PORÓWNANIE WYBRANYCH WŁAŚCIWOŚCI SILNIKÓW BEZSZCZOTKOWYCH PRĄDU STAŁEGO PRZEZNACZONYCH DO POZYCJONOWANIA CZUJNIKÓW OPTOELEKTRONICZNYCH

Transkrypt

1 Jan ZIELEŹNICKI Adam GRZYBOWSKI Janusz BŁASZCZYK Instytut Techniczny Wojsk Lotniczych PRACE NAUKOWE ITWL Zeszyt 36, s , 2015 r /afit PORÓWNANIE WYBRANYCH WŁAŚCIWOŚCI SILNIKÓW BEZSZCZOTKOWYCH PRĄDU STAŁEGO PRZEZNACZONYCH DO POZYCJONOWANIA CZUJNIKÓW OPTOELEKTRONICZNYCH Korzystne właściwości eksploatacyjne bezszczotkowych silników prądu stałego takie jak wyższa trwałość i niezawodność oraz szeroki zakres użytecznych prędkości osiągalnych dla zadanego obciążenia sprawiają, że są one często stosowane w układach stabilizacji osi optycznej w optoelektronicznych głowicach przeznaczonych do statków powietrznych. Istnieje jednak wiele podtypów i konfiguracji tych silników, co sprawia, że wybór optymalnej konstrukcji nie jest prosty. W niniejszym artykule przedstawiono proces wyboru silnika charakteryzującego się właściwościami predestynującymi go do użycia w napędzie głowicy optoelektronicznej. Słowa kluczowe: silnik BLDC, właściwości, symulacja, głowica optoelektroniczna. 1. Wstęp Jednymi z najczęściej stosowanych systemów w wyposażeniu bezzałogowych statków latających (BSL) są czujniki optyczne w postaci kamer światła widzialnego i podczerwieni oraz dalmierze i podświetlacze laserowe. Czujniki te instalowane są w głowicach, specjalnych platformach służących do sterowania kierunkiem linii optycznej i jej stabilizacji. W Instytucie Technicznym Wojsk Lotniczych prowadzone są prace nad głowicami optoelektronicznymi przeznaczonymi do załogowych i bezzałogowych statków powietrznych. W ramach tych prac zaprojektowano dwie uniwersalne jednostki, służące jako platformy testowe do badania różnych rozwiązań tech-

2 148 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk nicznych systemów przeznaczonych do implementacji w głowicach. Jednym z kierunków prowadzonych prac są badania napędów głowic. Zagadnienie doboru odpowiedniego napędu jest złożone z uwagi na szereg przeciwstawnych wymagań, jakie musi spełniać rozwiązanie przeznaczone do instalacji na pokładzie statku powietrznego, np. zastosowany w napędzie silnik powinien charakteryzować się wysokim momentem przy małej masie własnej, przy czym moment ten musi być na tyle duży, by zapewnić poprawną pracę głowicy w warunkach przeciążeń występujących w locie statku powietrznego. Jednocześnie ciepło oddawane przez silnik do otoczenia powinno być jak najmniejsze, ze względu na możliwość wystąpienia zakłóceń działania systemu, np. trudności techniczne w zapewnieniu stabilnych warunków pracy kamery termowizyjnej. Choć wybór silnika bezszczotkowego prądu stałego dla rozważanego przypadku w obecnym stanie techniki wydaje się najbardziej korzystny, to szeroka gama typów i konfiguracji tych silników sprawia, że analiza poprzedzająca wybór konkretnego modelu nie jest rzeczą trywialną. W poniższym opracowaniu podjęto próbę wstępnego wyboru układu i parametrów silnika do zastosowania w głowicy optoelektronicznej. 2. Silniki BLDC Zasadniczym typem silnika elektrycznego zasilanego prądem stałym przez bardzo długi okres był silnik szczotkowy. Charakteryzuje się on prostotą konstrukcji i niskim kosztem wytwarzania ma on również znaczny moment napędowy na jednostkę masy. Przepływ prądu w uzwojeniach i w odpowiednim kierunku odbywa się dzięki komutatorowi znajdującemu się na końcu wirnika i szczotkom doprowadzającym do niego prąd. Niestety taka konstrukcja silnika elektrycznego skutkuje powstawaniem dużych oporów mechanicznych spowodowanych tarciem oraz stratami elektrycznymi spowodowanymi większą niż w przypadku metali opornością szczotek oraz iskrzeniem. Układ ten wymaga również regularnej wymiany szczotek oraz konserwacji powierzchni komutatora. Konstrukcją pozbawioną tych wad jest silnik bezszczotkowy prądu stałego (ang. BrushLessDirect Current). Jego konstrukcja oraz zasada działania jest właściwie zbliżona do silników prądu przemiennego, tzn. magnesy znajdują się na wirniku natomiast zasilane prądem uzwojenie na nieruchomym stojanie. W miejsce klasycznego układu komutatorowo-szczotkowego stosuje się specjalny układ elektroniczny odpowiedzialny za kierowanie prądu w uzwojeniu silnika [6]. Wprowadza to pewne istotne komplikacje, przede wszystkim zwiększa znacznie koszt urządzenia oraz jego wielkość, choć tu sytuacja poprawia się znacznie wraz

3 Porównanie wybranych właściwości silników bezszczotkowych prądu stałego z rozwojem technologii mikroprocesorowych i nie jest już właściwie problemem w przypadku małych silników. Dodatkowo sterownik musi mieć możliwość uzyskania informacji o położeniu kątowym wirnika. Istnieje kilka różnych rozwiązań pozwalających na uzyskanie tej informacji, m.in.enkodery i resolvery umożliwiające uzyskanie precyzyjnej informacji o położeniu kątowym. Prostszym i tańszym rozwiązaniem są na przykład czujniki Halla zamontowane na stojanie, często stosowany jest układ trzech czujników umieszczonych co 120, pozwala to uzyskać informację o obrocie silnika z dokładnością do 60 i w efekcie umożliwia efektywną komutację silnika. Najprostszym i najtańszym rozwiązaniem jest jednak pomiar bezpośrednio przez sterownik napięcia indukowanego w niezasilanym w danym momencie uzwojeniu. Rozwiązanie to nie wymaga dodatkowych urządzeń, jednak obarczone jest często dużymi błędami, wartość zaindukowanego napięcia zależna jest od prędkości obrotowej silnika, dodatkowo w uzwojeniu często pojawiają się szumy pochodzące od innych prądów wzbudnych. Silniki komutowane w ten sposób często mają nierównomierną charakterystykę podczas rozpędzania, ale zapewniają wystarczająco równą pracę w zakresie prędkości docelowych [3]. Ogólnie silniki elektryczne mogą być budowane w różnych konfiguracjach uzwojeń i magnesów, a szczególnie dotyczy to silników bezszczotkowych z uwagi na brak komutacji mechanicznej. Dodatkowo mamy dużą swobodę projektowania w zakresie sterowania. Ponadto możliwe jest budowanie silników z wirnikiem zewnętrznym oraz płaskich silników z wirnikiem znajdującym się nad stojanem lub pomiędzy dwoma stojanami. 3. Porównanie właściwości silników BLDC w zależności od liczby biegunów Dla uzyskania danych porównawczych w ramach przeprowadzonych prac badawczych zastosowano oprogramowanie Motorsolve firmy Infolytica umożliwiające symulację pracy maszyn elektrycznych z wykorzystaniem metody elementów skończonych. W ramach tych badań dokonano porównania właściwości silników o różnej liczbie biegunów magnetycznych wirnika oraz żłobków uzwojeń stojana. Szczególny nacisk położono na minimalizację momentu zaczepowego silników (ang. cogging torque) oraz otrzymanie krzywej momentu z jak najmniejszymi tętnieniami. Zjawisko fluktuacji momentu podczas pracy silnika (ang. torque ripple) jest jedną z największych wad silników BLDC. Przyczynami tego zjawiska są m.in. niedoskonałości sterownika silnika oraz moment zaczepowy powstały wskutek

4 150 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk zmian reluktancji obwodu magnetycznego wraz z obrotem wirnika. Ważne jest rozróżnienie tych dwóch zjawisk moment zaczepowy ma przyczyny jedynie w magnetycznej charakterystyce silnika i jest obserwowalny nawet w niezasilanym silniku (np. zjawisko to można zaobserwować podczas manualnego obrotu wirnika), podczas gdy fluktuacje momentu to szersze pojęcie uwzględniające również zjawiska elektryczne. Tętnienia momentu zależą również od rodzaju zastosowanego sterownika, przy zastosowaniu sterownika sinusoidalnego teoretycznie wahania mogą być ograniczone do około 1%, jednak taka sytuacja możliwa jest tylko, jeżeli kształt wykresu zwrotnej siły elektromotorycznej (zjawisko zostanie omówione w dalszej części artykułu) również jest sinusoidalny. W przypadku zastosowania sterownika o fali prostokątnej do komutacji silnika o sinusoidalnej zwrotnej sile elektromotorycznej minimalne fluktuacje momentu obrotowego wynoszą 13% [3]. Jedną z metod ograniczenia momentu zaczepowego jest zwiększenie stosunku liczby żłobków zezwojów do liczby biegunów magnetycznych [5]. Mechanizm ten opiera się na założeniu, że wariacja permeancji (odwrotność reluktancji) jest skoncentrowana na krawędzi magnesu. W związku z tym zwiększenie stosunku liczby zezwojów do liczby biegunów powoduje że pojedynczy żłobek zezwoju oddziałuje tylko na jedną krawędź magnesu. Analizę tych zjawisk przeprowadził Ackermann z zespołem [1], otrzymując następujący wzór opisujący moment zaczepowy: TT cccccc = ππ DDLL 4 ssssss nn sin(nnnnll ssssss ) nn ΛΛ nn ff nn sin(nnnn) (1) nnnnll ssssss Analityczne rozwiązanie tego równania jest niemożliwe, ale warto zauważyć, jakie wartości mają wpływ na ostateczne rozwiązanie. D to średnica zewnętrzna wirnika, LL ssssss to całkwita długość wirnika, σσ oznacza kąt ukosowania żłobków zezwojów, ΛΛ nn oznacza n-tą harmoniczną permeancji obwodu magnetycznego, ff nn to n-ta harmoniczna strumienia pola magnetycznego, a ξξ to kąt rotacji wirnika. Dwa ostatnie parametry to n oraz S, są one opisane następującymi wzorami (2) oraz (3): nn = kk SS, kk = 1,2 (2) SS = NNNNNN NN żłooooooóww, NN bbbbbbbbbbbbóww = NN żłooooooóww NN bbbbbbbbbbbbóww NNNNNN(NN żłooooooóww,nn bbbbbbbbbbbbóww ) (3) Jak wspomniano powyżej analityczne rozwiązanie równania jest niemożliwe, ale dzięki zastosowaniu metod numerycznych można otrzymać aproksymację tego rozwiązania. W tym celu potrzebne jest wyliczenie, a następnie zróżniczko-

5 Porównanie wybranych właściwości silników bezszczotkowych prądu stałego wanie koenergii magnetycznej. Koenergia magnetyczna to różnica pomiędzy iloczynem strumienia skojarzonego cewki i natężenia prądu przepływającego przez tę cewkę oraz energią magnetyczną. Ponieważ wartość ta jest różniczkowana, musi być obliczona z możliwie największą dokładnością, aby ograniczyć potencjalne błędy [3]. Inną metodą ograniczania tętnień momentu jest zmiana kształtu przebiegu prądu sterowania w taki sposób, aby skompensować moment zaczepowy poprzez tętnienia momentu spowodowane charakterystyką elektryczną silnika [2]. Ze względu na powyższe założenia wybrano konfigurację silników z dużą liczbą biegunów magnetycznych (8 lub więcej) oraz ułamkowym stosunkiem liczby biegunów i uzwojeń. Rys. 1. Zależność maksymalnego momentu obrotowego (peak torque) wybranych konfiguracji silników od kąta fazowego źródła zasilania (source phase angle). Dane dla zerowego kąta wyprzedzenia źródła zasilania (advance angle) oraz prędkości obrotowej 150 obr/min (rotor speed) Na rys. 1 przedstawione zostały charakterystyki momentu obrotowego wybranych konfiguracji silników w funkcji kąta fazowego źródła. Największe tętnienia momentu zachodzą w silnikach o konfiguracji 32 biegunów magnetycznych i 36 żłobków uzwojeń oraz odpowiednio 46/51 i 14/33. Najmniejsze fluktuacje momen-

6 152 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk tu można zaobserwować w przypadku silników o konfiguracji 10 biegunów magnetycznych i 21 żłobków uzwojeń oraz 14/27. Rys. 2. Wykres temperatury (temperature) wybranych silników podczas pracy pod maksymalnym obciążeniemzasilania. Na osi poziomej czas pracy w minutach. Przedstawione dane dotyczą maksymalnej temperatury w uzwojeniu silnika Oprócz zjawiska fluktuacji momentu istotną cechą eksploatacyjną jest zjawisko grzania się silnika w czasie pracy. Na rys. 2 przedstawiony został wykres temperatury uzwojenia silnika w cyklu pracy pod maksymalnym obciążeniem. Wybrano takie warunki pracy, ponieważ są one najbardziej szkodliwe dla silnika, a uzwojenie jest najbardziej grzejącym się jego elementem. Przyjęty czas symulacji 5h jest na tyle długi, że można przyjąć temperaturę osiąganą podczas symulacji jako temperaturę maksymalną. Jak widać dwa silniki przedstawione wcześniej jako najlepsze pod względem fluktuacji momentu mają bardzo różne charakterystyki temperaturowe. Silnik o konfiguracji 10/21 osiąga maksymalną temperaturę blisko 70 C, podczas gdy dla silnika o konfiguracji 14/33 temperatura maksymalna to aż 185 C. Wysoka temperatura skutkuje zwiększeniem wymiarów elementów silnika wskutek rozszerzalności termicznej, co w skrajnych przypadkach może doprowadzić do kontaktu mechanicznego magnesów wirnika ze stojanem i w efekcie do ich uszkodzenia lub zatrzymania i spalenia całego silnika.

7 Porównanie wybranych właściwości silników bezszczotkowych prądu stałego Drugim niepożądanym skutkiem wysokiej temperatury jest pogorszenie właściwości magnetycznych ferromagnetyków (zmniejszenie współczynnika przenikalności magnetycznej μμ rr materiału), a w skrajnych przypadkach ich całkowitym zanikiem, co wiąże się z pogorszeniem charakterystyk silnika w postaci spadku momentu oraz mocy silnika. Rys. 3. Wykres napięcia indukowanego w uzwojeniu twornika (Back EMF) dla fazy AB w funkcji kąta elektrycznego źródła zasilania(source phase angle). Parametry symulacji idealne źródło, kąt wyprzedzenia = 0, prędkość obrotowa wirnika = 150 obr/min Charakterystyczną wadą silników elektrycznych jest indukowanie się napięcia (ang. Back Electro Motive Force) w jego uzwojeniach roboczych, dotyczy to oczywiście także silników BLDC. W maszynach elektrycznych pojawia się podczas ruchu względnego twornika i magneśnicy [6]. Na rys. 3 przedstawiono wykres zwrotnej siły elektromotorycznej w funkcji kąta fazowego źródła. Zjawisko to w przypadku silników BLDC ma wpływ na dwa istotne, ale przeciwstawne, parametry silnika. Przede wszystkim wraz ze wzrostem napięcia indukowanego w uzwojeniach roboczych prądu maleje sprawność silnika, co wiąże się z utratą mocy i momentu lub koniecznością zwiększenia napięcia zasilania. Z drugiej strony wysokie napięcie indukowane w uzwojeniu nieobciążonym pozwala na poprawną komutację silnika

8 154 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk BLDC bez dodatkowych czujników. Dla konfiguracji 46/51, 14/33 oraz 32/36 widać wpływ harmonicznych wyższego rzędu na kształt przebiegu. W tych przypadkach komutacja silnika z wykorzystaniem zwrotnej siły elektromotorycznej może być znacznie utrudniona lub wręcz niemożliwa ze względu na znaczną liczbę miejsc przecięcia przebiegu napięcia z osią x w pojedynczym cyklu silnika. Układy sterujące estymują prędkość obrotową silnika na podstawie interwałów między kolejnymi chwilami kiedy wartość zwrotnej siły elektromotorycznej jest równa zeru, w przedstawionym wyżej przypadku nie ma możliwości jednoznacznego określenia tych miejsc. Powoduje to konieczność dalszego filtrowania sygnału, co pogarsza jego jakość oraz opóźnia działanie sterownika. 4. Porównanie właściwości silników BLDC w zależności od materiału magnetycznego użytego magnesu Z przeprowadzonych wyżej porównań wynika, że silnik o konfiguracji stojana z 21 żłobkami uzwojenia oraz wirnikiem z 10 magnesami trwałymi ma optymalne parametry pracy. Jego wadą jest wytwarzanie znacznej ilości ciepła, jednak z tym problemem można poradzić sobie, stosując wymuszone chłodzenie. Ze względu na dobrą charakterystykę momentu silnika o powyższej budowie do dalszych porównań wybrano taką konfigurację. Dodatkową zaletą jest stosunkowo prosta budowa w porównaniu do innych silników. Rys. 4. Silnik o 10 biegunach magnetycznych i 21 gniazdach uzwojeń

9 Porównanie wybranych właściwości silników bezszczotkowych prądu stałego Do porównania wykorzystano modele trzech najpopularniejszych materiałów magnetycznych: AlNiCo, SmCo oraz NdFeB. Alnico jest to grupa materiałów będących stopami aluminium, niklu i kobaltu (nazwa pochodzi od symboli tych trzech pierwiastków AlNiCo), były one powszechnie stosowane do produkcji magnesów trwałych przed opracowaniem technologii wytwarzania materiałów magnetycznych opartych na metalach ziem rzadkich. Charakteryzują się wysoką temperaturą Curie (nawet do 800 C), czyli temperaturą, powyżej której materiał ferromagnetyczny traci swoje właściwości. Ich wadą w stosunku do nowszych materiałów z punktu widzenia magnesu stałego jest niższa remanencja (namagnesowanie szczątkowe pozostające po usunięciu zewnętrznego pola magnetycznego) wynosząca do 1,2 T (tesli) oraz niska koercja magnetyczna wynosząca do 80 ka/m. Koercja magnetyczna jest to wartość zewnętrznego pola magnetycznego potrzebnego do zniwelowania namagnesowania szczątkowego. Magnesy wykonane z AlNiCo pozwalają na wytworzenie silnego pola magnetycznego, ale są stosunkowo podatne na magnetyzację. Umożliwia to precyzyjne ustalenie natężenia generowanego przez magnes pola magnetycznego. Z drugiej strony skutkuje utratą pożądanych właściwości magnetycznych pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego oraz własnego pola magnetycznego (należy jednak pamiętać że jest to proces długotrwały). Kolejne dwa materiały, czyli SmCo i NdFeB, zawierają tzw. metale ziem rzadkich, czyli odpowiednio samar (Sm) i neodym (Nd). Magnesy wykonane ze stopu samaru i kobaltu wytwarzane są od lat 70., charakteryzują się dobrymi właściwościami magnetycznymi: remanencja do 1,16 T oraz koercja nawet do 1600 ka/m, czyli 20 razy większa niż w przypadku magnesów wykonanych z A-NiCo. Ich temperatura Curie wynosi 800 C. Wadą tego materiału jest wysoka cena i kruchość. Jednym z najnowszych rodzajów materiałów są stopy Nd 2 Fe 14 B, czyli magnesy neodymowe. Po raz pierwszy wytworzone zostały w 1982 r. przez firmę General Motors. Charakteryzują się najwyższą remanencją wynoszącą do 1,4 T oraz wysoką koercją nawet do 2000 ka/m. Ich wadą jest niska temperatura Curie wynosząca około 320 C oraz, podobnie jak w przypadku SmCo, kruchość. Ponadto stop ten wymaga powłoki zabezpieczającej ze względu na dużą aktywność chemiczną neodymu. Dzięki stosunkowo niskiej cenie (w porównaniu do magnesów samarowo-kobaltowych) oraz doskonałemu stosunkowi mocy do masy magnesy te zyskały bardzo dużą popularność i są obecnie najbardziej rozpowszechnione. Na rys. 5 przedstawiony został wykres momentu obrotowego w funkcji kąta elektrycznego dla różnych materiałów, których parametry przedstawiono w tablicy 1. Materiały użyte w porównaniu to:

10 156 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk Vacomax 225HR oraz 225AP są to magnesy wykonane ze stopów samarytu i kobaltu, produkowane przez firmę VACUUMSCHMELZE, Vacodym 655HR jest magnesem neodymowym tej samej firmy, pozostałe dwa materiały to różne klasy stopów aluminium i kobaltu. Rys. 5. Przebieg momentu obrotowego (torque) w funkcji kąta fazowego źródła (source phase angle) dla silników z magnesami z różnych materiałów magnetycznych. Parametry symulacji: źródło zasilania PWM, zerowy kąt wyprzedzenia, prędkość obrotowa wirnika 150 obr/min Porównanie wybranych właściwości dla zastosowanych materiałów Tabela 1 Remanencja [T] Koercja [ kkkk mm ] Gęstość energii [ kkkk mm 3 ] AlNiCo 5-7 1, AlNiCo 2 0, Vacodym 655HR 1, Vacomax 225HR 1, Vacomax 225AP 1,

11 Porównanie wybranych właściwości silników bezszczotkowych prądu stałego Na wykresie z rys. 5 widać wyraźną przewagę materiałów magnetycznych opartych na metalach ziem rzadkich nad magnesami produkowanymi z AlNiCo. Wytwarzany przez nie moment obrotowy jest kilkukrotnie wyższy niż moment wytwarzany przez silnik z konwencjonalnymi magnesami. 5. Wnioski W ramach przeprowadzonych symulacji zbadano wpływ różnych parametrów bezszczotkowych silników prądu stałego na przebieg ich funkcji momentu obrotowego. Największy wpływ na kształt tego przebiegu ma układ silnika, tzn. liczba żłobków zezwojów oraz liczba biegunów magnetycznych. W rezultacie analizy parametrów silników bezszczotkowych ze szczególnym uwzględnieniem minimalizacji momentu zaczepowego silników oraz krzywej momentu z jak najmniejszymi tętnieniami, wybrano konfigurację silników z dużą liczbą biegunów magnetycznych (8 lub więcej) oraz ułamkowym stosunkiem liczby biegunów i uzwojeń. Najmniejsze fluktuacje momentu zaobserwowano dla silników o konfiguracji 10 biegunów magnetycznych i 21 żłobków uzwojeń oraz 14 biegunów magnetycznych i 27 żłobków uzwojeń. Ustalono, że silnik o konfiguracji 10/21 osiąga maksymalną temperaturę blisko 70 C, podczas gdy dla silnika o konfiguracji 14/33 jest to 185 C. Optymalne parametry pracy zapewnia więc silnik o konfiguracji stojana z 21 żłobkami uzwojenia oraz wirnikiem z 10 magnesami trwałymi. Silnik ten charakteryzuje się także niewielkimi tętnieniami. Ponieważ magnesy trwałe wyprodukowane z użyciem metali ziem rzadkich dzięki dużej gęstości energii magnetycznej pozwalają na uzyskanie zdecydowanie większego maksymalnego momentu obrotowego przy zachowaniu tej samej objętości, do wykonania silnika powinny zostać zastosowane magnesy neodymowe. Przemawia za tym także cena pozostająca w dobrej relacji do oferowanych parametrów. Wadą silnika jest dość wysoka temperatura pracy. Odpowiednią temperaturę podczas działania takich silników można zapewnić poprzez odpowiednie zaprojektowanie samego silnika oraz zastosowanie chłodzenia wymuszonego. Przedstawione rysunki wykonano przy użyciu oprogramowania MotorSolve użyczonego na czas prac dzięki uprzejmości Infolytica Corporation.

12 158 Jan Zieleźnicki, Adam Grzybowski, Janusz Błaszczyk Literatura 1. Ackermann B. i in.: New technique for reducing cogging torque in a class of brushless DC motors. IEE Proceedings 1992, t. 139, nr Chuang H.S., Yu-Lung Ke, Chuang Y.C.: Analysis of Commutation Torque Ripple Using Different PWM Modes in BLDC Motors. 3. Hendershot J., Millers r.: TJE. Design of brushless permanent-magnet machines Infolytica Corporation. Livedocs for MotorSolve BLDC. 2015, online Libert F., Soulard J.: Investigation on Pole-Slot Combinations for Permanent-Magnet Machines with Concentrated Windings. Department of Electrical Machines and Power Electronics, Royal Institute of Technology, Stockholm. 6. Michna M.: Projekt silnika bezszczotkowego z magnesami trwałymi