Część VI Sprzężenie zwrotne Wzmacniacz operacyjny (WO) układy ze wzmacniaczem operacyjnym i ujemnym sprzężeniem zwrotnym układy ze wzmacniaczem operacyjnym i dodatnim sprzężeniem zwrotnym cz.6, p.1 A. Wieloch, Zakład Fizyki Gorącej Materii IF UJ
Sprzężenie zwrotne Sprzężeniem zwrotnym nazywa się oddziaływanie skutku na przyczynę. Regulator odśrodkowy w maszynie parowej (James Watt 1788) cz.6, p.2
Sprzężenie zwrotne W elektronice sprzężenie zwrotne pozwala projektować układy o określonych własnościach. Stosuje się je dla wzmacniaczy. Wzmacniacz Wzmacniacz ze sprzężeniem zwrotnym Część sygnału wyjściowego βu2, zwana cz.6, p.3 sygnałem zwrotnym, zostaje skierowana do wejścia układu i zsumowana z sygnałem wejściowym.
Sprzężenie zwrotne (przypadek K>0, β<0 lub β>0) Kt Układ równoważny do tego po lewej stronie slajdu Dla węzła sumującego: u=u1 +β u2 u2 =K u=k (u 1 +βu 2) K u1 czyli: u2 = (1 β K ) a nowe wzmocnienie Kt: u2 K Kt= = u1 (1 β K) cz.6, p.4 Jeżeli wzmocnienie K jest bardzo duże, tak że K >> 1, to wzmocnienie całkowite takiego układu jest określone przez układ sprzęgający i nie zależy od K: 1 K t β
Przykład realzacji sprzężenia zwrotnego Dzielnik napięcia jako układ sprzęgający: βu 2 u2 βu 2 u2 R1=1 k Ω R2 =10 k Ω zatem: niech K=100000 K 105 10 5 Kt= = = =9.9995 10 5 1 1+β K 1+10 10 10001 zmieniamy K o 100%, K=200000 K 2 10 5 2 105 Kt= = = =9.9995 10 1+β K 1+2 105 10 1 20001 Wzmocnienienie układu zmieniło się jedynie o 0.005%! cz.6, p.5
Sprzężenie zwrotne Można wyróżnić trzy podstawowe przypadki sprzężenia zwrotnego: Kt= 1 1 β K cz.6, p.6 1) β<0 ujemne sprzężenie zwrotne 2) 0<β<1/K dodatnie sprzężenie zwrotne 3) β=1/k Kt.
Sprzężenie zwrotne Ujemne: Fazy sygnału wejściowego i sygnału sprzężenia zwrotnego są przeciwne ( <0). Całkowite wzmocnienie układu mniejsze od wzmocnienia samego wzmacniacza. duża stabilność pracy układu. parametry układu ze wzmacniaczem o dużym wzmocnieniu zależą wyłącznie od parametrów układu sprzężenia zwrotnego, a te mogą być bardzo stabilne (układy sprzęgające buduje się często tylko z elementów biernych). zmniejszają się szumy i zniekształcenia sygnałów. zwiększa się górna częstotliwość graniczna (szersze pasmo przenoszenia). modyfikacja impedancji wejściowej i wyjściowej. cz.6, p.7
Sprzężenie zwrotne Dodatnie: Fazy sygnału wejściowego i sygnału sprzężenia zwrotnego są zgodne ( >0). Efektywne wzmocnienie ulega zwiększeniu. Układy z K < 1 stosuje się rzadko z uwagi na małą stabilność pracy oraz wzrost zniekształceń sygnałów. Przypadek szczególny: jeżeli K 1 to oczekujemy, że wzmocnienie dążyć będzie do nieskończoności. W rzeczywistości wzrost wzmocnienia jest ograniczony sygnał wyjściowy nie może być większy niż napięcie zasilające wzmacniacz. W układach takich dzięki silnemu sprzężeniu następuje generacja drgań co wykorzystywane jest do budowy generatorów. cz.6, p.8
Wzmacniacz operacyjny historia lata 20 te XX w. zauważono, że wzmacniacz oraz odpowiedni układ rezystorów, kondensatorów umożliwia wykonywanie prostych operacji matematycznych: +,. następnie rozwinięto tę technikę na tyle, że można było wykonywać bardziej złożone operacje matematyczne (komputer analogowy): d, dt... dt, /,..., log (...), etc. WW2 liczenie trajektorii pocisków etc. w latach 40 tych pierwszy lampowy wzmacniacz, wtedy też uznano nazwę wzmacniacz operacyjny. 1967 pojawia się pierwszy monolityczny wz. op. 741 cz.6, p.9
Wzmacniacz operacyjny zastosowania cz.6, p.10
Wzmacniacz operacyjny Wzmacniacz operacyjny jest to wzmacniacz o bardzo dużym wzmocnieniu napięciowym (AOL), który posiada dwa wejścia =+15 V i jedno wyjście. Jedno z wejść ( ) nosi nazwę odwracającego sygnał wyjściowy jest przesunięty w fazie o 180o względem sygnału przyłożonego do tego wejścia. Drugie 15 V = wejście (+) nazywa się nieodwracającym sygnał albo: wyjściowy jest zgodny w fazie z sygnałem podanym na to wejście. Wzmacniacz operacyjny realizuje funkcję: v o= A OL (v + v ) Wzmacniacz operacyjny jest przeznaczony zwykle do pracy z zewnętrznym obwodem sprzężenia zwrotnego, które decyduje o głównych własnościach całego układu. cz.6, p.11 vo
Idealny wzmacniacz operacyjny Posiada następujące własności: nieskończenie duże wzmocnienie napięciowe Aol=, nieskończenie duża rezystancja wejściowa Rin=, rezystancja wyjściowa równa zeru Rout=0, nieskończenie szerokie pasmo przenoszenia częstotliwości (od 0 do ), Pamiętając o powyższch własnościach WO (wzmacniacz operacyjny) można przeprowadzać prostą (lecz dokładną) analizę działania obwodów zbudowanych na jego bazie. cz.6, p.12
Wzmacniacz operacyjny obwód zastępczy na podstawie cechy Rin= : WO nie pobiera prądu, iin=0 na podstawie cechy Rout=0 : obwód wyjściowy można przedstawić jako VCVS źródło napięcia sterowane napięciem (napięcie na wyjściu nie zależy od obciążenia) na podstawie cechy Aol= : v+=v ponieważ: stąd: vo skończony (v + v )= = =0 A OL nieskończony i input=0 cz.6, p.13
Rzeczywisty wzmacniacz operacyjny wzmocnienie napięciowe w typowych wzmacniaczach AOL = 104 107, w specjalistycznych do 1010, górna granica pasma przenoszonych częstotliwości kilkadziesiąt MHz, impedancja wejściowa 104 1013 Ω, impedancja wyjściowa kilkadziesiąt WΩ, maksymalna szybkość narastania napięcia wyjściowego rzędu kilku, kilkudziesięciu V/μs, napięcie wyjściowe jest ograniczone, zwykle mniejsze o 1 2 V od napięcia zasilania, parametry wzmacniacza zależą od temperatury. Stąd obwód zastępczy: cz.6, p.14
Rzeczywisty wzmacniacz operacyjny wysycenie Sygnały wyjściowy vs. sygnał wejściowy Wysycenie typowo: 12 15 V. Obszar pracy liniowej Przykład dla sygnału wejściowego typu sinusoidalnego: cz.6, p.15
Przykład wzmacniacz operacyjny 741 20 tranzystorów 11 rezystorów 1 kondensator cz.6, p.16
Przykład wzmacniacz operacyjny 741 stosowany na Studenckiej Pracowni Elektronicznej cz.6, p.17
WO w konfiguracji z ujemnym sprzężeniem zwrotnym Wzmacniacz nieodwracający fazy Wzmacniacz odwracający fazę Wtórnik napięciowy Sumator Wzmacniacz różnicowy Wzmacniacz różniczkujący Wzmacniacz całkujący Wzmacniacz różniczkująco całkujący Konwerter prąd napięcie cz.6, p.18
Wzmacniacz nieodwracający fazy AOL= Sygnał wejściowy: Sygnał wyjściowy: wzmocnienie > 1 β R2 v 0= 1+ vi R1 ( ) Sygnał wejściowy: Korzystając ze wzoru na sprzężenie zwrotne: R2 1 v 0=K L v i= v i = 1+ vi β R1 ( ) Impedancja wejściowa tego wzmcniacza jest: cz.6, p.19 Wzmocnienie = 1 Sygnał wyjściowy:
Wzmacniacz nieodwracający fazy analiza układu Idealny WO. Na wyjściu napięcie skończone (ujemne sprzężenie) zatem różnica potencjałów między wejsciem (+) i ( ) wynosi 0. Na podstawie (1) v =vi. Z prawa Ohma prąd przez rezystow R1 wynosi: i1=vi/r1 Impedancja wejsciowa WO nieskończona? prąd ( ) =0A Z prawa KCL prąd dla rezystora R2: i2=i1=vi/r1 Spadek napięcia na rezystorze R2 (prawa Ohma) wynosi vr2=i2r2=r2/r1vi Z prawa KVL sumaryczny spadek napięcia na rezystorach R2 i R1: R2 R2 v 0=v i + v i= 1+ vi cz.6, p.20 R1 R1 ( )
Przykład projektowania wzmacniacz nieodwracający fazy Chcemy uzyskać wzmacniacz o wzmocnieniu: KL=5V/V R2 Na podstawie wzoru: K L =1+ R1 Wybieramy: R1= 1kΩ i R2=4kΩ Po dołączeniu dowolnego źródła sygnału, specyfikacja jest ciągle spełniona bo i=0a. cz.6, p.21
cz.6, p.22
cz.6, p.23
cz.6, p.24
cz.6, p.25
cz.6, p.26
cz.6, p.27
cz.6, p.28
cz.6, p.29
cz.6, p.30
cz.6, p.31
cz.6, p.32
Wzmacniacz całkujący (integrator Millera) u+ =0 u i u+ i u =0 Na podstawie prawa KCL: v i (t ) dv (t ) dq(t ) = = C 0 R dt dt zatem: t 1 v 0 (t)= v i (t ')dt ' + v i (0) RC 0 Jeśli napięcie wejsciowe v0 jest odcinkami stałe to: vi v 0 (t)= t RC cz.6, p.33 Komentarz: analiza powyższa nie stosuje się dla napięcia stałego. (tzw. DC)
Wzmacniacz całkujący (integrator Millera) Gdy wzmocnienie wzmacniacza jest bardzo duże ale skończone to: d (u (t ) v 0 (t)) i=c =... dt ponadto: u 0 v 0= A ol u d (u ( t )+ A ol u (t )) du...=c =C (1+ A ol ) dt dt bardzo duża pojemność (widziana od strony wejścia wzmacniacza) ponieważ: i(t)dt =dq Zatem układ ten jest integratorem ładunku! dq (t) Informacja o zebranym ładunku to napięcie wyjściowe v0: dv 0 (t)= C cz.6, p.34
Wzmacniacz różniczkujący (differentiator) u+ =0 u i u+ i u =0 Na podstawie prawa KCL: dv i (t ) v 0 (t ) d q(t ) =C = dt dt R zatem: dv i (t ) v 0 (t )= RC dt Komentarz: z natury wzmacniacz ten wprowadza dodatkowy szum: cz.6, p.35
Wzmacniacz różniczkująco całkujący Wz. odwracający fazę vi v0 vi v0 gdzie: 1 1 1 Z 1 =R1 + ; = + j ω C2 j ω C 1 Z 2 R2 Zatem dla sygnałów sinusoidalnych funkcja przejścia T(ω) ma postać: cz.6, p.36 v0 Z2 T (ω)= = vi Z1
Wzmacniacz różniczkująco całkujący Z2 T (ω)= = Z1 jeśli: ω0 = to: 1 ; R2 C1 R2 ( ( 1+ j ω R2 C 2) R1 + ω1 = 1 ; R1C1 1 jω C1 ω2 = ) = j ω R2 C 1 ( 1+ j ω R 2 C 2 ) ( 1+ j ω R1 C 1 ) =... 1 R2C2 ω jω 0...= ω 1+ j ω 1+ j ω ω1 ) ( 2 )( charakterystyka amplitudowa: ω T (ω) = T T + = ω 0 1 ( 2 2 ω ω 1+ ( ω ) 1+ ( ω ) 1 2 )( ) Filtr pasmowy (środkowoprzepustowy) z częstotliwościami granicznymi ω1 i ω2. cz.6, p.37
Konwerter prąd napięcie i i WE np.: Mamy: i WE=i v + =v i=0 V v v+ Zatem: v 0= i WE R Napięcie wyjściowe v0 jest proporcjonalne do natężnia prądu iwe Stosująć duży opór R można łatwo mierzyć b. małe prądy rzędu μa. cz.6, p.38
Wzmacniacz logarytmiczny U vi zatem: v 0= ηu T ln(i)+const vi i= R vi v 0= ηu T ln + const R ( ) Mamy: Korzystając z własności funkcji ln oraz zaniedbując stałą dostajemy: i WE=i v + =v i=0 V v 0= ηu T ln(v i ) Rówanie diody, i(u): ( i=i s e U ηu T ) 1 I s e U T, I s stałe cz.6, p.39 v0 ηu T k stała Boltzmanna T temperatura w [K] q ładunek elektronu η czynnik skalujący z zakresu 1 2
Wzmacniacz exponencjalny vi Mamy: Proszę pokazać, że: i WE=i v + =v i=0 V vi v 0= R I s e +const Rówanie diody, i(u): ( i=i s e U ηu T ) 1 I s e cz.6, p.40 v0 ηu T
Układy nieliniowe dodatnie sprzężenie zwrotne u2 K Kt= = u1 (1 β K) 1) β<0 ujemne sprzężenie zwrotne 2) 0<β<1/K dodatnie sprzężenie zwrotne 3) β=1/k Kt. Interesuje nas przypadek sprzężenia zwrotnego 2) i 3) cz.6, p.41
Układy nieliniowe Komparator (otwarta pętla sprzężenia zwrotnego) Przerzutniki (dodatnie sprzężenie zwrotne) przerzutnik Schmitta przerzutnik astabilny Generatory przebiegów sinusoidalnych cz.6, p.42
Komparator (brak sprzężenia zwrotnego) Jeśli β=0 wtedy mamy otwartą pętlę sprzężenia zwrotnego: +E v o= A OL (v + 0 v i )= A OL v i v+ E Wyjście vi znajduje się albo w stanie wysokim (dodatnie nasycenie) albo w stanie niskim (ujemne nasycenie) w zależności od tego, które z dwóch wejść ( ) i (+) ma większe napięcie. Dzieje się tak, ponieważ wzmocnienie AOL dla WO jest b. duże i w sytuacji gdy nie ma sprzężenia zwrotnego różnica napięć pomiędzy obu wejściami WO rzędu mikrowoltów jest wystarczająca aby napięcie wyjściowe osiągnęło swój stan maksymalny (+E) lub stan minimalny ( E). Jest to szczególnie pożyteczne w zastosowaniach cyfrowych np.: przetworniki analogowo cyfrowe (ADC) w których porównuje się badane napięcie z napięciem referencyjnym. cz.6, p.43
Przerzutniki (dodatnie sprzężenie zwrotne) Wyjście przerzutników, ze względu na dodatnie sprzężenie zwrotne w układzie, znajduje się zawsze albo w stanie dodatniego nasycenia albo w stanie ujemnego nasycenia. Prowadzi to do tzw. zjawiska histerezy. Układy te wytwarzają prostokątne przebiegi napięciowe poprzez (szybkie) przełączanie (wymuszone zewnętrznie lub nie wymuszone zewnętrznie) pomiędzy obu wymienionymi stanami. Główne rodzaje przerzutników: Przerzutniki bistabile dwa stany stabilne. Dla wymuszenia przejścia z jednego stanu do drugiego konieczne jest doprowadzenie zewnętrznego sygnału wyzwalającego. Przerzutniki monostabilne jeden stan stabilny. Zewnętrzny sygnał wyzwalający powoduje przejście do drugiego stanu, który jest stanem niestabilnym. Po pewnym czasie układ samoczynnie powraca do stanu stabilnego. Przerzutniki astabilne brak stanów stabilnych. Nastepują samoczynne przerzuty pomiędzy dwoma stanami bez udziału sygnału zewnętrznego. Układ jest generatorem przebiegów prostokątnych. cz.6, p.44
Przerzutnik Schmitta (bistabilny) vi v 0=+ E, E U+ U R2 v p= v0 R1 + R 2 ( =+ E, E) Dodatnie sprzężenie zwrotne jest realizowane przez dzielnik napięcia. Wyjście układu v0 jest albo w stanie wysokim (+E) albo w stanie niskim ( E). Gdzie E napięcia zasilania WO. Wiemy, że: U + =v p U =v i v 0= A OL (U + U ) cz.6, p.45 jeśli: U + >U v 0=+ E U + <U v 0= E
Przerzutnik Schmitta (zasada działania) Gdy na wyjściu napięcie wynosi E to stan ten utrzymuje się tak długo jak długo vp<vi vi vi 0 vi Gdy na wyjściu napięcie wynosi +E to stan ten utrzymuje się tak długo jak długo vp>vi v p np. : 1 V 0 v0 v0 +E +E E E v 0= E v p= 0.1 E cz.6, p.46 R1=9 k Ω R2 =1 k Ω vi v p np. :+1V v 0=+ E v p=+ 0.1 E
Przerzutnik Schmitta (histereza) Konsekwencją występowania dwóch stanów stabilnych jest histereza układu: 0.1 E +0.1 E Oznacza to, że układ posiada pamięć: dla tej samej wartości napięcia wejściowego vi wyjście układu może się znaleźć w stanie +E lub E w zależności jaki był poprzedni stan wyjścia. cz.6, p.47
Przerzutnik astabilny (zmodyfikowany przerzutnik Schmitta) vp v0 U U + =v p = U =v i R2 v R1+ R 2 0 vp Na wejście układu podłączamy kondensator ładowany (rozładowywany) prądem przepływającym przez rezystor R. Na wyjściu układu v0 będą następować cykliczne przejścia pomiędzy stanami v0=+e i v0= E. vi vp vp cz.6, p.48 Przejścia te analogicznie jak w przerzutniku Schmitta będą występować po osiągnięciu przez napięcie vi (na kondesatorze) napięć przerzutu vp.
Przerzutnik astabilny (zmodyfikowany przerzutnik Schmitta) Napięcie na kondesatorze zmienia się v i zgodnie z funkcją: t τ v i =( E+ v p ) ( 1 e ) v vp vp p gdzie τ=rc stała czasowa układu RC a kondensator ładuje się od ujemnego napięcia vp do napięcia +E. Gdy vi osiąga wartość dodatniego vp następuje przerzut z +E do v0= E. Czas ładowania kondesatora do wartości vp wynosi: ( T τ1 v p=( E+ v p ) 1 e R2 gdzie: γ= R 1 + R2 cz.6, p.49 ) v p vp 1+ E 1+ γ T 1=τ ln =τ ln vp 1 γ 1 E
Przerzutnik astabilny (zmodyfikowany przerzutnik Schmitta) Jeśli napięcia zasilania WO są identyczne na moduł, to czas ładowania T1 i czas rozładowania T2 kondensatora jest taki sam. Zatem okres T wynosi: 1+ γ T =2 T 1=2 RC ln 1 γ W szczególnym przypadku: jeśli R1=R2 to: T =2 RC ln cz.6, p.50 T2 vi 1+1/2 =2 RC ln 3 2.2 RC 1 1/2 T1 vp vp
Generatory przebiegów sinusoidalnych Generatory wytwarzają zmienne przebiegi elektryczne bez konieczności doprowadzenia z zewnątrz sygnału pobudzającego, np.: generatory przebiegów sinusoidalnych. Generatory można budować wykorzystując dodatnie sprzężenie zwrotne. u1 =β u2 u 2=K u 1 Warunkiem generacji drgań jest: 1) Drgania muszą być podtrzymywane. Zauważmy, że: u 2=K β u2 K β=1 warunek Barkhausena 2) Całkowite przesunięcie fazowe wprowadzone podczas przenoszenia sygnału przez wzmacniacz i układ sprzężenia zwrotnego wynosi: Δ ϕ=2 π n ; (n=0,1,2...) cz.6, p.51
Generator z mostkiem Wiena Z1 Z2 Z1 U+ U Z2 Napięcie podane na wejście ( ): R2 U = U WY R1 +R 2 Napięcie podane na wejście (+): Z2 U+ = U WY Z 1 +Z 2 cz.6, p.52 zatem napięcie na wyjściu: Z2 R2 U WY =K U WY Z 1 + Z 2 R1 +R 2 ( )
Generator z mostkiem Wiena Warunek Barhausena: Z2 R2 K =1 Z 1 +Z 2 R1 + R 2 ( ) podstawiając wzory na odpowiednie impedancje: R R2 1+ j ω RC 1 = R 1 R 1 +R 2 K +R + 1+ j ω RC j ωc Jeśli K to lewa strona 0. Oznaczo to zerowanie się części rzeczywistej i urojonej. Zachodzi to wedy gdy: ω RC=1 ω= cz.6, p.53 1 RC R2 1 = R 1 +R 2 3 R1 =2 R2
Generator z przesuwnikiem fazy Układ różniczkujący przesuwa fazę o: ω 0= 1 RC Łączymy w kaskadę kilka układów różniczkujących cz.6, p.54
Generator z przesuwnikiem fazy U =βu WY Można pokazać, że: β= 1 5 α 2 1+ j(6 α 2) gdzie α oznacza: α= Przesunięcie fazy o 1800 (warunek Barhausena) zachodzi gdy Im(β)=0, czyli gdy: α 2=6 a samo β wynosi: cz.6, p.55 β= 1 29 1 ω RC