Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 2 OBWODY NIELINIOWE PRĄDU STŁEGO Obwód elektryczny nieliniowy zawiera przynajmniej jeden element nieliniowy. Cechą charakterystyczną elementu nieliniowego jest zależność jego parametrów (np. rezystancji) od płynącego przezeń prądu lub przyłożonego do niego napięcia. Z powodu tej zmienności parametrów w obwodzie nieliniowym nie jest spełniona zasada superpozycji. Ponadto do rozwiązania go nie mogą być stosowane, oprócz metody superpozycji, metody wymagające określenia wartości parametrów obwodu przed wyznaczeniem występujących w nim prądów i napięć np. metoda potencjałów węzłowych. Twierdzenie Thevenina można stosować jedynie do liniowej części obwodu, czyli nie zawierającej elementów nieliniowych. Natomiast zawsze spełnione są w nim prawa Kirchhoffa - zarówno dla prądów stałych, jak i dla wartości chwilowych prądów zmiennych. W analizie obwodów nieliniowych prądu stałego są istotne następujące pojęcia: - aproksymacja i linearyzacja charakterystyk elementów nieliniowych, - punkt pracy elementu nieliniowego, - rezystancja statyczna elementu nieliniowego, - rezystancja dynamiczna elementu nieliniowego, - schemat zstępczy zlinearyzowany elementu nieliniowego w punkcie pracy. Nieliniowość elementów występujących w obwodach elektrycznych jest wynikiem zjawisk fizycznych, jakie zachodzą w nich pod wpływem pola elektromagnetycznego oraz innych czynników. W stałej temperaturze przewodniki (metale) nie wykazują zależności rezystancji od płynącego przez nie prądu. Jednak prąd, płynąc przez przewodnik, powoduje wydzielanie się w nim energii cieplnej, czego skutkiem może być wzrost temperatury przewodnika a w konsekwencji wzrost jego rezystywności. Typowymi elementami nieliniowymi są elementy półprzewodnikowe (diody, termistory, warystory itp.). Zjawiska decydujące o nieliniowości tych elementów są bardziej złożone, niż w przewodnikach. Zależność rezystancji przewodnika od temperatury Zależność rezystancji przewodnika od temperatury jest opisywana następująco: R R201 20 20 gdzie: R rezystancja w temperaturze [ºC], R 20 - rezystancja w temperaturze 20ºC, 20 temperaturowy współczynnik rezystancji wyznaczony dla temperatury 20ºC. Przyjęto, że podany wzór można stosować dla temperatur poniżej 200ºC. Po przekroczeniu tej granicy błąd w wyznaczeniu rezystancji zaczyna przyjmować znaczącą wartość, rosnącą w miarę wzrostu temperatury. Punkt pracy elementu nieliniowego Punkt na charakterystyce elementu nieliniowego, którego położenie określają aktualne wartości prądu i napięcia elementu nieliniowego, nazywa się punktem pracy. Wartość prądu i napięcia elementu nieliniowego wynika z rozwiązania odpowiedniego równania, które opisuje obwód i w ogólnym przypadku jest nieliniowe. Punkt pracy leży na przecięciu dwóch charakterystyk: charakterystyki elementu nieliniowego U(I) i charakterystyki zewnętrznej źródła U T R T I (tzw. prosta obciążenia) rys. 1 1
Rys. 1. Punkt pracy elementu nieliniowego Schematy zastępcze elementu nieliniowego W punkcie pracy element nieliniowy można zastąpić jednych z trzech elementów liniowych: źródłem napięciowym, źródłem prądowym, rezystancja statyczną rys. 2a. Napięcie źródła napięciowego, prąd źródła prądowego są równe, odpowiednio: napięciu elementu nieliniowego w punkcie pracy U, prądowi elementu nieliniowego w punkcie pracy I. Rezystancję statyczną oblicza się według wzoru: U Rst I W otoczeniu punktu pracy element nieliniowy można zastąpić układem zastępczym w postaci źródła napięciowego z rezystancją dynamiczną rys. 2b. Napięcie źródła i rezystancję dynamiczną oblicza się ze wzorów: 1 du ( I) di ( U ) Rd lub Rd di II du UU Ud U RdI 2. Cel ćwiczenia Rys. 2. Schematy zastępcze elementu nieliniowego: a) w punkcie pracy, b) w otoczeniu punktu pracy Celem ćwiczenia jest poznanie właściwości wybranych elementów nieliniowych na podstawie pomiaru ich charakterystyk zewnętrznych, praktyczne wykorzystanie zdjętych charakterystyk do rozwiązania obwodu nieliniowego. 3. Zakres ćwiczenia Podczas realizacji ćwiczenia będą wykonywane następujące zadania: - pomiar charakterystyki zewnętrznej wybranego elementu nieliniowego, - obliczanie rezystancji statycznej i dynamicznej elementu nieliniowego, - obliczanie temperatury przewodnika na podstawie zmian rezystancji, - pomiar punktu pracy elementu nieliniowego, - zastosowanie twierdzenia Thevenina do uproszczenia obwodu nieliniowego, - obliczenie rozpływu prądów w badanym obwodzie nieliniowym rozgałęzionym, - obliczanie bilansu mocy obwodu. 2
Na rys. 3 przedstawiono schematy analizowanych obwodów. W ćwiczeniu są dostępne następujące elementy nieliniowe: dioda Zenera, żarówka na napięcie 24V. 4. Przygotowanie do ćwiczenia Na podstawie treści wykładu z Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki przeprowadzonego w sem. 2 oraz literatury podanej w punkcie 9 należy zapoznać się metodami analizy obwodów nieliniowych prądu stałego oraz opracować odpowiedzi na zagadnienia kontrolne zawarte w punkcie 8. Sporządzić tabele do wpisania wartości pomiarów i obliczeń (punkt 10). a) b) U z R 0 R N I N U N V U z R 1 R N V R 2 I N I 1 I 2 Rys. 3. Obwody analizowane w ćwiczeniu; a) układ do pomiaru charakterystyki prądowo-napięciowej elementu nieliniowego, b) obwód rozgałęziony z jednym elementem nieliniowym. U z zasilacz laboratoryjny o nastawianym napięciu, R N rezystor nieliniowy, R 0, R 1, R 2 rezystory liniowe 5. Przebieg ćwiczenia a) Połączyć obwód do badania charakterystyki elementów według schematu z rys. 3a. Łączenia dokonać w stanie beznapięciowym. Należy pamiętać, że dioda Zenera ma niesymetryczną charakterystykę prądowo-napięciową, stąd wyniki pomiarów zależą od biegunowości doprowadzonego do niej napięcia, czyli kierunku włączenia tego elementu do obwodu. Natomiast charakterystyka żarówki jest symetryczna, lecz jej rezystancja zależy od temperatury żarnika, która zmienia się zależnie od doprowadzonej mocy. Dlatego, po każdej zmianie parametrów zasilania, odczytu wartości mierzonych należy dokonywać po upływie odpowiedniego odstępu czasu, potrzebnego do ustalenia się temperatury żarnika. b) Zmierzyć charakterystyki prądowo-napięciowe danych w ćwiczeniu elementów nieliniowych w podanym przez prowadzącego zakresie. Zadbać, aby w zadanym przedziale wartości mierzonych znalazło się co najmniej 15 punktów pomiarowych, rozłożonych możliwie równomiernie. Wyniki zapisać w tabeli (Tabela 1) c) Połączyć obwód zgodnie ze schematem na rys. 3b ze wskazanym przez prowadzącego elementem nieliniowym, badanym w punkcie 5b. Ustawić parametry rezystorów liniowych i zasilania podane przez prowadzącego. d) Zmierzyć punkt pracy elementu nieliniowego. Obliczyć rezystancję statyczną elementu nieliniowego w punkcie pracy. Zmierzyć prądy elementów liniowych. Wyniki zapisać w tabeli (Tabela 2). e) Pomiary współrzędnych punktu pracy z punktu 5d powtórzyć przy napięciu zasilania zwiększonym o 15%, a następnie zmniejszonym o 15% względem wartości podanej przez prowadzącego. Wyniki zapisać w tabeli (Tabela 2). f) Zastąpić element nieliniowy rezystorem liniowym o wartości rezystancji równej rezystancji statycznej elementu nieliniowego określonej w punkcie 5d. Zmierzyć współrzędne punktu pracy rezystancji zastępczej dla warunków zasilania, takich jak w punkcie 5d i 5e. Wyniki zapisać w tabeli (Tabela 2). U N 3
6. Opracowanie wyników W celu sporządzenia sprawozdania wyniki ćwiczenia należy opracować w następujący sposób: a) Sporządzić wykres zmierzonych charakterystyk elementów nieliniowych. b) Obliczyć rezystancję statyczną i dynamiczną elementów nieliniowych w poszczególnych punktach pomiarowych: U N, Rd I N c) Sporządzić wykresy rezystancji statycznej oraz rezystancji dynamicznej (w jednym układzie współrzędnych dla danego elementu) w funkcji prądu lub napięcia. d) Na podstawie wartości rezystancji statycznej obliczyć temperaturę żarnika żarówki w 8 wybranych punktach charakterystyki ( w tym, dla maksymalnej wartości prądu). Przyjąć, że dla najmniejszej wartości prądu żarnik ma temperaturę otoczenia oraz założyć, że wynosi ona 20 C. Temperaturowy współczynnik rezystancji dla wolframu jest równy =0,0045 1/ C. Sporządzić wykres zależności rezystancji statycznej od temperatury oraz od prądu (lub napięcia). Określić, jaki jest charakter zamian rezystancji, liniowy czy nieliniowy. Ocenić, w jakim zakresie rezystancji obliczone charakterystyki odzwierciedlają rzeczywiste zależności dostatecznie dokładnie. e) Obliczyć parametry źródła zastępczego Thevenina dla liniowej części obwodu z rys. 3b z punktu widzenia zacisków do których dołącza się element nieliniowy. f) Wyznaczyć punkt pracy elementu nieliniowego badanego w punkcie 5c w obwodzie uproszczonym (ze źródłem zastępczym Thevenina), wykorzystując odpowiednią, sporządzoną w punkcie 6a charakterystykę i metodę prostej obciążenia. Wynik porównać z pomiarem wykonanym w punkcie 5d. g) Porównać pomiary współrzędnych punktu pracy przy zmienionych warunkach zasilania, wykonane w punkcie 5e i 5f. Sformułować wnioski na temat zastępowania elementu nieliniowego jego rezystancją statyczną. h) Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie z rys. 3b i porównać z pomiarami w punkcie 5d. Sporządzić bilans mocy obwodu jeden na podstawie pomiarów, drugi na podstawie obliczeń. Ponadto sprawozdanie powinno zawierać: - wnioski i komentarze do wyników, - schematy analizowanych w ćwiczeniu obwodów wraz z aktualnymi danymi liczbowymi, - podpisany przez prowadzącego protokół pomiarów, - odpowiednio wypełnioną stronę tytułową sprawozdania. 7. Dokonywanie pomiaru miernikiem wielozakresowym Przyrządy pomiarowe są z reguły wielozakresowe. Użytkownik ma do dyspozycji kilka zakresów pomiarowych, z których, zmieniając pozycję przełącznika lub zacisk pomiarowy, wybiera jeden najbardziej odpowiedni do pomiaru danej wielkości. Zakres pomiarowy określa maksymalną wartość wielkości mierzonej, która można zmierzyć na tym zakresie. Powinien być tak dobrany, aby aktualna wartość wielkości mierzonej nie przekraczała wybranego zakresu. Dodatkowo, w przypadku miernika analogowego (wskazówkowego) dobór zakresu pomiarowego powinien zapewnić wychylenie wskazówki przyrządu powyżej połowy skali. Pozwala to zmniejszyć błąd pomiaru (uchyb). Uchyb pomiaru zależy m. in. od klasy dokładności miernika. Klasa dokładności określa w procentach maksymalny uchyb względny przyrządu. Odczytywanie wyniku pomiaru na mierniku wskazówkowym Przykład. Woltomierz ma ustawiony zakres 1,5 V, skala przyrządu zawiera 60 działek, wychylenie wskazówki wynosi 36 działek, miernik ma klasę dokładności 1,5. Jaka jest wartość mierzonego napięcia? Jaka jest maksymalna wartość uchybu pomiaru? Obliczenia przebiegają następująco: 4
zakres pomiarowy 1,5 wynik pomiaru wychylenie wskazówki 36 0,9 V liczba działek skali 60 klasa dokadności 1,5 uchyb pomiaru zakres pomiarowy 1,5 0,0225 V 100 100 wartość napięcia (0,9 0,0225) V 8. Zagadnienia kontrolne a) Zdefiniować obwód nieliniowy oraz element nieliniowy. Przedstawić przykładową charakterystykę nieliniowej rezystancji. b) Wyjaśnić, co to jest punkt pracy elementu nieliniowego. c) Wyjaśnić pojęcia rezystancja statyczna i rezystancja dynamiczna elementu nieliniowego. Podać także odpowiednią interpretację graficzną tych pojęć. d) Przedstawić układ zastępczy zlinearyzowany elementu nieliniowego w otoczeniu punktu pracy oraz sposób wyznaczania jego parametrów. e) Dla rezystora nieliniowego o charakterystyce: u( i) 20 0, 5i obliczyć dla prądu i=1,5 : rezystancję statyczną, rezystancję dynamiczną, parametry układu zastępczego zlinearyzowanego w otoczeniu punktu pracy. f) Element nieliniowy o charakterystyce: u [V] 0 14 21 28 i [] 0 1 2 4 podłączono do źródła napięcia U=25 V. Dla tego elementu obliczyć rezystancję statyczną, rezystancję dynamiczną, parametry układu zastępczego zlinearyzowanego w otoczeniu punktu pracy. g) Omówić rozwiązanie obwodu nieliniowego metodą prostej obciążenia. h) Wyjaśnić, dlaczego rezystancja przewodnika rośnie z temperaturą i jak opisujemy tę zależność. Naszkicować typowe charakterystyki przewodnika uwzględniające wpływ temperatury na rezystancję: R(), U(I). i) Wychylenie wskazówki miliamperomierza na zakresie 150 m wynosi 46 działek. Na skali przyrządu jest 75 działek. Obliczyć wskazanie miernika. 9. Literatura 1. Bolkowski S.: Teoria obwodów elektrycznych. WNT Warszawa. 2. Krakowski M.: Elektrotechnika teoretyczna. WNT Warszawa 5
10. Tabele pomiarowe Tabela 1. Charakterystyki elementów nieliniowych Element nieliniowy: Lp. U z [V] U N [V] I N [] Lp. U z [V] U N [V] I N [] 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 7 8 9 10 Element nieliniowy: Lp. U z [V] U N [V] I N [] Lp. U z [V] U N [V] I N [] 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 7 8 9 10 Tabela 2. Rozpływ prądów w obwodzie rozgałęzionym Element nieliniowy: L.P. U z [V] U N [V] I N [] R st [] I 1 [] I 2 [] 1 2 3 Rezystor zastępczy liniowy L.P. U z [V] U N [V] I N [] 1 2 3 6