Rakiety. Liceum Klasy I III Doświadczenie konkursowe nr 4

Transkrypt

1 Liceum Klasy I III Doświadczenie konkursowe nr 4 Rok 2017

2 1. Wstęp teoretyczny Na Ziemi, poruszające się pojazdy cały czas oddziałują z jakimś ośrodkiem (powietrzem, wodą, podłożem), które może posłużyć do odepchnięcia pojazdu, bądź też do jego zasilenia (np. powietrze jest wykorzystywane do spalania paliwa w silnikach spalinowych i odrzutowych). W przestrzeni kosmicznej nie jest to jednak możliwe. Poza eksperymentalnymi metodami (jak np. żagiel słoneczny), jedynym dającym się zastosować napędem w kosmosie, jest napęd rakietowy, działający na zasadzie odrzutu (Rys.1). Rysunek 1. Start promu kosmicznego. Źródło: Wikipedia 1. W napędzie tym, gorące gazy wylotowe, rozpędzone do wielkich prędkości, wyrzucane zostają z tyłu rakiety. Zgodnie z zasadą zachowania pędu, pęd tych gazów musi być zrównoważony przez przeciwnie skierowany pęd nadany rakiecie. Oznacza to, że im większa masa i prędkość wyrzuconych gazów, tym większa prędkość uzyskiwana przez rakietę. Całkowita masa wyrzuconych gazów, musi być jednak najpierw zabrana na pokład rakiety w postaci paliwa oraz ewentualnie utleniacza. Czyni to napęd rakietowy bardzo nieefektywnym, jeśli chodzi o ilość paliwa potrzebnego do rozpędzenia pojazdu. W przypadku silników odrzutowych, pracujących na podobnej zasadzie, ale stosowanych np. w samolotach, ogromną część masy wyrzuconych gazów stanowi tlen, w którym spala się paliwo. Tlen ten jest jednak pobierany z powietrza, w którym porusza się silnik (nie musi być zabierany na pokład pojazdu). Prędkość, do jakiej można rozpędzić rakietę o masie początkowej m 1 i końcowej m 2 (różnica: m 1 - m 2 stanowi masę zużytego paliwa), określa wzór znany jako równanie Ciołkowskiego: V m = w ln 1 m 2, gdzie: V prędkość końcowa uzyskana przez rakietę, w prędkość gazów wylotowych 1 2

3 wypuszczanych z dyszy, ln oznacza logarytm naturalny 2. Stosunek m 1 /m 2 nazywa się stosunkiem mas i jest kluczowym parametrem. Rakieta nie może zabrać nieskończenie wiele paliwa. Zbiorniki paliwa i inne elementy konstrukcyjne też maja swoja masę i wliczają się do masy końcowej m 2, kosztem ładunku użytecznego (np. satelity, do którego wystrzelenia użyta jest rakieta). Mimo, że konstruktorzy starają się konstruować jak najlżejsze zbiorniki paliwa, ich masy nie da się zredukować do zera. Stąd wykorzystuje się rakiety wielostopniowe. Zużyte stopnie (elementy rakiety) są po kolei odrzucane w czasie startu, by zredukować masę pojazdu (Rys.2). Stopnie te są niestety zwykle jednorazowego użytku, a ich wyprodukowanie jest bardzo drogie. Między innymi z tego powodu podróże kosmiczne są tak kosztowne. Rysunek 2. Oddzielenie pierwszego stopnia rakiety Saturn V. Źródło: Wikipedia. Równanie Ciołkowskiego mówi nam, że im większy stosunek mas i im większa prędkość gazów wylotowych, tym większa końcowa prędkość rakiety V. Ponieważ końcowa prędkość zależy od stosunku mas w sposób logarytmiczny (mało efektywny), a od prędkości gazów wylotowych w sposób liniowy (bardziej efektywny), teoretycznie najlepszym sposobem zwiększenia efektywności rakiety (zwiększenia uzyskiwanej przez nią prędkości, bądź też zmniejszenia stosunku mas, tak by rakieta mogła do tej samej prędkości rozpędzić większy ładunek użyteczny) byłoby właśnie zwiększenie prędkości gazów wylotowych w. Powszechnie stosowanym sposobem wyrażenia prędkości gazów wylotowych w inżynierii rakietowej jest tzw. impuls właściwy I sp, wyrażany w sekundach. Definiuje się go jako stosunek popędu wytworzonej siły ciągu do ciężaru zużytego paliwa (i ewentualnie utleniacza) w warunkach przyspieszenia ziemskiego g = 9,81 m/s 2. Po przekształceniach można otrzymać relację: w = g I sp. Typowe wartości I sp dla obecnie stosowanych paliw rakietowych oscylują w granicach kilkuset sekund. na paliwo stałe mają I sp ~ 200 s, co odpowiada w ~ 2 km/s. Kombinacja lotniczej nafty oraz ciekłego tlenu, powszechnie stosowana w rakietach nośnych (ze względu na łatwość uzyskiwania i przechowywania), posiada I sp ~ s. Najbardziej efektywnym paliwem rakietowym stosowanym obecnie jest kombinacja ciekłego wodoru z ciekłym tlenem (w wyniku spalania uzyskiwana jest po prostu para wodna), mająca I sp dochodzący do 450 s (w próżni kosmicznej). Taka kombinacja ma jednak i swoje wady. Ciekły wodór charakteryzuje się małą gęstością i niską temperaturą wrzenia (ok. 20 K), toteż potrzebuje olbrzymich i ciężkich zbiorników. Idealnym rozwiązaniem na obniżenie kosztów lotów kosmicznych byłoby zbudowanie jednostopniowego statku kosmicznego wielorazowego użytku, zwanego z angielska Single-Stage- To-Orbit, SSTO (Rys.3). Po wylądowaniu z powrotem na Ziemi nie trzeba byłoby produkować na 2 logarytm naturalny jest to logarytm o podstawie e. Liczba e jest to stała równa ok. 2,718. 3

4 nowo kosztownych stopni rakietowych, wystarczyłoby zatankować SSTO, postawić z powrotem na wyrzutni i wystrzelić ponownie. Problemem jest jednak odpowiednie zredukowanie masy pojazdu by mógł on osiągnąć orbitę i przy tym wynieść jakiś użyteczny ładunek. Rysunek 3. Wyobrażenie SSTO projektu Venture Star. Źródło: Wikipedia. Dla ilustracji tego problemu zwróćmy uwagę na promy kosmiczne. Zewnętrzny, jednorazowy zbiornik promu kosmicznego (Rys.4) mieszczący ciekły tlen i ciekły wodór (w próżni I sp = 450 s, na poziomie morza ze względu na ciśnienie atmosferyczne I sp ok. 360 s) miał masę ok kg. Zaś po napełnieniu ok kg. Innymi słowy, masa pustego zbiornika stanowiła ok. 1/25 pełnego. Spalające wodór i tlen silniki promu kosmicznego, w liczbie trzech, jedne z najdoskonalszych silników rakietowych na świecie, miały masę ok. 3 tony, a wytwarzały ciąg ok. 180 ton każdy. Stosunek ciągu do ciężaru 60:1, był za mały by unieść choćby sam zbiornik z paliwem. Stąd promy kosmiczne musiały przy starcie wykorzystywać dodatkowe dwie odrzucane rakiety na paliwo stałe. Rysunek 4. Zbiornik zewnętrzny promu kosmicznego. Źródło: Wikipedia. Kolejnym ze sposobów uczynienia lotów kosmicznych łatwiejszymi, byłoby zastosowanie ulepszonych napędów rakietowych o większym I sp. Ideą najbliższą realizacji praktycznej, było zbudowanie jądrowych silników rakietowych. W takim silniku wodór byłby podgrzewany przechodząc przez reaktor, a następnie wyrzucany z dyszy. Silnik taki umożliwiałby uzyskanie I sp dochodzących do 900 s. W latach 60-tych zbudowano kilka prototypów takich silników w ramach 4

5 programu NERVA (ang. Nuclear Engine for Rocket Vehicle Application). Niestety w wyniku cięć budżetowych po zakończeniu programu Apollo, postanowiono dla oszczędności cały program skasować. Na koniec warto wspomnieć, że nadal rozwijana jest technologia silników jonowych (Rys.5). Choć nie można ich wykorzystać do wynoszenia statków kosmicznych na orbitę, ze względu na ich bardzo mały ciąg, to są one stosowane w misjach kosmicznych do napędzania pojazdów znajdujących się już w przestrzeni kosmicznej. W przeciwieństwie do chemicznych silników omówionych powyżej, są to silniki elektryczne. W silnikach tych, czynnikiem nośnym są jony (naładowane cząsteczki), przyspieszane do bardzo dużych prędkości w polu elektromagnetycznym i wyrzucane na zewnątrz w postaci wiązki. Silniki te mają I sp rzędu kilku tysięcy sekund. Rysunek 5. Silnik jonowy. Źródło: NASA 3. Typowa podróż kosmiczna składa się z kilku etapów, w których kolejno na krótki czas włączane są silniki rakietowe, tak by zmienić prędkość pojazdu o jakąś wartość ΔV (Delta-V). Sumując wszystkie zmiany prędkości, które musimy wykonać w trakcie naszej podróży, możemy obliczyć całkowite Delta-V. Następnie, całkowite Delta-V możemy podstawić do wzoru Ciołkowskiego, aby obliczyć stosunek mas, a tym samym ilość paliwa niezbędną do wykonania wszystkich manewrów. By wystrzelony obiekt nie spadł z powrotem na powierzchnię ciała niebieskiego, należy nadać mu prędkość większą lub równą pierwszej prędkość kosmicznej. Dla Ziemi wynosi ona ok. 7,9 km/s. By umieścić taki pojazd na orbicie leżącej na pewnej wysokości ponad powierzchnią danego ciała, trzeba pokonać siłę grawitacji oraz oporu atmosfery, jeżeli taka otacza dane ciało niebieskie. Stąd całkowita Delta-V, potrzebna na wyniesienie satelity na orbitę jest nieco większa. Dla orbity okołoziemskiej wynosi ona ok. 9 km/s. By pojazd mógł polecieć w stronę innych obiektów astronomicznych, to musi na początku uzyskać co najmniej drugą prędkość kosmiczną. Prędkość tą możemy również rozpatrywać, jako prędkość, którą uzyska ciało spadające na dany obiekt z bardzo dużej odległości. Dla Ziemi wynosi ona ok. 11,2 km/s. 2. Cel doświadczenia Celem doświadczania jest zapoznanie się z podstawowymi pojęciami opisującymi ruch pojazdu napędzanego silnikiem rakietowym, obliczenie niezbędnego stosunku mas pojazdu rakietowego 3 5

6 przy locie na orbitę wokółziemską oraz na Księżyc i z powrotem. 3. Opis wykonania doświadczenia ZADANIE 1 Przypuśćmy, że mamy rakietę o całkowitej masie m, na którą składa się paliwo i utleniacz, łącznie o masie 2/3 m oraz ładunek użyteczny (np. satelita) o masie 1/3 m. Przyjmujemy dla uproszczenia, że masa wszystkich pozostałych części: zbiorników paliwa, przewodów, silników, itp. jest pomijalnie mała i możesz ją zaniedbać. Po zużyciu całego paliwa rakieta jest w stanie rozpędzić się do prędkości V. O ile większa musi być masa rakieta by mogła się rozpędzić do prędkości 2V, 3V i 4V? ZADANIE 2 Przekształcić równanie Ciołkowskiego do postaci, w której określałoby ono stosunek mas, w zależności od prędkości gazów wylotowych w i docelowej prędkości, do jakiej chcemy rozpędzić rakietę V. ZADANIE 3 Oblicz stosunek mas potrzebny do uzyskania prędkości koniecznej do wyniesienia satelity na orbitę okołoziemską (Delta-V: 9 km/s), jeśli I sp wynosi 300 s. Załóż, że wystrzeliwujemy pojazd o masie 5 ton (jest to masa docelowa na orbicie okołoziemskiej), możemy przy tym zaniedbać masę zbiorników paliwa, silników itp. Ile wynosiła początkowa masa rakiety? ZADANIE 4 Wyobraź sobie, że wybierasz się podobnym pojazdem, o masie 5 ton, na Księżyc, a później z powrotem na Ziemię. Dla celów tego doświadczenia przyjmijmy, że nasza podróż składałby się z następujących etapów: 1. Najpierw startujemy na niską orbitę parkingową wokół Ziemi. Delta-V potrzebna do tego manewru wynosi, jak wspomniano, ok. 9 km/s. 2. Później, z orbity parkingowej, wystrzeliwujemy nasz pojazd na trajektorię w kierunku Księżyca. Potrzebujemy do tego zmiany prędkości o wartość ok. 3 km/s. 3. Nasz pojazd musi dysponować zapasem prędkości na niezbędne korekty trajektorii i lądowanie na Księżycu. Druga prędkość kosmiczna dla Księżyca wynosi ok. 2,5 km/s. Musimy tą prędkość wyhamować i mieć jeszcze zapas paliwa na bezpieczne lądowanie. Sumarycznie do wykonania tych manewrów potrzebujemy zmiany prędkości o ok. 3 km/s. 4. Następnie musimy wystartować z Księżyca i udać się ku Ziemi. Potrzebujemy także zapasu paliwa na niezbędne korekty trajektorii. W sumie Delta-V na tym etapie wyniesie 3 km/s. 5. Podczas powrotu na Ziemię, nasz statek wchodzi w atmosferę z prędkością ok. 11,2 km/s. Zakładamy, że statek wyposażony jest w osłonę termiczną, tak więc do wyhamowania tej prędkości nie potrzebujemy paliwa, opór atmosfery sam wykona tę prace. W końcowej fazie lotu, statek opada na spadochronach i ląduje na oceanie. Policz, ile wynosi całkowite Delta-V (suma zmian prędkości w trakcie całej podróży), a następnie oblicz masę początkową rakiety (o I sp = 300 s dla wszystkich członów) potrzebną do wystrzelenia naszego statku w taką podróż. Ponownie rozważamy wyidealizowany przypadek, czyli zbiorniki paliwa i kolejne człony rakiety mają zaniedbywalną masę. W przypadku rzeczywistym wyliczone masy byłyby znacznie większe. 6

7 ZADANIE 5 Wyobraźmy sobie projekt SSTO napędzanego ciekłym wodorem i tlenem (zakładamy podczas całego lotu uśrednione I sp = 400 s). Chcemy, by osiągał on orbitę okołoziemską, a wiec docelowe Delta-V wynosi 9 km/s. Policz, jaką część masy początkowej stanowi masa statku na orbicie? Załóż też, że podczas startu silniki (rozwijające stosunek ciągu do własnego ciężaru równy 60:1) osiągają ciąg równy 1,5 przyspieszenia ziemskiego stąd oblicz niezbędną masę silników. Przyjmij, że masa pustego zbiornika paliwa stanowi 1/30 pełnego. Załóż również, że 1/2 masy końcowej (po osiągnięciu orbity) stanowi ładunek użyteczny. Jaki procent całkowitej masy rakiety podczas startu to ładunek użyteczny? Policz, to zadanie jeszcze raz, tym razem zakładając, że dzięki nowym materiałom, masa pustego zbiornika paliwa stanowi 1/100 pełnego. ZADANIE 6 Załóż, że mamy do dyspozycji podobny prom. Misja naszego promu składa się z następujących etapów: Z orbity parkingowej wystrzeliwujemy nasz pojazd na trajektorię w kierunku Księżyca, Delta-V wynosi więc 3 km/s. Lądujemy na Księżycu, potrzebujemy zmiany prędkości o 3 km/s Startujemy z Księżyca, ponownie potrzebujemy zmiany prędkości o 3 km/s. Powracamy na orbitę okołoziemską, również potrzebujemy zmiany prędkości o 3 km/s. Załóżmy, że mamy statek o masie 5 ton (bez paliwa), napędzany mieszanką ciekłego wodoru z ciekłym tlenem, o I sp = 450 s. Ile wynosi całkowita masa pojazdu razem z paliwem (pomijamy masę zbiorników)? Załóżmy teraz, że nasz statek jest napędzany jądrowym silnikiem rakietowym (I sp = 900 s). Tym razem jednak, ponieważ używamy silnika jądrowego, statek jest cięższy, i waży 10 ton (masa reaktora, osłon itp., masę zbiorników znowu pomijamy). Ile wynosi tym razem całkowita masa pojazdu? Załóżmy teraz, że kurs naszego promu został zaplanowany jako lot w jedną stronę (jest to np. misja dostawcza do stacji księżycowej). Który napęd jest wówczas wydajniejszy (zakładając, że pusty statek z napędem jądrowym ma dwukrotnie większą masę)? 7