Język programowania komputerów kwantowych oparty o model macierzy gęstości

Transkrypt

1 oparty o model macierzy gęstości (Promotorski) Piotr Gawron Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN 13 grudnia 2008

2 Plan wystąpienia Wstęp Motywacja Teza pracy Model obliczeń kwantowych Operacje kwantowe Operatory Krausa Kanały kwantowe Some concepts of high-level programming structures

3 Tło projektu Tło projektu Projekt był realizowany w interdyscyplinarnym Zespole Kwantowych Systemów Informatyki IITiS PAN, w którym pracują informatycy, fizyk i matematyk. Zespół został założony w roku 2001 w celu realizacji grantu badawczego Nano i kwantowe systemy informatyki. kierowanego przez prof. Stefana Węgrzyna. Aktualnie ZKSI prowadzi grant badawczy Środowisko programowania, symulacji i analizy algorytmów kwantowych, który jest kierowany przez dra Ryszarda Winiarczyka (kierownika zespołu). Niedawno zakończył się grant promotorski dra Jarosława Miszczak Probabilistyczne aspekty kwantowych języków programowania. ZKSI (IITiS PAN) należy do krajowej sieci badawczej Laboratorium Fizycznych Podstaw Przetwarzania Informacji.

4 Tło projektu Tło projektu Kierownik: prof. dr hab. inż. Jerzy Klamka. Dyscyplina: N519 - metody komputerowe w nauce. Czas trwania: 12 miesięcy. Środki finansowe: PLN.

5 Motywacja Motywacja Ogólna Wykorzystanie kwantowych systemów informatyki pozwala na efektywniejsze rozwiązanie niektórych problemów. Szum pojawiający się w takich systemach obniża ich sprawność. Szczegółowa Większość istniejących języków przeznaczonych do opisu procesów kwantowych bądź nie operuje na stanach mieszanych, bądź nie pozwala na wykorzystanie wysokopoziomowych struktur programistycznych. Dostarczenie narzędzia, które będzie rozwiązywało oba te problemy i wykorzystanie go do modelowania i analizy szumy w procesach kwantowych.

6 Operacje kwantowe Stan Stan układu (komputera) kwantowego to macierz: ρ = ρ hermitowska, eig (ρ) 0 dodatnio półokreślona, Tr (ρ) o śladzie jeden. Taką macierz nazywamy stanem lub macierzą gęstości.

7 Operacje kwantowe Operacje kwantowe Operacje kwantowe przeprowadzają macierze gęstości w macierze gęstości. E( ) 1. musi zachowywać ślad, hermitowskość i dodatniość: Tr (ρ) = 1, ρ 0, ρ = ρ Tr (E(ρ)) = 1, E(ρ) 0, E(ρ) = E(ρ), (1) 2. musi być liniowa: ( ) E p i ρ i = p i E (ρ i ), (2) i i 3. i całkowicie dodatni: ( ) ρ i, ξ i 0 n N (E I n ) ρ i ξ i = i i E (ρ i ) ξ i 0. (3)

8 Operatory Krausa Operacje kwantowe W ogólności operacja kwantowa Φ może być opisana w postaci operatorów Krausa: Φ(ρ) = E k ρe k, (4) k gdzie operatory spełniają warunek zupełności: k E k E k = I.

9 Zaszumione kanały kwantowe Kanały kwantowe modelujące szum w układzie kwantowym 1/2 Kanały jednoqubitowe kanał depolaryzujący (podmienia stan na stan całkowicie losowy) zmniejszający amplitudę ( 1 0 ) zmniejszający fazę (niszczący względną fazę pomiędzy stanami bazowymi): zmiana fazy, zmiana bitu, zmiana bitu i fazy.

10 Zaszumione kanały kwantowe Kanały kwantowe modelujące szum w układzie kwantowym 2/2 Rozszerzenie do kanałów wieloqubitowych Z n jednoqubitowych operatorów Krausa {e k }. Tworzymy n N operatorów {E k } o wymiarze 2 N : Φ(ρ) = n i 1,i 2,...i N =1 e i1 e i2... e in ρe i 1 e i 2... e i N, (5) tworząc rozszerzony kanał lokalny Φ(ρ) = k E kρe k.

11 Operacje na pamięci kwantowej Operacje na pamięci kwantowej 1/2 Alokacja nowego rejestru o rozmiarze n: Dealokacja rejestru r: Unitarna ewolucja U pamięci kwantowej: ρ t+1 = ρ t 0 }. {{.. 0 } 0 }. {{.. 0 }. (6) n n ρ t+1 = Tr r (ρ t ). (7) ρ t+1 = Uρ t U. (8)

12 Operacje na pamięci kwantowej Operacje na pamięci kwantowej 2/2 Aplikacja kanału kwantowego K i na pamięci kwantowej: ρ t+1 = i K i ρ t K i. (9) Pomiar w bazie obliczeniowej: ρ t+1 = i i i ρ t i i, (10) gdzie i indeksuje stany bazy obliczeniowej. P(i) = Tr ( i i ρ t ), (11)

13 Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 1/2 qbit q1; qbit q2; if (q1) G1(q2); else G2(q2); q 0 q 1 G 1 G 2

14 Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych 2/2 Pseudokod qnibble r; qbit q1; qbit q2; if (r<4) G1(q2); else G2(q1); quantum-octave r=newregister(4); q1=newregister(1); q2=newregister(1); qif(... qrlt(qureg(q1),4),... {G1,qureg(q2)},... {G2,qureg(q1)})

15 Operacje warunkowe na rejestrach kwantowych r 0 r 1 r 2... r 3 q 1 G 2 G 2 G 2 q 2 G 1 G 1 G 1

16 quantum-octave język opisu procesów kwantowych Zaimplementowany jako biblioteka funkcji dla środowiska GNU/Octave, oparty na modelu macierzy gęstości, implementujący m.in.: zarządzanie pamięcią kwantową, złożone kwantowe wyrażenia warunkowe, kanały kwantowe, funkcje do analizy stanów kwantowych. Zawiera w sumie około 90 funkcji API.

17 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element depolarizing channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

18 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element amplitude damping channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

19 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element phase damping channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

20 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element bit flip channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

21 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element phase flip channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

22 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania probability of finding of sought element bit-phase flip channel 3-qubit state 4-qubit state 5-qubit state 6-qubit state noise amount α

23 Przykład zastosowania Analiza zaszumionego kwantowego algorytmu wyszukiwania C = 95/C = 99 depolarising amplitude damping phase damping N = / / / N = / / / N = / / / bit flip phase flip bit-phase flip N = / / / N = / / / N = / / /

24 Dalsze prace Dalsze prace Dopracowanie dokumentacji celem umieszczenia w repozytorium bibliotek octave-forge. Wykorzystanie środowiska do symulacji i analizy wpływu szumów kwantowych na takie procesy kwantowe, jak: algorytmy, protokoły i gry kwantowe. Przeniesienie części środowiska do symbolicznego systemu algebry komputerowej.

25 Lista publikacji Wyniki badań zawarte pracy zostały opublikowane w następujących pozycjach: P. Gawron and J. A. Miszczak. Didactic tools for teaching quantum informatics. Annales UMCS Informatica AI, 1(2), P. Gawron and J. A. Miszczak. Pakiet funkcji quantum-octave przeznaczony do symulacji obliczeń kwantowych. W Współczesne problemy sieci komputerowych, Nowe technologie. WNT, P. Gawron and J. A. Miszczak. Simulations of quantum systems evolution with quantum-octave package. Annales UMCS Informatica AI, 1(2), P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacja błędów w kwantowych protokołach wymiany informacji z użyciem pakietu quantum-octave. W Współczesne problemy sieci komputerowych, Nowe technologie. WNT, P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacyjne badanie splątania w protokołach kryptograficznych. W Współczesne problemy sieci komputerowych, Nowe technologie. WNT, P. Gawron and J. Miszczak. Quantum implementation of parrondo paradox. Fluctuation and Noise Letters, 5(4), P. Gawron and J. A. Miszczak. Numerical simulations of mixed states quantum computation. International Journal of Quantum Information, 3(1): , P. Gawron and J. A. Miszczak. Symulacje gier kwantowych. W Wysokowydajne sieci komputerowe. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, P. Gawron, J. A. Miszczak, and J. Sładkowski. Noise effects in quantum magic squares game. International Journal of Quantum Information, 6(1 supp), 2008.

26 Lista publikacji Dziękuję za uwagę.