Matematyczne modele psychrometrycznych własności powietrza. Markowski Marek

Transkrypt

1 Matematyczne modele psychrometrycznych własności powietrza. Markowski Marek ABSTRACT: Zaprezentowano modele psychrometrycznych parametrów powietrza, wybrane z literatury ze względu na łatwość wykorzystania ich do komputerowej symulacji. Wskazano te modele, które zapewniają dużą dokładność wyników. Ograniczono się do omówienia modeli wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy, które są najważniejszymi parametrami powietrza z punktu widzenia zastosowań suszarniczych. Przedstawione w niniejszej pracy algorytmy obliczania parametrów wilgotnego powietrza nadają się do ich komputerowej realizacji. Czas obliczeń jest rzędu setnych części sekundy, a dokładność obliczeń jest z praktycznego punktu widzenia bardzo wysoka. S ł o w a k l u c z o w e: Powietrze, własności psychrometryczne, matematyczne modele. OZNACZENIA - wilgotność względna powietrza x - zawartość wody w powietrzu (kg/kg) P s - ciśnienie nasycenia (kpa) P v - ciśnienie cząstkowe pary wodnej (kpa) P AT - ciśnienie atmosferyczne (kpa) t - temperatura suchego termometru ( C) T - temperatura bezwzględna suchego termometru ( K) t M - temperatura mokrego termometru ( C) t r - temperatura punktu rosy ( C) - zmienna pomocnicza w równaniu (8) i (9) 1. WPROWADZENIE W wielu inżynierskich zastosowaniach z dziedziny techniki rolniczej niezbędne jest wyznaczanie wybranych psychometrycznych parametrów powietrza. Znajomość wybranych parametrów powietrza szczególnie często niezbędna jest do analizowania procesów suszenia produktów rolniczych a także w trakcie realizacji niektórych eksperymentów. Podstawowym narzędziem do obliczania parametrów wilgotnego powietrza jest wykres i-x. Korzystanie z wykresu i-x jest bardzo niewygodne w sytuacjach gdy zachodzi potrzeba częstego obliczania parametrów powietrza. Dla celów komputerowej symulacji procesów wymiany ciepła i masy bezpośrednie wykorzystanie wykresu i-x jest niemożliwe. Stosuje się w takich sytuacjach jeden z matematycznych modeli, które opisane są w literaturze naukowej. Istnieje stosunkowo duża liczba publikacji dotyczących algorytmów obliczania parametrów powietrza (Ratti i in [1989], Chau [1980], Weiss [1977], Wilhelm [1976], Brooker i in.

2 2 [1974], Agrawall i in. [1974], Barwick i in. [1967], Brooker [1967]). W pracach tych przedstawiono algorytmy obliczania m.in. wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu x, temperatury mokrego termometru t M, które to parametry są wykorzystywane do analizy procesów suszarniczych. W matematycznych modelach przedstawionych w powyższych pracach wykorzystano wiele różnych formuł empirycznych, często w każdej pracy innych dla tego samego parametru, przy czym do oznaczania jednostek wykorzystywano zarówno układ miar SI jak i układy anglosaskie. Tak duża różnorodność modeli utrudnia podjęcie decyzji, który model stosować. W niniejszej pracy postawiono sobie za cel przedstawienie modeli psychrometrycznych parametrów powietrza, wybranych z literatury ze względu na łatwość wykorzystania ich do komputerowej symulacji oraz wskazanie tych modeli, które zapewniają dużą dokładność wyników. Ograniczono się do omówienia modeli wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy, które są najważniejszymi parametrami powietrza z punktu widzenia zastosowań suszarniczych. 2. MATEMATYCZNE MODELE Podstawowymi równaniami są równości (1)-(3), opisujące zależność wilgotności względnej powietrza i zawartości wody w powietrzu od ciśnienia cząstkowego pary wodnej i ciśnienia nasycenia, Lewicki [1990], Staniszewski [1969]: P v P, s (1) v x P, PAT Pv (2) 2.1 CIŚNIENIE NASYCENIA Ciśnienie atmosferyczne P AT jest zwykle wielkością daną. Tak więc na mocy równań (1)-(2) dla obliczenia lub x potrzebna jest znajomość ciśnienia cząstkowego pary wodnej lub ciśnienia nasycenia. W praktyce do obliczeń wykorzystuje się wartość ciśnienia nasycenia. Poniżej przedstawiono równania opisujące ciśnienie nasycenia wygodne do stosowania w obliczeniach ze względu na dużą dokładność wyników oraz stosowany w nich układ miar SI. Weiss [1977] cytuje za Tetensem [1930]: Ps t exp( ), (3) t przy czym 0 t 100 C. Weiss [1977] i Wilhelm [1976] cytują za Wexlerem i Greenspanem [1971]: ln( Ps) T *10 T T, (4) *10 T *10 T ln(T)

3 3 przy czym T K TEMPERATURA MOKREGO TERMOMETRU W literaturze rzadko spotyka się równania przedstawiających zależność temperatury mokrego termometru od innych parametrów powietrza w formie jawnej. Pomimo tego modele przedstawiające temperaturę mokrego termometru w formie uwikłanej mogą być efektywnie wykorzystywane do jej symulacji komputerowej. Poniżej przedstawiono równania opisujące temperaturę mokrego termometru z wykorzystaniem układu miar SI. Wilhelm [1976] wyprowadził na bazie praw termodynamiki równanie określające zależność temperatury mokrego termometru od innych parametrów powietrza: ( t )x (t ) 1.006(t t ) M s M M x. (5) t 4.186t M Należy przy tym podkreślić, że x s (t M ) jest to zawartość wody w powietrzu w warunkach nasycenia w temperaturze mokrego termometru. Model wyprowadzony przez Chau [1980] ma postać następującej formuły empirycznej: 3 2 t t [b ( t) b ( t) b ( t)]exp[b ( t) + b ] t M r r gdzie ( t) = t - t r, przy czym współczynniki b 1 - b 6 przedstawione są w tabeli 1. b 6, (6) 2.3. TEMPERATURA PUNKTU ROSY W równaniu (7) występuje temperatura punktu rosy t r. Wartość t r można obliczyć na podstawie modelu wyprowadzonego przez Wilhelma [1976] : t r , (7) dla 0 t 50 C oraz t r , (8) dla 50 t 100 C, przy czym = ln(p v ). (9) 3. KOMPUTEROWA REALIZACJA MODELI Równania (1)-(9) mogą być z powodzeniem wykorzystane do obliczania niektórych psychometrycznych parametrów powietrza a w szczególności do obliczania wilgotności względnej powietrza, zawartości wody w

4 4 powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i temperatury punktu rosy. Sposób wykorzystania równań zależy od tego, które dwa parametry powietrza są dane i które będą obliczane. W zastosowaniach suszarniczych najczęściej mamy do czynienia z sytuacją, gdy znana jest temperatura suchego termometru oraz wilgotność względna powietrza lub zawartość wody w powietrzu. Wyznaczyć zaś należy zawartość wody w powietrzu lub wilgotność względną powietrza oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy. Omówione zostaną dwa przypadki obliczania parametrów powietrza. Algorytmy obliczeń w obu przypadkach można przedstawić w niżej opisany sposób. a) Przypadek pierwszy - dana jest temperatura suchego termometru i wilgotność względna a obliczyć należy zawartość wody w powietrzu oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy: 1. Wczytać t, oraz P AT = kpa; 2. Obliczyć ciśnienie nasycenia p s ze wzoru (3) lub (4); 3. Obliczyć cząstkowe ciśnienie pary p v ze wzoru (1); 4. Obliczyć zawartość wody w powietrzu x ze wzoru (2); 5. Obliczyć temperaturę punktu rosy t r ze wzorów (7)-(9); 6. Obliczyć temperaturę mokrego termometru t M ze wzoru (5) lub (6). W przypadku zastosowania wzoru (5) należy obliczyć zawartość wody w warunkach nasycenia x s ze wzoru (2) wstawiając p s w miejsce p v. Równanie (6) należy rozwiązywać numerycznie (np. metodą siecznych). b) Przypadek drugi - dana jest temperatura suchego termometru i zawartość wody w powietrzu a obliczyć należy wilgotność względną oraz temperaturę mokrego termometru i temperaturę punktu rosy: 1. Wczytać t, x oraz P AT = kpa; 2. Obliczyć ciśnienie nasycenia p s ze wzoru (3) lub (4); 3. Obliczyć cząstkowe ciśnienie pary p v ze wzoru (2); 4. Obliczyć wilgotność względną ze wzoru (1); 5. Obliczyć temperaturę punktu rosy t r ze wzorów (7)-(9); 6. Obliczyć temperaturę mokrego termometru t M ze wzoru (5) lub (6). Opracowano program komputerowy wykorzystujący dwie procedury. Procedurę T_FI, która realizuje algorytm a) oraz procedurę T_X realizującą algorytm b). Do obliczania ciśnienia nasycenia wykorzystano model (3) i (4). Do obliczania temperatury mokrego termometru zastosowano równanie (5), które rozwiązywane było metodą siecznych oraz równanie (6). Czas jednego przebiegu programu w celu obliczenia parametrów powietrza jest mniejszy od 0.1s. 4. WNIOSKI Wyniki obliczeń uzyskane za pomocą algorytmów a) i b) wykazują bardzo dużą zgodność z wynikami pomiarów parametrów powietrza publikowanych w literaturze. Najwyższą dokładność osiągnięto stosując równanie (3) do obliczania ciśnienia nasycenia oraz równanie (5) do obliczania temperatury mokrego termometru. W tabeli 2 przedstawiono wyniki symulacji komputerowej wilgotności względnej, zawartości wody w powietrzu oraz temperatury mokrego termometru i punktu rosy. Dla porównania zamieszczono również

5 5 odpowiednie dane eksperymentalne pochodzące z ASHRAE [1972] cytowane za Wilhelmem [1976]. Na podstawie analizy uzyskanych wyników można sformułować następujące wnioski: 1. Przedstawione w niniejszej pracy algorytmy obliczania parametrów wilgotnego powietrza nadają się do ich komputerowej realizacji, przy czym czas obliczeń jest rzędu setnych części sekundy, a dokładność obliczeń jest z praktycznego punktu widzenia bardzo wysoka. 2. Do obliczania ciśnienia nasycenia należy stosować równanie (3). Do obliczania temperatury mokrego termometru należy stosować równanie (6). 3. Ponieważ przedstawione w pracy modele w znacznej części składają się z formuł empirycznych, zakres ich zastosowań jest ograniczony do zakresu ważności formuł, a więc 0 t 100 C. Jednakże ten zakres temperatur suchego termometru obejmuje większość praktycznie spotykanych sytuacji z zakresu suszarnictwa produktów rolniczych. BIBLIOGRAFIA Agrawall, K.K., H.V.Rao, a computer model of psychrometric properties of air. Trans. ASAE, 17: ASHRAE, Handbook of fundamentals. ASHRAE, Inc.New York. Barwick, A.J., K.A.Jordan, A.D.Longhouse, Accuracy in computer evaluation of moist air properties. Trans. ASAE, 10: Brooker, D.B, F.w.Bakker-Arkema, C.W.Hall, Drying cereal grains. The Avi Publishing. Brooker, D.B., Mathematical model of the psychrometric chart. Trans. ASAE, 10: Chau, K.V., Some new empirical equations for properties of moist air. Trans. ASAE, 23: Lewicki, P.P., Inżynieria procesowa i aparatura przemysłu spożywczego. Tom 2. WNT, Warszawa. Ratti, C., G.H.Crapiste, E.Rotstein, Psychr: a computer program to calculate psychrometric properties. Drying Technology, 7: Staniszewski, B Termodynamika. PWN, Warszawa. Weiss, A., Algorithms for the calculation of moist air properties on hans calculator. Trans. ASAE, 20: Wilhelm, L.R., Numerical calculations of psychrometric properties in SI units. Trans. ASAE, 19:

6 6 Tabela 1. Współczynniki b 1 - b 6 w równaniu (6). strefa t r 40 C 0 t 82 C 0 t r 40 C 82 t 149 C b * *10-5 b * *10-2 b b * *10-4 b b Tabela 2. Porównanie obliczonych wartości parametrów psychrometrycznych z wartościami stabelaryzowanymi w ASHRAE [1972]. ródło t tr tm fi x pochodzenia ASHRAE a T_FI T_X ASHRAE a T_FI T_X ASHRAE a T_FI T_X ASHRAE a T_FI T_X ASHRAE a T_FI T_X ASHRAE b T_FI T_X ASHRAE T_FI T_X a - wyznaczone na podstawie wykresu i-x. b - brak danych.