3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie składowe uznajemy te, których zwroty są ze składowymi jak pokazano na rysunku: x y y x x Rys. 3.1. Znakowanie składowych naprężeń Wartości składowych wektora naprężenia w stosunku do układu obróconego o kąt apisujemy:, cos sin y sin cos (3.), sin cos y sin cos (3.3) ' y ' sin cos y cos sin (3.4) lub krócej w postaci macierzowej 'T (3.5) gdzie wektory ' i opisują stan naprężenia odniesiony odpowiednio do układu współrzędnych obróconych i wyjściowych. Macierz transformacji zapisujemy w postaci:
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA [ c T s sc ] s c sc (3.6) sc sc c s Wygodnie jest przedstawić te zależności wykorzystując wzory na kąty podwójne. Otrzymamy wówczas, cos sin (3.7), cos sin (3.8) ' y ' sin y cos (3.9) Muszą być oczywiście spełnione warunki, które nazywamy warunkami niezmienniczości lub krócej niezmiennikami, które zapiszemy następująco: ' ' const. (3.10) ' ' ' y ' const. (3.11) Aby znaleźć kierunki osi głównych naprężeń i ekstremalne naprężenia główne należy obliczyć ekstremum równania (3.7) względem kąta. Po zróżniczkowaniu i przyrównaniu do zera otrzymamy: tg gł y (3.1) I, II ± x (3.13) Maksymalne naprężenia ścinające odniesione są do układu współrzędnych obróconego o kąt /4 w stosunku do układu osi głównych. Te wartości wynoszą: ' MAX x y (3.14) Jeśli będziemy mówić o stanie odkształcenia, będziemy posługiwać się wektorem opisującym składowe odniesione do układu (x0y) w postaci:
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 3 { y } (3.15) Zależności geometryczne nazywane związkami Cauchy'ego przy użyciu opisu przemieszczeń u i v, odpowiednio w kierunkach osi x i y, wyrażone będą w postaci: u v y y u y v (3.16) Związki pomiędzy przemieszczeniami a odkształceniami pokazano na rysunku poniżej: y,v v v y dy dy v u y u u y dy dx v v u u dx dx x,u Rys. 3.. Przemieszczenia i odkształcenia dla elementu płaskiego W zapisie macierzowym związki (3.16) można przedstawić następująco Lu (3.17) gdzie wektor u[u, v] T, natomiast macierz L jest operatorem różniczkowym, który dla problemu dwuwymiarowego przyjmuje postać: 0 L[ y ] 0 (3.18) y W płaskim stanie naprężenia (płaszczyzna x0y) niektóre składowe tego stanu są równe zeru:
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 4 z (3.19) z Co pociąga również za sobą fakt, że niektóre składowe odkształceń są równe zeru: z z (3.0) a wartość 0 Odpowiednie zależności przedstawiają się następująco 1 1 y 1 G y 1 (3.1) (3.) lub w postaci relacji odwrotnej 1 x 1 y (3.3) y 1 1 (3.4) gdzie 1 Powyższe zależności można zapisać macierzowo w postaci C (3.5)
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 5 gdzie C 1 [ 1 0 1 0 (3.6) 0 0 1 ] lub odwrotnie D (3.7) gdzie DC 1 [1 ] 0 1 0 (3.8) 1 0 0 W płaskim stanie odkształcenia następujące składowe są równe zeru: z z z z (3.9) natomiast Odpowiednie zależności fizyczne przedstawiają się następująco 0 (3.30) 1 1 (3.31) y 1 (3.3) oraz
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 6 1 (3.33) skąd (3.34) Podstawiając powyższy rezultat do wzorów (3.31) i (3.3) otrzymamy ostatecznie lub odwracając zależności: W zapisie macierzowym zapiszemy: 1 [ 1 ] (3.35) 1 [ 1 ] (3.36) y 1 (3.37) 1 1 [ 1 ] (3.38) 1 1 [ 1 ] (3.39) y 1 (3.40) oraz C 1 [1 0 ] 1 0 (3.41) 0 0 0 DC 1 1 0 1 1 [1 ] (3.4) 1 0 0