. Such a significant reduction in beam section warping 1. Wprowadenie Jedną metod więksania nośności krtcnej belek stalowch warunku wichrenia jest astosowanie żeber podporowch ogranicającch spacenie prekroju. W tm celu stosuje się różne tp żebrowania [7]. O korściach wiąanch astosowaniem żeber o prekroju amkniętm pisali m.in. Kowal [1, 5], Trahair [7], Gosowski [3, 4]. Żebra tego tpu charakterują się dużą stwnością na skręcanie w płascźnie półek prekroju. Stwne połącenie żeber półkami ora środnikiem belki nacnie ogranica możliwość obrotu półek wględem siebie. Tak istotna redukcja spacenia (deplanacji) prekroju belki w miejscu wstępowania żebra amkniętego 5

2 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS (deplanation) at the site of closed section rib location produces an increase in the critical moment (M cr ) for lateral torsional buckling (TB). Experimental investigations (e.g. [4]) and numerical calculations with the use of FEM (e.g. [7]) confirmed an increase in the critical load of beams stiffened with closed section ribs. However, other tpes of ribs used at beam supports (e.g. end plate, ribs parallel to the web, N- or X-shaped ribs), which were reported, e.g. in studies [1 4, 6 8], confine section warping to a far lesser extent. The most common stiffener is the end plate, which is used both in simpl supported beams [6 8] and also in beam connections to other structural members (e.g. columns) []. The stiffening of support sections with flexible double sided rib is also applied [9]. However, much lower increase in M cr is received compared with closed section ribs. From the technological standpoint, closed section ribs can be obtained using rolled shapes (e.g. longitudinall cut circular tubes, angles or channels) that are welded on both sides (to the web and flanges), as shown, e.g., in Figure 1. daje wrost momentu krtcnego wichrenia (M cr ). Zwięksenie obciążenia krtcnego belek ustwnionch żebrami amkniętmi potwierdono badaniami doświadcalnmi (np. [4]) ora obliceniami numercnmi wkorstaniem MES (np. [7]). Natomiast astosowanie innego tpu żebrowania belek na podporach (np. blacha cołowa, żebra równoległe do środnika, żebra w kstałcie liter N lub X), które aproponowano m.in. w pracach [1 4, 6 8], w decdowanie mniejsm stopniu ogranica spacenie prekroju. Najcęściej wstępującm ustwnieniem jest blacha cołowa, która jest stosowana arówno w belkach swobodnie podpartch [6 8], jak również w docołowch połąceniach belek innmi elementami konstrukcji (np. słupami) []. Stosuje się również ustwnienie prekrojów podporowch obustronnm żebrem podatnm [9]. Jednakże w tch prpadkach uskuje się nacnie mniejs wrost M cr w stosunku do żeber o prekroju amkniętm. Z technologicnego punktu widenia żebra o prekroju amkniętm można uskać, spawając obustronnie (do środnika i półek) kstałtowniki walcowane (np. podłużnie rocięte rur, kątowniki lub ceowniki), np. według rsunku 1. Fig. 1. Tpes of closed ribs: I circular tubes (Ø), II angles (), III channels (C) Rs. 1. Tp żeber o prekroju amkniętm: I rura (Ø), II kątowniki (), III ceowniki (C) This stud analses the impact of the support ribs with different closed sections on the critical moment for TB. The analsis covered simpl supported I-beams with bismmetric section (IPE300, IPE500, and also HEA300 and HEA500), elasticall restrained against warping at the support nodes and uniforml loaded at the top flange level. Computations were performed for a few tpes of closed section ribs. The results were compared with those for commonl used end plate stiffeners. The selection of closed section ribs was based on the geometr of beam shapes (the height of the web and the width of flanges). Critical moments for TB were estimated b means of the approximation formula acc. stud [8]. Computations were validated b comparison with FEM results (TBeamN, Abaqus). W niniejsej prac preanaliowano wpłw żeber podporowch o różnch prekrojach amkniętch na moment krtcn wichrenia. Badano swobodnie podparte belki dwuteowe o prekroju bismetrcnm (IPE300 i IPE500 ora HEA300 i HEA500), sprężście amocowane preciw spaceniu w węłach podporowch i obciążone równomiernie w poiomie półki górnej. Oblicenia preprowadono dla kilku wariantów żeber o prekroju amkniętm. Wniki porównano powsechnie stosowanm żebrowaniem w postaci blach cołowej. Podcas doboru prekrojów żeber amkniętch kierowano się geometrią kstałtowników belek (tn. wsokością środnika i serokością półek). Moment krtcne wichrenia osacowano worem aproksmacjnm według prac [8]. Oblicenia werfikowano a pomocą MES (TBeamN, Abaqus). 6

3 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH. Critical moment for lateral torsional buckling of the beam elasticall restrained against warping Critical moment for TB of the beam (Fig. ), bilaterall elasticall restrained against warping at supports, can be estimated with formula (1) put forward in stud [8]: M cr - B1EI = g + EI ( B GI + B EI + B EI ) 3 B t 4 ω 1 g (1) where: I, I t, I ω beam section characteristics, beam span (Fig. ), B 1, B, B 3, B 4 coefficients (Table 1), g ordinate of the load application site (Fig. ).. Moment krtcn wichrenia belki sprężście amocowanej preciw spaceniu Moment krtcn wichrenia belki (rs. ), obustronnie sprężście amocowanej preciw spaceniu na podporach, można osacować a pomocą woru (1) aproponowanego w prac [8]: M cr - B1EI = g + EI ( B GI + B EI + B EI ) 3 B t 4 ω 1 g (1) gdie: I, I t, I ω charakterstki prekroju belki, ropiętość belki (rs. ), B 1, B, B 3, B 4 współcnniki (tab. 1), g rędna miejsca prłożenia obciążenia (rs. ). a) q g 3 b) 1-1 x c) h t f - q d) +g q u/u c=s φ / 3-3 Fig.. Geometr and static beam diagram (a), section 1-1 (b), section - (c), section 3-3 (d) Rs.. Geometria i schemat statcn belki (a), prekrój 1-1 (b), prekrój - (c), prekrój 3-3(d) x Degree of the elastic restraint against warping, which results from the action of support ribs, was expressed b a dimensionless index of fixit κ () acc. [8], which ranges from κ = 0 for complete warping freedom, to κ = 1 for complete warping restraint: αω κ = () EI ω + αω where: stiffness of the elastic restraint against warping, which is expressed b formula (3) acc. [7]: B = - = G h dϕ 0 (3) dx where: torsional moment of inertia of the whole rib section (Table ), h 0 = h t f theoretical height of ribs (see Fig. ). Stopień sprężstego amocowania preciw spaceniu, wnikając oddiałwania żeber podporowch, wrażono bewmiarowm wskaźnikiem utwierdenia κ () według [8], mieniającm się od κ = 0, dla pełnej swobod spacenia, do κ = 1, dla pełnej blokad spacenia: αω κ = () EI ω + αω gdie: stwność sprężstego amocowania preciw spaceniu, którą określono worem (3) [7]: B = - = G h dϕ 0 (3) dx gdie: moment bewładności na skręcanie całego prekroju żebra (tabela ), h 0 = h t f teoretcna wsokość żebra (por. rs. ). 7

4 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS Table 1. Coefficients B 1, B, B 3, B 4 [8] Tabela 1. Współcnniki B 1, B, B 3, B 4 [8] Item oading diagram Coefficients ( κ + ) ( κ + ) B 1 = κ B = κ + κ 467 B 3 = B. 4 κ B4 = B ( 1. -κ ) q 1 = 5. 5 ( κ + κ ) = B ( κ + κ ) q B B = κ + κ B B =. 633 B ( 1 -κ ) ( κ + ) B ( κ + ) 1 = κ B B = κ + κ B 3 = κ B4 = B ( 1. -κ ) q 3. Tpes of support ribs 8 15 Table shows tpes of support ribs considered in the analsis (row 1) and formulas for their torsional moments of inertia (row ). q q q q Table. Tpes of ribs included in the analsis Tabela. Tp żeber uwględnione w analiie q q 3. Tp żeber podporowch W tabeli amiescono prjęte w analiie tp żeber podporowch (wiers 1) ora wor na ich moment bewładności na skręcanie (wiers ). Item Tpe of closed section ribs Classic ribs I Circular tubes (Ø) II Angles () III Channels (C) Plate (B) = 4 π t D D t = F = a + b - t ( b - t) t 3 ( a - t)( b t) F = - 1 = bt 3 3 p The tpes of ribs (I, II and III) that were identified were classified into three groups (1, and 3) on the basis of the beam section geometr and the diameter of the rib sections. Basic adjustment of selected shapes (Ø,, C) to individual groups is presented in Table 3. Wróżnione tp żeber (I, II i III) sklasfikowano w trech grupach (1, i 3) w ależności od geometrii prekroju belki ora średnic prekroju żebra. Podstawowe prporądkowanie dobranch kstałtowników (Ø,, C) do poscególnch grup amiescono w tabeli 3. 8

5 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH Table 3. Assignment of selected sections of rib tpes (I, II and III) to groups (1, and 3) Tabela 3. Prporądkowanie dobranch kstałtowników żeber w ramach tpów (I, II i III) do grup (1, i 3) Profile Tpe of closed section ribs Group I Circular tubes (Ø) II Angles () III Channels (C) IPE300 1 Ø17.0/10 90x10 C140 IPE500 Ø177.8/10 10x10 C180 HEA300 HEA500 3 Ø73.0/10 180x16 C300 Additionall, for larger sections, i.e. IPE500, HEA300 and HEA500, comparative calculations were made. That was done relative to ribs of group 1, which had a smaller diameter (Table 3). Table 4 lists values determined acc. Table, and stiffnesses acc. formula (3) [7] for the sections analsed, and also tpes and groups of ribs (see Table 3). For the sake of comparison, column 6 (Table 4) features corresponding characteristics when support sections were stiffened b means of classic end plate with the thickness of t p. Ponadto dla prekrojów więksch, tn. IPE500 ora HEA300 i HEA500, wkonano również oblicenia porównawce astosowaniem grup 1 żeber o mniejsej średnic według tabeli 3. W tabeli 4 podano wartości, wnacone według tabeli, ora stwności, według woru (3) [7] dla analiowanch prekrojów i prjętch tpów i grup żeber (por. tabelę 3). Dla porównania, w kolumnie 6 (tabela 4) podano odpowiednie charakterstki dla ustwnienia prekrojów podporowch klascną blachą cołową o grubości t p. Table 4. Characteristics of the ribs included in the analsis Tabela 4. Charakterstki prjętch w analiie żeber Tpes of closed section ribs Classic ribs Profile Group I Circular tube (Ø) II Angles () III Channels (C) End plate (B) IPE300 IPE500 HEA300 HEA Ø17.0/10 = 167 cm 4 = 97 knm 3 /rad 90x10 = 51 cm 4 = 10 knm 3 /rad C140 = 185 cm 4 = 301 knm 3 /rad 1. = 497 knm 3 /rad = 01 knm 3 /rad = 504 knm 3 /rad. Ø177.8/10 = 37 cm 4 = 1459 knm 3 /rad 10x10 = 1331 cm 4 = 5 knm 3 /rad C180 = 713 cm 4 = 1064 knm 3 /rad 1 = 83 knm 3 /rad = 114 knm 3 /rad = 87 knm 3 /rad 3. Ø73.0/10 = cm 4 = 3197 knm 3 /rad 180x16 = 7058 cm 4 = 1578 knm 3 /rad C300 = 1650 cm 4 = 88 knm 3 /rad 1. = 479 knm 3 /rad = 194 knm 3 /rad = 486 knm 3 /rad 3. Ø73.0/10 = cm 4 = 5410 knm 3 /rad 180x16 = 7058 cm 4 = 670 knm 3 /rad C300 = 1650 cm 4 = 4785 knm 3 /rad t p = 16 mm = 0 cm 4 = 5 knm 3 /rad t p = 0 mm = 53 cm 4 = 1 knm 3 /rad t p = 0 mm = 80 cm 4 = 18 knm 3 /rad t p = 5 mm = 156 cm 4 = 59 knm 3 /rad In order to determine M cr acc. (1), it is necessar to correctl determine stiffnesses of the elastic restraint (3) and indexes of fixit κ () for the rib tpe and group. The computations were made using spreadsheet. W celu wnacenia M cr wg woru (1) należ poprawnie wnacć stwności sprężstego amocowania (3) i wskaźniki utwierdenia κ () dla ropatrwanego tpu i grup żebrowania. Oblicenia wkonano w arkusu kalkulacjnm. 9

6 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS 4. Numerical validation with FEM TBeamN, Abaqus TBeamN (version 1.0.3) is an engineering software tool based on bar finite elements. It allows the determination of critical moments for TB of beams, single- and multi-span, and also cantilever ones with bismmetric I-sections. The software makes it possible to adopt classic boundar conditions (fork support or fixit), and to account for the elastic restraint of beams at supports. The results of calculations for an exemplar IPE300 beam with a span of = 5 m are shown in Figure 3. The degree of the elastic restraint of the beam at supports corresponds to ribs made from longitudinall cut circular tube, of tpe I and group 1 (Ø17.0/10). 4. Werfikacja numercna wkorstaniem MES TBeamN, Abaqus TBeamN (ver ) jest programem inżnierskim, opartm na prętowch elementach skońconch. Powala wnacć moment krtcne wichrenia belek (jedno- lub wielopręsłowch ora wspornikowch) o mono- lub bismetrcnch prekrojach dwuteowch. Powala prjąć klascne warunki bregowe (podparcie widełkowe lub utwierdenie), jak również uwględnić sprężste amocowanie belek na podporach. Wniki obliceń dla prkładowej belki IPE300 o ropiętości = 5 m, której stopień sprężstego amocowania na podporach odpowiada żebrom podłużnie rociętch rur tpu I grup 1 (Ø17,0/10), predstawiono na rsunku 3. q IPE300, = 5m q + g c=s IPE300 x O17,0/10 Ø17,0/10 Ø17.0/10 x Fig. 3. Exemplar beam (IPE300, = 5 m, rib Ø17.0/10) modelled using the TBeamN software Rs. 3. Prkładowa belka (IPE300, = 5 m, żebro Ø17,0/10) amodelowana w programie TBeamN The calculations of M cr acc. Formula (1) were also validated using Abaqus software. Eight-node continuum elements (C3D8), with six degrees of freedom at the node, were emploed. In this case, ribs were modelled phsicall using the same continuum elements. Beams, together with ribs, were discretied into finite element model with the basic 10 mm mesh sie. Boundar conditions accounted for the restraint of translation of the support sections about major axes of inertia. The load was applied to the top flange of the beam. The computations were run for the elastic range using Oblicenia M cr wg woru (1) werfikowano również w programie Abaqus wkorstaniem elementów objętościowch (C3D8), ośmiowęłowch o seściu stopniach swobod w węźle. W tm prpadku żebra ostał amodelowane ficnie wkorstaniem tch samch elementów objętościowch. Belki wra żebrami dskretowano podstawową siatką MES o ocku 10 mm. Warunki bregowe uwględniał blokadę translacji prekrojów podporowch wględem głównch osi bewładności. Obciążenie prłożono do pasa górnego belki. Oblicenia preprowadono w akresie sprężstm, 10

7 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH q + g q c=s IPE300, = 5m IPE300 x Ø17,0/10 O17,0/10 Ø17.0/10 x Fig. 4. Exemplar beam (IPE300, = 5 m, rib Ø17.0/10) modelled using the Abaqus software Rs. 4. Prkładowa belka (IPE300, = 5 m, żebro Ø17,0/10) amodelowana w programie Abaqus the computational step of the buckling procedure. Figure 4 shows the results of the analsis made with the Abaqus program for the beam shown in Figure 3 (IPE300, = 5 m, rib Ø17.0/10). 5. Examples The comparative analsis included simpl supported steel beams (E = 10 GPa, G = 81 GPa), made from shapes: IPE300, HEA300 with spans of = 5 m and 7 m, and also IPE500, HEA500 with spans of = 8 m and 10 m. The analsis was performed for stiffeners, the characteristics of which are listed in Table 4. Beams were loaded uniforml (Fig. ), at the level of the top flange ( g = +h/). Table 5 presents critical moments for beams made from IPE300 and HEA300 shapes with spans of = 5 m and 7 m. For the sake of comparison, the values were also given which were obtained for the following support sections: complete warping freedom (, κ = 0), end plate with the thickness of t p and complete warping restraint (FIXED, κ = 1). The results for the basic tpes and groups of ribs (acc. Table 3) were shaded. wkorstaniem kroku obliceniowego procedur buckling. Na rsunku 4 pokaano wniki anali w programie Abaqus dla belki według rsunku 3 (IPE300, = 5 m, żebro Ø17,0/10). 5. Prkład Do anali porównawcej prjęto swobodnie podparte belki stalowe (E = 10 GPa, G = 81 GPa), wkonane kstałtowników: IPE300, HEA300 o ropiętościach = 5 m i 7 m ora IPE500, HEA500 o ropiętościach = 8 m i 10 m, dla ustwnień scharakterowanch w tabeli 4. Belki obciążono równomiernie (rs. ), w poiomie półki górnej ( g = +h/). W tabeli 5 amiescono moment krtcne dla belek wkonanch kstałtowników IPE300 i HEA300 o ropiętościach = 5 m i 7 m. W celach porównawcch podano również wartości otrmane dla pełnej swobod spacenia (, κ = 0), dla blach cołowej o grubości t p ora dla pełnej blokad spacenia (FIXED, κ = 1) prekrojów podporowch. Wniki dla podstawowch tpów i grup żebrowania według tabeli 3 aciemniono. 11

8 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS Table 5. Comparison of M cr for beams IPE300 and HEA300 with = 5 m and 7 m Tabela 5. Porównanie M cr dla belek IPE300 i HEA300 dla = 5 m i 7 m Item Profile Group Rib [m] κ TBN Abaqus 7 6 M cr [knm] Formula (1) [8] IPE I Ø17.0/ II 90x t p = 16 mm III C FIXED IPE t p = 16 mm I Ø17.0/ II 90x III C FIXED HEA t p = 0 mm I Ø17.0/ II 90x III C I Ø73.0/ II 180x III C FIXED HEA t p = 0 mm I Ø17.0/ II 90x III C I Ø73.0/ II 180x III C FIXED The comparison of values listed in Table 5 indicates that critical moments determined using formula (1) [8] produced ver good approximations of the values obtained with TBeamN software. In the majorit of cases, the differences did not exceed +1% (Table 5, column 10). When Formula (1) results are compared with those received from numerical analsis performed with Abaqus, the differences ranged as Z porównania wartości amiesconch w tabeli 5 wnika, że moment krtcne wnacone a pomocą woru (1) [8] dał bardo dobre prbliżenie wartości otrmanch programu TBeamN. W nakomitej więksości prpadków różnice nie prekrocł +1% (tabela 5, kolumna 10). Natomiast porównując wór (1) analią numercną w programie Abaqus, różnice osclował pomięd: a) dla 1

9 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH Table 6. Comparison of M cr for beams IPE500 and HEA500 with = 8 m and 10 m Tabela 6. Porównanie M cr dla belek IPE500 i HEA500 dla = 8 m i 10 m Item Profile Group Rib [m] κ TBN Abaqus 7 6 M cr [knm] Formula (1) [8] IPE III C t p = 0 mm I Ø17.0/ II 90x I Ø177.8/ II 10x III C FIXED IPE t p = 0mm I - Ø17.0/ II - 90x III - C I - Ø177.8/ II - 10x III - C FIXED HEA t p = 5 mm I Ø17.0/ II 90x III C I Ø73.0/ II 180x III C FIXED HEA500 3 III C t p = 5 mm I Ø17.0/ II 90x I Ø73.0/ II 180x III C FIXED

10 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS follows: a) for IPE300 beams from.9% to +0.6%, and b) for HEA300 beams from 3.8% to +6.1% (Table 5, column 11). FEM simulations with Abaqus in relation to TBeamN produced the following differences: a) for IPE300 beams from +0.5% to +3.4%, and b) for HEA300 beams from 5.1% to +4.1% (Table 5, column 8). The differences in results above +5% and below 5% were written in bold. Table 6, on analogous terms as Table 5, presents critical moments for beams made from IPE500 and HEA500 shapes with spans of = 8 m and 10 m. The comparison of the data in Table 6 shows that critical moments determined with Formula (1) [8] were close approximations of the results received b means of TBeamN. The differences did not exceed +1% (Table 6, column 10). The results were also verified using Abaqus (Table 6, column 11). In this case, the differences were as follows: a) for IPE500 beams from 5.8% to +1.4%, and b) for HEA500 beams from 5.3% to +1.9%. Upon comparing the results of numerical simulations with the use of FEM (Abaqus) with those received b means of TBeamN (Table 6, column 8), the following difference could be seen: a) for IPE500 beams from 1.0% to +6.4%, and b) for HEA500 beams from 1.4% to +5.7%. The differences in results above +5% and below 5% were given in bold. Table 7 shows percentage increase in M cr (columns 7 and 1) of the analsed beams with closed section ribs relative to fork support (). Columns 8 and 13 provide percentage increase in beam mass depending on the rib tpe used, when compared with a beam that was not stiffened with ribs. On the basis of the data in Table 7, the following conclusions can be drawn. Increase in the critical moments of beams made from IPE300 shape (Table 7, rows 3 5), stiffened with ribs of group 1 is up to +70% (for tpe I and III, = 5 m), and up to +49% (for tpe I and III, = 7 m). B contrast, classic end plate t p = 16 mm produced an increase in M cr which did not exceed +8% (row ). For beams made from HEA300 shape (Table 7), the greatest increase in critical moments, which amounted up to +104% ( = 5 m) and +80% ( = 7 m), was obtained when ribs of tpe I and group 3, (rows 1 14) were used. When ribs of group 1 (rows 9 11) were applied, M cr increase did not exceed +50% (for tpe I and III, = 5 m), or +43% (for tpe I and III, = 7 m). The lowest increase (up to +5%) was produced b the end plate t p = 0 mm (row 8), despite belek IPE300 od,9% do +0,6% ora b) dla belek HEA300 od 3,8% do +6,1% (tabela 5, kolumna 11). Z kolei smulacje MES w programie Abaqus w odniesieniu do TBeamN dał następujące różnice: a) dla belek IPE300 od +0,5% do +3,4% ora b) dla belek HEA300 od 5,1% do +4,1% (tabela 5, kolumna 8). Różnice w wnikach powżej +5% lub poniżej 5% pogrubiono. W tabeli 6 (w układie analogicnm do tabeli 5) amiescono moment krtcne dla belek wkonanch kstałtowników IPE500 i HEA500 o ropiętościach = 8 m i 10 m. Z porównania wartości amiesconch w tabeli 6 wnika, że moment krtcne wnacone a pomocą woru (1) [8] dał bardo dobre prbliżenie wartości otrmanch programu TBeamN. Różnice nie prekrocł +1% (tabela 6, kolumna 10). Uskane wartości werfikowano również w programie Abaqus (tabela 6, kolumna 11). W tm prpadku różnice osclował pomięd: a) dla belek IPE500 od 5,8% do +1,4% ora b) dla belek HEA500 od 5,3% do +1,9%. Porównując kolei wniki smulacji numercnch MES w programie Abaqus programem TBeamN (tabela 6, kolumna 8), otrmano następujące różnice: a) dla belek IPE500 od 1,0% do +6,4% ora b) dla belek HEA500 od 1,4% do +5,7%. Różnice w wnikach powżej +5% lub poniżej 5% pogrubiono. W tabeli 7 porównano wrost procentow M cr (kolumn 7 i 1) analiowanch belek żebrami amkniętmi w stosunku do podparcia widełkowego (). Natomiast w kolumnach 8 i 13 amiescono procentowe więksenie mas belki w ależności od astosowanego sposobu żebrowania w stosunku do belki nieużebrowanej. Z porównania wartości amiesconch w tabeli 7 wnikają następujące wnioski. Zwięksenie momentów krtcnch belek wkonanch kstałtownika IPE300 (tabela 7, wierse 3 5), ustwnionch żebrami grup 1, dochodi do +70% (dla tpu I i III, = 5 m) ora do +49% (dla tpu I i III, = 7 m). Natomiast klascna blacha cołowa t p = 16 mm dała wrost M cr nieprekracając +8% (wiers ). Dla belek wkonanch kstałtownika HEA300 (tabela 7) najwięks wrost momentów krtcnch, dochodąc do +104% ( = 5 m) ora +80% ( = 7 m), dał żebra I tpu grup 3 (wierse 1 14). Stosując żebra grup 1 (wierse 9 11), więksenie M cr nie prekracało +50% (dla tpu I i III, = 5 m) ora +43% (dla tpu I i III, = 7 m). Najniżs wrost (do +5%), pomimo więksej mas w porównaniu 14

11 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH Table 7. Comparison of the efficienc of the ribs Tabela 7. Porównanie efektwności astosowanch żeber Item Profile Group Rib [m] κ Formula (1) [8] M cr [knm] increase κ Formula (1) increase in beam [8] in M cr mass [m] M cr [knm] increase in M cr increase in beam mass t p = 16 mm I Ø17.0/ II 90x IPE III C FIXED t p = 0 mm I Ø17.0/ II 90x HEA III C IPE500 I Ø73.0/ II 180x III C FIXED t p = 0 mm I Ø17.0/ II 90x III C HEA500 I Ø177.8/ II 10x III C FIXED t p = 5 mm I Ø17.0/ II 90x III C I Ø73.0/ II 180x III C FIXED

12 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS the fact that it has a larger mass compared with ribs of group 1 (columns 8 and 13). As regards beams from IPE500 shape (Table 7), the most substantial increase in critical moments (up to +6% for = 8 m, and up to +49% for = 10 m) was achieved for ribs of tpe I group (rows 1 3). The use of ribs of group 1 (rows 18 0) enhanced the critical resistance of beams up to +48% (for tpe III, = 8 m) and +39% (for tpe III, = 10 m). B contrast, end plates t p = 0 mm that gave an increase in the mass of beams comparable with the application of ribs of group 1 (columns 8 and 13), resulted in M cr increase not higher than +5% (row 17). The analsis of beams made from HEA500 shape (Table 7) shows that the use of ribs of tpe I and group 3 (rows 30 3) resulted in the greatest increase in critical moments of beams (up to +71% for = 8 m, and up to +57% for = 10 m). Ribs of group 1 (rows 7 9) produced M cr increase of the order of +5% (for tpe I and III, = 8 m), and of +% (for tpe I and III, = 10 m). When using the end plate t p = 5 mm that was almost twice as heav as the ribs of group 1 (columns 8 and 13), onl +4% increase in critical resistance was obtained (row 6). 6. Conclusions In beams that are prone to TB, support closed section ribs are used. In the ribs, e.g. acc. group 1, and 3, when selecting the geometr of shapes of individual tpes (I Ø, II, and III C) flange widths were accounted for (IPE300, IPE500, HEA300 and HEA500). That produced an increase from +39% to +104% (Table 7, columns 7 and 1) in the critical resistance, which results from TB condition. In contrast, when classic end plates (B) were emploed, for the beams discussed in the paper, increase in M cr was small (from +4% to +8%). The comparison of critical moments in beams with ribs of tpe I, II and III (Table 7, columns 7 and 1) indicates that ribs of tpe II made from angles () are the least effective. For the remaining tpes of stiffeners, i.e. longitudinall cut circular tubes (tpe I) and channels (tpe III), the largest M cr increase was observed. Ribs of tpe I and III gave similar percentage increase in critical moments at comparable increase in the total mass of beams. From the technical and practical standpoint, ribs made of channels offer the most favourable option as the do not need to be cut along the length as is the case with circular tubes. The highest effectiveness in the restraint of warping (deplanation) of the support section was shown b żebrami grup 1 (kolumn 8 i 13), dała blacha cołowa t p = 0 mm (wiers 8). W prpadku belek kstałtownika IPE500 (tabela 7) najbardiej efektwne więksenie momentów krtcnch (do +6% dla = 8 m ora do +49% dla = 10 m) uskano dla żeber I tpu grup (wierse 1 3). Zastosowanie żeber grup 1 (wierse 18 0) więksło nośność krtcną belek do +48% (dla tpu III, = 8 m) ora +39% (dla tpu III, = 10 m). Natomiast blach cołowe t p = 0 mm więksające masę belek porównwalnie astosowaniem żeber grup 1 (kolumn 8 i 13), dał wrost M cr nieprekracając +5% (wiers 17). Analiując belki wkonane kstałtownika HEA500 (tabela 7), należ stwierdić, że astosowanie żeber I tpu grup 3 (wierse 30 3) dało najwięks wrost momentów krtcnch belek (do +71% dla = 8 m ora do +57% dla = 10 m). Żebra grup 1 (wierse 7 9) dał wrost M cr rędu +5% (dla tpu I i III, = 8 m) ora +% (dla tpu I i III, = 10 m). Stosując prawie dwukrotnie ciężsą blachę cołową t p = 5 mm w stosunku do żeber grup 1 (kolumn 8 i 13), otrmano jednie +4% wrost nośności krtcnej (wiers 6). 6. Wnioski Zastosowanie w belkach wrażliwch na wichrenie żeber podporowch o prekroju amkniętm, np. według grup 1, i 3, w którch geometrię kstałtowników poscególnch tpów (I Ø, II i III C) dobrano uwględnieniem serokości półek (IPE300, IPE500, HEA300 i HEA500), dało wrost nośności krtcnej warunku wichrenia od +39% do +104% (tabela 7, kolumn 7 i 1). Natomiast wrost M cr ropatrwanch w prac belek astosowaniem klascnch blach cołowch (B) bł nienacn (od +4% do +8%). Z porównania momentów krtcnch belek żebrowaniem I, II i III tpu (tabela 7, kolumn 7 i 1) wnika, że najmniej korstnie wpadają żebra II tpu wkonane kątowników (). Natomiast dla poostałch tpów ustwnień, tn. podłużnie rociętch rur (tp I) ora ceowników (tp III), otrmano najwiękse wrost M cr. Żebra tpu I i IIał bliżon procentow wrost momentów krtcnch pr porównwalnm więkseniu całkowitej mas belek. Z technologicnego i praktcnego punktu widenia racej najlepiej wpadają tu żebra ceowników, którch nie treba rocinać na długości jak w prpadku rur. Najwięksą efektwność w ograniceniu spacenia (deplanacji) prekroju podporowego, wnikającą 16

13 WPŁYW ŻEBER PODPOROWYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM NA MOMENT KRYTYCZNY ZWICHRZENIA BEEK STAOWYCH HEA300 and HEA500 shapes (Table 7, columns 7 and 1). That results from the widths of flanges and group ( diameter ) of closed section ribs. For instance, for beam HEA300, with the span of = 5 m, stiffened with ribs of group 3 (e.g. of tpe I and III), increase in M cr was greater than +100% when compared with fork support (, κ = 0). Additionall, in the case of HEA300 and HEA500 beams, larger dimeters of closed section ribs of group 3 produced virtuall a double M cr increase compared with ribs of group 1 (Table 7, columns 7 and 1) while the overall increase in beam mass did not exceed 10% (Table 7, columns 8 and 13) for a vast majorit of cases. The comparison of beams (Table 7, columns 7 and 1) belonging to the same categor of shapes, i.e. IPE300 compared with IPE500, and HEA300 with HEA500, shows that the highest percentage increase in critical moments was found for lower (IPE300 and HEA300) and shorter ( = 5 m and 7 m) beams. Increase in M cr is directl affected b: a) geometr of the shape (e.g. IPE, HEA), b) tpe of ribs (e.g. Ø,, C), and also c) beam span. In those cases, in which it is necessar to significantl restrain the deplanation of the beam support sections (e.g. when the structure is being stiffened), the use of classic ribs (or end plates) is ineffective and uneconomical when compared with closed section ribs, e.g. those of group 1. Classic ribs, having similar or even greater mass than closed section ribs with small diameters, produce onl a small increase in beam critical resistance (Table 7). Clearl, that does not refer to end plate connections, e.g. beams to columns connections in the frame structure, in which onl end plates are found. In this case, end plate connections, which are eas to use in erection, make up for much lower increase in beam critical resistance when compared with closed section ribs. The use of support closed section ribs in beams prone to TB considerabl confines section warping. In this wa, M cr is significantl increased, and hence is design resistance. In the design of beams with such additional stiffeners, when the geometr of the support closed section rib is selected in an adequate wa, it is possible to eliminate, almost completel, section deplanation at the site of support (see Table 7, rows 1 and 14). Additionall, it should be noted that increase in the beam mass concerns almost entirel support sections, which does not lead to the occurrence of an additional span bending moments. serokości półki ora grup ( średnic ) astosowanch żeber amkniętch, uskano dla kstałtowników HEA300 ora HEA500 (tabela 7, kolumn 7 i 1). Na prkład dla belki HEA300, ropiętości = 5 m, ustwnionej żebrami grup 3 (np. tpu I lub III), otrmano wrost M cr prekracając +100%, w porównaniu podparciem widełkowm (, κ = 0). Ponadto, w prpadku belek HEA300 i HEA500, więkse średnice żeber amkniętch grup 3 dał praktcnie dwukrotne więksenie M cr w porównaniu żebrami grup 1 (tabela 7, kolumn 7 i 1), pr cm sumarcn wrost mas belki, w nakomitej więksości prpadków, nie prekrocł 10% (Tabela 7, kolumn 8 i 13). Z porównania belek (tabela 7, kolumn 7 i 1), preprowadonego w obrębie danej rodin kstałtowników, tn. IPE300 IPE500 ora HEA300 HEA500, można stwierdić, że więkse procentowe wrost momentów krtcnch otrmano dla belek niżsch (IPE300 i HEA300) ora krótsch ( = 5 m i 7 m). Na wrost M cr wpłwa bepośrednio: a) geometria kstałtownika (np. IPE, HEA), b) tp żebrowania (np. Ø,, C) ora c) ropiętość belki. W prpadku koniecności nacnego ogranicenia deplanacji prekrojów podporowch belki (np. podcas wmacniania konstrukcji) stosowanie żeber klascnch (lub blach cołowch) w porównaniu żebrami amkniętmi, np. grup 1, jest nieekonomicne i nieefektwne. Żebra takie pr bliżonej bądź nawet więksej masie w stosunku do żeber amkniętch o niewielkich średnicach dają nikom wrost nośności krtcnej belki (tabela 7). Ocwiście nie dotc to prpadków połąceń docołowch, np. belek e słupami w konstrukcji ramowej, w której wstępują jednie blach cołowe. W tm wpadku uskiwana łatwość montażu połącenia docołowego kompensuje nacnie mniejse więksenie nośności krtcnej belki w stosunku do żeber amkniętch. Stosowanie w belkach narażonch na wichrenie żeber podporowch o prekroju amkniętm powoduje nacne ogranicenie spacenia prekroju, więksając w istotn sposób M cr i ostatecnie nośność obliceniową. Projektując belki takim dodatkowm ustwnieniem, pr odpowiednim dobore geometrii amkniętch żeber podporowch, możliwe jest niemal całkowite weliminowanie deplanacji prekroju w miejscu podparcia (por. tabelę 7, wierse 1 i 14). Ponadto należ tutaj wrócić uwagę na fakt, że więksenie mas belki dotc włącnie prekrojów podporowch, co nie powoduje powstania dodatkowch pręsłowch momentów ginającch. 17

14 IMPACT OF SUPPORT COSED SECTION RIBS ON THE CRITICA MOMENT FOR ATERA TORSIONA BUCKING OF STEE BEAMS For the beams examined in the stud, the use of end plates or classic flexible ribs [9] produced an increase in M cr that did not exceed +8%. Natomiast w prpadku astosowania blach cołowch lub klascnch żeber podatnch [9] uskan, dla analiowanch w prac belek wrost M cr nie prekrocł +8%. References [1] Bijak R., Kowal Z., Malec M., On critical resistance of thin-walled beams stiffened with ribs (in Polish), XXXVIII KN KIiW PAN and KN PZITB, Łódź Krnica 199, pp [] Giżejowski M., ateral torsional buckling of steel beams with restrained abilit of rotation at the supports (in Polish), Inżnieria i Budownictwo 001, Vol. 10, pp [3] Gosowski B., Spatial stabilit of longitudinall and transversel braced solid elements of metal structures (in Polish), Wrocław 199. [4] Gosowski B., Non-uniform torsion of stiffened open thin-walled members of steel structures, Journal of Constructional Steel Research 007, Vol. 63, pp [5] Kowal Z., Malec M., Critical resistance of beams with support closed section ribs (in Polish), Inżnieria i Budownictwo 1989, Vol., pp [6] Pałkowski S., ateral torsional buckling of I-beams strengthened with end-plates (in Polish), Inżnieria i Budownictwo 1997, Vol. 8, pp [7] Pi Y.-., Trahair N.S., Distortion and warping at beam supports, Journal of Structural Engineering 000, Vol. 11, pp [8] Piotrowski R., Schowski A., ateral-torsional buckling of beams elasticall restrained against warping at supports, Archives of Civil Engineering 015, Vol. XI (4), pp [9] PN-EN :008. Eurocode 3: Design of steel structures. Part 1 5: Plated structural elements, 008. Acknowledgments: This work was supported b Kielce Universit of Technolog, Grant No / MNSC. BKMK Podiękowania: Praca bła finansowana pre Politechnikę Świętokrską, grant nr / MNSC. BKMK