DRGANIA. Rozważania rozpocznijmy od następującego układu wykonującego drgania

Transkrypt

1 DRGANIA Niniejszy przewodnik ma służyć jako pomoc i swego rodzaju przewodnik przy badaniu drgań podczas zajęć na Studium Podyplomowym Fizyki z Astronomia na UW. Kursywą napisano tematy do przemyślenia przed wykonaniem ćwiczenia. Terminy muzyczne podane są, by ułatwić późniejsze szukanie informacji innych źródłach. Rozważania rozpocznijmy od następującego układu wykonującego drgania Kulka zawieszona na sprężynie Zastanówmy się, jaki siły działają na taki układ. Są to siła sprężystości F s i siła F skierowane jak na rysunku. Przyrównanie obu sił doprowadza nas do równania: F s d x m = kx, dt gdzie m jest masą kulki, k - współczynnikiem sprężystości sprężyny zaś x - wychyleniem kulki z punktu równowagi. Przekształćmy to równanie do postaci d x k + x = 0. (1) F dt m W ten sposób otrzymaliśmy znane równanie oscylatora harmonicznego d x + ω x = 0. () dt Ja widać z porównania wzorów 1 i częstość drgań kulki na sprężynce jest równa k ω = (3) m Poniżej przedstawiona jest ilustracja ruchu harmonicznego o amplitudzie A wykonywanego przez kulkę na sprężynce wraz z opisem poszczególnych faz ruchu, oraz zależność wychylenia kulki od czasu, która w dla ruchu harmonicznego opisywana jest funkcją sinus. A A maksymalne wychylenie położenie równowagi maksymalne wychylenie

2 1.0 m aksym alne w ychylenie Wychylenie amplituda położenie rów now agi -1.0 m aksym alne w ychylenie c za s Zestaw doświadczalny: Masz do dyspozycji kulki (ciężarki) o różnych masach i sprężynki o różnych współczynnikach sprężystości, a ponadto stoper i miarkę. Wyznaczanie współczynnika sprężystości (pomiar okresu drgań) Pobudzamy sprężynkę z ciężarkiem do drgań. Częstość ω związana jest z okresem T następującą zależnością: ω = π. (4) T Porównanie powyższego wzoru (4), ze wzorem na częstość drgań układu kulka - sprężynka (3), pozwala uzyskać zależność współczynnika sprężystości k od okresu drgań T 4π k = m (5) T Zaplanuj pomiary uwzględniając fakt, że masz do dyspozycji różne masy. W jakich jednostkach mierzony jest współczynnik sprężystości? Zastanów się, w jaki sposób dokładnie zmierzyć krótki okres drgań. W jaki sposób opracować uzyskane wyniki pomiarów? Czy w tym przypadku istnieje różnica pomiędzy zastosowaniem średniej i dopasowaniem prostej? F s Wyznaczanie współczynnika sprężystości (prawo Hooka) Tym razem wieszamy na sprężynce kolejne ciężarki. Siła rozciągająca sprężynkę równa jest w tym przypadku ciężarowi kulki Q Q = mg (6) Jednocześnie siła F s równa jest k ( l ) F s = (7) l 0 F=Q gdzie x jest wydłużeniem sprężynki o spoczynkowej długości l 0

3 Połączenie wyrażeń (7) i (8) daje równanie łączące masę, wydłużenie sprężynki i współczynnik sprężystości: mg = k l (8) ( ) Zaplanuj pomiary, jakie wykonasz w tym przypadku Jak tym razem opracujesz wyniki pomiarów? Czy metoda wyciągania średniej i dopasowania prostej są w tym przypadku równoznaczne? Jakie są niepewności pomiarowe w tym eksperymencie? Porównaj dokładność obu metod. Sprężynka jako waga Mając sprężynkę o znanym współczynniku k wyznacz masę nieznanej kulki. W jaki sposób to zrobisz? Pamiętaj, że współczynnik sprężystości k wyznaczyłeś dwoma niezależnymi metodami. Jak to uwzględnić? Zastanów się nad niepewnościami pomiarowymi w tym doświadczeniu. Po wyznaczeniu masy kulki sprawdź otrzymany rezultat ważąc ciężarek. l 0 DŹWIĘKI Każdy dźwięk można scharakteryzować przez wysokość, barwę i głośność. Wysokość, czyli w języku fizyki częstotliwość. Człowiek słyszy dźwięki od ok. 0Hz (17,m) do 0kHz (1.7cm). Barwa, czyli zawartość składowych harmonicznych (zwanych przez muzyków alikwotami). To właśnie barwa sprawia, że dźwięki różnych instrumentów brzmią odmiennie. Głośność. Człowiek słyszy dźwięki od ok W/m (próg słyszalności) do ok. 1W/m (próg bólu). Wartości te są różne dla różnych częstotliwości dźwięku. Skala muzyczna to osiem dźwięków. Najlepiej wszystkim znana jest gama C-dur. Tworzą ją następujące dźwięki c d e f g a h c 1 * (czyli solmizacyjnie doskonale wszystkim znane do re mi fa sol la si do). Dźwiękom tym odpowiadają białe klawisze na fortepianie. Dźwięk ósmy i pierwszy są odległe o oktawę, czyli stosunek ich częstotliwości wynosi. Dokładniejsze dane przedstawione są poniżej. * jest to naturalny szereg diatoniczny

4 nazwa dźwięku częstotliwość stosunek częstotliwości danego dźwięku do poprzedniego dźwięku stosunek częstotliwości dżwięku c do częstotliwości danego dźwięku nazwa interwału (w stosunku do dźwięku c) c 61,6 Hz 1,00 pryma d 93,7 Hz 1,1 0,89 sekunda e 39,6 Hz 1,1 0,79 tercja f 349,6 Hz 1,06 0,75 (3/4) kwarta g 391,9 Hz 1,1 0,67 (/3) kwinta a 440,0 Hz 1,1 0,59 seksta h 493,8 Hz 1,1 0,53 septyma c1 53, Hz 1,07 0,49 (1/) oktawa Warto zauważyć, że przedstawiona skala muzyczna nie ma stałych stosunków częstotliwości pomiędzy kolejnymi dźwiękami. Stosunek ten jest mniejszy dla par par e-f oraz h-c 1 i wynosi ok. 1,06. W związku z tym pomiędzy pozostałe dźwięki wprowadzono dodatkowe (czarne klawisze na fortepianie). Dało to 1 półtonów w szeregu geometrycznym odległym o () 1/1 1,059. Jest to skala temperowana. c cis d dis e f fis g gis a ais h c 1 Co ciekawe, dwunastostopniowa skala półtonowa jest typowa dla muzyki europejskiej. Muzyka perska dzieliła oktawę na 4 części, arabska na 17, hinduska zaś na. Słów kilka o strunach? Jeśli weźmiemy pod uwagę prędkość dźwięku w strunie (v), to zależy ona od dwóch czynników - siły naciągu struny (F) i masy tej struny na jednostkę długości (µ). F v = µ Zamocowanie struny na dwóch końcach narzuca nam długość fali stającej, która będzie tam powstawać. węzeł fali strzałka fali mod podstawowy pierwsza harmoniczna λ=l/ druga harmoniczna λ=l trzecia harmoniczna λ=3l/

5 Prędkość dźwięku w ośrodku (v) i długość fali (λ) wiążą się z częstotliwością (f) w następujący sposób v f = λ Dlatego im grubsza jest struna, tym niższy wydaje dźwięk, a im mocniej ją naciągamy, tym dźwięk staje się wyższy. Po co gitarze pudło rezonansowe? Klasyczne wyjaśnienie jest następujące: szarpiąc strunę pobudzamy ją do drgań. Drgania struny prowadza do zagęszczania i rozrzedzania powietrza, czyli do powstania fal dźwiękowych. Pod wpływem drgań powietrza zaczyna drgać pudło rezonansowe. Dzięki temu, że struna wciąż drga, pudło jest wciąż pobudzane do drgań i w efekcie dźwięk jest wielokrotnie silniejszy niż gdyby struna drgała w powietrzu. Jeśli jeszcze pudło jest dobrane odpowiednio, tzn. tak, żeby wzmacniało tak samo wszystkie długości fal, a nie tylko jedną. Na pierwszy rzut oka wygląda, że wszystko jest w porządku, ale jak zastanowić się nad problem głębiej, to pojawiają się pewne ale Jeśli szarpnę strunę, to dostarczę jej energii, ale dostarczę jej tej samej energii niezależnie od tego czy jest przymocowana do pudła rezonansowego, czy nie. Jednak w pierwszym przypadku dźwięk, który słyszymy, jest znacznie głośniejszy. Co zatem z zasada zachowania energii? Czy pudło rezonansowe jest perpertuum mobile? Oczywiście, że nie! Musimy zatem poszukać jakiegoś fizycznego wyjaśnienia. Za każdym razem dostarczamy strunie tyle samo energii, ale obecność pudła sprawia, że struna traci energię szybciej, a zatem dźwięk jest głośniejszy, ale trwa krócej. Krótki kurs obsługi gitary (czyli gdzie jest który dźwięk) Aby regulować wysokość dźwięku wydawanego przez gitarę najprościej jest zmieniać długość struny. W tym celu dociskamy strunę do kolejnych progów. Zmiana progu o jeden powoduje zmianę dźwięku o półton. Na schemacie przedstawiony został klasyczny strój sześciostrunowej gitary. dźwięk na strunie pustej progi I II III IV V e1 f1 fis1 g1 gis1 a1 h c1 cis1 d dis e1 g gis a ais h c1 d dis e f fis g A Ais H c cis d E F Fis G Gis A na podstawie: R. Demkowicz-Dobrzański, M. Korzyński Po co gitarze pudlo rezonansowe?, Delta (dostępny pod adresem )

6 Nasze małe laboratorium zjawisk falowych Interferencja Na głośniki podaj sygnał z generatora komputerowego. Ustaw głośniki naprzeciw siebie. Spróbuj znaleźć za pomocą mikrofonu i oscyloskopu takie miejsca, w których dźwięk ulegnie wygaszeniu. Rezonans Pobudzamy do drgań najgrubszą strunę naciśnietą na piąty progu. Jeśli gitara jest dobrze nastrojona, sąsiednia struna zostaje również pobudzona do drgań, mimo, ze wcale jej nie dotykamy. Dudnienia Kiedy dodajemy dźwięki o bliskich sobie częstotliwościach, w wyniku dostajemy dźwięk, który wyraźnie słychać raz głośniej, raz ciszej. Wyjaśnienie efekt ten jest wyraźnie widoczny na obrazku przedstawiającym sumowanie drgań o bliskich częstościach. Amplituda Amplituda Amplituda sin(1t) sin(0t) sin(0t)+sin(1t) Czas Spróbuj uzyskać ten efekt na gitarze pobudzając do drgań jednocześnie pierwsza (najgrubsza) strunę naciśnięta na czwartym progu i pusta drugą Składowe harmoniczne Struna pobudzona do drgań, drga z różnymi modami. Jeśli spróbujemy stłumić ruch struny w jakimś miejscu, to ograniczymy możliwe drgania do takich, które mają w tym miejscu węzeł. Jeśli zaś będziemy próbowali pobudzić do drgań strunę, szarpiąc ją, to niemożliwe jest wzbudzenie drgania, które ma w miejscu szarpania węzeł. Muzycy nazywają wytwarzanie wybranych wyższych harmonicznych na gitarze graniem flażoletów. Spróbuj znaleźć miejsca, w których trzeba pobudzić (lub wytłumić) strunę, by uzyskać duże natężenie wyższych harmonicznych.

7 Poza miejscem pobudzania na barwę tonu wpływa także sposób pobudzenia struny - inny dźwięk uzyskamy pobudzając łagodnie, opuszkiem palca, inny twardym przedmiotem (kostką, paznokciem ) Zbadaj kształt dźwięku (natężenie w funkcji czasu) i zrób analizę harmoniczną (widmo częstości) dla pobudzania struny w różny sposób. Ucho i mózg ludzki Pitagoras twierdził, że aby dwie struny brzmiały dobrze, ich długości powinny pozostawać w stosunku niewielkich liczb całkowitych. Sprawdź, czy miał rację. Poszukaj dźwięków, które dobrze razem współbrzmią na tej samej strunie np. jedna osoba uderza w pusta strunę, druga (na drugiej gitarze) próbuje kolejnych dźwięków na tej samej strunie. Zbadaj stosunek długości struny od miejsca przyciśnięcia do miejsca podparcia i porównaj z długością pustej struny. Czy umiesz znaleźć, jakim muzycznym interwałom to odpowiada? (Dla ułatwienia w tabeli na stronie 4 podano, jakim ułamkom zwykłym odpowiadają stosunki częstotliwości.) Głos ludzki Określ widmo własnego głosu. Spróbuj zaśpiewać różne samogłoski. Jakie różnice widać w widmie dźwięku męskiego i kobiecego? A może masz jakieś inne pomysły? Źródła inspiracji do dalszych eksperymentów: Jan Gaj Harmonia strun, rur i prętów Wiedza i życie, 1/001 Jan Gaj Drgania w rezonatorach instrumentów muzycznych Wiedza i życie, 1/001 doskonała strona o fizyce, w tym sporo informacji o muzyce w dziale akustyka