Rekurencja Przygotowała: Agnieszka Reiter
Definicja Charakterystyczną cechą funkcji (procedury) rekurencyjnej jest to, że wywołuje ona samą siebie. Drugą cechą rekursji jest jej dziedzina, którą mogą być tylko liczby naturalne. Rekurencja jest sposobem programowania, w którym stosuje się procedury wywołujące same siebie. Ilość tych wywołań nie ma znaczenia, fakt wywołania jest podstawą do określenia algorytmu jako rekurencyjnego.
Po co nam jest rekurencja? Przede wszystkim dzięki niej łatwo jest wykonać wiele zadań, w których potrzeba jest wyników cząstkowych do obliczenia całości. Sztandarowym przykładem w zagadnieniu rekurencji jest liczenie silni (n!), lub nieco bardziej zaawansowany przykład liczenia n-tej wartości w ciągu Fibonacciego. Dla przypomnienia, ciąg Fibonacciego jest ciągiem, w którym każda następna wartość jest równa sumie dwóch poprzednich.
Algorytm silnia
ALGORYTM SILNI W J. PASCAL Function silnia(n:byte):word; Begin If n<1 then silnia:=1 else silnia:=silnia(n-1)*n; End;
Algorytm silni Często przytaczanym przykładem jest definicja funkcji obliczającej wartość silni long int SILNIA(int n) { if(n<1) return 1; } else return n * SILNIA(n-1);
Analiza Odwołanie się do funkcji wewnątrz tej samej funkcji następuje z parametrem o 1 mniejszym, niż oryginalnie podano. Dlatego kolejna wersja funkcji będzie liczyła wartość silni już tylko dla np. 5, podczas gdy początkowe wywołanie było dla 6. Kolejne poziomy wywołań funkcji SILNIA będą liczyły silnię dla coraz mniejszych wartości, aż do 0, a wtedy zwrócone zostanie 1. Potem, zwracane są kolejne wartości podczas wychodzenia z kolejnych poziomów wywołań, i wtedy właśnie będzie obliczana rzeczywista wartość (będą mnożone przez siebie kolejne liczby).
Przykład - silnia(6)
Uwaga Cechą charakterystyczną jest to, że funkcja wchodzi w kolejny poziom, aby obliczyć iloczyn podanego jej parametru oraz wartość (parametr-1). Dopiero w momencie powrotu z wywołań obliczane są rzeczywiste iloczyny, i wtedy też przeliczana jest wartość silni.
Ciąg fibonacciego Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe. Podstawowy ciąg liczb Fibonacciego to: 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Każda liczba w ciągu jest sumą dwóch poprzednich (poza pierwszą i drugą). Mamy więc do czynienia z ciągiem rekurencyjnym.
Występowanie Ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody, ciąg taki opisuje np. liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach ( np. kalafior, ananas). Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego.
Ciąg fibonacciego w j. Pascal Function fibonacci(n:byte):word; Begin If ((n=1) or (n=2)) then fibonacci:=1 Else fibonacci := fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); End;
Ciąg Fibonacciego C++ #include <iostream> using namespace std; int Fibonacci(int n) { if (n==1 n==2) return 1; else return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2); } int main() { int n; cout << "Podaj n= "; cin >> n; cout << n << " wyraz ciagu Fibonacciego to: " << Fibonacci(n) <<endl; system("pause>null"); return 0; }
Wieże HANOI Wieże Hanoi problem polegający na odbudowaniu, z zachowaniem kształtu, wieży z krążków o różnych średnicach (popularna dziecięca zabawka), przy czym podczas przekładania wolno się posługiwać buforem (reprezentowanym w tym przypadku przez dodatkowy słupek), jednak przy ogólnym założeniu, że nie wolno kłaść krążka o większej średnicy na mniejszy ani przekładać kilku krążków jednocześnie. Jest to przykład zadania, którego złożoność obliczeniowa wzrasta niezwykle szybko w miarę zwiększania parametru wejściowego, tj. liczby elementów wieży.
Dla 2 krążków: Rozwiązania Dla 3 krążków: rozwiązanie dla 3 krążków składa się z 7 ruchów: kolejne etapy to: przenieś krążek o najmniejszej średnicy na palik docelowy, krążek o średnicy większej przenieś na palik pomocniczy, krążek najmniejszy przenieś na palik pomocniczy, następnie krążek największy przenieś na palik docelowy a najmniejszy na źródłowy, na największym połóżśredni i potem najmniejszy, koniec
Wieża Hanoi Ułóż stos na trzecim patyku przestrzegając następujących reguł: - przesuwaj jeden krążek z wierzchu stosu, - nie kładź większego krążka na mniejszym. bufora Od lewej: słupek A z całą wieżą, pusty słupek B pełniący rolę i pusty słupek docelowy C
Wieża Hanoi Wynik końcowy Ruchy pośrednie
Algorytm Rozwiązanie rekurencyjne: 1. Zidentyfikuj największy krążek na nie swoim miejscu (=krążek N) 2. If daje się go przenieść na docelowy słupek Then przenieś Else 3. Podzadanie: ustaw (N 1)-krążkową wieżę na nie-docelowym słupku. 4. Skocz do punktu 1....
Rozwiązanie rekurencyjne Algorytm rekurencyjny składa się z następujących kroków: przenieś (rekurencyjnie) n-1 krążków ze słupka A na słupek B posługując się słupkiem C, przenieś jeden krążek ze słupka A na słupek C, przenieś (rekurencyjnie) n-1 krążków ze słupka B na słupek C posługując się słupkiem A
Implementacja w C++ #include <iostream> using namespace std; void hanoi(int n, char A, char B, char C) { // przekłada n krążków z A korzystając z B na C if (n > 0) { hanoi(n-1, A, C, B); cout << A << " -> " << C << endl; hanoi(n-1, B, A, C); } } int main(int argc, char *argv[]) { hanoi(3, 'A', 'B', 'C'); return 0; }