Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechniki i Automatyki Politechniki Gdańskiej Nr 13 IX Seminarium ZASTOSOWANIE KOMPUTERÓW W DYDAKTYCE 99 Oddział Gdański PTETiS MODEL POLOWY SILNIKA INDUKCYJNEGO Krzysztof Bieńkowski Instytut Maszyn Elektrycznych Politechniki Warszawskiej Tel.: 06607406, Fax:065773, e-mail: bienkow@ime.pw.edu.pl Przedstawiono dwuwymiarowy model MES silnika indukcyjnego wykorzystywany w procesie dydaktycznym do badania rozkładu pola w różnych stanach pracy maszyny. W stanie jałowym zastosowano model statyczny uwzględniający nieliniowość materiałów. W pozostałych stanach - analizę harmoniczną. Oprócz rozkładów pól model dostarcza wielu informacji niezbędnych na etapie projektowania dotyczących wykorzystania materiałów czynnych i oszacowania strat. 1. WPROWADZENIE Silniki indukcyjne klatkowe dzięki prostej budowie, niskiej cenie, niewielkim kosztom eksploatacji i dużej niezawodności są podstawowym źródłem energii mechanicznej w przemyśle. Ich masowa produkcja umożliwiła rozwój indywidualnego napędu elektrycznego. Szacuje się, że silniki indukcyjne stanowią około 90% silników wykorzystywanych w przemyśle, z czego około 80% przypada na silniki klatkowe. Maszyny te przetwarzają około 40% energii elektrycznej zużywanej w gospodarce. Moce silników indukcyjnych zawierają się w przedziale od kilkudziesięciu watów do kilku megawatów, zaś największe zbudowane jednostki miały moc około 0 MW.[,3] Wadą silników indukcyjnych jest duży prąd rozruchowy przekraczający zwykle 5 do 8 razy prąd znamionowy. Z tego względu coraz częściej stosuje się zasilanie silnika z przemiennika częstotliwości, który oprócz miękkiego rozruchu pozwala na łatwą regulację prędkości obrotowej, przy zachowaniu wysokiej sprawności całego układu. Modelowanie pól elektromagnetycznych jest jednym z donioślejszych zagadnień współczesnej elektrotechniki [7]. Metody numeryczne zyskały w ostatnich latach nowy wymiar wraz z pojawieniem się bardzo szybkich i tanich komputerów typu PC i komercyjnych programów oferujących łatwość tworzenia modelu i dużą dokładność obliczeń. Literatura w zakresie pola elektromagnetycznego [1] dostarcza dziś kilkanaście podstawowych metod obliczania pola. Wszystkie one są równoważne w sensie teoretycznym. Pomimo to występują między nimi różnice dotyczące możliwości ich praktycznego wykorzystania. Najbardziej zaawansowaną aplikacyjnie i wielokrotnie zweryfikowaną jest metoda elementów skończonych. Do zalet MES należy łatwość wprowadzania warunków brzegowych, prostota logiczna algorytmów, duża uniwersalność i dostępność komercyjnych programów. Wadami tej metody jest generowanie bardzo dużych macierzy danych i związana z tym duża czasochłonność obliczeń.
Do budowy modelu polowego silnika indukcyjnego wybrano aplikację PC-OPERA angielskiej firmy Vector Fields Ltd. [6] Zaletą tego programu jest łatwość przygotowania modelu (preprocesing) oraz operatywny postprocesor umożliwiający przedstawienie wyników w atrakcyjnej formie i obliczenia parametrów całkowych.. PRZYGOTOWANIE MODELU W przekroju poprzecznym obwodu magnetycznego typowej maszyny indukcyjnej można wyróżnić następujące regiony: wał, rdzeń wirnika, uzwojenie wirnika, szczelina powietrzna, rdzeń stojana i uzwojenie stojana. Należy znaleźć najmniejsze, nie posiadające już symetrii części tych regionów a następnie utworzyć z nich regiony poprzez kopiowanie tych elementarnych obszarów z wykorzystaniem odbić lustrzanych i obrotów tak aby zapełnić cały modelowany obszar. Takie podejście zaoszczędza wiele pracy przy przygotowywaniu modelu. Każdy region charakteryzują przynależne mu właściwości: rodzaj materiału i krzywa magnesowania dla rdzeni i wału, zadana gęstość prądu dla żłobków stojana, zadana przewodność dla żłobków wirnika. Istnieje także możliwość zadania napięcia zasilającego uzwojenia silnika. Wartość prądu jest wtedy obliczana automatycznie na podstawie przewodności materiału, liczby zwojów, wymiarów uzwojenia i rezystancji obwodu zewnętrznego. Brzegi każdego regionu opisane są następującymi właściwościami: ilością węzłów na długości brzegu i sposobem ich rozmieszczenia (równomiernie lub nierównomiernie), krzywizną pomiędzy punktem początkowym i końcowym, zdefiniowaną jako odwrotność promienia wodzącego. Przy czym krzywizna jest dodatnia jeżeli brzeg wygina się w prawo. warunkami brzegowymi na brzegach zewnętrznych obszaru.(b n = 0 lub B τ = 0) Przyjęto, że cały strumień magnetyczny zamyka się w rdzeniu więc na zewnętrznym brzegu jarzma stojana składowa normalna indukcji magnetycznej jest równa zeru. 3. WYNIKI OBLICZEŃ Model zaimplementowano przy wykorzystaniu pakietu PC-OPERA. Aplikacja składa się z PRE-POSTprocesora i Solvera. PRE-POSTprocesor jest interfejsem użytkownika służącym do określenia parametrów geometrycznych, materiałowych, wymuszeń, warunków brzegowych i automatycznej generacji siatki. Jednocześnie jest wykorzystywany do prezentacji wyników obliczeń uzyskanych z Solvera w postaci wykresów i map rozkładu wielkości polowych oraz obliczeń parametrów różniczkowych i całkowych. Maksymalna ilość węzłów rozwiązywanej siatki wynosi 10 5 co pozwala na bardzo dokładne odwzorowanie modelowanego obszaru. 3.1. Stan jałowy silnika. Silnik jest w stanie jałowym jeżeli na jego zaciskach panuje napięcie znamionowe a wał nie jest obciążony momentem. Z sieci pobierany jest prąd wytwarzający strumień magnetyczny i pokrywający straty jałowe. Wirnik wiruje z prędkością bardzo zbliżoną do synchronicznej a wartość prądu w klatce jest bliska zeru. Model wykonano przy następujących warunkach upraszczających: pole magnetyczne w rdzeniu maszyny jest płaskorównoległe, efekty krańcowe nie zostały uwzględniune,
modelowany jest stan statyczny odpowiadający chwili czasowej 30 stopni elektrycznych; względne moduły prądów w pasmach fazowych wynoszą: I u = 0.5, I v = 0.5, I w = -1. w stanie jałowym gęstość prądu w klatce wirnika jest równa zeru, cały strumień magnetyczny zamyka się w rdzeniu, cały żłobek stojana wypełniony jest materiałem przewodzącym. Zastępczą gęstość prądu żłobka stojana można obliczyć według zależności: I m N Q j s = (1) p a S Q gdzie: I m prąd magnesujący, N Q liczba przewodów w żłobku, p liczba par biegunów, a liczba gałęzi równoległych, S Q pole powierzchni przekroju żłobka. Na rysunku 1. przedstawiono rozkład izolinii magnetycznego potencjału wektorowego w obszarze połowy bieguna magnetycznego silnika o następujących parametrach: p =, Q s = 36, Q r = 8 i mocy znamionowej, kw. Rys. 1. Rozkład izolinii wektorowego potencjału magnetycznego w stanie jałowym. Dysponując rozkładem pola w maszynie i operatywnym postprocesorem można wyznaczyć wiele parametrów całkowych i obwodowych. Strumień magnetyczny pary biegunów jest równy: Φ = A max l e, () gdzie: A max - maksymalna wartość potencjału magnetycznego w badanym obszarze, l e - długość efektywna rdzenia maszyny.
Strumień przenikający przez szczelinę przywirnikową można obliczyć z zależności: τ / Φ B δ = δ dl l e (3) 0 gdzie: B δ - moduł wektora indukcji w szczelinie, τ- podziałka biegunowa stojana. Różnica tych strumieni jest strumieniem rozproszenia uzwojenia stojana: Φ σ = Φ Φ δ (4) Reaktancję rozproszenia żłobkowego uzwojenia stojana oblicza się ze wzoru: Φσ X Qs = pω N s (5) I gdzie: m ω - pulsacja, N s - liczba zwojów połączonych szeregowo w paśmie fazowym stojana, Straty w rdzeniu maszyny: P = k p m B (6) Fe Fe Fe gdzie: k - współczynnik technologiczny, p Fe - stratność materiału rdzenia dla 50 Hz i 1T, m Fe - masa rdzenia stojana. Straty w rdzeniu wirnika można zaniedbać, gdyż jest on przemagnesowywany z bardzo małą częstotliwością. Z modelu polowego wyznacza się średnią wartość kwadratu indukcji w regionie rdzenia stojana jako: gdzie: S B av = S B S ds av - powierzchnia regionu rdzenia stojana. Rozkład indukcji magnetycznej na długości połowy podziałki biegunowej w szczelinie przedstawiono na rysunku. Zaznaczono także średnią wartość indukcji w szczelinie obliczoną jako: τ / B δ dl 0 B av = (8) τ / oraz idealny sinusoidalny rozkład indukcji, którego amplitudę obliczono według wzoru: B sin π = (9) B av (7)
Rys.. Rozkład modułu wektora indukcji w szczelinie powietrznej w stanie jałowym. Na wykresie obserwuje się znaczne obniżenia indukcji pod szczerbinami zarówno stojana jak i wirnika. Postprocesor pozwala także na wyznaczenie z rozkładu przestrzennego indukcji zawartości wyższych harmonicznych. 3.. Stan zwarcia. Silnik indukcyjny jest w stanie zawarcia jeżeli do uzwojenia stojana dołączone jest napięcie znamionowe a wirnik jest nieruchomy. Prąd pobierany przez maszynę przekracza kilka (kilkanaście) razy wartość znamionową i jest ograniczony jedynie rezystancją i reaktancją rozproszeniową uzwojeń. Stan ten występuje naturalnie w pierwszej chwili po bezpośrednim włączeniu silnika do sieci ale może spowodować cieplne uszkodzenie izolacji uzwojeń stojana jeżeli występuje przez dłuższy okres czasu np.: po utknięciu maszyny. Z tego względu stosuje się odpowiednie zabezpieczenia przetężeniowe odłączające napięcie jeżeli prąd przekracza ustaloną wartość przez czas dłuższy od założonego. Model polowy silnika w stanie zwarcia opiera się na równaniach Maxwella przy wymuszeniu w postaci harmonicznej: I( t) = Im sin( ωt). Odpowiedź musi mieć także postać harmoniczną a więc nieliniowości materiałów zostały pominięte. Wektorowy potencjał magnetyczny A musi spełniać równania: Laplace a w zastosowaniu do obszarów bez prądów elektrycznych: A = 0, (10) Poissona w odniesieniu do obszarów z prądem wymuszającym pole: A = µj, (11) Helmholtza opisujące pole w obszarach przewodzących prąd: A jµωγ A = 0, (1) gdzie: - operator Laplace a, µ - przenikalność magnetyczna, ω - pulsacja, γ - konduktywność. Gęstość prądu w uzwojeniu stojana obliczono ze wzoru (1) dla prądu zwarcia. Wszystkie pręty klatki wirnika są zwarte poprzez niewielką impedancję odwzorowującą impedancję
wycinka pierścienia zwierającego. Prądy indukowane w prętach zależą od strumienia, przewodności właściwej materiału i częstotliwości zasilania. Na rysunku 3. przedstawiono linie sił pola. Można zauważyć, że pole wytwarzane przez uzwojenie stojana jest wypierane przez prąd indukowany w prętach klatki wirnika. Gęstość prądu w pręcie osiąga dużą wartość (około 30 A/mm ) i dają się już zauważyć efekty wypierania prądu. Wypadkowy strumień magnetyczny jest bardzo mały a rdzeń silnika jest nienasycony można więc uznać, że pominięcie nieliniowości charakterystyk magnesowania nie wprowadza dużych błędów. Rys. 3. Izolinie potencjału w stanie zwarcia. Rys. 4. Rozkład modułu wektora indukcji w szczelinie powietrznej w stanie zwarcia
Indukcja w szczelinie maszyny jest niewielka lecz lokalnie dochodzi do zagęszczeń pola ze względu na niecałkowite skojarzenie magnetyczne uzwojeń stojana i wirnika. (Rys.4.) Moment rozruchowy silnika można obliczyć całkując tensor naprężeń Maxwella wokół wirnika: le T = L [( r H)( τ B) + ( r B)( τ H ) ( r τ )( H B)] dl (13) gdzie: H wektor natężenia pola magnetycznego, B wektor indukcji, r wersor radialny, τ wersor tangencjalny, L = πr, R średni promień szczeliny przywirnikowej, l e efektywna długość rdzenia stojana. 3.3. Stan obciążenia znamionowego W stanie znamionowego obciążenia wirnik obraca się z prędkością nieco mniejszą od prędkości wirowania pola magnetycznego. Względna różnica tych prędkości zwana jest ns n poślizgiem: s =. Typowa wartość poślizgu przy obciążeniu znamionowym wynosi n s kilka, czasami kilkanaście procent. Wynika stąd, że na wirnik oddziałuje pole o częstotliwości równej f r =sf s. Powoduje to pewien problem przy modelowaniu stanu obciążenia gdyż w analizie harmonicznej częstotliwość musi być jednakowa dla całego modelu. W celu pokonania tej niedogodności posłużono się metodą zastosowaną w klasycznym schemacie zastępczym silnika indukcyjnego. Rzeczywisty obracający się wirnik zastąpiono nieruchomym wirnikiem, w którym napięcie indukowane i impedancję uzwojenia pomnożono przez poślizg. Wobec tego parametry i wielkości elektryczne i magnetyczne wirnika sprowadzono do częstotliwości i napięcia stojana. W modelu polowym sprowadzenia parametrów wirnika dokonano poprzez pomnożenie przewodności właściwej materiału klatki wirnika oraz impedancji zewnętrznej (pierścienia zwierającego) przez poślizg. Postępowanie takie jest uzasadnione ponieważ w równaniu Helmholtza (13) występuje iloczyn ωγ można więc zmienić z równym powodzeniem przewodność właściwą zamiast pulsacji. Moment znamionowy maszyny można obliczyć metodą tensora naprężeń analogicznie jak w stanie zwarcia. Prąd płynący w pręcie klatki równy prądowi wirnika I r otrzymamy całkując gęstość prądu indukowanego po powierzchni przekroju poprzecznego pręta: pr = S pr I jds (14) 4. WNIOSKI I UWAGI KOŃCOWE. Model statyczny maszyny umożliwia weryfikację projektu obliczonego metodami tradycyjnymi i dostarcza wielu informacji niezbędnych na etapie projektowania dotyczących wykorzystania materiałów czynnych i oszacowania strat jałowych. Nie pozwala jednak na obliczenie parametrów eksploatacyjnych silnika. Liniowy model harmoniczny jest odpowiedni do badania stanu zwarcia silnika z uwagi na małą indukcję w rdzeniu. Możliwe jest wyznaczenie momentu rozruchowego a także obliczenie reaktancji rozproszeniowej. Posługując się tym modelem w stanach obciążenia popełniamy pewien błąd nie uwzględniając nieliniowości charakterystyk magnesowania, tym większy im mniejsze obciążenie maszyny. W aspekcie dydaktycznym nie ma to jednak większego znaczenia i
prezentowany model dobrze spełnia swe zadania obrazując zjawiska elektromagnetyczne zachodzące w różnych stanach pracy silnika. Wykonanie serii obliczeń umożliwia wyznaczenie charakterystyki mechanicznej silnika. Model polowy może służyć do weryfikacji obliczeń elektromagnetycznych przeprowadzonych metodami klasycznymi lub po zintegrowaniu z innymi pakietami, może być częścią systemu CAD obejmującego kompleksowe obliczenia maszyny (elektromagnetyczne, wentylacyjne, cieplne i mechaniczne). 5. BIBLIOGRAFIA: 1. Bolkowski S.: Komputerowe metody analizy pola elektromagnetycznego. WNT, 1996.. Dubicki B. Maszyny elektryczne t.iii Silniki indukcyjne PWN 1964 3. Dąbrowski M. Projektowanie maszyn elektrycznych prądu przemiennego. WNT 1988 4. Głowacki A. Obliczenia elektromagnetyczne silników indukcyjnych trójfazowych. WNT Warszawa 1993 5. Bieńkowski K. Program obliczeń elektromagnetycznych silników indukcyjnych z wirnikiem klatkowym. IME PW 1993 6. PC-Opera Reference Manual VF Ltd, 4 Bankside Kidlinnton Oxford OX5 1JE England. 7. Turowski J.: Elektrodynamika techniczna. WNT, 1993. FIELD MODEL OF INDUCTION MOTOR The two-dimensional MES model of induction machine used in didactic process to investigations of field distribution in different states of operation was described in this paper. Presented model is useful to estimation many constructional parameters in design process. Magnetostatic model taking into account non-linearity of materials properties is used in noload state. In short-circuit and load states harmonic analysis was apply. Except fields distribution model delivers of many informations indispensable during designing process.