Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów. Preskrypt do v.2014z ćwiczenie nr 3 z 10 (Widmo chwilowe)

Transkrypt

1 Laboratorium Cyfrowego Przetwarzania Sygnałów Preskrypt do v.2014z ćwiczenie nr 3 z 10 (Widmo chwilowe) na prawach rękopisu Lista Autorów Zakład Teorii Obwodów i Sygnałów Instytut Systemów Elektronicznych Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych Politechnika Warszawska Uwagi redakcyjne prosimy zgłaszać do: jmisiure@elka.pw.edu.pl tel Warszawa, 11 listopada 2014, 23:35

2 Spis treści 3 Widmo chwilowe Podstawy teoretyczne Pojęcie widma chwilowego Obliczanie widma chwilowego Rozróżnialność widmowa i czasowa analizy Sygnały badane w laboratorium Zadania do pracy własnej studenta Eksperymenty do wykonania w laboratorium Widmo zwykłe a widmo chwilowe Analiza rzeczywistych sygnałów przy pomocy spektrogramu

3 Ćwiczenie 3 Widmo chwilowe Opiekun ćwiczenia: MM 3.1. Podstawy teoretyczne Pojęcie widma chwilowego Poznane w poprzednim ćwiczeniu pojecia analizy widmowej są dobrze dostosowane do założenia, że parametry sygnału (np. zawartość składowych o różnych częstotliwościach) są stałe w całym czasie analizy. Tymczasem w praktyce najczęściej interesuje nas, jak parametry sygnału zmieniają się w czasie. Sygnał o stałych parametrach jest zupełnie nieinteresujący informację przenoszą zmiany parametrów sygnału: w kodzie Morse'a kodowanie polega na załączaniu i wyłączaniu sygnału (zmiana amplitudy) w muzyce melodię tworzy nastepstwo dźwięków 1 w transmisji radia FM dźwięk kodowany jest poprzez zmianę transmitowanej częstotliwości radiowej w mowie ludzkiej informacja jest ukryta w następstwie głosek, które różnią się od siebie zawartością harmonicznych 2 Najbardziej intuicyjnym podejściem do analizy sygnału o zmiennych w czasie parametrach jest podzielenie sygnału na fragmenty i wyznaczenie oddzielnie widma dla każdego fragmentu. W ten sposób analiza staje się dwuwymiarowa: kolejne fragmenty dotyczą kolejnych chwil czasowych (wymiar czasowy), w każdym fragmencie analizujemy sygnał w dziedzinie częstotliwości (wymiar częstotliwościowy). W odróżnieniu od widma, które dotyczy całego sygnału, wynik takiej analizy czasowo-częstotliwościowej nazywamy widmem chwilowym. 1 Jako ciekawostkę zauważ, że rozpoznanie melodii większość słuchaczy opiera nie na bezwzględnej wysokości dźwięków, lecz na względnych zmianach tej wysokości Wlazł kotek... można zagrać zaczynając od dowolnego dźwięku na skali instrumentu. 2 W najogólniejszym pojęciu bo naprawdę jest to bardziej skomplikowane. Zainteresowanych odsyłamy np. do książki Cyfrowe przetwarzanie sygnałów w telekomunikacji Redakcja naukowa: Tomasz Zieliński, Przemysław Korohoda, Roman Rumian, Wydawnictwo Naukowe PWN SA,

4 4 Widmo chwilowe :35 Rys. 3.1: Spektrogram fragmentu Wlazł kotek (melodia gwizdana). Na osi pionowej oznaczono czas, jaki upłynął od chwili zarejestrowania sygnału (a więc jest to czas ujemny). Możemy więc widma kolejnych fragmentów ustawić w obraz dwuwymiarowy zazwyczaj moduł widma (amplitudę) kodujemy wtedy w skali barwnej 3, a otrzymany obraz widma chwilowego nazywamy spektrogramem. Przykład takiego spektrogramu pokazano na rys Jeśli spektrogram budowany jest w czasie rzeczywistym, i jego obraz płynie z upływem czasu, w języku angielskim często określany jest nazwą waterfall plot. Zwróć uwagę, że zapis nutowy melodii ma wiele wspólnego ze spektrogramem. Spróbujmy teraz zapisać formalnie sposób otrzymywania widma chwilowego. W zapisie musimy uwzględnić, że widmo chwilowe jest funkcją dwóch zmiennych częstotliwości θ oraz czasu n, oznaczymy go więc symbolem X(e jθ, n). Obliczenie widma chwilowego polega na: wycięciu fragmentu sygnału wokół ustalonej chwili czasu n (jest to operacja oknowania, już znana z poprzedniego ćwiczenia), obliczeniu widma takiego fragmentu, powtórzeniu obliczeń dla kolejnych chwil n. Operacje te można zapisać za pomocą wyrażenia X(e jθ, n) = r= x[r]g[n r]e jrθ (3.1) gdzie funkcja g[] jest funkcją okna. W powyższym wzorze należy zauważyć, że: widmo oblicza się według definicji dla sygnałów o ograniczonej energii, a więc w wymiarze częstotliwościowym X(e jθ, n) jest funkcją ciągłą i okresową o okresie 2π, zmienna n opisująca wybór fragmentu na osi czasu (a więc położenie okna) jest dyskretna, a więc w wymiarze czasowym X(e jθ, n) jest funkcją dyskretną, 3 Widmo fazowe wizualizuje się w bardzo rzadkich przypadkach. 4 Uzyskano go za pomocą analizatora widma zbudowanego z wykorzystaniem programu gnuradiocompanion.

5 :35 Widmo chwilowe 5 Rys. 3.2: Przykład wycinania fragmentu sygnału oknem przyczynowym zmieniając n z krokiem 1 analizujemy fragmenty bardzo silnie nakładające się (co w praktyce może być niepotrzebne dokładniej ten temat rozważymy w rozdziale 3.1.3), wprowadzono dodatkowy indeks czasowy r; ponieważ n używamy do oznaczenia położenia okna i jest on w trakcie obliczania transformaty stały, potrzebny jest jeszcze indeks do poruszania się wewnątrz okna. W praktyce widmo będzie zazwyczaj obliczane za pomocą DTF. Rozważmy teraz dokładniej zapis (3.1) pod względem położenia okna dla danej wartości n. W formalnym wzorze sumujemy w zakresie < r <, ale po wymnożeniu sygnału przez funkcję okna wystarczy sumowanie prowadzić tylko wewnątrz okna. Przyjmijmy, że okno jest zdefiniowane tak, jak w poprzednim ćwiczeniu a więc jest funkcją dyskretną g[l] o L niezerowych wartościach wystepujacych dla 0 l L 1. Wtedy zapis (3.1) ma ważną cechę, nazywaną przyczynowością 5 obliczenie widma chwilowego dla chwili n wymaga znajomości tylko przeszłych próbek sygnału, a więc jest fizycznie realizowalne w czasie bieżącym. Nieprzyjemną konsekwencją takiego zdefiniowania okna jest fakt, że dla ustalonego n widmo X(e jθ, n) opisuje właściwości sygnału na odcinku od n L + 1 do n, a więc n jest końcem tego odcinka (rys. 3.2), o czym trzeba pamiętać zarówno przy analizach formalnych jak i przy próbach zrozumienia praktycznie obliczonego spektrogramu 6. Przeanalizujmy, jak zachowa się widmo chwilowe przy gwałtownej zmianie parametrów sygnału. Jako przykład gwałtownej zmiany przyjmijmy włączenie sygnału w chwili n = 0, co matematycznie można opisać pomnożeniem sygnału przez skok jednostkowy u[n]. 1 dla n 0 u(n) = 0 dla n < 0 (3.2) Będziemy rozpatrywać przekroje przez funkcję X(e jθ, n) dla kolejnych ustalonych wartości n, zaczynając od n = 1. Dopóki n < 0, wyrażenie pod znakiem sumy ((3.1)) równe jest zeru dla r < 0 sygnał jest zerem, a dla r 0 zerem jest funkcja okna. Widmo jest więc zerowe. 5 Pojęcie przyczynowości dotyczy układów (systemów), ale nic nie stoi na przeszkodzie, aby czarną skrzynkę obliczającą widmo chwilowe uznać za system, którego wejściem jest sygnał x[n] a wyjściem funkcje X(e jθ, n) dla kolejnych wartości n. Za chwilę zresztą rozpatrzymy takie podejście dokładniej. 6 W niektórych podręcznikach definuje się n jako środek okna (co oznacza, że okno jest symetryczne względem zera). Wtedy interpretacja zmiennej n jest bardziej oczywista, ale za to tracimy przyczynowość.

6 6 Widmo chwilowe :35 Kolejne sytuacje przedstawia rys W chwili, gdy n = 0, okno obejmuje tylko jedną niezerową próbkę sygnału, tj. x(0). Łatwo więc obliczyć, że X(e jθ, 0) jest w funkcji θ stałe i równe x(0) g(0). W chwili skoku widmo zajmuje więc całe pasmo od π do π. W chwili n = 1 okno obejmuje dwie próbki sygnału i widmo należy obliczyć z tych dwóch próbek: X(e jθ, 1) = g(1)x(0) +g(0)x(1)e jθ. Na przykład gdyby x(0)g(1) = x(1)g(0) = 1, to widmo amplitudowe miałoby postać X(e jθ, 1) = 1 + e jθ = sin θ = 2 cos θ/2. Jak widać, sin θ/2 widmo zaczyna sie zwężać w stosunku do chwili n = 0, ale nadal jest bardzo szerokie. Warto zauważyć, że takie poszerzenie widma w chwili skokowej zmiany nie jest właściwością naszej metody analizy, lecz fizyczną właściwością sygnałów o charakterze skokowym. Dalszą analizę proponujemy przeprowadzić w ramach zadań do pracy własnej. Tu tylko zauważymy, że efekty skoku parametrów przestają być widoczne, gdy całe okno minie punkt skoku, czyli w naszym przykładzie gdy n L (gdzie L to długość okna). Rys. 3.3: Ilustracja nachodzenia okna na punkt włączenia sygnału (N oznacza tu długość okna; w niektórych wzorach dalej oznaczamy ją L ) Obliczanie widma chwilowego Różne sposoby obliczania widma chwilowego mają zastosowanie w zależności od konkretnego zastosowania. Ponieważ uwidaczniane na spektrogramie właściwości sygnału są w pewnym sensie uśrednione za czas trwania okna, nie zmienią się one zasadniczo po przesunięciu okna o jedną próbkę. W wielu wypadkach nie ma sensu obliczać widma częściej niż kilka razy na długość okna. Widmo chwilowe można obliczać wprost ze wzoru (3.1), dokonując dla każdej wartości n przemnożenia sygnału x(r) przez okno przesunięte do pozycji n i odwrócone w czasie g(n r), a następnie obliczając DTF (czyli próbki widma ciągłego) za pomocą FFT. Takie podejście ma sens, jeśli okno przesuwamy np. o całą jego długość, i jeśli potrzebne jest całe widmo od π aż do π wtedy zastosowanie algorytmu FFT daje znaczny zysk (w sensie kosztów obliczeniowych) nad innymi metodami obliczeń. Jeżeli jednak okno trzeba przesuwać bardzo gęsto np. co 1 próbkę w dziedzinie czasu, albo też gdy nie są potrzebne wszystkie próbki widma, zalety FFT nie są w pełni wykorzystane. Można skonstruować zupełnie inny algorytm, który w naturalny sposób oblicza konkretną próbkę widma chwilowego (dla ustalonego θ), w odstępie co 1 próbkę w dziedzinie czasu. Przyjrzyjmy się jeszcze raz wyrażeniu (3.1), nieco manipulując jego postacią. Otóż obliczając widmo chwilowe dla ustalonego θ (a więc jedną próbkę w dziedzinie częstotliwości) możemy sygnał x[r] najpierw przemnożyć przez e jrθ, a dopiero potem mnozyć go przez g[n r] i sumować.

7 :35 Widmo chwilowe 7 Rys. 3.4: Obliczanie widma chwilowego (ze skokiem n co długość okna L) za pomocą FFT X(e jθ, n) = r= ( x[r]e jrθ ) g[n r] (3.3) Nazwijmy teraz po imieniu wykonane operacje. Mnożenie przez e jrθ to po prostu modulacja sygnału, powodująca przesunięcie widma w częstotliwości o θ. Mnożenie przez g[n r] i sumowanie jest operacją splotu z g(l), albo inaczej filtracji filtrem NOI o odpowiedzi impulsowej g(l). Sygnał wyjściowy takiego filtru to ciąg próbek (w dziedzinie czasu) widma chwilowego dla ustalonej wartości θ. Jeśli potrzebne jest więcej próbek w dziedzinie częstotliwości dla kazdej z potrzebnych wartości θ musimy zaimplementować modulator i filtr. Taki bank filtrów pokazano na rys. 3.5 (wersja a). Jeśli inaczej pogrupujemy czynniki pod znakiem sumy w (3.1), otrzymamy inny bank filtrów, pokazany na rys. 3.5 jako wersja b. W tym celu z wyrazu e jrθ trzeba wyodrębnić czynnik zależny od tej samej zmiennej (n r) co g(n r), a wtedy pozostanie czynnik e jnθ niezależny od indeksu sumowania, który można wyjąć przed znak sumy. Takie przekształcenie pozwala nam najpierw przemnożyć wyrazy w nawiasie, potem dokonać splotu, a na końcu modulacji 7. X(e jθ, n) = e jnθ r= 7 Jeśli obliczamy tylko widmo amplitudowe, modulację można pominąć. x(r) ( g(n r)e j(n r)θ) (3.4)

8 8 Widmo chwilowe :35 Rys. 3.5: Obliczanie widma chwilowego za pomocą banku modulatorów i filtrów NOI (dwie wersje) Realizacje w postaci zestawu (banku) filtrów z rys. 3.5 są wygodne, jeśli interesują nas wartości widma chwilowego dla kilku częstotliwości θ 1, θ 2,..., θ M (np. dla częstotliwości formantowych sygnałów mowy, albo przy dekodowaniu sygnałów DTMF lub FSK) Rozróżnialność widmowa i czasowa analizy Spróbujemy tu odpowiedzieć na pytanie: jak gęsto w częstotliwości i w czasie mogą być umieszczone składowe sygnału, aby można je jeszcze było rozróżnić na spektrogramie? Pojęcie rozróżnialności w takim zastosowaniu nie jest łatwo zdefiniować precyzyjnie. Możliwość rozróżnienia dwóch sygnałów silnie zależy od wielu czynników stosunku ich mocy, dokładnej zależności częstotliwości, wreszczie od metody analizy wykresu widma 8. W literaturze przyjmuje się między innymi, że dwie częstotliwości można rozróżnić na wykresie widma, gdy druga znajduje się: w punkcie, gdzie listek główny od pierwszej obniża się o 3 db, w punkcie, gdzie listek główny od pierwszej ma pierwsze zero, o całą (dwustronną) szerokość listka głównego od pierwszej. Wszystkie te definicje mają swój sens, my do dalszej analizy przyjmiemy środkową z nich. Przy użyciu okna prostokątnego o długości L do sygnału sinusoidalnego uzyskamy widmo sin Lθ/2 o kształcie, a pierwsze miejsce zerowwe tej funkcji jest w θ = 2π/L (pamiętamy sin θ/2 to z poprzdniego ćwiczenia). Taka jest więc rozróżnialność częstotliwościowa naszej analizy sygnału w myśl przyjętej definicji. Co do rozróżnialności w dziedzinie czasu można posłużyć się intuicją, i zauważyć, że właściwości sygnału są uśredniane za czas równy długości okna. Na przykład, aby na spektrogramie była widoczna przerwa w nadawaniu sygnału, musi ona być długości porównywalnej z długością okna. Dokładniejszą analizę można przeprowadzić wykorzystując interpretację widma chwilowego jako sygnału wyjściowego z banku filtrów i analizując odpowiedź impulsową pojedynczego filtru. Przyjmując, że rozróżnialność w czasie równa jest L, otrzymujemy ciekawy wniosek: iloczyn rozróżnialnosci w czasie i w częstotliwości jest stały (nie zależy od L) i wynosi: 8 np. na oko każdy inżynier ma inaczej wyrobione oko

9 :35 Widmo chwilowe 9 Rys. 3.6: Rozróżnialność okna prostokątnego w czasie i w częstotliwości gdy odnosimy się do unormowanej pulsacji i czas mierzymy w próbkach: L 2π = 2π L gdy odnosimy się do jednostek fizycznych czasu (s) i częstotliwości (Hz): LT s fs = 1 L Warto zauważyć, że iloczyn tych rozróżnialności może nieco zależeć od kształtu okna, i zależy też od przyjętego założenia o tym, kiedy już potrafimy rozróżnić dwie składowe sygnału. W poprzednim ćwiczeniu zauważyliśmy, że skomplikowane okna nie w każdym zastosowaniu sa najlepsze, gdyż ceną za obniżenie listków bocznych jest poszerzenie listka głównego. Przy doborze okien do wyznaczania widma chwilowego dochodzi jeszcze jeden aspekt nie tylko kształt, ale i długośc okna należy dobierać świadomie. Zmieniając długość okna możemy wymieniać rozróżnialność czasową na częstotliwościową. Nie możemy jednak jednocześnie poprawić rozróżnialności w obu wymiarach 9. Powyższe ograniczenie jest bardzo istotne przy analizie sygnałów o szybkozmiennych parametrach. Jeżeli szybka zmienność powoduje, że musimy zastosować krótkie okno, rozróżnialność częstotliwościowa może spaść tak, że nie uda się rozróżnić składowych sygnału. Warto wiedzieć, że wtedy można uciec się do innych niż widmo chwilowe metod analizy czasowoczęstotliwościowej. Metod tych jest wiele, i być może jedna z nich będzie lepiej dostosowana do właściwości analizowanego sygnału. Poznanie tych metod przewidziane jest w ramach oddzielnego przedmiotu 10 (obieralnego), tutaj tylko wymienimy kilka z nich: Transformacja Wigner-Ville'a W x (n, θ) = + r= x(n + r)x (n r)e jθ2r (nadaje się najlepiej do analizy pojedynczego tonu o szybkozmiennej częstotliwości), Transformacja falkowa 11 (Wavelet transform) (nadaje się najpeliej do analizy sygnałów skupionych w czasie), Chirplet transform w której elementami bazy są krótkie impulsy LFM Sygnały badane w laboratorium Sygnał DTMF Sposób sygnalizacji określany mianem DTMF (dual tone multi frequency) opracowano w roku 1963 do wybierania numeru w analogowych liniach telefonicznych. Standard ten w liniach 9 Sytuacja ta bardzo ptrzypomina zasadę nieoznaczoności w fizyce kwantowej, i często jest nazywana tym samym terminem. 10 CCM Czasowo-częstotliwościowe metody przetwarzania sygnałów 11 Chodzi tu o falkę jako funkcję bazową, wbrew plotkom nie wynalazł jej żaden Falkow.

10 10 Widmo chwilowe :35 cyfrowych (np. komórkowych) jest dziś używany do przekazywania sygnalizacji przez kanał dźwiękowy (np. w systemach wybierania pozycji z menu automatycznego systemu obsługi klientów). W standardzie DTMF wykorzystuje się dwa tony o różnych częstotliwościach w celu przekazania informacji o wybranym numerze lub symbolu (cyfry 0-9, litery A-D i symbole '*' i '#') 12. Poszczególne symbole i odpowiadające im częstotliwości są zestawione w Tablicy 3.1 jeden ton określa kolumnę, a drugi wiersz tablicy. Tabela 3.1: Symbole i odpowiadające im częstotliwości w standardzie DTMF 1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz 1633 Hz 697 Hz A 770 Hz B 852 Hz C 941 Hz * 0 # D Czas trwania jednego symbolu to czas, przez jaki użytkownik naciskał odpowiedni klawisz. Ciekawostką jest, że tony do sygnalizacji DTMF dobrano tak, aby nie pozostawały ze sobą w zależności harmonicznej mogłoby to prowadzić do powstawania błędów w nieliniowym układzie, albo do rozpoznawania naturalnych dźwięków jako symboli sygnalizacji Sygnał z liniową modulacją częstotliwości (LMF) W części eksperymentów laboratoryjnych będziemy analizować (metodami cyfrowymi) widmo chwilowe i właściwości widmowe sygnału analogowego, w którym częstotliwość chwilowa zmienia się zgodnie z zależnością pokazaną na rys Rys. 3.7: Okresowa liniowa zmiana częstotliwości sygnału W każdym przedziale o długości T, tzn. dla kt < t < (k+1)t częstotliwość f(t) sygnału narasta liniowo od wartości f 0 do wartości f mx, a następnie bardzo szybko opada do wartości f 0 (w idealizowanym modelu przyjmujemy, że czas opadania jest równy zeru). 12 Symbole A-D nie występują na klawiaturze zwykłego telefonu stosowane są do przekazywania dodatkowych sterowań w nietypowych zastosowaniach.

11 :35 Widmo chwilowe 11 Sygnał taki wygodnie jest opisać formalnie jako sygnał cosinusoidalny, którego faza jest nieliniowo narastającą funkcją czasu x a (t) = cos φ(t), < t < (3.5) Funkcja φ(t) jest tak dobrana, aby częstotliwość chwilowa sygnału f(t), definiowana jako pochodna fazy φ(t) podzielona przez 2π, zmieniała się zgodnie z zależnością f(t) = 1 dφ(t) 2π dt = f 0 + α(t kt ), kt < t < (k + 1)T (3.6) gdzie f 0 jest częstotliwością od której f(t) rośnie liniowo do wartości f mx, a T jest okresem zmian funkcji (3.6) por. rys Dewiacja (zmiana) częstotliwości dla kt < t < (t + 1)T jest zatem równa f = f mx f 0, (3.7) a szybkość zmian częstotliwości na jednostkę czasu określa współczynnik α = f T. (3.8) Łatwo zauważyć, że na każdym odcinku kt < t < (t + 1)T faza φ(t) jest opisana kwadratową zależnością od czasu t. W niniejszym ćwiczeniu sygnał o takiej formie jest używany jako prosty przykład sygnału o zmiennych w czasie parametrach widmowych. Generowanie takiego sygnału jest jedną z funkcji każdego uniwersalnego generatora laboratoryjnego, ponieważ w praktyce warsztatu elektronicznego takim sygnałem bada się charakterystyki częstotliwościowe układów (np. wzmacniaczy pośredniej częstotliwości). Warto wiedzieć, że sygnały o takiej postaci można również w praktyce znaleźć w zastosowaniach lokalizacyjnych: podobny sygnał ultradźwiękowy emitują nietoperze, używa się go w radiowysokościomierzach, taki sygnał wysyłają niektóre typy radarów (tzw. radary FMCW). Ze względu na charakterystyczne brzmienie sygnału LFM, często nazywa się go sygnałem świergotowym (ang. chirp).

12 12 Widmo chwilowe : Zadania do pracy własnej studenta Podobne zadania mogą znaleźć się na wejściówce. Nie dotyczy to zadań oznaczonych tu jako trudne. 1) Jaką szerokość (mierzoną odstępem najbliższych miejsc zerowych) będzie miał główny listek widma impulsu a) prostokątnego b) cosinusoidalnego o f n = 0.2 i obwiedni prostokątnej i czasie trwania 40 próbek? Odpowiedź podaj w jednostkach częstotliwości unormowanej oraz w Hz (przyjmij częstotliwość próbkowania f s = 48 khz). Wskazówka: Uwaga, tu chodzi o widmo, a dopiero w następnych zadaniach będziemy rozważać widmo chwilowe. 2) Dla sygnału cos nθ s określonego dla < n < naszkicuj przebieg modułu widma chwilowego X(e jθ, n) dla ustalonej wartości θ = θ s (a więc przekrój przez maksimum widma). Najpierw przyjmij prostokątny kształt okna, potem zastanów się nad szkicem dla innego okna (wybierz sam/a ze znanych okien). 3) Dla poniżej podanych sygnałów włączanych skokowo w chwili n = 0 oblicz i naszkicuj, jak zmieniać się będzie szerokość głównego listka widma chwilowego ze zmianą n w okolicy próbki n = 0, tj. gdy okno nachodzi na punkt włączenia sygnału (patrz rys. 3.3). Analizę przeprowadź dla okna prostokątnego, gdy analizowanym sygnałem jest: a) skok jednostkowy u(n) (zdefiniowany wzorem (3.2)) b) (trudniejsze, zacznij od analizy przybliżonej) s(n) = u(n) cos nθ s Oblicz i wykreśl też wartość maksimum modułu widma. 4) trudne Sygnał LFM o szybkości zmiany częstotliwości α Hz/s podano na analizator widma chwilowego. Na podstawie rozdziału wiemy, że przy zbyt długim oknie analizy częstotliwość sygnału zmieni się znacznie wewnątrz pojedynczego okna i na spektrogramie otrzymamy szeroką linię. Jeśli okno będzie krótkie, z kolei zmaleje rozdzielczość widmowa transformaty Fouriera i również otrzymamy szeroka linię. Znajdź więc wyrażenie na optymalną (w tym rozumieniu) długość okna, przyjmując okno o kształcie prostokątnym. Załóż, że sygnał jest próbkowany z częstotliwością f s. 5) Tony DTMF są od siebie oddalone o wartość od 73 do 156 Hz. Jaka jest minimalna długość okna (prostokątnego), pozwalająca rozróżnić takie tony (tj. aby kolejny ton był nie bliżej, niż zero ograniczające listek główny pochodzący od danego tonu)? Jaka jest przy takiej długości okna największa szybkość sygnalizacji (najkrótszy czas trwania symbolu) przy której da się jeszcze na spektrogramie rozróżnić kolejne symbole w dziedzinie czasu? Przyjmij f s = 8kHz(wartość typowa dla zastosowań telefonicznych). Następnie zauważ, że możesz obliczenia prowadzić dla czasu fizycznego, i wyniki nie zależą od częstotliwości próbkowania. 6) Analizatorem widma chwilowego badamy sygnał FM zdemodulowany (przesunięty w częstotliwości) do pasma podstawowego i spróbkowany z częstotliwością 2 MHz. Przy jakiej

13 :35 Widmo chwilowe 13 minimalnej długości okna (prostokątnego) uda się zobaczyć sygnał pilota stereo, oddalony od nośnej o 19 khz? 7) W tych samych warunkach (f s = 2 MHz) analizujemy transmisję w systemie FSK (frequency-shift keying dwie częstotliwości, z których jedna oznacza jedynkę, a druga zero). Częstotliwości FSK rozsunięte są o 300 Hz. Jaka może być maksymalna prędkość sygnalizacji, abyśmy potrafili rozróżnić symbole w dzedzinie czasu i w częstotliwości? 8) Wyznacz charakterystyki częstotliwościowe filtrów użytych w implementacji obliczania widma chwilowego za pomocą filtrów dolnoprzepustowych (rys. 3.5 wersja a). Wyznacz charaktereystyki filtrów dla wersji b. Wskazówka: (do zadania 4)) Intuicyjnie można uznać za optymalną sytuację, gdy rozmycie widma z powodu zmiany parametrów będzie równe szerokości listka wynikającej z rozdzielczości widmowej. Dokładniejsza analiza może zaczynać się od zauważenia, że skutki obu efektów składają się w postaci splotu widma okna z widmem sygnału a więc szerokość uzyskanego widma będzie w przybliżeniu sumą szerokości składowych Eksperymenty do wykonania w laboratorium identyfikującą kolejne ekspery- Od tego zeszytu wprowadzono specjalną ikonkę menty zadań laboratoryjnych Widmo zwykłe a widmo chwilowe Pojęcie widma chwilowego jest szczególnie użyteczne przy analizie sygnałów, których parametry zmieniają się w obrębie czasu obserwacji, a więc sygnałów niestacjonarnych. Jako przykład takiego sygnału, w komputerowych badaniach symulacyjnych analizować będziemy sygnał opisany zależnościami: x[n] = x 1 [n] + x 2 [n] (3.9) gdzie x 1 [n] = x 2 [n] = cos nθ 1 dla 0 n N dla pozostałych n cos nθ 2 dla N 1 n N dla pozostałych n (3.10) (3.11) Sygnał (3.9) jest więc sumą sklejonych dwóch fragmentów kosinusoidy o różnych unormowanych pulsacjach θ 1 i θ 2. Sygnał o takiej postaci może być wynikiem np. modulacji FSK, gdzie za pomocą jednej częstotliwości koduje się symbol 0, a drugiej 1. Na przykładzie tego prostego sygnału zilustrujemy pojęcie widma chwilowego oraz zwrócimy uwagę na pewne możliwości czasowo-częstotliwościowej analizy sygnałów jakie, w odróżnieniu od klasycznego pojęcia widma, stwarza widmo chwilowe. Badania symulacyjne widma chwilowego prowadzone będą za pomocą dyskretnej transformaty Fouriera (DTF) oraz z zastosowaniem banku filtrów dolnoprzepustowych.

14 14 Widmo chwilowe : Wyznaczanie widma za pomocą DTF Odpowiedz Odpowiedz Zanim przejdziemy do omawiania widma chwilowego obejrzymy widmo sygnału (nie chwilowe) w sensie poznanej już dawno definicji odpowiedniej dla sygnałów o ograniczonej energii, przy założeniu, że niezerowe próbki sygnału mieszczą się w zakresie od n = 0 do N 1 (ograniczony czas trwania): X(e jθ ) = N 1 n=0 x(n)e jnθ (3.12) W praktyce widmo takie jest obliczane numerycznie z wykorzystaniem DTF, tj. w skończonej liczbie punktów w dziedzinie częstotliwości θ. Wygeneruj sygnał o postaci ( ), tj. sygnał złożony z dwóch fragentów sinusoidy o różnych częstotliwościach, i następujących parametrach: N 1 = 200, N 2 = 400, θ 1 = π, θ 2 = π. Na początku i na końcu sygnału dodaj bloki po 100 zer (zakładamy, że naprawdę sygnał istnieje dla n (, + ), tylko nie mamy aż tyle pamięci na próbki).» x=[zeros(1,100), cos((0:199)*0.12*2*pi), cos((0:199)*0.36*2*pi), zeros(1,100)]; Dla pewności, że uzyskałeś poprawny sygnał, wyświetl jego przebieg czasowy. Następnie, za pomocą procedury c3_plot obejrzyj widmo tego sygnału, po uprzednim pomnożeniu sygnału przez okno Hamminga o odpowiedniej długości» c3_plot(x.*hamming(length(x))'); Procedura c3_plot oblicza widmo za pomocą FFT i wyświetla jego amplitudę w skali logarytmicznej (z zerem częstotliwości pośrodku) 13. Odpowiedz na pytania: 1) Czy zaobserwowane widmo różni się w istotny sposób od widma sygnału będącego po prostu superpozycją widm dwóch kosinusoid? 2) Czy na podstawie obserwacji tego widma można uzyskać jakąkolwiek informację o zmianach parametrów sygnału? Powtórz powyższy eksperyment dla bardzo niewiele różniących się częstotliwości (użyj θ 2 = π, przy pozostałych parametrach niezmienionych), a więc» xx=[zeros(1,100), cos((0:199)*0.12*2*pi), cos((0:199)*0.125*2*pi), zeros(1,100)];» c3_plot(xx.*hamming(length(xx))'); Odpowiedz na pytanie: czy widmo sygnału (wyznaczone według definicji (3.12)) pozwala rozróżnić, że sygnał zawiera dwie składowe o różnych (choć bardzo bliskich) pulsacjach? Wyznaczanie widma chwilowego za pomocą DTF Kolejny eksperyment ma na celu pokazanie, że w odróżnieniu od widma zdefiniowanego wzorem (3.12) obserwacja widma chwilowego umożliwia uzyskanie informacji o zmianach parametrów sygnału w czasie. Widmo chwilowe X(e jθ, n) (zdefinowane wzorem (3.1)) jest w praktyce obliczane jako DTF fragmentu sygnału wycinanego przez przesuwające się okno. Ten sposób działania demosntru- 13 Student LCYPS powinien umieć zrobic to sam, ale procedurę dostarczyliśmy gotową, aby wystarczyło czasu na ciekawsze zajęcia.

15 :35 Widmo chwilowe 15 je funkcja c3_swifft (ang. Sliding Window Fast Fourier Transform) napisana dla potrzeb laboratorium CYPS. Funkcję c3_swifft wywołuje się z trzema parametrami: x wektor zawierający próbki sygnału, g wektor współczynników okna czasowego, uzyskiwany przykładowo przez wywołania MATLAB-owskie funkcji hamming(n), boxcar(n) itp., gdzie N jest żądaną długością okna; funkcja przyjmuje, że okno g(k) jest przyczynowe biegnie od k = 0 do N 1; w rezultacie przy obliczaniu X(e jθ, n) okno wybiera próbki od n N + 1 do n, n wektor chwil czasowych, dla których procedura ma obliczyć i wyświetlić widmo chwilowe zdefiniowane wzorem (3.1). Funkcja c3_swifft w dolnej części ekranu wyświetla widma chwilowe, a w górnej poglądowo przedstawia położenie okna na tle sygnału. Przyciśnięcie klawisza spacji powoduje wyświetlenie widma w kolejnej chwili z wektora n. Dla uzyskania ciągłej animacji klawisz spacji należy przytrzymać w położeniu wciśniętym. Jeżeli długość okna N jest dokładnie równa liczbie próbek sygnału, to program nie wyznacza widma chwilowego (3.1), lecz widmo za cały blok sygnału w sensie definicji (3.12). Funkcja c3_swifft może zwracać do środowiska MATLAB-a trzy parametry: X macierz, której kolumny są widmami chwilowymi, odpowiadającymi kolejnym momentom z wektora n, f wektor częstotliwości (unormowanych do częstotliwości próbkowania) odpowiadających kolejnym punktom widma (wierszom macierzy X), n znaczenie analogiczne jak dla parametru wejściowego funkcji c3_swifft. Obliczone wartości można następnie wykorzystać do wyświetlenia spektrogramu czyli graficznego przedstawienia zmian modułu widma chwilowego w czasie. Na jednej z osi spektrogramu przedstawia się czas, na drugiej osi częstotliwość (unormowaną lub fizyczną), a wartości widma amplitudowego kodowane są barwami lub poziomami szarości. W najblizszym eksperymencie obejrzymy spektrogram, utworzony z wyników procedury c3_swifft, natomiast w dalszej części ćwiczenia będziemy się jednak posługiwali standardową funkcją MATLABa spectrogram (z toolbox'u Signal processing), która oblicza i wyświetla spektrogram. W eksperymencie tym zastosujemy okno Hamminga o szerokości N = 100» g=hamming(100); Okno będziemy przesuwać co jedną próbkę wzdłuż całego sygnału. W tym celu należy przyjąć:» n=[1:499]; Uwaga: badamy sygnał sklejony z sinusoid o zauważalnie różnych pulsacjach (x z pierwszej części poprzedniego eksperymentu, a nie xx z drugiej) jeśli go nadpisałeś, wygeneruj jeszcze raz. Zamknij niepotrzebne okna» close all Dla określonych powyżej parametrów wejściowych procedury c3_swifft zaobserwuj animację zmian widma chwilowego sygnału (3.1) w zależności od położenia okna względem sygnału. W tym celu należy wykonać następującą instrukcję:» [X,f,n]=c3_swifft(x,g,n); Obserwując zmieniające się widmo chwilowe, zauważ że w całym filmie wyróżnić można pięć charakterystycznych faz. W kolejności faza pierwsza, trzecia i piąta charakteryzują się tym, że widmo chwilowe zmienia się wyraźnie niemal w całym zakresie często-

16 16 Widmo chwilowe :35 Odpowiedz tliwości. Natomiast w fazie drugiej i czwartej widmo chwilowe w zasadzie nie zmienia się, poza minimalnymi zmianami na poziomie ok. 50 db. Odpowiedz na pytania: 1) Wyjaśnij co jest przyczyną wyodrębnienia tych pięciu faz. 2) Od czego m.in. zależy czas trwania poszczególnych faz filmu? 3) Czy na podstawie obserwacji czasu trwania tych faz można w przybliżeniu określić czas trwania składowych (3.10) i (3.11) sygnału (3.9)? 4) Od czego zależy dokładność takiego pomiaru czasu trwania składowych sygnału? Na podstawie jakościowych wniosków sformułowanych w poprzednim punkcie w oparciu o obserwację zmian widma chwilowego, dokonamy teraz bardziej precyzyjnego pomiaru czasu trwania składowych kosinusoidalnych tworzących sygnał (3.9). Pod zmienną o nazwie X otrzymaną w poprzednim punkcie jako jeden z parametrów wyjściowych procedury c3_swifft kryje się macierz widm chwilowych, w której każda kolumna stanowi widmo odpowiedniego fragmentu sygnału. Indeks tej kolumny określa położenie końca okna. Dzięki takiej reprezentacji widma chwilowego, można je obejrzeć jako funkcję dwóch zmiennych: czasu i częstotliwości. Wyświetl taki wykres trójwymiarowy w skali logarytmicznej» figure» mesh(20*log10(abs(x))); Obracając wykres przy pomocy myszy, spróbuj zrozumieć co na nim widać. Uzyskany w ostatnim eksperymecnie obraz należy traktować wyłącznie poglądowo, jako tzw. ciekawostkę umożliwiającą nieco lepsze poznanie natury widma chwilowego. Znacznie więcej informacji dostarcza nam analiza wykresu mapy barwnej uzyskanej poprzednio powierzchni reprezentującej widmo chwilowe. Wykres taki uzyskamy za pomocą standardowej funkcji MATLABa spectrogram. Funkcję tę będziemy wywoływać z pięcioma parametrami spectrogram(x,g,noverlap,ndft,fs): x sygnał g wektor próbek okna (lub skalar długość okna Hamminga) noverlap liczba próbek wspólnych (nakładających się) w przesuwanych oknach; np. przy oknie o długości 100 zadanie wartości noverlap=98 oznacza, że okno będzie przesuwane z krokiem 2 próbek, ndft liczba próbek DFT (wybranie liczby większej niż długość okna spowoduje do- fs pełnienie sygnału zerami) częstotliwość próbkowania (ten parametr pozwala na wyświetlenie spektrogramu w jednostkach czasu i częstotliwości fizycznej); jeśli odnosimy się do częstotliwości unormowanej, należy podać wartość jeden 14. Wyświetl spektrogram sygnału z tym samym oknem co poprzednio (Hamminga o długości 100, które już mamy w zmiennej g):» close all» spectrogram(x,g,99,100,1); 14 Funkcja spectrogram w tej wersji Matlab'a nie jest nalepiej przystosowana do pojęcia częstotliwości unormowanej, i będzie upierała się, że czestotliwość jest w hertzach. Niestety, jeśli nie użyje się czwartego parametru wywołania, będzie jeszcze gorzej funkcja częstotliwość unormowaną wyświetli w radianach, ale za jednostkę czasu zostanie uznane π próbek.

17 :35 Widmo chwilowe 17 Obserwując otrzymany wykres zidentyfikuj kolejne fazy widma chwilowego i określ czas ich trwania. Na tej podstawie określ czas trwania obu składowych sygnału (3.9). Zanotuj Powtórz powyższy eksperyment dla krótszego okna (np. N = 30)» [X1,f,n]=c3_swifft(x,hamming(30),[1:429]);» spectrogram(x,hamming(30),29,30,1); Odpowiedz Odpowiedz na pytania: 1) Co można powiedzieć o czasach trwania poszczególnych faz widma chwilowego? 2) Jaki jest pozytywny efekt skrócenia okna? 3) Jakie są negatywne aspekty zastosowania krótszego okna? Wyznaczanie widma chwilowego za pomocą banku filtrów dolnoprzepustowych W tym punkcie widmo chwilowe sygnału (3.9) wyznaczane będzie za pomocą banku filtrów dolnoprzepustowych (LP), zgodnie z metodą opisaną w rozdziale Metoda ta opiera się na spostrzeżeniu, że wzór (3.1) dla ustalonej wartości θ może być interpretowany jako modulacja sygnałem e jrθ złożona z filtracją filtrem dolnoprzepustowym SOI o odpowiedzi impulsowej równej funkcji okna. W ćwiczeniu zastosujemy okno Hamminga o długości N = 100. Do wyznaczania widma chwilowego za pomocą banku filtrów służy procedura c3_lp. Dwa pierwsze parametry wejściowe tej procedury są identyczne jak w przypadku procedury c3_swifft, natomiast trzeci parametr określa częstotliwość unormowaną, dla której wyznaczamy widmo chwilowe. Parametr ten może być wektorem, choć w dalszych eksperymentach zwykle wyznaczać będziemy widmo chwilowe dla pojedynczej częstotliwości. W pierwszym eksperymencie porównamy (dla jednej pulsacji) widmo chwilowe wyznaczane w zadaniu za pomocą DTF, z widmem (sygnałem), które otrzymujemy na wyjściu jednego z filtrów. W tym celu wyznaczymy ponownie widmo chwilowe sygnału (3.9). Uwaga: użyj w eksperymentach sygnału x z pierwszej części zadania , tj. o składowych θ 1 = π, θ 2 = π jeśli już nie masz tego sygnału, wygeneruj go ponownie.» [X,f,n]=c3_swifft(x,hamming(100),[1:499]); Następnie, dla dowolnie wybranej częstotliwości z wektora f, np. dla f(63) = 0.12 wyznaczymy widmo chwilowe metodą filtracji dolnoprzepustowej.» Y=c3_lp(x,hamming(100),f(63)); Powtórz tę instrukcję dla innej wartości częstotliwości, np. f(50). Odpowiedz na pytania: 1) Dlaczego w obu przypadkach uzyskany przebieg czasowy ma bardzo podobny jakościowo charakter, w tym sensie, że w każdym z nich występują te same charakterystyczne fazy, w tych samych przedziałach czasowych? 2) Zastanów się, jak wygląda charakterystyka częstotliwościowa zespołu filtr+modulator. Taki zespół nie jest układem stacjonarnym, więc analiza nie jest całkiem prosta 15 potraktuj taką charakterystykę jako odpowiedź na pytanie jeśli podamy sygnał o częstotliwości f n, to jaka będzie amplituda sygnału na wyjściu. 3) Spróbuj wyjaśnić przyczyny powstawania tych faz porównując widmo chwilowe sygnału z charakterystyką częstotliwościową użytego zespołu filtru+modulatora. 15 ale nie wymaga żadnego aparatu matematycznego którego student nie zna odwagi więc! Odpowiedz

18 18 Widmo chwilowe :35 Odpowiedz Odpowiedz Wyznaczony w poprzednim punkcie przebieg czasowy Y widma chwilowego dla częstotliwości f(k) (ostatnio przyjmowaliśmy np. k = 50), odpowiada w macierzy widm X wierszowi o numerze k. Aby się o tym przekonać należy wyświetlić na jednym ekranie obydwa przebiegi» close all» subplot(211);» plot(y);» subplot(212);» plot(20*log10(abs(x(50,:))));» subplot; W eksperymencie tym zbadamy właściwości widma chwilowego dla częstotliwości równych częstotliwościom składowych sygnału x tzn. f 1 = 0.12, f 2 = Przebiegi czasowe widma chwilowego, dla wymienionych częstotliwości uzyskamy po wykonaniu następujących instrukcji:» Y1=c3_lp(x,hamming(100),0.12);» Y2=c3_lp(x,hamming(100),0.36); Odpowiedz na pytania: 1) Które fragmenty otrzymanych przebiegów czasowych odpowiadają stanowi ustalonemu na wyjściu filtru? 2) Jakim sygnałom wejściowym odpowiadają poszczególne stany ustalone w obu przebiegach? Powtórz powyższy eksperyment dla krótszego okna np. N = 30» Y1=c3_lp(x,hamming(30),0.12);» Y2=c3_lp(x,hamming(30),0.36); Odpowiedz na pytania: 1) Jaki jest skutek skrócenia okna? 2) Z czego wynika obniżenie maksymalnego poziomu obserwowanych przebiegów, w porównaniu z poprzednim przypadkiem dłuższego okna? Wskazówka: W uzyskaniu odpowiedzi na ostatnie pytanie pomocna będzie obserwacja charakterystyki amplitudowej (w skali decybelowej) obu okien za pomocą procedury c1_hamm» c1_hamm(100)» c1_hamm(30) Naszkicuj ekstra Przekonaj się, jak można rozdzielić bardzo bliskie składowe sygnału. Użyj sygnału xx z zadania , gdzie θ 1 i θ 2 różniły się o π jeśli go już nie masz, oblicz ponownie. Jak pamiętasz, rozdzielenie tych dwóch pulsacji w oparciu o widmo (3.12) było niemożliwe. Następnie oblicz widmo chwilowe w punktach θ = θ 1 i θ 2 odpowiadających szukanym składowym:» XX1 = c3_lp(xx,hamming(100),0.12);» XX2 = c3_lp(xx,hamming(100),0.125); Naszkicuj wykres obu próbek widma chwilowego w funkcji czasu i zaobserwuj na nim zmiany poziomów, które określają stany ustalone na wyjściu filtru odpowiadające obu składowym sygnału.

19 :35 Widmo chwilowe 19 Rys. 3.8: Połączenie układu do odsłuchu sygnału Analiza rzeczywistych sygnałów przy pomocy spektrogramu Analiza sygnału DTMF Opis sygnału DTMF (i tablica potrzebna do dekodowania) znajdują się w rozdziale (str. 9). Wczytaj plik z zarejestrowanym sygnałem DTMF:» [x,fs]=wavread('dtmf_nr.wav'); gdzie nr jest numerem stanowiska (01-12). W zmiennej x znajduje się zapisany sygnał dźwiękowy w standardzie DTMF z losowymi 6 symbolami. Odsłuchaj sygnał (podłącz wyjście przetwornika C/A z radiem jak na rys. 3.8):» [x,fs]=wavplay(x,fs); Zmieniając długość okna N w zakresie próbek obejrzyj spektrogram sygnału:» spectrogram(x,n,n-1,n,fs); Podaj zakres długości okna czasowego w próbkach i sekundach, który zapewnia poprawną separację czasową i częstotliwościową dwóch tonów w sygnale. Na podstawie analizy czasowo-częstotliwościowej sygnału zdekoduj ciąg 6 symboli w sygnale. zadanie extra Do dekodowania DTMF nie jest potrzebne pełne widmo wystarczają jego próbki dla ośmiu używanych częstotliwości. Próbki takie mozna obliczyć metodą modulacji i filtracji (c3_lp), ale można je też obliczyć używając algorytmu Goertzela. Zanotuj Zanotuj

20 20 Widmo chwilowe :35 Rys. 3.9: Schemat połączeń układu pomiarowego do badania widma chwilowego sygnału rzeczywistego. Użyj funkcji c3_lp albo Zdobądź niezbędną wiedzę o algorytmie Goertzela16, a następnie spróbuj go użyć do dekodowania sygnału. Porównaj czas wykonania potrzebnych obliczeń z wykorzystaniem pełnego spektrogramu oraz z zastosowanymi przez Ciebie metodami. Wskazówka: Polecenie tic (help tic) przyda się do pomiaru czasu Badanie w czasie (prawie) rzeczywistym widma chwilowego sygnału LFM W tej grupie eksperymentów badany będzie przede wszystkim sygnał sinusoidalny liniowo zmodulowany w częstotliwości (tzw. świergot, ang. chirp, inaczej nazywany sygnałem LMF, ang. LFM Linear Frequency Modulation ), opisany szczegółowo w rozdziale (str. 10). Sygnał taki generowany jest przez uniwersalny generator laboratoryjny. Jego przebieg można obejrzeć na oscyloskopie, odsłuchać za pośrednictwem radiomagnetofonu, a na koniec spróbkować i przetworzyć w komputerze PC. Połącz układ pomiarowy zgodnie z rys Generator ustaw tak, aby generował sygnał sinusoidalny o częstotliwości równej numerowi stanowiska pomnożoenmu przez 1 khz (przy wybranym zakresie mnożnika częstotliwości x10 khz). Częstotliwość sprawdź na oscylo16 Na dzień w polskiej wersji Wikipedii nic na ten temat nie ma jest natomiast w wersji angielskiej; najbliżej jednak znajdziesz potrzebną wiedzę, wpisując w Matlab'ie» doc goertzel.

21 :35 Widmo chwilowe 21 Rys. 3.10: Schemat typowego rozłożenia godzin na zegarze. skopie. Pokrętło głębokości modulacji (WIDTH) ustaw w położeniu godziny 3 (przykład zegarka z odczytem analogowym na rys. 3.10) i wyciągnij (wyciągnięcie włącza przemiatanie częstotliwości). Pokrętło szybkości przemiatania (RATE) ustaw na godz 12 i wciśnij w celu uzyskania liniowej (a nie logarytmicznej) zmiany częstotliwości. Amplitudę sygnału ustaw z pomocą oscyloskopu na ok. 2 Vpp. Podłącz sygnał do analizatora spektrogramu zbudowanego na bazie LABVIEW. W tym celu: 1) Sygnał podłącz do do wejścia AI2 panelu NI 2) Z folderu LCPSVIs (na pulpicie) uruchom lab3receiver.vi Ustaw parametry: physical channel Dev1/ai2; jest to numer kanału wejściowego (zakładamy, że sygnał jest podłączony do wejścia AI2) sampling rate 48 khz num of samples for analysis ) Uruchom przyrząd wirtualny (przyciskiem ze strzałką) i włącz pobieranie danych (przycisk Start reception). 4) Sprawdź, czy sygnał widoczny na ekranie nie wykazuje oznak przekraczania dopuszczalnej amplitudy dla przetwornika; w razie potrzeby zredukuj amplitudę. Obserwując spektrogram na przyrządzie wirtualnym wyznacz okres modulacji i minimalną oraz maksymalną częstotliwość sygnału. Pomiary wygodnie jest dokonać po zatrzymaniu obrazu (Stop reception). Zanotuj w protokole fizyczne wartości (w s i Hz) okresu oraz maksymalnej i minimalnej częstotliwości. Pamiętaj, że na spektrogramie pokazywane są wartości unormowane. Wyznacz szybkość zmian częstotliwości α (por. (3.8)) w [khz/ms]. Oblicz i zanotuj: o ile zmienia się częstotliwość sygnału podczas zbierania jednego bloku danych? Porównaj widmo sygnału i jego spektrogram. Odpowiedz na pytanie: jaka jest przyczyna pojawienia się wyraźnej szpilki na widmie dla minimalnej częstotliwości? Zmieniaj długość okna i typ okna. Po każdej zmianie użyj autoscale. Użyj także skali logarytmicznej amplitud (w miarę potrzeby). Spróbuj zauważyć na spektrogramie harmoniczne sygnału 17. Odpowiedz na pytania: Zanotuj Zanotuj Odpowiedz Odpowiedz 17 W idealnym sygnale sinusoidalnym nie powinno ich być, jednak jakość generatora w laboratorium nie jest najwyższa, co z dydaktycznego punktu widzenia jest bardzo pożyteczne. Gdyby Twój generator był zbyt dobry, przełącz go na sygnał trójkątny wtedy na pewno będziesz miał jakieś harmoniczne częstotliwości podstawowej.

22 22 Widmo chwilowe :35 Rys. 3.11: Schemat połączen do rejestracji i analizy sygnałów akustycznych 1) Jaka jest według Ciebie najlepsza długość okna (taka, przy której najostrzejszy jest rysunek zmiany częstotliwości)? 2) Jak wiąże się powyższa odpowiedź z obliczoną szybkością zmian częstotliwości? 3) Dlaczego przy niektórych oknach nie można zauważyć harmonicznych, a przy niektórych można? (zanotuj przy których) zadanie ekstra Spektrogramy sygnałów akustycznych Naszkicuj Połącz układ pomiarowy jak na rys Eksperymentuj z różnymi dźwiękami (proponujemy: gwizd, stukanie, mowa ludzka). Możesz użyć przyrządu lab3receiver.vi albo wczytać sygnał do MATLABa (poleceniem x=getdata(nprobek, Mblokow, Tprobkowania) drugi parametr ustaw zawsze równy 1). spektrogramy oznaczając na nich interesujące punkty. Naszkicuj najciekawsze zadanie ekstra Spektrogramy sygnałów radiowych Zadanie wymaga dostępności odbiornika cyfrowego USB i zainstalowanych odpowiednich sterowników 18. Odbiornik cyfrowy USB z układem Realtek RTL2832U umozliwia zarejestrowanie sygnału radiowego w postaci 8-bitowych próbek zespolonych sygnału przeniesionego do pasma podstawowego. Zainstaluj odbiornik cyfrowy w porcie USB, dołącz antenę. Uruchom program SDR# i zanotuj częstotliwość dobrze odbieranej stacji radia FM lub AM 19. Wyłącz SDR# i zarejestruj próbki sygnału radiowego, wywołując z terminala rtl_sdr -f n20000 <nazwapliku> 18 Potrzebne są sterowniki sdr-rtl, którymi trzeba zastąpić oryginalne sterowniki Windows'owe. Pod systemem Linux trzeba usunąć sterownik domyślny rmmod dvb_usb_rtl28xxu. 19 W systemie Linux odpowiednikiem będzie program gqrx.

23 :35 Widmo chwilowe 23 (podano przykład rejestracji próbek na częstotliwości 89.8 MHz) Sprawdź, czy plik powstał i ma rozsądną długość. Wczytaj dane do Matlab'a» f=fopen(<nazwapliku>);» xxx=fread(f,[2,inf],'int8');%przeczytaj dane do macierzy dwa wiersze na mozliwie wiele kolumn» fclose(f);» xxc=xxx(1,:)+j*xxx(2,;); %uzyskaj sygnał zespolony Wyświetl spektrogram danych spróbuj uzyskać ciekawy wykres dobierając długość i krok okna.