Matematyka na egzaminie gimnazjalnym od 2012 Katowice Bielsko-Biała, grudzień 2011
Program spotkania Zestaw zadań z matematyki Przykłady zadań Punktowanie rozwiązań Komunikowanie wyników 2
Matematyka Wymagania egzaminacyjne W gimnazjum sprawdza się, w jakim stopniu gimnazjalista spełnia wymagania z zakresu matematyki określone w podstawie programowej kształcenia ogólnego dla III etapu edukacyjnego. Poszczególne zadania zestawu egzaminacyjnego mogą też w myśl zasady kumulatywności przyjętej w podstawie odnosić się do wymagań przypisanych do etapów wcześniejszych (I i II). Zadania z matematyki mogą mieć formę zamkniętą lub otwartą. 3
Matematyka Wymagania egzaminacyjne Cele kształcenia wymagania ogólne I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi. III. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji. IV. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu. V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania. 4
Wymagania (cd.) Zadania budowane są zgodnie z zapisanymi w PP wymaganiami ogólnymi i wymaganiami szczegółowymi. WO WS 1. Liczby wymierne dodatnie (1-7) 2. Liczby wymierne dodatnie i niedodatnie (1-4) 3. Potęgi (1-5) 4. Pierwiastki (1-4) 5. Procenty (1-4) Matematyka I-V 6. Wyrażenia algebraiczne (1-7) 7. Równania (1-7) 8. Wykresy funkcji (1-5) 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa (1-5) 10. Figury płaskie (1-22) 11. Bryły (1-3) 5
Typologia pisemnych zadań testowych Rodzaj zadania Forma zadania wielokrotnego wyboru (WW) Zamknięte prawda-fałsz (P/F) na dobieranie (D) rozszerzonej odpowiedzi (RO) Otwarte krótkiej odpowiedzi (KO) z luką (L) 6
Przykłady zadań ze względu na rodzaj i formę Zadanie zamknięte wielokrotnego wyboru (WW) Zadanie 4. (AD, GM-1 XII 2011) W tabeli zapisano cztery liczby. I (0,2) 10 II (2,5) 5 III (2/5) 2 (2/5) 3 IV 2 5 5-1 Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Liczba (0,4) 5 jest równa liczbom A. I i II B. I i III C. II i IV D. II i III E. III i IV 7
Zadanie zamknięte prawda-fałsz (P/F) Zadanie 20. (AD, GM-1 XII 2011) Krem jest sprzedawany w trzech rodzajach pojemników. Każdy pojemnik ma kształt walca, którego wewnętrzne wymiary podane są na rysunku. Objętość walca oblicza się ze wzoru V = r 2 H, gdzie r oznacza promień koła będącego podstawą walca, H wysokość walca. 3 cm 3 cm 6 cm 4 cm 8 cm 4 cm Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. W pojemniku B mieści się cztery razy więcej kremu niż w pojemniku A. P F W pojemniku C mieści się dwa razy mniej kremu niż w pojemniku B. P F 8
Zadanie zamknięte na dobieranie (D) Zadanie 20. (AD GM-8 XII 2011) Zapoznaj się z rysunkiem przedstawiającym różne odcinki. A B D C E F H G Uzupełnij zdania, korzystając z rysunku i podanych wyrazów. Wpisz literę A lub B. 1. Odcinek DE jest.. do odcinka EF. 2. Odcinek FG jest... do odcinka BC. 3. Odcinek GH jest.. do odcinka CD. A prostopadły B równoległy 9
Zadanie zamknięte (P/F/D) Zadanie 19. (AP, GM-1 X 2011) Czy kulę o objętości 500 cm 3 można przełożyć przez otwór w kształcie kwadratu boku 10 cm? Wybierz odpowiedź T (tak) albo N (nie) i jej uzasadnienie spośród oznaczonych literami A D. T N ponieważ A. średnica kuli jest mniejsza od przekątnej kwadratu. B. średnica kuli jest mniejsza od boku kwadratu. C. średnica kuli jest większa od przekątnej kwadratu. D. średnica kuli jest większa od boku kwadratu. 10
Liczba, rodzaje i typy zadań Matematyka arkusz diagnostyczny XII 2011. Matematyka przykładowy zestaw zadań X 2011. liczba zadań 23 liczba zadań 23 suma punktów 29 suma punktów 30 18 zadań WW (18 p.) 13 zadań WW (13 p.) 2 zadania WW (5 odpowiedzi) (2 p.) 4 zadania P/F (4 p.) 2 zadania P/F (2 p.) 1 zadanie P/F/D 3 zadania otwarte (3+2+4=9 p.) 3 zadania otwarte (3+3+4=10 p.) 11
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. Wymagania szczegółowe 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (prędkości, gęstości itp.). Zadanie 7. (AD, GM-1, 6 XII 2011) Rozmiar ramy roweru to długość fragmentu rury pod siodełkiem mierzona tak, jak przedstawiono na rysunku od środka miejsca, w którym obracają się pedały do środka rury łączącej siodełko kierownicą. Jaki jest rozmiar ramy, której niektóre wymiary przedstawiono na rysunku? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. 49 cm B. 53 cm C. 58 cm D. 59 cm 12
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, używa języka matematycznego do opisu rozumowania i uzyskanych wyników. Wymagania szczegółowe 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (prędkości, gęstości itp.). Zadanie 7. (AD, GM-5, 6 XII 2011) Rozmiary kół rowerowych podaje się zwykle w calach. Średnica obręczy pewnego koła jest równa 22 cale. Ile centymetrów ma promień obręczy tego koła, jeśli 1 cal = 2,54 cm? 22 cale A. 22 cm B. 27,94 cm C. 11 cm D. 8,66 cm 13
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne II. Wykorzystywanie i interpretowanie reprezentacji. Uczeń używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych, interpretuje pojęcia matematyczne i operuje obiektami matematycznymi. Wymagania szczegółowe 6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń: 2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych. Zadanie 12. (AD, GM-1 XII 2011) Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. Równość 3/5 = 1/x + 1/y będzie prawdziwa, jeśli w miejsce x i y zostaną wpisane liczby A. 5 i 2 B. 6 i 4 C. 10 i 2 D. 10 i 6 14
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne III. Modelowanie matematyczne. Uczeń dobiera model matematyczny do prostej sytuacji, buduje model matematyczny danej sytuacji. Wymagania szczegółowe 2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń: 1) interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych. Zadanie 3. (AD, GM-1 XII 2011) Na rysunkach przedstawiono osie liczbowe, a na każdej z nich kropkami zaznaczono trzy liczby. Na którym rysunku jedna z tych liczb jest średnią arytmetyczną dwóch pozostałych? Wybierz odpowiedź spośród podanych. A. B. 0 1 0 1 C. D. 0 1 0 1 15
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne IV. Użycie i tworzenie strategii. Uczeń stosuje strategię jasno wynikającą z treści zadania, tworzy strategię rozwiązania problemu. Wymagania szczegółowe 7. Równania. Uczeń: 4) zapisuje związki między nieznanymi wielkościami za pomocą układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi. 10. Figury płaskie. Uczeń: 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. Zadanie 15. (AD, GM-1 XII 2011) Dokończ zdanie, wybierając odpowiedź spośród podanych. W równoległoboku o obwodzie 26 cm różnica długości dwóch sąsiednich boków jest równa 3 cm. Dłuższy bok tego równoległoboku jest równy A. 8 cm B. 6,25 cm C. 5 cm D. 3,25 cm 16
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A1) V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania. Wymagania szczegółowe 11. Bryły. Uczeń: 2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Zadanie 20. (AD GM-1 XII 2011) Krem jest sprzedawany w trzech rodzajach pojemników. Każdy pojemnik ma kształt walca, którego wewnętrzne wymiary podane są na rysunku. Objętość walca oblicza się ze wzoru V = r 2 H, gdzie r oznacza promień koła będącego podstawą walca, H wysokość walca. 3 cm 3 cm 6 cm Pojemnik A Pojemnik B Pojemnik C 4 cm 8 cm 4 cm Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F jeśli jest fałszywe. W pojemniku B mieści się cztery razy więcej kremu niż w pojemniku A. P F W pojemniku C mieści się dwa razy mniej kremu niż w pojemniku B. P F
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A7) V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, podaje argumenty uzasadniające poprawność rozumowania. Wymagania szczegółowe 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 5) analizuje proste doświadczenia losowe (np. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) i określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach [...]. Zadanie 7. (AD GM-7 XII 2011) Dokończ zdanie. Zaznacz dobrą odpowiedź. W woreczku są tylko koraliki białe i czerwone. Białych koralików jest cztery razy więcej niż czerwonych. Losujemy jeden koralik. Prawdopodobieństwo, że wylosujemy biały koralik, jest równe A. 1/4 B. 3/4 C. 1/5 D. 4/5 Rozwiązanie: 4 białe 1 czerwony p = 4/5 18
Przykłady zadań ze względu na badane wymagania ogólne (A8) V. Rozumowanie i argumentacja. Uczeń prowadzi proste rozumowania, ( ) Wymagania szczegółowe 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym [...]. Zadanie 10. (AD GM-8 XII 2011) Uczniów na przedstawienie przewieziono trzema samochodami. W każdym samochodzie jest 49 miejsc. Samochód A Samochód B Samochód C przewiózł 27 uczniów przewiózł 40 uczniów przewiózł 35 uczniów Oceń, czy podane zdania są prawdziwe. Zaznacz TAK lub NIE. 1. Samochodami przewieziono razem 102 uczniów. TAK NIE 2. Samochodem A przewieziono więcej uczniów niż samochodem B. TAK NIE 3. W samochodzie C zostało jeszcze 12 wolnych miejsc. TAK NIE 4. W samochodzie B było najwięcej wolnych miejsc. TAK NIE 19
Typowe błędy popełniane przez gimnazjalistów Informacje do zadań 28. 30. Pewna firma telekomunikacyjna proponuje użytkownikom telefonów komórkowych cztery taryfy: A, B, C, D. Miesięczny rachunek telefoniczny jest sumą kwoty abonamentu i kosztu rozmów według podanych w tabeli stawek. Taryfa A B C D Abonament miesięczny w zł 20 40 80 120 Koszt jednej minuty połączenia w zł 1,10 0,75 0,60 0,40 Zadanie 28. (0-2) (Egzamin gimnazjalny, IV 2011, GM 1) Pan Kowalski wybrał taryfę C. W marcu otrzymał w promocji 120 bezpłatnych minut. Jaka jest wysokość miesięcznego rachunku telefonicznego, jeśli łączny czas połączeń wykonanych przez pana Kowalskiego w marcu wyniósł 300 minut? Zapisz obliczenia. 20
Typowe błędy popełnione przez gimnazjalistów w rozwiązaniach zadania 28. 1) 300 120 = 180 minut 180 0,60 = 108 zł Odp.: 108 zł. Nie uwzględniono abonamentu (nieuwaga, niezrozumienie tekstu) 2)300 120 = 180 minut 180 0,60 = 54 zł 54 + 80 = 134 zł lub 300 120 = 280 minut Błędy rachunkowe (brak sprawności rachunkowej) 3) 300 0,60 = 180 zł; 180 + 80 = 260 zł Nie uwzględniono promocji (nieuwaga, niezrozumienie tekstu) 4) 300 120 = 280 minut (poprawnie 180) 280 0,60 = 188,80 zł (konsekwentnie 168 zł) 188,80 80 = 108,80 zł Odejmowanie abonamentu i błędy rachunkowe 21
Ocena rozwiązań Informacje do zadań 29. i 30. Pracownik ochrony chodzi wzdłuż ogrodzenia parkingu (w kształcie trapezu prostokątnego) ze stałą prędkością 1 m/s. Obchód zaczyna od wartowni A. Na rysunku przedstawiono plan jego trasy, a obok podano wymiary parkingu. Zadanie 30. (0-3) (GM A1 IV 2010) Pracownik doszedł do 1/5 odcinka BC (punkt P). Oblicz, w jakiej odległości jest on od odcinka AB, a w jakiej od punktu B. Zapisz obliczenia. D C Przykładowe rozwiązanie PB = 1/5 CB PB = 1/5 65 m = 13 m Trójkąty PFB i CGB są podobne: BC : CG = BP : PF PF = 12 (m) Punktowanie wg kryteriów: a) poprawny sposób obliczenia PB 1 p. b) poprawny sposób obliczenia PF 1 p. c) poprawne wszystkie obliczenia 1 p. 2009 BC = 65 m CG = 60 m P A G F B Punktowanie wg zasad (2010): 3 p. poprawne ustalenie długości obu odcinków (PB, PF) 2 p. poprawny sposób obliczenia długości obu odcinków przy popełnianych błędach rachunkowych LUB nieustalenie długości odcinka PB i poprawne obliczenie długości odcinka PF LUB 2011 błędne ustalenie długości odcinka PB i obliczenie długości odcinka PF z wykorzystaniem ustalonej długości odcinka PB bez dalszych błędów rachunkowych 1 p. poprawne ustalenie długości odcinka PB LUB poprawny sposób obliczenia długości odcinka PF 22
Ocena rozwiązań od 2012 Zasady punktowania opisane zostały w Informatorze na 2012 Ocena rozwiązania zadania otwartego zależy od tego, jak daleko dotarł rozwiązujący w drodze do całkowitego rozwiązania. Wyróżnia się siedem poziomów rozwiązania. Poziom 6: pełne rozwiązanie Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.) Poziom 4: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne Poziom 3: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale w trakcie ich pokonywania popełniono błędy Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane Poziom 1: dokonano niewielkiego, ale koniecznego postępu na drodze do całkowitego rozwiązania Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu Przy ocenianiu rozwiązań niektórych zadań wykorzystuje się wszystkie poziomy, a przy ocenianiu innych tylko część z nich. 23
Przykład oceny rozwiązania wg zasad od 2012 Przykładowe rozwiązanie PB = 1/5 CB PB = 1/5 65 m = 13 m Trójkąty PFB i CGB są podobne: BC : CG = BP : PF PF = 12 (m) 3 p. 2 p. 1 p. D BC = 65 m CG = 60 m C P A G F B Poziomy wykonania zadania 30. (0-3 p.) Poziom 6: pełne rozwiązanie poprawne ustalenie długości obu odcinków (PB, PF) Poziom 5: zasadnicze trudności zadania zostały pokonane, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.) poprawny sposób obliczenia długości obu odcinków przy popełnianych błędach rachunkowych LUB nieustalenie długości odcinka PB i poprawne obliczenie długości odcinka PF LUB błędne ustalenie długości odcinka PB i obliczenie długości odcinka PF z wykorzystaniem ustalonej długości odcinka PB bez dalszych błędów rachunkowych Poziom 2: dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane poprawne ustalenie długości odcinka PB LUB poprawny sposób obliczenia długości odcinka PF 0 p. Poziom 0: rozwiązanie niestanowiące postępu Rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania 24
Komunikowanie wyników Po sprawdzeniu prac ustala się wyniki egzaminacyjne w następujących sześciu zakresach: język polski historia i wiedza o społeczeństwie matematyka przedmioty przyrodnicze język obcy nowożytny na poziomie podstawowym język obcy nowożytny na poziomie rozszerzonym. Każdy zdający otrzyma zaświadczenie o szczegółowych wynikach swojego egzaminu. Dla każdego z powyższych zakresów będą podane dwie liczby: wynik procentowy oraz wynik centylowy. 25
Komunikowanie wyników (cd.) Wynik procentowy to odsetek punktów (zaokrąglony do liczby całkowitej), które zdający zdobył za zadania sprawdzające wiadomości i umiejętności z danego zakresu. Na przykład, jeśli zdający za zadania matematyczne zdobył 18 punktów spośród 29 możliwych do zdobycia, to uzyskał wynik 62%. Wynik centylowy to odsetek liczby gimnazjalistów (zaokrąglony do liczby całkowitej), którzy uzyskali z danego zakresu wynik taki sam lub niższy. Na przykład zdający, którego wynik centylowy w zakresie matematyki wynosi 74, oznacza, że 74% wszystkich gimnazjalistów uzyskało za zadania matematyczne wynik taki sam lub niższy, a wynik wyższy uzyskało 26% gimnazjalistów. 26
Dziękuję!