Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 8/9 Wykład nr 4 (9..9) Reprezentacja stałoprzecinkowa kod znak-moduł kod uzupełnień do jedności (U) kod uzupełnień do dwóch Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym Standard IEEE 54 liczby -bitowe i 64-bitowe zakres i precyzja liczb wartości specjalne, operacje z wartościami specjalnymi standard IEEE 54 w języku C Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł Kod znak-moduł jest to sposób zapisu liczb całkowitych ze znakiem, występujący takŝe pod nazwami: ZM, Z-M, SM (Signed Magnitude), S+M Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie znak-moduł: W kodzie znak-moduł wszystkie bity liczby poza najstarszym mają takie same znaczenie jak w NKB (Naturalnym Kodzie Binarnym) Najstarszy bit jest bitem znaku: - liczba dodatnia, - liczba ujemna Wartość liczby: X n n xn xn i ( ) ( x + x + x +... + x n ) ( ) ( ) xi i W kodzie tym występują dwie reprezentacje zera: + (ZM ) i ( ZM )
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie znak-moduł Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł UŜywając n-bitów moŝna przedstawić liczby z zakresu: n n X ( ) +, zakres liczb 4-bitowych w kodzie znak-moduł: + zakres liczb 8-bitowych w kodzie znak-moduł: + zakres liczb 6-bitowych w kodzie znak-moduł: źródło: B. Parhami - Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Design () 5 5 + 6 6 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł Przykład (zamiana liczby dziesiętnej na kod znak-moduł): Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł Przykład (obliczenie wartości dziesiętnej liczby w kodzie znak-moduł): zamieniamy liczbę dodatnią 9 ( )? zamieniamy liczbę na NKB 9 ( ) dodajemy bit znaku 9 ( ) (NKB) 9 ( ). inny sposób przedstawienia liczby zamieniamy liczbę ujemną 9 ( )? zamieniamy moduł liczby na NKB 9 ( ) 9 (NKB) dodajemy bit znaku 9 ( ) inny sposób przedstawienia liczby 9 ( ). ( ZM)? bit znaku, - liczba ujemna 6 5 4 ( ) ( + + + + + + ) ( + 6 + 4 + ) 5 ( ZM)? bit znaku, - liczba dodatnia 6 5 4 ( ) ( + + + + + + ) 64 + 6 + 8 + 4 9
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 9/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod znak-modu moduł W kodzie znak-moduł operacje arytmetyczne nie mogą być wykonywane tak samo jak w zwykłym systemie binarnym W przypadku dodawania w działaniach uczestniczą tylko moduły liczb, natomiast bity znaków pełnią inne funkcje Operacja dodawania: a + b Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Kod U (ZU, uzupełnień do jedności) jest to sposób zapisu liczb całkowitych ze znakiem W kodzie U wszystkie bity liczby posiadają swoje takie same wagi jak w NKB, oprócz pierwszego bitu, który ma wagę - n- + - n- + n- 4 wagi x n- x n-... x 4 x x x x cyfry ( lub ) n- n- 4 pozycje znak moduł Najstarszy bit jest bitem znaku: - liczba dodatnia, - liczba ujemna Wartość liczby: n n X( ) x + x + x +... + x n + x n ( + ) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U: Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U: W kodzie U liczby dodatnie zapisywane są tak samo jak w NKB (Naturalnym Kodzie Binarnym), ale najbardziej znaczący bit traktowany jest jako bit znaku, który dla liczby dodatniej ma wartość W kodzie tym występują dwie reprezentacje zera: + (U ) i ( U) Liczby ujemne otrzymywane są poprzez bitową negację danej liczby - bit znaku otrzymuje wtedy wartość
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U UŜywając n-bitów moŝna przedstawić liczby z zakresu: n n X ( ) +, zakres liczb 4-bitowych w kodzie U: + (U) (U) zakres liczb 8-bitowych w kodzie U: + (U) (U) zakres liczb 6-bitowych w kodzie U: źródło: B. Parhami - Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Design () 5 5 + 6 6 (U) (U) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykłady zapisu liczb: Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykład (obliczenie wartości dziesiętnej liczby w kodzie U): zamieniamy liczbę dodatnią 9 ( )?(U) zamieniamy liczbę na NKB 9 ( ) dodajemy bit znaku: 9 ( ) (NKB) 9 ( ). (U) inny sposób przedstawienia liczby (U) zamieniamy liczbę ujemną 9 ( )?(U) zamieniamy moduł liczby na NKB 9 ( ) 9 (NKB) Negujemy bity i dodajemy bit znaku: 9 ( ) (U) inny sposób przedstawienia liczby 9 ( ). (U) (U) (U) (U) ( U)? bit znaku, - liczba ujemna 6 5 4 ( + ) + + + + + + + + + 6 + 4 + (U) 4 ( U)? bit znaku, - liczba dodatnia 6 5 4 ( + ) + + + + + + + (U) 64 + 6 + 8 + 4 (U) 9
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Dodawanie: dodawanie w kodzie U polega na zwykłym dodawaniu bitowym jeśli na najstarszym bicie wystąpi przeniesienie, to naleŝy je dodać do końcowego wyniku Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Kod U (ZU, uzupełnień do dwóch) jest najpopularniejszym sposobem zapisu liczb całkowitych ze znakiem Przykład: ( ) + ( 4) Najstarszy bit jest bitem znaku: - liczba dodatnia, - liczba ujemna Wartość liczby: X n x + x + x +... + x n + x n ( n ) System zapisu liczb ze znakiem U jest obecnie stosowany we wszystkich komputerach IBM, Amiga, Macintosh oraz w językach programowania Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 9/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Kod U (ZU, uzupełnień do dwóch) jest najpopularniejszym sposobem zapisu liczb całkowitych ze znakiem Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U UŜywając n-bitów moŝna przedstawić liczby z zakresu: n n X( ), zakres liczb 4-bitowych w kodzie U: 8 Waga najstarszego bitu w liczbie to - n- Liczba - n- nie posiada swego przeciwieństwa w n-bitowej reprezentacji kodu U dla n 8 (reprezentacja 8-bitowa) zakres liczb to -8 liczba -8 nie posiada swego przeciwieństwa (8) W kodzie U dolna i górna granica zakresu liczb są niesymetryczne zakres liczb 8-bitowych w kodzie U: zakres liczb 6-bitowych w kodzie U: 5 5 68 6 8
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U: Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U: KaŜda wartość w kodzie U jest reprezentowana jednoznacznie - nie ma podwójnej reprezentacji zera W n-bitowym kodzie liczb ujemnych jest o jeden więcej niŝ dodatnich... zawsze oznacza, a... zawsze oznacza - Zwiększając obszar zajmowany przez liczbę w kodzie U, dodawany obszar wypełnia się bitem znaku, np. zapis liczb na 4 bitach i 8 bitach: 5 5.. 5 5.. Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Zapis liczb 4-bitowych ( bit - znak, bity - moduł) w kodzie U Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Nazwa kodu (U - uzupełnień do dwóch) wzięła się ze sposobu obliczania liczb przeciwnych) W przypadku liczby n-bitowej wartość przeciwną otrzymujemy odejmując liczbę od dwukrotnej wagi najstarszego bitu ( n- n ) Praktycznie stosuje się prostszy algorytm, składający się z dwóch kroków: Krok : inwersja (negacja) wszystkich bitów liczby, tj. zamiana na i na Krok : zwiększenie wyniku o źródło: B. Parhami - Computer Arithmetic: Algorithms and Hardware Design () Uwaga: powyŝszym sposobem nie otrzymamy wartości przeciwnej np. 8-bitowej liczby, gdyŝ ona po prostu nie istnieje
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykłady zapisu liczb: Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykład zamiany liczby na przeciwną: zamieniamy liczbę dodatnią 9 ( )? zamieniamy liczbę na NKB 9 ( ) dodajemy bit znaku: (NKB) 9 ( ). powyŝszy zapis liczby dodatniej jest taki sam jak w kodzie U zamieniamy liczbę ujemną 9 zamieniamy moduł liczby na NKB i dodajemy bit znaku negacja bitów ( )? 9 ) 9 (... dodanie 9 ( ). 5 ( ) 5 5? 5 ( ) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykład zamiany liczby na przeciwną: 5 ( ) 5 5? Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U Przykład (obliczenie wartości dziesiętnej liczby w kodzie U): ( U)? bit znaku, - liczba ujemna 6 5 4 ( ) + + + + + + + 8 + + 6 + 4 + 5 ( U)? bit znaku, - liczba dodatnia 5 ( ) 6 5 4 ( ) + + + + + + + 64 + 6 + 8 + 4 9
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 9/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U z częś ęścią ułamkową Przykład: przedstawienie liczb, w kodzie U z dokładnością do trzech cyfr po przecinku 58 / 9/ 46 / / 6 / 8 /, ( )?(NKB), 586,96 58 9 46 6 8 9 reszta reszta reszta reszta reszta reszta 9 / 4 / / / 4 reszta reszta reszta reszta zaokrąglamy do najbliŝszej wartości całkowitej Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U z częś ęścią ułamkową Przykład (cd.):, dodajemy bit znaku,( ).,., otrzymaną liczbę zamieniamy na przeciwną, czyli szukamy -, w kodzie U z dokładnością do trzech cyfr po przecinku., NOT., +"",( ).,.,.,., stawiamy przecinek przed ostatnimi cyframi, (NKB) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dodawanie Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dodawanie Dodawanie liczb w kodzie U odbywa się standardową metodą - traktujemy liczby jako zwykłe liczby binarne (dodatnie), dodajemy je otrzymując wynik w kodzie U W operacji dodawania bierze udział takŝe bit znaku, a przeniesienie poza najstarszy bit znaku jest ignorowane Przykłady: ( ) + 5 ( ) + ( 5) Przykłady: 5 + + + ( ) + ( ) + 5 ignorujemy przeniesienie dodawanie dowolnych liczb w kodzie U daje poprawny wynik zawsze wtedy, gdy mieści się on w zakresie liczb dla danego formatu + 5 + + + 5
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - odejmowanie Odejmowanie odbywa się według tych samych zasad jak w NKB Przykłady: 5 ( ) 5 ( ) 5 8 5 8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - mnoŝenie MnoŜenie liczb w kodzie U wykonywane jest w inny sposób niŝ standardowe mnoŝenie w kodzie NKB Przed wykonaniem mnoŝenia naleŝy rozszerzyć znakowo obie mnoŝone liczby tak, aby ich liczba bitów wzrosła dwukrotnie (bit znaku jest powielany), np. 5 5.. 5 Po wykonaniu rozszerzenia znakowego liczby są mnoŝone standardowo 5.. Otrzymywany wynik powinien być liczbą o długości równej sumie długości mnoŝonych liczb - z tego powodu bity wykraczające poza tę długość są ignorowane Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - mnoŝenie Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dzielenie Przykład: Najprostsza metoda dzielenia w U składa się z następujących kroków: ( ) 6 rozszerzenie znakowe rozszerzenie znakowe zapamiętanie znaków dzielonych liczb zamiana liczb ujemnych na dodatnie wykonanie dzielenia dla liczb naturalnych zmiana znaku wyniku, jeśli znak dzielnej i dzielnika róŝnią się Podczas dzielenia znaki wyniku i reszty przyjmują wartości przedstawione w tabeli ignorujemy
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Reprezentacja liczb ze znakiem - kod U - dzielenie Reprezentacja liczb ze znakiem - porównanie kodów Przykład: 6 6 ( ) : ( ) liczba dodatnia Porównanie interpretacji wartości słów kodu binarnego w róŝnych systemach zapisu liczb ze znakiem - : Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 9/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis bardzo duŝych lub bardzo małych liczb w normalnej notacji pozycyjnej jest niewygodny gdyŝ wymaga duŝej ilości cyfr, np. dwanaście bilionów: trzydzieści trylionów: jedna bilionowa:, Znacznie prostsze jest przedstawienie powyŝszych liczb w postaci zmiennoprzecinkowej (ang. floating point numbers),, 9,, - Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Zapis liczby zmiennoprzecinkowej ma postać: gdzie: Przykład: L M B L - wartość liczby M - mantysa B - podstawa systemu E - wykładnik, cecha,4,4 4 E PowyŜszy zapis nazywamy takŝe zapisem w postaci wykładniczej lub teŝ notacją naukową
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Przykład:, B, B E () E (4) (), (4), () M, () (4) M, () (4) (4)?? + + 4 + 4 4 + 4 4,965 4 + + 4 4 + + 4 4 + 4 + 4 + + + 4 5 5,5,5 44 9 6 968 +,5 +,5,5,965 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej PołoŜenie przecinka w mantysie nie jest ustalone i moŝe się zmieniać PoniŜsze zapisy oznaczają tę samą liczbę 4 4,,4,4 4 Dla ujednolicenia zapisu i usunięcia wielokrotnych reprezentacji tej samej liczby, przyjęto tzw. postać znormalizowaną zapisu liczby, w której mantysa spełnia nierówność: Przykład: B > M,4 - to jest postać znormalizowana, gdyŝ: >,4,4 4 - to nie jest postać znormalizowana 4, - to nie jest postać znormalizowana Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 44/8 Zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej Jak zapisać liczbę w postaci zmiennoprzecinkowej? Przykład: 5,69 zapisujemy mantysę przy wykładniku równym zero 5,69 normalizujemy mantysę modyfikując wykładnik liczby,569 Arytmetyka zmiennoprzecinkowa W arytmetyce zmiennoprzecinkowej kolejność wykonywania operacji ma wpływ na końcowy wynik arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest łączna (x + y) + z x + (y + z) (x y) z x (y z) arytmetyka zmiennoprzecinkowa nie jest rozdzielna x (y + z) (x y) + (x z) dodatkowo moŝe nastąpić obcięcie (ang. truncate) albo zaokrąglenie (ang. round) mantysy do zadanej ilości cyfr, np. - obcięcie:,5 - zaokrąglenie:,5
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 45/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 46/8 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Dodawanie i odejmowanie: Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Dodawanie i odejmowanie: dodawanie i odejmowanie liczb zmiennoprzecinkowych wymaga sprowadzenia ich do wspólnego wykładnika (jest to tzw. wyrównanie wykładników liczb zmiennoprzecinkowych lub denormalizacja) denormalizacja dotyczy liczby o mniejszym wykładniku tak, aby sprowadzić obie liczby do wspólnego większego wykładnika załóŝmy, Ŝe mamy dwie liczby zmiennoprzecinkowe: L E E M B L M B jeśli wykładniki obu liczb są sobie równe (E E E), to normalizacji nie trzeba przeprowadzać mantysa sumy (róŝnicy) liczb jest sumą (róŝnicą) mantys liczb, zaś wykładnik sumy (róŝnicy) jest równy wykładnikowi dodawanych (odejmowanych) liczb: E E E L ± L M B ± M B (M ± M ) B jeśli wykładnik pierwszej liczby jest większy od wykładnika drugiej liczby (E > E ), to sumę (róŝnicę) liczb wyznaczamy ze wzoru: L ± L M B E ± M B jeśli wykładnik drugiej liczby jest większy od wykładnika pierwszej liczby (E > E ), to sumę (róŝnicę) liczb wyznaczamy ze wzoru: E E E B L ± L M B ± M B B L ± L (M ± M E E B ) B L ± L M B E E B L ± L M B B L ± L (M B ± M B E E E E E E E E ± M B E ± M ) B E Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 48/8 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - dodawanie: Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - odejmowanie: obliczamy sumę dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: obliczamy róŝnicę dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: L M B E E L M B,5,5 L M B E E L M B,5,5 poniewaŝ E < E, to stosujemy wzór: poniewaŝ E > E, to stosujemy wzór: obliczenia: L E E E + L (M B + M ) B obliczenia: L E E E L (M M B ) B L + L,5 +,5 L + L (,5 L + L (,5 +,5) +,5) L + L (,5 +,5),55 L L,5,5 L L (,5,5 ) L L (,5,5 ) L L (,5,5),45 otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 49/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych MnoŜenie: Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - mnoŝenie: iloczyn liczb L i L ma postać: L E + E L (M M) B mantysa iloczynu jest iloczynem mantys, zaś wykładnik iloczynu jest sumą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana obliczamy iloczyn dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: obliczenia: E E L M B,6, L M B, E E L L M M B +,6,,68 otrzymany wynik jest w postaci znormalizowanej Dzielenie: iloraz liczb L i L ma postać: L E E / L (M / M ) B mantysa ilorazu jest ilorazem mantys, zaś wykładnik ilorazu jest róŝnicą wykładników po wykonaniu operacji arytmetycznej mantysa wyniku jest normalizowana Przykład - dzielenie: obliczamy iloraz dwóch liczb zmiennoprzecinkowych: obliczenia: E E L M B,6, L M B, E E 4 L / L (M / M ) B +,6 /,,69565 normalizacja wyniku: 4 L / L,69565 6,9565 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym W praktycznych realizacjach zapisu liczb zmiennoprzecinkowych przyjmuje się ograniczony zakres na mantysę i cechę Z powyŝszego powodu liczba w zapisie zmiennoprzecinkowym jest określona z pewną dokładnością i moŝe występować tylko w określonym zakresie Zakodowana liczba zmiennoprzecinkowa ma postać: 4 6 5 8 S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M znak wykładnik mantysa Zapis liczb zmiennoprzecinkowych w systemie binarnym S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M znak Wartość liczby obliczana jest ze wzoru: gdzie: wykładnik 4 6 5 8 L ( ) M S B E mantysa L - wartość liczby S - znak liczby (ang. sign), przyjmuje wartość lub M - znormalizowana mantysa (ang. mantissa), liczba ułamkowa B - podstawa systemu liczbowego (ang. base) E - wykładnik (ang. exponent), cecha, liczba całkowita W systemie binarnym podstawa systemu jest stała: B L ( ) M S E
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 54/8 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych ZałóŜmy, Ŝe liczba składa się z: m - cyfr przeznaczonych na mantysę n+ - cyfr przeznaczonych na wykładnik (n - cyfr wartości i cyfry znaku) - cyfry znaku całej liczby Zakres liczb zmiennoprzecinkowych W takim przypadku najmniejsza i największa wartość moŝliwa do zapisania w tej reprezentacji wynoszą: x x min max M M min max B B Emin Emax B Emin (B B (m ) ) B Emax Natomiast zakres liczb, które mogą być reprezentowane w danym zapisie: x max, x min { } x min, x max Wartości minimalne i maksymalne: wykładnik: mantysa: E M min min n B + E M max max n B B B (m ) Zero jest wartością specjalną, która nie jest bezpośrednio reprezentowana w tym zapisie Zazwyczaj istnieją takŝe inne wartości specjalne, które są reprezentowane w inny sposób, np. +, - Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 55/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 56/8 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Nie wszystkie liczby rzeczywiste moŝna przedstawić za pomocą zapisu zmiennoprzecinkowego Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Liczby reprezentowane w notacji zmiennoprzecinkowej nie są rozmieszczone równomiernie na osi liczb jak liczby stałopozycyjne MoŜliwe wartości są rozłoŝone gęściej na początku osi, a rzadziej w miarę oddalania się od początku x min - najmniejsza wartość moŝliwa do zapisania w danej reprezentacji x max - największa wartość moŝliwa do zapisania w danej reprezentacji Wiele wyników obliczeń musi być zatem zaokrąglana do najbliŝszych wartości moŝliwych do reprezentowania Niedomiar występuje, gdy wielkość ułamkowa jest zbyt mała - zazwyczaj jest wtedy aproksymowana przez zero Jeśli wynik operacji zmiennoprzecinkowej jest większy od x max lub mniejszy od -x max to zaistniałą sytuację nazywamy błędem nadmiaru
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 58/8 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych Przykład - liczba -bitowa: E E x x min max min max n B + + n B B Emin (B B (m ) ) B 5,88 Emax 9 ( ( ) ) 8 5 9 8 { } 5,88,,4 8 9,4, 5,88,4 8 Liczby zmiennoprzecinkowe - przesunięcie wykładnika W celu uniknięcia konieczności kodowania znaku wykładnika jest on zapisywany jako wartość przesunięta o pewną stałą (ang. biased exponent) - zapis wykładnika z nadmiarem, z przesuniętym wykładnikiem Właściwą wartość wykładnika otrzymuje się poprzez odjęcie od zakodowanego wykładnika wartości przesunięcia (ang. bias) Wartość liczby zmiennoprzecinkowej oblicza się zatem ze wzoru: gdzie: S L ( ) M L - wartość liczby S - znak liczby M - mantysa E - wykładnik BIAS - przesunięcie (nadmiar) Typowe wartości przesunięcia wynoszą: dla formatu -bitowego: F (6) E BIAS dla formatu 64-bitowego: FF (6) dla formatu 8-bitowego: 68 FFF (6) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 59/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Standard IEEE 54 W celu ujednolicenia operacji na liczbach zmiennoprzecinkowych na róŝnych platformach sprzętowych opracowano odpowiedni standard IEEE 54 Pełna nazwa standardu to: IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEE Std 54-985) Obecnie praktycznie wszystkie implementacje sprzętowe liczb zmiennoprzecinkowych oparte są o ten standard Standard IEEE 54 definiuje dwie podstawowe klasy liczb zmiennoprzecinkowych: pojedynczej precyzji (ang. single-precision) - liczby -bitowe podwójnej precyzji (ang. double-precision) - liczby 64-bitowe Standard IEEE 54 W standardzie IEEE 54 zdefiniowane zostały takŝe inne klasy liczb zmiennoprzecinkowych: pojedynczej rozszerzonej precyzji (ang. single-extended precision) - liczby 4-bitowe, nie są powszechnie stosowane podwójnej rozszerzonej precyzji (ang. double-extended precision) - liczby 9-bitowe, zazwyczaj implementowane jako 8-bitowe Standard IEEE 54 definiuje takŝe trzy formaty stałoprzecinkowe dwójkowe i jeden stałoprzecinkowy format dziesiętny BCD: 6-bitowy format całkowity (ang. short integer) -bitowy format całkowity (ang. integer) 64-bitowy format całkowity (ang. extended integer) 8-bitowy format dziesiętny BCD (kodowanie 8-cyfrowej liczby całkowitej dziesiętnej oraz znaku na najbardziej znaczącej pozycji)
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Standard IEEE 54 Standard IEEE 54 definiuje nie tylko sposób reprezentacji liczb, ale takŝe: sposób reprezentacji specjalnych wartości, np. nieskończoności, zera sposób wykonywania działań na liczbach zmiennoprzecinkowych sposób zaokrąglania liczb Norma IEEE 54 jest standardem dwójkowym, w którym wymaga się, aby bazą wszystkich reprezentacji było B Istnieje takŝe norma IEEE 854 będąca standardem uniwersalnym, niezaleŝnym od bazy obejmuje arytmetykę dwójkową i dziesiętną nie precyzuje dokładnie przyporządkowania poszczególnych bitów ani sposobu kodowania liczb zmiennoprzecinkowych Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Liczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na bitach: Pierwszy bit w zapisie (bit nr ) jest bitem znaku ( - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na 8 bitach (bity nr -) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości Wykładnik moŝe przyjmować wartości od - (wszystkie bity wyzerowane) do 8 (wszystkie bity ustawione na ) Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 64/8 Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Liczba pojedynczej precyzji przechowywana jest na bitach: Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Przykład: Mantysa zapisywana jest na bitach w stałoprzecinkowym kodzie U W większości przypadków mantysa jest znormalizowana Wartość mantysy zawiera się pomiędzy a, a zatem w zapisie liczby pierwszy bit jest zawsze równy PowyŜszy bit nie jest zapamiętywany, natomiast jest automatycznie uwzględniany podczas wykonywania obliczeń (bit ukryty, hidden bit) Dzięki pominięciu tego bitu zyskujemy dodatkowy bit mantysy (zamiast bitów mamy 4 bity) obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej (? dzielimy liczbę na części określamy znak liczby IEEE54) { 44 44444 44444 S bit znaku S E wykladnik liczba dodatnia M mantysa (tylko czesc ulamkowa) obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji -bitowej nadmiar wynosi E ( ) 8 + 4 + { 6 nadmiar
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 65/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 66/8 Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Przykład (cd.): Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Przykład: wyznaczamy mantysę dopisując na początku ( - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M, + + 4 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: (U) +,5 +,65,565 S E L ( ) M obliczmy wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej (? dzielimy liczbę na części określamy znak liczby IEEE54) { 44 44444 44444 S bit znaku E wykladnik M mantysa (tylko czesc ulamkowa) podstawiając otrzymujemy: S liczba ujemna S, E 6( ), M, 565 6 L ( ),565 ( IEEE54) obliczamy wykładnik pamiętając, Ŝe w reprezentacji -bitowej nadmiar wynosi E ( ) 8 + 4 + + 5 { 8 nadmiar Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 68/8 Standard IEEE 54 - liczby -bitowe Przykład (cd.): Standard IEEE 54 - liczby 64-bitowe Liczba podwójnej precyzji przechowywana jest na 64 bitach: wyznaczamy mantysę dopisując na początku ( - znak liczby w kodzie U, - część całkowita) i stawiając przecinek M, + + + 4 (U) +,5 +,5 +,65,85 wartość dziesiętną liczby zmiennoprzecinkowej obliczamy według wzoru: S E L ( ) M podstawiając otrzymujemy: S, E 8( ), M, 85 8 L ( ),85 464 ( 464 IEEE54) Pierwszy bit w zapisie (bit nr 6) jest bitem znaku ( - liczba dodatnia, - liczba ujemna) Wykładnik zapisywany jest na bitach (bity nr 6-5) z nadmiarem (przesunięciem wykładnika) o wartości 4 Wykładnik moŝe przyjmować wartości od - (wszystkie bity wyzerowane) do 4 (wszystkie bity ustawione na ) Mantysa zapisywana jest na 5 bitach w stałoprzecinkowym kodzie U Podobnie jak w liczbie pojedynczej precyzji, pierwszy bit mantysy, zawsze równy, nie jest zapamiętywany
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 69/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Standard IEEE 54 - zakres i precyzja liczb Zakres liczb zmiennoprzecinkowych pojedynczej precyzji: 8,4...,4 Zakres liczb zmiennoprzecinkowych podwójnej precyzji: 8,8...,8 8 8 Standard IEEE 54 - wartości specjalne Oprócz zwykłych liczb w standardzie IEEE 54 zdefiniowano kilka wartości specjalnych Zero bit znaku moŝe przyjmować dowolną wartość, a zatem moŝna otrzymać zero dodatnie lub zero ujemne - zero dodatnie Precyzję podaje się najczęściej jako przybliŝoną ilość dziesiętnych cyfr znaczących, precyzja zaleŝna jest od liczby bitów mantysy Liczba zmiennoprzecinkowa pojedynczej precyzji ma cyfr dziesiętnych Liczba zmiennoprzecinkowa podwójnej precyzji ma 5-6 cyfr dziesiętnych wszystkie bity wykładnika i mantysy są równe zeru - zero ujemne przy porównaniach zero dodatnie i ujemne są traktowane jako równe sobie Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Standard IEEE 54 - wartości specjalne Nieskończoność bit znaku określa czy mamy nieskończoność dodatnią czy ujemną Standard IEEE 54 - wartości specjalne Liczba zdenormalizowana... x x x x x x x x x x x x... - nieskończoność dodatnia znak wykładnik mantysa... x x x x x x x x x x x x... - nieskończoność ujemna znak wykładnik mantysa wszystkie bity wykładnika są równe jeden, zaś wszystkie bity mantysy - zero nieskończoność występuje w przypadku wystąpienia nadmiaru (przepełnienia) oraz przy dzieleniu przez zero bit znaku moŝe być równy zero lub jeden, wszystkie bity wykładnika są równe zeru, zaś bity mantysy przyjmują dowolne wartości pojawia się, gdy występuje niedomiar (ang. underflow), ale wynik operacji moŝna jeszcze zapisać denormalizując mantysę w takim przypadku mantysa nie posiada domyślnej części całkowitej równej, tzn. reprezentuje liczbę o postaci,xxx xxx, a nie,xxx xxx
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 4/8 Standard IEEE 54 - wartości specjalne Nieliczby w standardzie IEEE 54 zdefiniowane są dwie specjalne wartości, które nie reprezentują wartości liczbowej wartości te nazywane są NaN (ang. Not A Number - nie liczba) powstają zazwyczaj w wyniku niedozwolonej operacji, np. (obliczanie pierwiastka z liczby ujemnej, dzielenie zera przez zero) wyróŝnia się dwa rodzaje nieliczb: QNaN i SNaN QNaN (ang. Quiet NaN) - ciche nieliczby Standard IEEE 54 - wartości specjalne Nieliczby (cd.) SNaN (ang. Significant NaN) - istotne, głośne nieliczby x x x x x x... x x x x x znak... x wykładnik mantysa powodują powstanie wyjątków w operacjach arytmetycznych i przerwanie obliczeń najczęściej oznaczają wartość niedozwoloną... x x x x x x x... x x x x x znak wykładnik mantysa ciche nieliczby przechodzą przez działania arytmetyczne najczęściej oznaczają wartość niezdefiniowaną ich wystąpienie nie powoduje wyjątku Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 5/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 6/8 Standard IEEE 54 - operacje z wartościami specjalnymi Język C - operacje z wartościami specjalnymi Standard IEEE 54 definiuje dokładnie wyniki operacji, w których występują specjalne argumenty #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> int main() { printf("./. %f\n",./.); printf("-./. %f\n",-./.); printf("./. %f\n",./.); printf("sqrt(-.) %f\n",sqrt(-.)); printf("./inf %f\n",./(./.)); printf("*inf %f\n",.*(./.)); } system("pause"); return ;./..#INF -./. -.#INF./. -.#IND sqrt(-.) -.#IND./INF. *INF -.#IND
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 /8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Język C - reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych Koniec wykładu nr 4 Typy zmiennoprzecinkowe w języku C: Nazwa typu Rozmiar (bajty) Zakres wartości Cyfry znaczące float 4 bajty -,4-8,4 8-8 double 8 bajtów -, -8, 8 5-6 long double bajtów PowyŜsze rozmiary podane zostały dla kompilatora Dev-C++ Dziękuj kuję za uwagę! Typ long double moŝe mieć takŝe inny rozmiar: Kompilator MS Visual C++6. Borland C++. Borland C++ Builder 6 Dev-C++ Rozmiar (bajty) 8 bajtów bajtów bajtów bajtów Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 9/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Biernat J.: Architektura komputerów. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 5. Rozdz. 4... Reprezentacja liczb rzeczywistych - typy ciągłe (str. 5-6) Rozdz. 4..4. Standard zmiennoprzecinkowy IEEE 54 (str. -8) Rozdz. 5.. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (str. 95-) Biernat J.: Metody i układy arytmetyki komputerowej. Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław,. Rozdz..6. Reprezentacje zmiennoprzecinkowe (str. -8) Rozdz..6. Działania zmiennoprzecinkowe (str. 5-6) Dodatek D. Standardy zmiennoprzecinkowe IEE 54/854 (str. 55-6) Gryś S.: Arytmetyka komputerów w praktyce. PWN, Warszawa,. Rozdz... Działania na liczbach ze znakiem (str. 9-) Rozdz. 4.. Zalecenia normy IEEE 54 (str. 5-) Rozdz. 5. Działania arytmetyczne na liczbach zmiennopozycyjnych (str. -44) Kalisz J.: Podstawy elektroniki cyfrowej. Wydawnictwa Komunikacji i Łączności, Warszawa,. Rozdz.... Zmiennoprzecinkowa reprezentacja liczb (str. 44-48) Rozdz... Działania arytmetyczne na liczbach dwójkowych ze znakiem (str. 66-) Rozdz..4. Działania arytmetyczne na liczbach zmiennoprzecinkowych (str. 5-6) Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Ogrodzki J.: Wstęp do systemów komputerowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 5. Rozdz.... Dodawanie w kodzie U (str. 5-5) Rozdz.... Zmiana znaku liczby na przeciwny w kodzie U (str. 5-54) Rozdz...4. Odejmowanie w kodzie U (str. 54-55) Rozdz...5. MnoŜenie w kodzie U (str. 55-58) Pochopień B., Stańczyk U.: Arytmetyka systemów cyfrowych w zadaniach. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice, 6. Rozdz.. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa (str. 8-8) Pochopień B.: Arytmetyka systemów cyfrowych. Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice,. Rozdz... Format zmiennoprzecinkowy (str. 6-66) Rozdz. 5. Arytmetyka liczb zmiennoprzecinkowych (str. -5) Stallings W.: Organizacja i architektura systemu komputerowego. Projektowanie systemu a jego wydajność. WNT, Warszawa, 4. Rozdz. 8.4. Reprezentacja zmiennopozycyjna (str. 4-49) Rozdz. 8.5. Arytmetyka zmiennopozycyjna (str. 49-59) Kincaid D., Cheney W.: Analiza numeryczna. WNT, Warszawa, 6. Rozdz... Arytmetyka zmiennopozycyjna (str. -44)
Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Źródła a (KsiąŜ ąŝki): Tanenbaum A.: Strukturalna organizacja systemów komputerowych. Helion, Gliwice, 6. Dodatek A.4. Ujemne liczby dwójkowe (str. 5-) Dodatek B.. Zasady arytmetyki zmiennopozycyjnej (str. 4-45) Dodatek B.. Standard arytmetyki zmiennopozycyjnej IEEE-54 (str. 45-48) Wojtuszkiewicz K.: Urządzenia techniki komputerowej. Część. Jak działa komputer?. PWN, Warszawa,. Rozdz.... Zapis liczb ze znakiem (str. 49-5) Źródła a (Internet): http://pl.wikipedia.org/wiki/kod_znak-moduł - Kod znak-moduł http://pl.wikipedia.org/wiki/kod_uzupełnień_do_jedności - Kod U http://pl.wikipedia.org/wiki/kod_uzupełnień_do_dwóch - Kod U http://edu.i-lo.tarnow.pl/inf/alg/6_bin/5.php - Binarne kodowanie liczb. Kodowanie liczb ze znakiem, J. Wałaszek, I LO w Tarnowie http://pl.wikipedia.org/wiki/liczba_zmiennoprzecinkowa - Liczba zmiennoprzecinkowa http://edu.i-lo.tarnow.pl/inf/alg/6_bin/8.php - Binarne kodowanie liczb. Zapis zmiennoprzecinkowy, J. Wałaszek, I LO w Tarnowie http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?titlemn - Metody numeryczne. MN - Arytmetyka zmiennoprzecinkowa http://pl.wikipedia.org/wiki/ieee_54 - standard IEEE 54 http://edu.i-lo.tarnow.pl/inf/alg/6_bin/.php - Binarne kodowanie liczb. Standard IEEE 54, J. Wałaszek, I LO w Tarnowie Rok akademicki 8/9, Wykład nr 4 8/8 Źródła a (Internet): http://en.wikipedia.org/wiki/signed_number_representations - Signed numer represantions http://en.wikipedia.org/wiki/two's_complement - Two s complement http://en.wikipedia.org/wiki/floating_point - Floating point http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber4695 - IEEE 54-8 Standard for Floating- Point Arithmetic http://en.wikipedia.org/wiki/ieee_54-8 - IEEE 54 (8) http://en.wikipedia.org/wiki/ieee_54-985 - IEEE 54 (985) http://en.wikipedia.org/wiki/significant_digits - Significant digits http://www.validlab.com/goldberg/paper.pdf - What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, David Goldberg, published in the March, 99 issue of Computing Surveys