WYKORZYSTANIE MODELU LINIOWEGO HOLTA DO PROGNOZOWANIA WYDATKÓW NA OCHRON ZDROWIA

Transkrypt

1 WYKORZYSTANIE MODELU LINIOWEGO HOLTA DO PROGNOZOWANIA WYDATKÓW NA OCHRON ZDROWIA AGNIESZKA ROGÓ -DUDA Streszczenie W artykule zaprezentowano zastosowanie modelu Holta do prognozowania wydatków na ochron zdrowia. Nale y zwróci szczególn uwag na zbudowanie modelu prognostycznego i odpowiedni dobór parametrów dla tego modelu. Przedstawiona metoda daje mo liwo analizy problemu przy zastosowaniu trzech ró nych zestawów parametrów. Warto ci powinny by dobrane poprzez minimalizacj warto ci redniego bł du kwadratowego prognoz wygasłych. Autorka dobrała parametry optymalne oraz w sposób przypadkowy. Celem prowadzonych bada było zaprezentowanie skutków niewła ciwego doboru parametrów modelu. Słowa kluczowe: model liniowy Holta, parametry modelu, nakłady finansowe na ochron zdrowia Wprowadzenie Badanie szeregów czasowych wzgl dem ochrony zdrowia ma dwa przeznaczenia. W pierwszym umo liwia zapoznanie si z informacjami dost pnymi dla ogółu ludno ci w Polsce odno nie nakładów finansowania jakie ponosi Narodowy Fundusz Zdrowia na ochron zdrowia. W drugim natomiast po zdefiniowaniu modelu prognostycznego oraz bł dów odpowiednie instytucje medyczne byłyby w stanie zaplanowa swoje wydatki na krótkie okresy rozliczeniowe. Wygładzanie wykładnicze jest wykorzystywane do skorygowania szeregu czasowego prognozy. Korzy ci zastosowania modeli tego rodzaju jest ich charakter rekurencyjny, przy czym nale y zało y, e prognozy uaktualniaj si po dodaniu nowych danych [2, s ]. Jedn z metod jest model liniowy Holta, który wykorzystuje si do analizy danych historycznych [10, 12]. 1. Liniowy model Holta Model liniowy Holta, który polega na wygładzaniu badanego szeregu czasowego przy pomocy redniej ruchomej, w której wyst puje zarówno tendencja rozwojowa jak i wahania przypadkowe u ywany jest do prognozowania krótkookresowego dla m kroków w przód. Nie nale y jednak wydłu a zakresu czasowego, poniewa wi e si to ze wzrostem niepewno ci [11, s ]. Dodatkowo wiadomo, e ka da prognoza powoduje niedokładno, ale umo liwia równie pokazanie celu lub kierunku do którego nale y d y. Nie udziela jednak rozwi zania na podane problemy [15, s. 73]. Warto ci prognozowania oznaczone s jako y 0, y 1 a do y n-1 i zwi zane s z parametrami i. Równania modelu przyjmuj nast puj ce postaci [14, s ]: F S t t yt + ( 1 α )( Ft 1 + S 1 ) ( Ft Ft 1 ) + ( 1 β ) S 1 α (1) = t β (2) = t F = (3) 1 y 1 54

2 Agnieszka Rogó -Duda Wykorzystanie modelu liniowego Holta do prognozowaniawydatków na ochron zdrowia S 1 y1 y0 = (4) gdzie: t kolejny okres czasu (t = 2,.n 1), F t wygładzona warto analizowanego szeregu czasowego w okresie t, S t wygładzona warto trendu w okresie t,, parametry modelu. Prognozy kolejnych warto ci szeregu okre la si za pomoc wzoru 5: * yn + k 1 = Fn 1 + k Sn 1; k = 1,2,... (5) Ponadto dla równania 5 nale y zało y, e n = t oraz k = 1 otrzymuj c: * t = Ft 1 + St 1 y (6) Nast pnie prognozy porównywane s z danymi rzeczywistymi, a ró nic s bł dy prognoz wygasłych z zało onymi parametrami. Wybór parametrów i opiera si na minimalizacji bł dów prognoz wygasłych. Powszechnie przyjmuj one warto ci od 0 do Metoda bada Stworzenie odpowiedniej prognozy opierało si na zbudowaniu modelu prognostycznego, tak aby uzyska wydatki ogółem na ochron zdrowia na lata Przeprowadzono analiz zgromadzonych danych historycznych za lata , a nast pnie zaobserwowano element główny zwi zany z tendencj rozwojow oraz składow losow o charakterze waha przypadkowych. Informacje uzyskane z okresu poprzedzaj cego prognozy uwzgl dniaj nakłady finansowe ogółem (tj. wydatki bie ce i inwestycyjne). Wydatki bie ce rozumiane s jako koszty zwi zane z indywidualn opiek zdrowotn, czyli na ochron zdrowia. Zaliczy do nich mo na: usługi lecznicze, pomocnicze i rehabilitacyjne, długotrwał opiek piel gnacyjn oraz leki i produkty medyczne. Wydatki inwestycyjne to zbiór wydatków zwi zany z ochron zdrowia, a wi c inwestycje, kształcenie personelu medycznego, badania i rozwój w ochronie zdrowia oraz administracja wiadcze pieni nych [3 9]. Stosunek wydatków jest zale ny od realizowanych funkcji. Przegl d wyników Narodowego Funduszu Zdrowia na lata dowodzi, e nast pił regularny wzrost wydatków ogółem, jednak z utrzymaniem struktury na wydatki publiczne i prywatne. Badanie szeregów czasowych wydatków na ochron zdrowia w Polsce przedstawia tabela 1. 55

3 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 84, 2017 ródło: [3 9]. Tabela 1. Wydatki ogółem na ochron zdrowia w Polsce w latach Rok Wydatki ogółem na ochron zdrowia (mln zł) , , , , , , , ,20 Po przeanalizowaniu danych historycznych zauwa ono, e ró nica pomi dzy wydatkami na ochron zdrowia w latach była najwi ksza. Wynosiła ona a 15,28% wzrostu, co daje mln zł. Natomiast w okresie zauwa y mo na spadek nakładów finansowych. redni wzrost w badanych latach wynosił 4724,60 mln zł. Od roku 2011 jednak wzrost/spadek wydatków utrzymywany był na poziomie 0,87% do +2,60%, odpowiednio w: 2011 roku +2,60%, 2012 roku 0,87% oraz ,72%. Analizowany szereg czasowy przedstawiono na rysunku 1. ródło: opracowanie własne na podstawie [3 9]. Rysunek 1. Dane rzeczywiste w szeregu czasowym Przeprowadzaj c wizualn ocen danych rzeczywistych mo na zauwa y, e wykorzystanie modelu Holta do prognozowania wydatków na ochron zdrowia było trafnie dobrane do przebiegu analizowanego szeregu czasowego. Warto zauwa y, e model ten jest u ywany najcz ciej spo ród 56

4 Agnieszka Rogó -Duda Wykorzystanie modelu liniowego Holta do prognozowaniawydatków na ochron zdrowia metod wygładzania wykładniczego do budowania prognoz krótkookresowych. Za wzgl du na składowe widoczny jest wzrostowy trend liniowy oraz wahania przypadkowe w 2010 i 2013 roku. Najwa niejsz cz ci po zbudowaniu modelu jest oszacowanie prognozy i jej przegl d. Do oceny prognozy warto zastosowa mierniki charakterystyczne dla obszaru zastosowa oraz wska niki uniwersalne. W niniejszym artykule wykorzystano nast puj ce miary opisu statystycznego [1, s. 240, 13, s. 36]: MAE (ang. mean absolute error) redni bł d bezwzgl dny, MAPE (ang. mean absolute percentage error) redni bezwzgl dny bł d procentowy, RMSE (ang. root mean square error) pierwiastek bł du redniokwadratowego), V RMSE (ang. relative prediction error ex-post) wzgl dny bł d predykcji ex post. 3. Wyniki bada Składowe do prognozowania przeanalizowano za pomoc modelu liniowego Holta, gdzie parametry metody s uzale nione od zało onych miar jako ci. Warto ci te zostały dobrane z dokładno ci do 0,0001. Okre lono prognozy na cztery przyszłe okresy, przy czym parametry optymalne zostały wyznaczone za pomoc dodatku Solver pakietu MS Excel. Warto ci te zostały dobrane poprzez minimalizacj warto ci redniego bł du kwadratowego prognoz wygasłych. Uzyskano nast puj ce warto ci parametrów: = 0,8981 oraz = 0,5106. Wygenerowane prognozy porównano do warto ci par dwóch parametrów modelu: = 0,8 i = 0,2 oraz = 0,2 i = 0,8 w celu wskazania ró nic, jakie mog wyst powa przy nieodpowiednim dobraniu parametrów do modelu. Warto ci obliczone dla optymalnych parametrów modelu zaprezentowano w tabeli 2. Tabela 2. Wyniki oblicze t Yt Ft St Yt1* , , ,00 57 Bł d prognozy wygasłej , , , ,00 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,47-364, , , , ,03

5 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 84, 2017 Warto ci rzeczywiste i prognozy ró ni si mi dzy sob, co odzwierciedla bł d prognozy wygasłej. Waha si on od ,14 mln zł do 2 130,00 mln zł, co wiadczy o ró nicy pomi dzy dan rzeczywist a prognoz. Im wi ksza rozbie no pomi dzy nimi tym wi kszy bł d prognozy wygasłej. Graficzna interpretacja szeregu czasowego oraz prognozy zilustrowana została na rysunku 2. W tabeli 3 zaprezentowano wyniki oblicze z porównania trzech modeli o ró nych warto ciach parametrów i. Rysunek 2. Prognoza dla = 0,8981 oraz = 0,5106. Tabela 3. Wyniki oblicze porównanie analizowanych modeli Dane rzeczywiste Model 1 Model 2 Model 3 t Y t F t S t Y t1* F t S t Y t2* F t S t Y t3* , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,35 58

6 Agnieszka Rogó -Duda Wykorzystanie modelu liniowego Holta do prognozowaniawydatków na ochron zdrowia Parametry modelu 1 zostały dobrane jako optymalne, natomiast w przypadku modelu 2 i 3 autorka nie wyznaczała ich, lecz dobrała w sposób przypadkowy ich warto ci. Model 1 charakteryzuje si najlepszymi dopasowaniami do danych rzeczywistych. Model Holta w tym przypadku został dobrany prawidłowo, poniewa najdokładniej wyznaczył prognozy wygasłe. Na rysunku 3 zaprezentowano wyniki oblicze przy ró nych parametrach i. Rysunek 3. Prognoza dla ró nych parametrów i Na rysunku 3 przedstawiono pogl dowo jak wygl da interpretacja tabeli 3. Widoczne jest, e prognozy Y t2* oraz Y t3* s ró ne od siebie i odbiegaj znacz co od prognozy Y t1*, która posiada optymalny dobór parametrów i. Po zdefiniowaniu prognoz dla trzech ró nych parametrów i wyznaczono ich ocen dokładno ci i trafno ci. Zało ono, e prognoza nie mo e zosta obci ona bł dem wi kszym ni 5%. Okre lone bł dy porównano w tabeli 4. 59

7 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 84, 2017 Tabela 4. Bł dy prognoz Model Parametry modelu = 0,8951 i = 0,5106 = 0,8 i = 0,2 = 0,2 i = 0,8 MAE [mln zł] 3 777, , ,87 MAPE [%] 3,69 7,20 12,60 RMSE [mln zł] 5 277, , ,29 VRMSE [%] 4,97 7,65 13,14 Prognoza wydatków na ochron zdrowia w 2014 osi gn ła warto ,47 mln zł i w porównaniu do danych rzeczywistych odbiegała ona tylko o 0,34%. Najwi ksz ró nic zaobserwowano w 2010 roku, przy czym wynosiła ona 11,78% od stanu faktycznych nakładów finansowych. 4. Podsumowanie Przy doborze optymalnych parametrów modelu liniowego Holta ( = 0,8951 i = 0,5106) okre- lono prognoz na lata , czyli na najbli sze 4 okresy rozliczeniowe. Bł d MAE wynosz cy 3 777,47 wskazuje o ile rednio zrealizowane wydatki prognozowania mog si ró ni od prognoz. Przedstawiono przewidywane realizacje i oszacowano bł d MAPE wynosz cy 3,69%. redni wzgl dny bł d 7 prognoz wygasłych dla analizowanego okresu wskazuje je na dopuszczalne, przy czym zało ono, e nie mo e ona by obci ona bł dem wi kszym ni 5%.W modelu o optymalnych parametrach wyst puje najmniejszy stopie obci enia bł dem (4,97%) w porównaniu do modelu o parametrach = 0,8 i = 0,2 (7,65%) oraz = 0,2 i = 0,8 (13,14%). Jednak w modelu 2 ró nica pomi dzy MAE a RMSE jest mniejsza ni w pozostałych modelach i wynosi 1 044,20 mln zł. wiadczy to o mniejszej ró nicy pomi dzy prognoz a warto ci prognozowan. W przypadku modelu 1 równa si ona 1 499,60 mln zł, a w modelu trzecim 1 916,42 mln zł, co wskazuje na znaczne ró nice pomi dzy tymi modelami. Pomimo tego warto najlepiej została dobrana dla pierwszego przypadku. Cało wiadczy o tym, e wa ny jest dobór parametrów tak by współczynnik RMSE był jak najmniejszy. Warto te zwróci uwag na ró nic MAE i RMSE by była najlepiej znikoma, poniewa zbyt du a rozbie no powoduje wyst powanie du ych warto ci bł dów. Bibliografia [1] Chodakowska E. i in.: Zastosowanie modeli klasy GARCH do prognozowania cen energii elektrycznej na Towarowej Giełdzie Energii SA. [w:] Kiełtyka L., Nazarko J. (red.) Technologie informatyczne i prognozowanie w zarz dzaniu: wybrane zagadnienia. Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, Białystok [2] Gelper S., Fried R., Croux Ch.: Robust Forecasting with Exponential and Holt-Winters Smoothing. Journal of Forecasting, Vol. 29, 2010, s [3] 08-rok,4, 1.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [4] 09-rok,4,2.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [5] 60

8 Agnieszka Rogó -Duda Wykorzystanie modelu liniowego Holta do prognozowaniawydatków na ochron zdrowia 10-rok,4,3.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [6] 11-rok,4,4.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [7] 12-rok,4,5.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [8] r-,1,4.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [9] 4,6.html [dost p: 10 czerwca 2017 r.]. [10] Halicka K., Wie kowski C.: Wykorzystanie metod wygładzania wykładniczego do prognozowania kursu sprzeda y EUR. Ekonomia i Zarz dzanie, nr 2, 2013, s [11] Nazarko J. (red.): Prognozowanie w zarz dzaniu przedsi biorstwem. Cz. 1 Wprowadzenie do metodyki prognozowania. Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, Białystok [12] Nazarko J. (red.): Prognozowanie w zarz dzaniu przedsi biorstwem. Cz. 2 Prognozowanie na podstawie szeregów czasowych. Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, Białystok [13] Nazarko J. (red.): Prognozowanie w zarz dzaniu przedsi biorstwem. Cz. 3 Prognozowanie na podstawie modeli adaptacyjnych. Wydawnictwo Politechniki Białostockiej, Białystok [14] Szostak R.: Uogólniony model Holta na przykładzie prognozowania liczby pasa erów w transporcie lotniczym w o Polsce, Ekonometria, nr 2, 2012, s [15] Zelia A.: Teoria prognozy. Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa

9 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 84, 2017 USE OF HOLT'S LINEAR MODEL FOR FORECASTING SPENDING ON HEALTH CARE Summary This article presents the use of the Holt model for forecasting health care expenditure. Pay special attention to the construction of the forecasting model and the appropriate selection of parameters for the model. The presented method gives you the opportunity to analyse the problem using three different sets of parameters. Values should be selected by minimizing the average square error value of the expired forecast. The author selected the optimal parameters and in random way. The purpose of this was to present what happens to the prognostic model after improper selection of parameters. Keywords: Holt linear model, model parameters, financial outlay for health care Agnieszka Rogó -Duda AGH Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie Ul. Gramatyka 10, Kraków agnieszk.rogoz@gmail.com 62