Zastosowanie modelu matematycznego synchronicznej maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi do obliczeń energetycznych pojazdów drogowych 4

Transkrypt

1 KOPCZYŃSKI Artur 1 KRAWCZYK Paweł 2 SEKRECKI Michał 3 Zastosowanie modelu matematycznego synchronicznej maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi do obliczeń energetycznych pojazdów drogowych 4 WSTĘP We współczesnych pojazdach elektrycznych i hybrydowych rolę jednostek napędowych przejęły głównie maszyny z wykorzystaniem magnesów trwałych. Najczęściej spotykane są bezszczotkowe silniki prądu stałego BLDC oraz trójfazowe silniki synchroniczne PMSM. W obu przypadkach magnesy znajdują się w wirniku maszyny [3]. Wykonanie prawidłowego modelu układu napędowego pojazdu, w którego skład wchodzi maszyna elektryczna jest pracochłonne, a ponadto przy zmianie parametrów wejściowych wymaga to niemalże każdorazowego dostosowania modelu. Przykładem może być zmiana masy pojazdu, która jest miarą jego bezwładność, co wymusza ponowne dobranie nastaw regulatorów maszyny elektrycznej. Prezentowana w niniejszej pracy metoda modelowania maszyny synchronicznej dla napędu pojazdu drogowego pozwala na pominięcie układów regulacji w procesie modelowania oraz badań symulacyjnych. Dla tak przygotowanego modelu można łatwo wprowadzać zmiany parametrów takich jak: masa pojazdu, rozmiar kół, wartość powierzchni czołowej, współczynnik oporu powietrza, liczby oraz wartości przełożeń skrzyni biegów, czy parametrów maszyny elektrycznej jak np. jej moc bez konieczności przebudowy modelu obliczeniowego. 1 MODEL MATEMATYCZNY MASZYNY SYNCHRONICZNEJ Z MAGNESAMI TRWAŁYMI W przypadku klasycznego silnika synchronicznego, występuje obwód trójfazowy stojana, uzwojenie wirnika, jak również uzwojenie odpowiadające klatce (używanej do rozruchu). Dla idealnego modelu maszyny synchronicznej przyjmuje się następujące założenia: Rozpatrywana jest symetryczna maszyna elektryczna, Strumień pola magnetycznego ma rozkład sinusoidalny branajest pod uwagę tylko jego pierwsza harmoniczna, Krzywa magnetyzacji ferromagnetyka jest liniowa(brak histerezy). Poprzez przetransformowanie wartości parametrów maszyny elektrycznej z nieruchomego układu współrzędnych do układu obrotowego0,q,dskojarzonego z wirnikiem maszyny, dokonuje się uproszczenia analizy. Trójfazowe uzwojenie stojana zostaje zastąpione dwoma cewkami umieszczonymi na osiach q oraz d, obracających się razem z wirnikiem, tak jak zostało to zaprezentowane na rysunku 1. Trzecie uzwojenie 0 ulokowane jest poza maszyną i nie ma bezpośredniego połączenia z wymienionymi uzwojeniami. Natomiast uzwojenie wirnika jest zastąpione magnesami trwałymi. 1 Politechnika Warszawska, Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych, ul. Narbutta 84, Warszawa, Tel:+48-(22) , artur.kopczynski@simr.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych, ul. Narbutta 84, Warszawa, Tel:+48-(22) , pawel.krawczyk@simr.pw.edu.pl 3 Politechnika Warszawska, Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych, ul. Narbutta 84, Warszawa, Tel:+48-(22) , m.sekrecki@simr.pw.edu.pl 4 Publikacja powstała w wyniku realizacji grantu badawczego OptimalElectricalPowertrainvia AdaptableVoltage and Transmission Ratio akronim: AVTR, w ramach 7. PR UE COOPERATION 5642

2 Rys. 1. Silnik synchroniczny z magnesami trwałymi we współrzędnych d oraz q [5] Równanie opisujące moment elektromagnetyczny silnika, oddziałującego pomiędzy stojanem i wirnikiem maszyny można uzyskać wyprowadzając go z równania Euler a Lagrange a, co można zapisać w postaci: strumienie magnetyczne zgodne co do kierunków z osiami q oraz d prądy płynące w cewkach umieszczonych na osiach q oraz d (1) Przy uwzględnieniu, że: (2) (3) indukcyjności cewek umieszczonych na osiach q oraz d indukcyjność wzajemna uzwojenia d oraz magnesu trwałego potencjał magnetyczny magnesów trwałych Przyjmując założenie, iż strumień magnetyczny pochodzący od magnesów trwałych, przypadający na jedną fazę wynosi: (4) otrzymuje się: (5) Uwzględniając, że dla silników z większą liczbą par biegunów całkowity moment obrotowy wynosi: (6) 5643

3 liczba par biegunów, oraz uwzględniając, iż w rozpatrywanym przypadku indukcyjności obu cewek są sobie równe co do wartości, otrzymuje się: jest stałą siły elektromotorycznej. (7) (8) W celu wyznaczenia prądu I q należy posłużyć się równaniem ruchu uwzględniającym straty mechaniczne w układzie napędowym (straty spowodowane tarciem w łożyskach, straty związane z oporami aerodynamicznymi) oraz straty w żelazie (spowodowane przemagnesowywaniem się ferromagnetyka). (9) moment oporów ruchu pojazdu, moment bezwładności pojazduzredukowany na wał silnika, straty w żelazie, moment strat mechanicznych. Straty w żelazie ( ), związane z przemagnesowywaniem ferromagnetyka można zapisać jako: stały współczynnik strat, może być zdefiniowany jako, nominalna moc silnika, prędkość kątowa silnika. Założono, iż moment strat mechanicznych jest stały i niezależny od prędkości obrotowej silnika, a silnik osiąga maksymalną sprawność przy prędkości nominalnej. Opisuje to zależność: (10) (11) maksymalna sprawność układu napędowego W celu wyznaczenia prądu zaprezentowany na rysunku 2. należy rozpatrzeć trójkąt mocy, którego schemat poglądowy został 5644

4 S Q ϕ P Rys.2.Trójkąt mocy [1] Aby najlepiej wykorzystać moc, powinno się tak sterować silnikiem synchronicznym z magnesami trwałymi, aby moc pozorna była jak najmniejsza. Można to uzyskać poprzez sterowanie kątem zawartym pomiędzy wypadkowym wektorem napięcia fazowego oraz prądu fazowego. Kąt ten nazywany jest kątem mocy, gdyż wiąże on moc czynną P, bierną Q oraz pozorną S. Co jest opisane zależnością: (12) Moc czynną otrzymuje się ze wzoru: a pozorną z: (13) (14) Po podstawieniu i prostym przekształceniu zostało otrzymane równanie postaci: (15) Dzięki metodzie PWM podczas pracy falownika sterującego pracą silnika możliwe jest utrzymywanie stałej wartości kąta. Przy czym najbardziej korzystną wartością jest 0, gdy. Dzięki czemu uzyskuje się: napięcia na uzwojeniach umieszczonych na osiach q oraz d. Mając na uwadze, iż wypadkowy prąd oraz napięcie wyznacza się jako sumę wektorową składowych q oraz d, otrzymuje się: (17) (18) (16) Podstawiając zależności wypadkowe (17), (18) i podnosząc równanie (16) stronami do kwadratu, otrzymuje się: Po uproszczeniu: (19) (20) 5645

5 W ten sposób otrzymano jedno z równań wiążących wartości prądów i napięć. Następnym krokiem w modelowaniu silnika synchronicznego z magnesami trwałymi jest rozwiązanie układu równań napięciowych. Napięcia na uzwojeniach maszyny synchronicznej muszą równoważyć indukowaną siłę elektromotoryczną oraz spadek napięć na rezystancji uzwojeń, co wynika z prawa Faradaya. Opisujące to zjawisko równania to: (21) Pamiętając, o równaniach (2) oraz (3) otrzymuje się: (22) Dla stanu ustalonego, gdy oraz, otrzymuje się: (23) Po uwzględnieniu liczby par biegunów oraz przy założeniu i, otrzymano: rezystancja uzwojeń, prędkość kątowa wirnika. Do rozwiązania powyższego układu równań niezbędne jest równanie wiążące napięcia z natężeniami prądu, które wynika z kąta mocy. Równanie (20) przekształcono do postaci: (24) (25) oraz podstawiono do układu równań (24) i otrzymano: (26) stąd: (27) (28) (29) (30) Rozwiązując powyższe równanie kwadratowe otrzymano: (31) 5646

6 Ponieważ, dla prądu prąd, możemy zapisać: Znając wartości prądów oraz, które zostały wyprowadzone wcześniej, jest możliwe rozwiązanie układu równań napięciowych. 2 SCHEMAT BLOKOWY MODELU Na rysunku 3 został zaprezentowany ogólny schemat blokowy matematycznego modelu silnika synchronicznego z magnesami trwałymi do analizy energetycznej pojazdów elektrycznych i hybrydowych. (32) ω M o Moment elektromagnetyczny, prąd I q U q I q I Prąd I d Napięcia U d d M el oraz U q U d Napięcie U s oraz Prąd I s U s I s Rys. 3 : Schemat blokowy modelu obliczeniowego silnika synchronicznego z magnesami trwałymi Struktura modelu jest budowana metodą odwrotną. Oznacza to, że zmiennymi parametrami wejściowymi są prędkość kątowa wirnika (wynikająca z prędkości pojazdu) oraz całkowity moment oporów ruchu. Jako wartości końcowe (wyjściowe) z modelu otrzymuje się prąd oraz napięcie jakie jest pobierane z baterii elektrochemicznej bądź innego zasobnika energii elektrycznej. Można powiedzieć, że model wyznacza wartości prądów oraz napięć niezbędnych do zrealizowania zadanego cyklu jazdy. Na podstawie równań (10) oraz (11), a następnie (8) i (9) wyznaczany jest moment elektromagnetyczny maszyny synchronicznej oraz prąd. Znając wartość prądu oraz korzystając z zależności (32) otrzymuje się prąd. Następnie dla zdefiniowanych prądów oraz korzystając z zależności (26) jest możliwe wyznaczenie napięć. Posługując się zależnościami (17) i (18) otrzymuje się wartości napięcia oraz prądu. Należy zwrócić uwagę aby dla wyznaczonej wartości prądu był zachowany znak prądu, co odpowiada zakresom pracy silnikowej oraz generatorowej maszyny elektrycznej. Ze względu na typowe sposoby sterowania maszyną synchroniczną, prąd przyjmuje stosunkowo niewielkie wartości. Model obliczeniowy można uprościć zakładając. Założenie to odpowiada uproszczonej strategii sterowania dla maksymalizacji momentu elektromagnetycznego maszyny synchronicznej. 3 PRZYKŁADOWE WYNIKI BADAŃ SYMULACYJNYCH Najważniejsze dane wejściowe użyte do badań symulacyjnych zostały zaprezentowane w Tabeli 1. Tab. 1. Dane wejściowe użyte w badaniach symulacyjnych Parametr Masa pojazdu Promień dynamiczny opony Powierzchnia czołowa pojazdu Wartość 5647

7 Współczynnik oporu powietrza Przełożenie całkowite Moment bezwładności koła Moment bezwładności wirnika silnika Moc nominalna PMSM Sprawność znamionowa PMSM Prędkość nominalna PMSM Liczba par biegunów Stała PMSM Indukcyjność cewek Rezystancja uzwojeń Poniżej zaprezentowano wyniki badań symulacyjnych dla cyklu NEDC (New European Drive Cycle). Na rysunku 4 został zaprezentowany przebieg prędkości kątowej wału maszyny elektrycznej (dla cyklu NEDC), który można traktować jako parametr wejściowy do symulacji oraz przebieg napięcia. Zmiany napięcia silnika odpowiadają zmianom prędkości uzyskanym z cyklu. W rzeczywistych układach to prędkość jest odpowiedzą na napięcie zasilające maszynę elektryczną, jednakże prezentowany w niniejszej pracy model jest budowany metodą odwrotną. Oznacza to, że wartość napięcia informuje nas jakie należy doprowadzić napięcie do zacisków maszyny aby otrzymać żądaną prędkość pojazdu. Rys. 4 : Przebiegi napięcia oraz prędkości kątowej wału maszyny elektrycznej dla cyklu NEDC Przebiegi napięć w osiach d i q zostały zaprezentowane na rysunku 5. Napięcie w osi q odpowiada napięciu, natomiast napięcie w osi d przyjmuje znacznie mniejsze wartości z przedziału -2 do 2 volty. 5648

8 Rys. 5 : Przebiegi napięć w osiach d i q dla cyklu NEDC Moment elektromagnetyczny odpowiada momentowi oporów ruchu pojazdu powiększonemu o wartość momentu strat wewnętrznych silnika. Wartość momentu elektromagnetycznego jest odpowiedzią na wartość prądu na zaciskach maszyny elektrycznej. Charakterystyki prądu oraz momentu elektromagnetycznego zostały zaprezentowane na rysunku 6. Rys. 6 : Przebiegi prądu oraz momentu elektromagnetycznego dla cyklu NEDC Na rysunku 7 zostały zaprezentowane prądy w osiach d i q. Prąd silnika oraz prądy w osiach d i q mają podobny charakter zmian ale przyjmują różne wartości dla danych punktów pracy. Prąd ma zbliżone wartości do prądu. Natomiast prąd przyjmuje znacznie mniejsze wartości z przedziału ampera. Znaki wszystkich prądów są ze sobą zgodne. Wartości dodatnie odpowiadają pracy silnikowej, a ujemne pracy generatorowej. Rys. 7 : Przebiegi prądów w osiach d i q dla cyklu NEDC 5649

9 Wartość obliczeniowej sprawności maszyny elektrycznej wynika z przyjętych wartości współczynników występujących w równaniach 10 oraz 11. Dla parametrów użytych w symulacji otrzymano sprawność w zakresie 93-99% podczas realizacji zadanego cyklu jazdy. W chwili początkowej (ruszanie) sprawność gwałtownie narasta od zera do wartości powyżej 90% i gwałtownie maleje podczas hamowania, gdy prędkość jest bliska zeru. Oznacza to, że nie ma skokowych zmian sprawności. Wykres sprawności synchronicznej maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi dla cyklu NEDC został zaprezentowany na rysunku 8. Rys. 8 : Przebieg sprawności maszyny elektrycznej dla cyklu NEDC PODSUMOWANIE Prezentowana w niniejszej pracy metoda modelowania synchronicznej maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi jest dobrym i wystarczającym narzędziem do energetycznej analizy układów napędowych pojazdów. Nie jest przy tym konieczne modelowanie układów regulacji, które często jest kłopotliwe. Niniejszy model jest jednak niewystarczający do prawidłowej analizy dynamicznego sterowania układem napędowym. Możliwe jest uzyskanie bardziej precyzyjnych wyników dla konkretnego silnika poprzez wykorzystanie jego mapy sprawności uzyskanej na podstawie testów empirycznych. W takim przypadku należy w równaniu (9) wprowadzić mapę sprawności w postaci w miejsce członu. Streszczenie Niniejsza praca poświęcona jest modelowaniu matematycznemu synchronicznej maszyny elektrycznej z magnesami trwałymi do obliczeń energetycznych. Prezentowana metoda polega na budowie modelu metodą odwrotną, co oznacza, że parametrami wejściowymi do modelu są prędkość kątowa wału maszyny oraz moment obciążenia. Takie podejście pozwala na łatwe oszacowanie zużycia energii przez układ napędowy pojazdu dla zadanego cyklu jazdy, bez konieczności modelowania układów regulacji. W pracy zaprezentowano schemat postępowania przy budowie modelu obliczeniowego. Rozważania podparto wynikami z badań symulacyjnych przeprowadzonych w środowisku Matlab/Simulink dla cyklu NEDC. Mathematical model of permanent magnet synchronous machine for vehicles energyconsumption calculation Abstract This paper refers to the mathematical modeling of permanent magnet synchronous machine for the calculation of energy consumption. The presented method involves designing of the model based on reverse method, which means, that input parameters are angular speed of rotor and load torque. Such an approach allows for easy estimation of vehicles` power train energy consumption for defined drive cycle, without necessity of modeling of controller regulators. This paper shows the workflow procedure while designing the computable model. The work is supported by the results of the simulation studies in Matlab/Simulink environment for New European Drive Cycle. 5650

10 BIBLIOGRAFIA 1. Kopczyński A. Comparison of city car architectures in terms of kinetic energy recovery during cornering, MSc thesis, Cranfield University, Kulkarni S. S.; Thosar A. G. Mathematical Modeling and Simulation of Permanent Magnet Synchronous Machine, International Journal of Electronics and Electrical Engineering Vol. 1, No. 2, June Roszczyk P.: Analiza Pracy przekształtnikowego źródła napięcia z silnikiem spalinowym i elektromechanicznym magazynem energii przeznaczonego dla pojazdu hybrydowego, Rozprawa Doktorska, Politechnika Warszawska, Shchur I, Rusek A,Makarchuk O. Modelowanie symulacyjno-komputerowe silnika synchronicznego z magnesami trwałymi na podstawie wyników badań polowych, Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 3/2012 (96) 5. Szumanowski A.Hybrid Electric Vehicle Drives Design, Warszawa-Radom