Nieliniowo w polskich szeregach finansowych wybrane metody testowania i wyniki empiryczne

Transkrypt

1 Dr Joanna Bruzda Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytet Miko aja Kopernika Nieliniowo w polskich szeregach finansowych wybrane metody testowania i wyniki empiryczne Given that much of the physical world is characterized by nonlinearity, it would be suprising if economic behaviour were any different. The real question is not whether nonlinearities ultimately describe both the economic and physical worlds, but whether linear models provide adequate approximations (...). P. Guarda, M. Salmon (1996) 1. Wprowadzenie Zachowania uczestników rynków finansowych wskazuj cz stokro, e b d ce efektem tych zachowa procesy finansowe mog by procesami nieliniowymi. Nieliniowe s postawy inwestorów wzgl dem ryzyka, oczekiwania co do stóp zwrotu z walorów gie dowych, strategiczne interakcje pomi dzy uczestnikami rynku czy procesy w czania informacji w ceny papierów warto ciowych. Dlatego te modelowanie zjawisk nieliniowych wyrasta w naturalny sposób jako jeden z problemów ekonometrii finansowej, b d c równie w zakresie zainteresowa innych dzia ów ekonometrii stosowanej. Modelowanie nieliniowe stanowi du e wyzwanie dla ekonometryków, zarówno ze wzgl du na ró norodno nieliniowych specyfikacji modelowych jak i na trudno ci w operowaniu nimi. Ró norodno ta zostaje jednak znacznie ograniczona, je li na model nieliniowy na o ymy pewne sensowne restrykcje, takie jak odwracalno czy brak wybuchowych rozwi za równania. Przegl d modeli nieliniowych maj cych zastosowanie w ekonomii mo na znale np. w pracy Granger, Teräsvirta (1993). 1 W nieliniowej analizie jednowymiarowych szeregów czasowych poszukuje si odpowiedniej funkcji wi cej dany szereg z ci giem niezale nych zmiennych losowych o jednakowym rozk adzie: x f,,, ), t ( t t 1 t gdzie x t ~ i. i. d. o redniej zero i jednostkowej wariancji. Powy sza reprezentacja okazuje si by nieco zbyt ogólna, aby mo na ni operowa wi kszo ekonomicznych szeregów czasowych mo na opisa przy pomocy nieco w szej klasy modeli postaci: x t g( t 1, t, ) t h( t 1, t, ). () 1 C.W.J. Granger, T. Teräsvirta, Modelling Nonlinear Economic Relationships, Oxford University Press 1993.

2 Joanna Bruzda Funkcja g opisuje zmiany warto ci redniej procesu x t warunkowo wzgl dem informacji z przesz o ci, za funkcja h przedstawia zmienno wariancji warunkowej tego procesu. Modele o nieliniowej funkcji g nosz nazw modeli nieliniowych w warto ci redniej, za modele z nieliniow funkcj nazywamy modelami nieliniowymi w wariancji. Podstawowa praktyczna ró nica mi dzy tymi klasami modeli polega na tym, e szeregi generowane wed ug modeli nieliniowych w warto ci redniej nie spe niaj hipotezy martynga owej i co za tym idzie istnieje mo liwo (przynajmniej teoretyczna) konstrukcji predyktorów nieliniowych o lepszych w asno ciach ni odpowiednie predyktory liniowe. Szeregi generowane wed ug modeli nieliniowych w wariancji s ró nicami martynga owymi, ale nie spe niaj za o enia niezale no ci, a wi c nie s bia ymi szumami w cis ym sensie. Przyk adami modeli nieliniowych w warto ci redniej o potencjalnym zastosowaniu w ekonometrii (w tym ekonometrii finansowej) mog by : modele bilinearne (BL), nieliniowe modele autoregresji, modele progowe i prze cznikowe oraz deterministyczne systemy nieliniowe (chaos deterministyczny). Natomiast podstawow grup modeli o zmiennej wariancji warunkowej s modele z rodziny GARCH. Oprócz powy szych specyfikacji wykorzystuje si te konstrukcje charakteryzuj ce si oboma typami nieliniowo ci, w ród których mo na wymieni modele GARCHM (GARCH in mean) oraz BLARCH. Celem niniejszego artyku u jest zaprezentowanie wybranych metod testowania liniowo ci w szeregach czasowych na przyk adzie polskich szeregów finansowych, takich jak stopy zwrotu z indeksów gie dowych i kursów walut. Niektóre z prezentowanych testów umo liwiaj równie wst pn identyfikacj rodzaju nieliniowo ci, inne za mog s u y jako ogólne testy poprawno ci specyfikacji modelowej.. Testowanie liniowo ci W literaturze ekonometrycznej mo na spotka szereg ró nych testów liniowo ci, z który znaczn cz stanowi testy wzgl dem okre lonego w hipotezie alternatywnej modelu nieliniowego. Testy wzgl dem wyspecyfikowanej alternatywy mog mie moc równie wzgl dem innych typów modeli nieliniowych. Obok testów tego typu mo na te spotka ogólne testy liniowo ci, które wykorzystuje si równie jako testy poprawno ci specyfikacji modelowej. W niniejszej pracy zastosowano 6 testów: ARCH LM, test McLeodaLi, RESET, test Hinicha, test Terdika oraz test BDS. Poni ej zostan one pokrótce opisane. Test Englea na efekt ARCH (test ARCH LM) polega na eliminacji zale no ci liniowych i oszacowaniu regresji postaci: u t 0 1 ut 1 ut p u t p t, (3) gdzie u t s resztami z dopasowanego modelu liniowego. R. Engle, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity With Estimates of the Variance of U. K. Inflations, Econometrica vol , s

3 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych... 3 Statystyka TR z powy szej regresji ma rozk ad ( p ) przy za o eniu, e reszty z modelu liniowego s niezale ne o jednakowym rozk adzie ( u t ~ i. i. d. ). Chocia wi k szo badaczy traktuje test Englea jako test mno nika Lagrangea na efekt ARCH, ma on w rzeczywisto ci moc tak e w stosunku do innych specyfikacji modelowych. 3 Test McLeoda i Li 4 polega na zastosowaniu standardowego testu autokorelacji BoxaLjunga (portmanteau test) do kwadratów reszt z modelu liniowego. Test ten by proponowany oryginalnie jako ogólny test liniowo ci, ale jest stosowany g ównie do wykrywania zmienno ci wariancji warunkowej (efektu ARCH) 5 RESET (Regression Specification Error Test) 6 jest testem liniowo ci bez wyspecyfikowanej hipotezy alternatywnej. Przebiega on w nast puj cych krokach: 1. Oszacowanie regresji postaci y X, (4) i zachowanie reszt e.. Estymacja parametrów modelu rozszerzonego: c y 3 c y k 3 k, (5) i zachowanie reszt u. 3. Testowanie hipotezy H 0 : c c3 ck 0 z uyciem statystyki RESET postaci: ( e' e u' u) /( k 1) u' u /( N k), (6) która przy za o eniu prawdziwo ci H 0 ma rozk ad F(k1,Nk). Test RESET ma zastosowanie jedynie do modeli szacowanych metod najmniejszych kwadratów. Jest on cz sto u ywany jako test poprawno ci specyfikacji modelowej. Testy Hinicha i Terdika s testami mniej popularnymi ni prezentowane powyej. Oba bazuj na poj ciu funkcji g sto ci bispektralnej (bispektrum) i zosta y zaprojektowane do wykrywania nieliniowo ci w warto ci redniej. Niech x t b dzie procesem liniowym, tj. x t s 0, (7) gdzie t jest bia ym szumem w cis ym sensie, za parametry s s sumowalne z kwadratem. Wówczas funkcja g sto ci spektralnej powy szego procesu dana jest: s t s W.A. Brock, D.A. Hsieh, B. LeBaron, Nonlinear Dynamics, Chaos, and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence, The MIT Press 1991, s. 60. A.I. McLeod, W.K. Li., Diagnostic Checking ARMA Time Series Models Using Squared Residual Autocorrelations, Journal of Time Series Analysis vol. 4 nr 4/1983, s T.H. Lee, H. White, C.W.J. Granger, Testing for Neglected Nonlinearity in Time Series Models. A Comparison of Neural Network Methods and Alternative Tests, Journal of Econometrics, vol. 56/1993, s J. Ramsey, Tests for Specification Errors in Classical Linear Least Squares Regression Analysis, Journal of the Royal Statistical Society B vol. 31/1969, s

4 4 Joanna Bruzda gdzie: f ( ) H ( ), (8) H ( ) se s 0, (9) jest funkcja transferow filtru liniowego. Zak adaj c, e procesy t i x t s stacjonarne trzeciego rz du, funkcj g sto ci bispektralnej dla x t mo na zapisa nast puj co: f ( 1, ) 3, H ( 1 ) H ( 1) H ( ). (10) Na podstawie wzoru (10) mo na stwierdzi, i funkcja g sto ci bispektralnej dla procesu Gaussowskiego jest równa zero. Dodatkowo okazuje si, i dla dowolnego procesu liniowego postaci (7) kwadrat bikoherencji B ( 1, ), zwanej tak e funkcj sko no ci, jest sta y w ca ej dziedzinie: f ( 1, ) ( 3) B ( 1, ) const f ( ) ( ) ( ) 3 1 f f 1 ( ). (11) Powy sze obserwacje stanow podstaw opartego na bispektrum testu normalno ci i liniowo ci autorstwa M. J. Hinicha 7. W te cie tym najpierw testuje si hipotez o istotno ci funkcji sko no ci, a nast pnie, je li nast puje jej odrzucenie, o sta o ci bispektrum. Test liniowo ci Terdika polega na sprawdzeniu, czy predyktor kwadratowy dla procesu x t x Q ( t) jest lepszy od predyktora liniowego x L ( t). Rozwa a si nast puj cy zestaw hipotez: H 0 : E x ( t) L H : E x ( t) i x ( t) Q x ( t) 1 L Q W celu weryfikacji powy szych hipotez po pierwsze dopasowujemy do danych model liniowy, a nast pnie liczymy reszty e t z tego modelu. W dalszej kolejno ci dzielimy zbiór obserwacji na roz czne podzbiory i estymujemy bispektra dla reszt w ka dym podzbiorze. Nast pnie wyliczamy statystyk Terdika T, która przy prawdziwo ci hipotezy zerowej ma rozk ad (n) (n jest parametrem zale nym od przyj tej d ugo ci pojedynczego segmentu danych). Szczegó y dotycz ce obu testów opartych na bispektrum mo na znale w pracy J. Bruzdy 8, gdzie zawarto tak e porównanie mocy tych testów na bazie eksperymentu symulacyjnego. Oba testy s wra liwe na odchylenia ze wzgl du na liniowo w redniej, ale wykazuj równie niewielk moc wzgl dem zmienno ci wariancji warunkowej (przede wszystkim test Terdika). s M.J. Hinich, Testing for Gaussianity and Linearity of a Stationary Time Series, Journal of Time Series Analysis vol. 3/198, s J. Bruzda, Bispektra procesów ekonomicznych kierunki zastosowa i analiza symulacyjna, Acta Universitatis Nicolai Copernici, XXXII, Toru 00.

5 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych... 5 Test BDS (Brock, Dechert, Scheinkman) 9 by pomy lany jako test su cy do wykrywania chaosu deterministycznego, ale sta si w istocie ogólnym testem liniowoci, maj cym zastosowanie zarówno do wykrywania nieliniowo ci deterministycznej jak i stochastycznej. Oznaczmy przez X, wektor postaci t m X t, m ( xt, xt 1,, xt m 1). (13) Para wektorów postaci (13) X t, m i X s, m jest wzgl dem siebie w odleg o ci nie wi kszej ni Definiujemy, je li (liczba par (t, s) spe niaj cych (11)). Wówczas statystyka BDS ma posta : x t j x s j, j 0,1,, m 1. (14) C m, T ( ) T (13) 1/ m BDS T [ C m, T ( ) C1, T ( ) ]. (15) Przy za o eniu prawdziwo ci hipotezy zerowej, e analizowany szereg jest ci giem niezale nych zmiennych losowych o jednakowym rozk adzie ( x t ~ i. i. d. ), BDS ma asymptotyczny rozk ad normalny ze redni 0 i znan, skomplikowan wariancj, zale n od m oraz,. W praktyce test BDS stosuje si do reszt z modelu liniowego i wykorzystuje w celu weryfikacji hipotezy o liniowo ci szeregu b d w celu oceny poprawno ci specyfikacji modelowej. 3. Analiza empiryczna Przedmiotem analizy by y dwa rodzaje szeregów: indeksy gie dowe WIG, WIG0, WIRR, WIGBANI, WIGBUDW, WIGINFO, WIGSPOY, WIGTELO oraz rednie kursy NBP dolara ameryka skiego, marki niemieckiej oraz euro. Obserwacje dzienne obejmowa y nast puj ce okresy: od 31 grudnia 1997 do 19 kwietnia 00 w przypadku indeksów (z wyj tkiem indeksu WIGINFO, który jest notowany od 7 sierpnia 000), od stycznia 1998 do 9 marca 00 dla kursu dolara, od stycznia 1998 do 31 grudnia 001 w przypadku marki oraz od 1 stycznia 1999 do 9 marca 00 w odniesieniu do euro. Analizowano logarytmiczne dzienne i tygodniowe stopy zwrotu, z których nie usuwano efektów kalendarzowych, poniewa okaza y si one nieistotne statystycznie. Podstawowym celem badania by o zweryfikowanie hipotezy o liniowym charakterze powy szych szeregów stóp zwrotu oraz, o ile to mo liwe, dokonanie identyfikacji pojawiaj cej si nieliniowo ci. Przed przyst pieniem do analizy z ka dego szeregu usuni to zale no ci o charakterze liniowym poprzez estymacj wskazanego kryterium Schwartza modelu autoregresji (patrz tabela 1). 9 W.A. Brock, W.D. Dechert, J.A. Scheinkman, A Test for Independence Based on the Correlation Dimension, Discussion Paper, Department of Economics, University of Wisconsin, 1986.

6 6 Joanna Bruzda Tabela 1. Rz dy autoregresji wed ug kryterium Schwartza Dzienne stopy zwrotu Tygodniowe stopy zwrotu WIG AR WIGSPOY AR WIGSPOY AR WIG AR (0) (0) (0) WIG0 AR () WIGTELO AR WIGTELO AR WIG0 AR (0) (0) WIRR AR (3) USD AR (0) WIRR AR (3) USD AR (0) WIGBANI AR EURO AR (3) WIGBANI AR (0) EURO AR WIGBUDW AR DEM AR (3) WIGBUDW AR (0) DEM AR () WIGINFO AR (0) WIGINFO AR (0) ród o: Opracowanie w asne. Procesy resztowe z modeli autoregresji poddano nast pnie szeregowi testów liniowo ci. Wyniki zawarte s w poni szych tabelach, gdzie zamieszczono tak e statystyki JarqueBera s u ce do badania normalno ci rozk adów. Pod nazwami szeregów podano d ugo próby po wyeliminowaniu zale no ci liniowych. Test RESET wykonano w ten sposób, e liczba opó nie zmiennej obja nianej by a równa rz dowi autoregresji zgodnie z wynikami w Tabeli 1 za wyj tkiem przypadków, gdy kryterium Schwartza wskazywa o na rz d opó nie 0. W takich przypadkach przyj to autoregresj rz du trzeciego. W te cie Terdika zak ada si, e zale no ci o charakterze liniowym zosta y ca kowicie wyeliminowane. Dlatego w te cie tym poddano badaniu reszty z modeli autoregresji rz du 8, które nie wykazywa y ju adnych autozale no ci. W te cie BDS przyj to = 0,5 oraz wymiary, 4 i 5. Testy Terdika i Hinicha wykonano w rodowisku MATLAB, przy czym w przypadku pierwszego z wymienionych testów wykorzystano procedur testter otrzyman od autora testu, za w przypadku drugiego procedur glstat z toolboxu HOSA (Higher Order Spectral Analysis). Pozosta e testy wykonano w programie EVIEWS 4. Tabela. [Szereg Wyniki testów liniowo ci dla dziennych stóp zwrotu JarqueBera (pvalue) kurtoza WIG (N=1074) 34,01 5,8 WIG0 (N=1073) 155,39 4,84 ARCH LM q = q =4 q =8 30,44 38,93 0,58 19,79 8,07 15,90 McLeodLi k = k =4 k =8 67,9 0,09 64,88 44,4 138,76,50 RESET k =1 k =4 3,14 (0,078) 1,01 (0,401) 1, (0,70) 4,48 Hinich H (pvalue) R emp R teor 1,37 (0,975) 7,60 (0,841) Terdik T (pvalue) 17,77 (0,17) 43,61 BDS z dim= dim=4 dim=5 6,53 9,31 11,78 7,8 10,49 1,9

7 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych... 7 WIRR (N=107) 71,99 6,88 60,13 41,51 1,1 137,05 47,0 340,0 9,94 (0,00) 5,83 6,74 (0,870) 45,99 9,69 14,3 16,68 WIG BANI (N=1073) 71,93 5,46 49,17 34,35 18,03 11,1 03,45 66,48 0,69 (0,405) 0,97 (0,43) 4,04 (0,936) 33,90 (0,00) 8,41 11,73 13,71 WIG BUDW (N=1073) 375,16 5,84 7,97 61,49 35,81 163,7 367,6 537,49 1,03 (0,310) 1,49 (0,0) 30,81 (0,714) 67,18 8,69 13,64 15,81 WIGINFO (N=45) 4,93 4,135 3,43 (0,033) 3,45 (0,009),0 (0,07) 7,09 (0,09) 14,50 (0,006) 16,43 (0,037) 1,5 (0,64) 0,74 (0,566) 1,41 (0,999) 15,64 (0,336) 1,87 (0,061),50 (0,01) 3,10 (0,00) WIG SPOY (N=1075) 40,79 6,04 49,16 31,95 18,41 11,40 185,99 71,3 0,43 (0,51) 0,4 (0,916),8 (0,964) 85,06 9,79 1,9 14,97 WIG TELO (N=1074) 37,51 3,87 10,86 7,76 13,57 3,4 18,70 163,58 4,4 (0,036),10 (0,078) 8,36 16,95 (0,59) 3,98 7,11 8,71 USD (N=1075) 1795,75 9,3 109,68 63,35 3,38 4,18 309,37 338,98 0,9 (0,337) 0,85 (0,497) 87,51 10,46 5,81 66,63 9,65 1,8 13,7 EURO (N=817) 06,19 10,56 6,18 33,60 4,1 14,3 161,74 179,60 16,18 9,60 16,0 11,99 6,83,98 (0,060) 3,09 (0,00) 5,53 5,83 DEM (N=1009) 733,76 10,8 85,4 44,4 6,31 194,88 18,35 5,87 19,51 (0,70) 9,75 146,01 14,48 7,38 55,97 5,63 8,48 9,56 ród o: Opracowanie w asne.

8 8 Joanna Bruzda Tabela 3. Szereg Wyniki testów liniowo ci dla tygodniowych stóp zwrotu Jarque Bera (pvalue) kurtoza WIG (N=4) 55,67 5,8 WIG0 (N=4) 1,1 (0,00) 4,08 WIRR (N=1) 03,88 7,59 WIGBANI (N=4) 108,6 6,0 WIG BUDW (N=4) 30,84 8,38 WIGINFO (N=88) 0,7 (0,699) 3,43 WIG SPOY (N=4) WIG TELO (N=4) 63,73 5,47 11,51 3,87 ARCH LM q = q =4 q =8 1,41 (0,46) 0,86 (0,488) 1,94 (0,056) 1,09 (0,338) 0,73 (0,574) 0,55 (0,817) 1,14 (0,3) 0,83 (0,509) 3,76,55 (0,080) 1,58 (0,181) 6,4 0,4 (0,658) 1,19 (0,315) 0,93 (0,490) 0,3 (0,74) 0,35 (0,843) 0,41 (0,910) 1,95 (0,145) 1,47 (0,1),5 (0,05) 0,58 (0,559) 1,68 (0,156) 1,43 (0,187) McLeodLi k = k =4 k =8 3,14 (0,08) 3,71 (0,447) 15,98 (0,043),34 (0,311) 3,1 (0,53) 4,59 (0,800),34 (0,310) 3,18 (0,59) 3,03 5,76 (0,056) 7,5 (0,13) 55,03 0,89 (0,64) 5,08 (0,80) 9,40 (0,310) 0,60 (0,741) 1,70 (0,791) 4,91 (0,767) 4,14 (0,16) 6,8 (0,146) 1,70 (0,006) 1,7 (0,530) 7,90 (0,096) 13,79 (0,087) RESET k =1 k =4 4,44 (0,036) 1,14 (0,339) 1,45 (0,30) 1,15 (0,336) 0,3 (0,630) 5,83 4,77 (0,030),81 (0,07) 0,11 (0,739),0 (0,093) Hinich H (pvalue) R emp R teor 100,17 8,90 5,63 74,84 3,77 4,87 54,49 (0,05) 6,60 4,36 109,93 15,58 6,3 81,99 5,11 5,19 3,05 (0,085) 1,00 (0,415) * 0,95 (0,331) 0,8 (0,516) 1,86 (0,175) 0,99 (0,413) 51,61 (0,044) 4,50 4,7 4,85 (0,01) Terdik T (pvalue) 13,10 (0,519) 9,56 (0,794) 16,09 (0,308),19 (0,075) 18,57 (0,18) 11,76 (0,67) 15,81 (0,35) 10,91 (0,694) BDS z dim= dim=4 dim=5 1,59 (0,111),08 (0,037),49 (0,013) 0,05 (0,961) 0,71 (0,478) 1,44 (0,149) 0,79 (0,430) 1,73 4,33 3,55 5,15 5,60 3,3 5,5 5,34 0,6 (0,537) 0,33 (0,743) 0,18 (0,856) 1,83 (0,067) 3,3 3,90 0,99 (0,34) 1,60 (0,111),0 (0,08)

9 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych... 9 USD (N=1) 114,99 6,3 EURO (N=168) 0,89 3,80 DEM (N=06) 156,7 6,58 1,01 (0,367) 0,49 (0,741) 0,9 (0,970) 1,15 (0,30) 0,65 (0,65) 1,14 (0,341) 0,05 (0,949) 0,05 (0,995) 0,19 (0,99),15 (0,34),15 (0,708),67 (0,953),04 (0,360),60 (0,67) 9,6 (0,31) 0,1 (0,944) 0,5 (0,993) 1,83 (0,986) * Nie mo na zastosowa testu ze wzgl du na zbyt krótk prób. ród o: Opracowanie w asne.,1 (0,146),15 (0,076) 0,16 (0,693) 1,5 (0,93) 3,67 (0,057) 1,58 (0,181) 96,03 9,75 6,06 1,64 (0,086) 41,03 (0,59) 11,88 (0,617) 69,36 5,1 5,01 17,00 (0,63) 1,85 (0,065) 1,8 (0,069) 1,66 (0,097),31 (0,01) 3,44 4, 1,73 (0,084),51 (0,01) 3,40 Najcz ciej wykorzystywanym modelem nieliniowym w ekonometrii finansowej jest model GARCH, zak adaj cy zmienno wariancji warunkowej procesu. Dlatego kolejnym etapem analizy by o oszacowanie modeli AR (p)garch (1,1) z warunkowym rozk adem normalnym i przebadanie standaryzowanych reszt z tych modeli. Modele te szacowano algorytmem BHHH (Berndt, Hall, Hall, Hausman 10 ). Wyniki testów nieliniowo ci zawieraj dwie poni sze tabele, które nie przedstawiaj wyników testu RESET, poniewa test ten dotyczy wy cznie modeli szacowanych metod najmniejszych kwadratów. W pracy Nonlinear Dynamics, Chaos, and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence 11 wykazali na drodze eksperymentu symulacyjnego, e rozk ad statystyki BDS zastosowanej do reszt z modeli ARCH, GARCH i EGARCH znacznie ró ni si od rozk adu normalnego. W pracy tej mo na znale w a ciwe w tym przypadku kwantyle rozk adu statystyki BDS dla prób d ugo ci 100, 500, 1000 i 500 oraz m =, 3, 4, 5 (a tak e 10, gdy próba ma d ugo 1000 i wi cej obserwacji). Kwantyle te zamieszczono poni ej Tabel 4 i 5. Nale y zwróci uwag, e w badaniu nie dysponowano kwantylami dla próby d ugo ci 00 i dlatego wnioskowanie na temat nieliniowo ci w standaryzowanych resztach z modeli GARCH dla tygodniowych stóp zwrotu ma charakter tylko i wy cznie przybli ony. W Tabeli 4 t ustym drukiem wyró niono przypadki odrzucenia hipotezy o liniowo ci w te cie BDS na poziomie 5%, natomiast w Tabeli 5 wyró niono przypadki, w których istnieje podejrzenie nieliniowo ci i w których nale y przeprowadzi prawid owe wnioskowanie statystyczne z u yciem odpowiednich warto ci krytycznych E. R. Berndt, B.H. Hall, R.E. Hall, J.A. Hausman, Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models, Annals of Economic and Social Measurement vol. 4/1974, s W.A. Brock, D.A. Hsieh, B. LeBaron, Nonlinear Dynamics, Chaos, and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence, The MIT Press 1991.

10 30 Joanna Bruzda Tabela 4. Szereg Wyniki testów liniowo ci dla standaryzowanych reszt z modeli ARGARCH dla dziennych stóp zwrotu Jarque Bera (pvalue) kurtoza WIG (N=1074) 35,0 3,87 WIG0 (N=1073) 13,97 3,56 WIRR (N=107) 134,86 4,45 WIG BANI (N=1073) WIG BUDW (N=1073) 95,96 4,46 57,87 4,00 WIGINFO (N=45) 19,4 3,95 WIG SPOY (N=1075) WIG TELO (N=1074) 451,41 6,00 16,76 3,59 ARCH LM q = q =4 q =8 0,40 (0,673) 1,3 (0,59) 1,07 (0,385) 0,53 (0,59) 1,00 (0,409) 0,83 (0,576) 0,4 (0,657) 0,30 (0,877) 0,47 (0,877),57 (0,077) 1,9 (0,71) 1,37 (0,06) 0,43 (0,651) 0,33 (0,856) 0,33 (0,954) 0,01 (0,987) 1,83 (0,11) 1,38 (0,04) 1,40 (0,47) 0,96 (0,49) 0,99 (0,439) 0,64 (0,57),94 (0,00) 1,73 (0,088) McLeodLi k = k =4 k =8 0,78 (0,678) 5,44 (0,45) 9,08 (0,335) 1,05 (0,59) 3,90 (0,419) 7,8 (0,507) 0,84 (0,656) 1,17 (0,883) 3,91 (0,865) 5,37 (0,068) 5,40 (0,49) 11,3 (0,184) 0,87 (0,649) 1,39 (0,846),47 (0,963) 0,03 (0,987) 7,4 (0,115) 11,69 (0,166),84 (0,4) 3,85 (0,46) 8,33 (0,40) 1,9 (0,54) 11,93 (0,018) 14,64 (0,067) Hinich H (pvalue) R emp R teor 4,43 8,63 9,17 6,45 4,7 1,46 1,94 5,55 Terdik T (pvalue) 8,77 (0,846) 13,59 (0,481) 1,04 (0,604) 10,45 (0,79) 10,11 (0,755) 11,58 (0,641) 13,71 (0,47) 13,39 (0,496) BDS z dim= dim=4 dim=5 0,14 0,30 Szereg 0,91 WIG (N=1074) 0,96 0,85 1,44 WIG0 (N=1073) 0,40 0,81 0,99 WIRR (N=107),10,74,5 WIGBANI (N=1073) 0,39 0,61 0,98 0,03 0,5 WIG BUDW (N=1073) 0,77 WIGINFO (N=45) 3,75 3,47 3,4 WIGSPOY (N=1075) 0,07 0,55 1,47 WIGTELO (N=1074)

11 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych USD (N=1075) 99,69 4,37 EURO (N=817) 385,46 6,13 DEM (N=1009) 166,70 8,99 1,09 (0,335) 1,09 (0,359) 1,63 (0,11),7 (0,067) 1,78 (0,131) 1,49 (0,158) 0,69 (0,504) 0,57 (0,68) 0,54 (0,830),6 (0,33) 4,35 (0,361) 13,3 (0,104) 5,71 (0,058) 7,17 (0,17) 8,55 (0,381) 1,4 (0,49),34 (0,674) 4,4 (0,835) 8, 4,60 (0,95) 37,10 (0,418),36 (0,071) 10,90 (0,695) 7,16 (0,98) 0,38 0,49 0,8 USD (N=1075) 0,47 0,55 0,98 EURO (N=817) 0,56 0,09 0,70 DEM (N=1009) Kwantyle rozk adu statystyki BDS dla stand. reszt z modelu GARCH (1,1) (1000 obserwacji, = 0,5 ): m = : 1,84 (,5%), 1,59 (5%), 1,44 (95%), 1,80 (97,5%); m = 4: 1,80 (,5%), 1,49 (5%), 1,55 (95%), 1,9 (97,5%); m = 5:,05 (,5%), 1,77 (5%), 1,74 (95%),,19 (97,5%) ród o: Brock i in., op. cit., s. 78. Tabela 5. Szereg Wyniki testów liniowo ci dla standaryzowanych reszt z modeli ARGARCH dla tygodniowych stóp zwrotu Jarque Bera (pvalue) kurtoza WIG (N=4) 19,67 4,35 WIRR (N=1) 9,10 4,476 WIGBANI (N=4),63 4,43 WIG BUDW (N=4) 5,88 5,9 ARCH LM q = q =4 q =8 0,0 (0,985) 0,40 (0,81) 0,50 (0,855) 1,15 (0,319) 0,59 (0,674) 0,43 (0,905) 0,06 (0,938) 0,34 (0,851) 1,3 (0,35) 0,15 (0,857) 0,39 (0,816) 0,4 (0,907) McLeodLi k = k =4 k =8 0,03 (0,985) 1,68 (0,794) 4,60 (0,800),44 (0,96),45 (0,654) 3,8 (0,873) 0,13 (0,938) 1,45 (0,836) 11,15 (0,19) 0,30 (0,859) 1,48 (0,89) 3,6 (0,890) Hinich H (pvalue) R emp R teor 67,16 5,3 4,45 41,7 (0,51) 61,56 (0,005) 8,0 4,66 56,7 (0,017) 1,79 4,35 Terdik T (pvalue) 10,60 (0,718) 11,9 (0,664) 9,50 (0,798) 13,1 (0,511) BDS z dim= dim=4 dim=5 0,03 0,11 0,1 0,47 0,56 1,3 0,08 0,17 0,49 1,34,16,15

12 3 Joanna Bruzda WIGSPOY (N=4) 4,47 5,05 WIGTELO (N=4) 7,99 (0,018) 3,64 USD (N=1) 86,11 5,83 EURO (N=168) 13,61 3,45 DEM (N=06) 103,47 5,79 0,36 (0,697) 0, (0,930) 0,30 (0,965) 0,5 (0,783) 0,41 (0,804) 0,59 (0,788) 0,09 (0,910) 0,08 (0,988) 0,07 0,09 (0,917) 0,60 (0,661) 0,70 (0,689) 0,19 (0,830) 0,37 (0,833) 0,59 (0,787) 0,75 (0,689) 0,85 (0,931),39 (0,967) 0,50 (0,978) 1,55 (0,817) 5,05 (0,753) 0,19 (0,909) 0,34 (0,987) 0,58 0,17 (0,918),60 (0,66) 5,64 (0,688) 0,40 (0,819) 1,66 (0,797) 5,66 (0,685) 36,43 (0,449) 35,35 (0,500) 64,85 (0,00) 3,95 4,98 43,9 (0,171) 68,64 8,83 4,99 8,87 (0,840) 7,00 (0,935) 10,70 (0,711) 11,8 (0,6) 3,9 (0,056) 0,46 0,87 1,37 0,45 0,40 0,34 0,33 0,39 0,67 1,1,73 3,54,0,97 3,74 Kwantyle rozk adu statystyki BDS dla stand. reszt z modelu GARCH (1,1) (100 obserwacji, = 0,5 ): m = : 3,8 (,5%), 3,06 (5%), 3,04 (95%), 4,17 (97,5%); m = 4: 5,73 (,5%), 4,59 (5%), 4,77 (95%), 6,31 (97,5%); m = 5: 7,5 (,5%), 5,97 (5%), 7,1 (95%), 9,41 (97,5%) (500 obserwacji, = 0,5 ): m = :,00 (,5%), 1,71 (5%), 1,56 (95%), 1,95 (97,5%); m = 4:,19 (,5%), 1,9 (5%),,00 (95%),,46 (97,5%); m = 5:,74 (,5%),,34 (5%),,65 (95%), 3,5 (97,5%) ród o: Brock i in., op. cit., s Wyniki testów ARCH LM oraz McLeoda Li dla danych tygodniowych ka odrzuci efekt ARCH w odniesieniu do szeregów WIG0, WIGBUDW, WIGINFO, USD, EURO i DEM, najprawdopodobniej z powodu stosunkowo krótkich prób. Mimo tego modele ARGARCH (1,1) zosta y dla tych danych oszacowane, a szacunki parametrów modelu GARCH okaza y si by w wi kszo ci przypadków sabo istotne. Nieistotne parametry modeli GARCH otrzymano jedynie dla WIG0 oraz WIGINFO. Dlatego te dwa szeregi nie zosta y uwzgl dnione w Tabeli 5.

13 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych Wnioski Wyniki testów liniowo ci mo na zebra w postaci nast puj cych wniosków: 1. Nieliniowo jest obserwowana zarówno w danych dziennych jak i w danych tygodniowych, przy czym w tym drugim przypadku najprawdopodobniej ze wzgl du na niewielk ilo obserwacji hipoteza o liniowo ci procesów jest odrzucana znacznie rzadziej. Nale y te doda, e w przypadku danych tygodniowych, ze wzgl du na d ugo próby, testy oparte na bispectrum (Hinicha i Terdika) s ma o u yteczne.. Zarówno dla danych dziennych jak i tygodniowych model GARCH (1,1) z warunkowym rozk adem normalnym eliminuje wi ksz cz zale no ci nieliniowych. W tygodniowych stopach zwrotu brak jest niekiedy widocznego efektu ARCH (patrz c na wyniki testów ARCH LM i McLeodLi), ale i wówczas estymacja modelu GARCH daje cz sto istotne parametry i praktycznie usuwa nieliniowo. 3. Uzyskane wyniki nie wskazuj jasno, e GARCH jest najw a ciwsz specyfikacj dla analizowanych szeregów finansowych. Wyci gaj c wnioski w oparciu o testy na resztach powinni my zachowa daleko posuni t ostro no, poniewa niepoprawnie wyspecyfikowany model mo e zmieni delikatn nieliniow struktur szeregów. 4. Najwa niejszym wiadectwem obecno ci innych ni ARCH rodzajów nieliniowoci s wyniki testów opartych na bispectrum (przede wszystkim testu Hinicha). Testy bispectrum, jako testy wykorzystuj ce cz sto ciowe odpowiedniki wspó czynników bikorelacji, s u wykrywaniu nieliniowo ci w warto ci redniej procesów. W szczególno ci test Hinicha ma bardzo ma moc w odniesieniu do procesów z rodziny GARCH. 5. W wietle powy szej uwagi wida, e w przypadku dziennych stóp zwrotu z indeksów i dziennych stóp zwrotu z walut mamy do czynienia z innymi jako ciowo mechanizmami generuj cymi dane. Test Hinicha wskazuje bowiem na nieliniowo w warto ci redniej w odniesieniu do walut, a nie wykazuje nieliniowo ci tego typu w stosunku do indeksów. Jednak e, pomimo e obserwujemy w stopach zwrotu z dolara, euro i marki niemieckiej nieliniowo inn ni ARCH, estymacja modeli GARCH (1,1) zdaje si usuwa wi ksz cz zale no ci nieliniowych. 6. Standaryzowane reszty z modelu GARCH (1,1) nadal wykazuj nieliniowo w przypadku szeregów WIGBANI, WIGSPOY, WIGTELO, EURO i USD dla danych dziennych oraz DEM dla danych tygodniowych. Pozosta e obserwowane autozale no ci mog by wynikiem nie do ko ca usuni tej liniowo ci (wydaje si to ma o prawdopodobne), mog wynika z nieca kowicie wyeliminowanego efektu ARCH (jak mo e to mie miejsce w odniesieniu dziennych stóp zwrotu z WIG BANI, WIGTELO i EURO, gdzie testy ARCH LM i McLeodLi nadal wskazuj na wyst powanie zale no ci dla kwadratów obserwacji), czy wreszcie mog wskazywa na obecno innego typu zale no ci nieliniowych nieliniowo ci w wartoci redniej, a nawet chaosu deterministycznego. Dlatego w dalszej kolejno ci nale a oby spróbowa dopasowa do danych inne modele z rodziny GARCH. Ciekawa by aby równie analiza w asno ci reszt z modeli bilinearnych BL (trak

14 34 Joanna Bruzda towanych cz sto jako alternatywa dla modeli GARCH 1 ), wykorzystywanych do opisu nieliniowo ci w warto ci redniej procesów, a szczególnie nieliniowo ci wykrywanej z zastosowaniem testów bispectrum, lub te analiza reszt z modeli BL ARCH, które s u jednoczesnemu modelowaniu nieliniowo ci w warto ci redniej i w wariancji procesów. Obecno efektu ARCH mo e by bowiem wynikiem z ej specyfikacji warunkowej warto ci redniej 13, za dopasowanie modelu GARCH mo e absorbowa wi kszo obserwowanej nieliniowo ci Zaprezentowane wyniki s zgodne z wynikami bada dotycz cych rozwini tych rynków finansowych 15, w których udokumentowano, e dzienne stopy zwrotu z walorów gie dowych cz sto okazuj si nie by ró nicami martynga owymi (procesy GARCH s ró nicami martynga owymi). 8. Kolejnym interesuj cym pytaniem jest, czy ewentualne zale no ci nieliniowe w warto ci redniej (tj. zale no ci, które mog by u yteczne w prognozowaniu), nie b d przejawia si w wielu przypadkach jedynie w krótszych okresach. Wyniki bada na ten temat 16 zdaj si potwierdza t hipotez. Problemem, z którym naley si w tej sytuacji zmierzy, jest kwestia d ugo ci próby 17 (patrz np. Brock i in., s. 107). Wi kszo testów nieliniowo ci (np. BDS, testy Hnicha i Terdika) wymaga bowiem dysponowania prób o odpowiedniej d ugo ci (co najmniej 300 obserwacji). Nieliniowo w warto ci redniej mo e w konkretnej sytuacji okaza si niemo liwa do wykrycia i nast pnie wykorzystania w prognozowaniu. Bibliografia 1. Abhyankar A., Copeland L. S., Wong W., Uncovering Nonlinear Structure in RealTime StockMarket Indexes: The S&P 500, the DAX, the Nikkei 5, and the FTSE100, Journal of Business & Economic Statistics vol. 15 nr 1/1997, s Ashley R. A., Patterson D. M., Linear Versus Nonlinear Macroeconomies: a Statistical Test, International Economic Review vol. 30 nr 3/1989, s Ashley R., Patterson D., Hinich M. L., A Diagnostic Test for Nonlinear Serial Dependence in Time Series Fitting Errors, Journal of Time Series Analysis vol. 7/1986, s Patrz np. A. A. Weiss, ARCH and Bilinear Time Series Models: Comparison and Combination, Journal of Business & Economic Statistics vol. 4 nr 1/1986, s. 5970; A. K. Bera, M. L. Higgins, ARCH and Bilinearity as Competing Models for Nonlinear Dependence, Journal of Business & Economic Statistics vol. 15 nr 1/1997, s C. W. J. Granger, T. Teräsvirta, op. cit., s. 67. Por. Lee, op. cit., s. 89. Patrz np.: W. A. Brock, op. cit., str. 105; M. J. Hinich, D. Patterson, Evidence of Nonlinearity in Daily Stock Returns, Journal of Business and Economic Statistics vol. 3 nr 1/1985, s Patrz np.: P. Guarda, M. Salmon, Detection of Nonlinearity in ForeignExchange Data w: Nonlinear Dynamics and Economics, praca zbiorowa pod red. W.A. Barnett, A.P. Kirman, M. Salmon, Proceedings of the Tenth International Symposium in Economic Theory and Econometrics, Cambridge University Press 1996, s W.A. Brock, op. cit., s. 107.

15 Nieliniowo w polskich szeregach finansowych Barnett W. A., Gallant A. R., Hinich M. J., Jungeilges J. A., Kaplan D. T., Jensen M. J., A SingleBlind Controlled Competition Among Tests for Nonlinearity and Chaos, Journal of Econometrics vol. 8/1997, s Bera A. K., Higgins M. L., ARCH and Bilinearity as Competing Models for Nonlinear Dependence, Journal of Business & Economic Statistics vol. 15 nr 1/1997, s Berndt E. R., Hall B. H., Hall R. E., Hausman J. A., Estimation and Inference in Nonlinear Structural Models, Annals of Economic and Social Measurement vol. 4/1974, s Brock W. A., Dechert W. D., Scheinkman J. A., A Test for Independence Based on the Correlation Dimension, Discussion paper, Department of Economics, University of Wisconsin, Madison WI Brock W. A., Hsieh D. A., LeBaron B., Nonlinear Dynamics, Chaos, and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence, The MIT Press Brockett P. L., Hinich M. J., Patterson D., BispectralBased Tests for the Detection of Gaussianity and Linearity in Time Series, Journal of the American Statistical Association vol. 83 nr 403/1988, s Bruzda J., Bispektra procesów ekonomicznych kierunki zastosowa i analiza symulacyjna, Acta Universitatis Nicolai Copernici, XXXII, Toru 00, w recenzji. 11. Campbell J. Y., Lo A. W., MacKinlay A. C., The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press Engle R., Autoregressive Conditional Heteroscedasticity With Estimates of the Variance of U. K. Inflations, Econometrica vol , s Granger C. W. J., Andersen A. P., An Introduction to Bilinear Time Seies Models, Vandenhoeck and Ruprecht, Göttingen Granger C. W. J., Teräsvirta T., Modelling Nonlinear Economic Relationships, Oxford University Press Guarda P., Salmon M., Detection of Nonlinearity in ForeignExchange Data w: Nonlinear Dynamics and Economics, praca zbiorowa pod red. W, A. Barnett, A. P. Kirman, M. Salmon, Proceedings of the Tenth International Symposium in Economic Theory and Econometrics, Cambridge University Press 1996, s Hinich M. J., Testing for Gaussianity and Linearity of a Stationary Time Series, Journal of Time Series Analysis vol. 3/198, s Hinich M. J., Patterson D., Evidence of Nonlinearity in Daily Stock Returns, Journal of Business and Economic Statistics vol. 3 nr 1/1985, s Hinich M. J., Patterson D. M., Evidence of Nonlinearity in the TradebyTrade Stock Market Return Generating Process w: Economic Complexity: Chaos, Sunspots, Bubbles, and Nonlinearity, praca zbiorowa pod red. W. A. Barnett, J. Geweke, K. Shell, Cambridge University Press 1989, s Lee T.H., White H., Granger C. W. J., Testing for Neglected Nonlinearity in Time Series Models. A Comparison of Neural Network Methods and Alternative Tests, Journal of Econometrics, vol. 56/1993, s

16 36 Joanna Bruzda 0. McLeod A. I., Li W. K., Diagnostic Checking ARMA Time Series Models Using Squared Residual Autocorrelations, Journal of Time Series Analysis vol. 4 nr 4/1983, s Ramsey J., Tests for Specification Errors in Classical Linear Least Squares Regression Analysis, Journal of the Royal Statistical Society B vol. 31/1969, s Subba Rao T., Analysis of Nonlinear Time Series (and Chaos) by Bispectral Methods w: Nonlinear Modeling and Forecasting, SFI Studies in the Sciences of Complexity, praca zbiorowa pod red. M. Casdagli, S. Eubank Proc. Vol. XII, Addison Wesley 199, s Terdik G., Bilinear Stochastic Models and Related Problems of Nonlinear Time Series Analysis. A Frequency Domain Approach, Springer Verlag Terdik G., Máth J., A New Test of Linearity for Time Series Based on Its Bispectrum, Journal of Time Series Analysis vol. 19 nr 6/1998, s Tong H., NonLinear Time Series: A Dynamical System Approach, Clarendon Press, Oxford Vilasuso J., Tests for Nonlinearity in EMS Exchange Rates, Studies in Nonlinear Dynamics and Econometrics, Quarterly Journal vol. 1 nr 3/1997, s Weiss A. A., ARCH and Bilinear Time Series Models: Comparison and Combination, Journal of Business & Economic Statistics vol. 4 nr 1/1986, s