Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi o rozruchu bezpoœrednim

AUTOMATYKA 2008 Tom 12 Zeszyt 1 Marcin Bajek* Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi o rozruchu bezpoœrednim 1. Wstêp Ze wzglêdu na powszechnoœæ zastosowañ urz¹dzeñ elektrycznych w przemyœle i gospodarstwach domowych, coraz wiêksz¹ wagê przywi¹zuje siê do zagadnienia sprawnoœci tych urz¹dzeñ. K³adzie siê nacisk na rozwój nowych technologii, które spowoduj¹ mniejsze zu ycie energii elektrycznej, takich jak maszyny elektryczne z magnesami trwa³ymi. Istnieje wiele odmian takich silników, wœród których interesuj¹c¹ pozycj¹ jest trójfazowa maszyna posia-daj¹ca zdolnoœæ samorozruchu LSPMSM (Line-Start Permanent Magnet Synchronous Motor). Od pocz¹tku lat 80. ukaza³o siê wiele publikacji, z których wynikaj¹ korzystne w³aœciwoœci maszyny, takie jak rozruch bezpoœredni, wysoka sprawnoœæ (a co za tym idzie ma³e wydzielanie ciep³a), czy te wspó³czynnik cosϕ bliski jednoœci. Z tych wzglêdów LSPMSM znajduje coraz szersze zastosowanie m.in. w pompach, elektrowniach wiatrowych i kopalniach. Wyjœcie poza strefê przemys³u umo liwia jednofazowa odmiana LSPMSM. Dziêki takiemu zasilaniu jest mo liwe u ycie maszyny nawet w ma³ych urz¹dzeniach gospodarstwa domowego. Silniki tego typu znajduj¹ obecnie zastosowanie jako kompresory w lodówkach i urz¹dzeniach ch³odniczych. Stosuj¹c silnik jednofazowy LSPMSM, jest mo liwe uzyskanie nawet o 40% mniejszych strat ni w przypadku silnika indukcyjnego o podobnych gabarytach [15]. W literaturze specjalistycznej mo na znaleÿæ wiele pozycji, w których wykonano analizê w³asnoœci modelu i porównanie z pomiarami na rzeczywistym jednofazowym silniku LSPMSM. Moce badanych maszyn s¹ niewielkie, rzêdu kilkuset watów [10, 19], ze wzglêdu na w³aœciwoœci urz¹dzeñ, w których s¹ instalowane. 2. Geometria oraz uk³ad zasilania Uzwojenie stojana jest roz³o one w ³obkach w taki sposób, aby uzyskaæ pole w szczelinie jak najbli sze sinusoidalnemu. Dziêki temu ograniczona zostaje liczba wy szych har- * Doktorant na Wydziale EAIiE Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie 19

20 Marcin Bajek monicznych indukcji pola magnetycznego w szczelinie, a co za tym idzie poprawa osi¹gów maszyny. Sinusoidalny rozk³ad pola jest mo liwy przez nierównomierne rozmieszczenie uzwojenia g³ównego oraz dodatkowego, podobnie jak na rysunku 1a. a) b) Rys. 1. Sposób rozmieszczenia uzwojenia g³ównego i bocznego w ³obkach stojana (a) oraz schemat po³¹czeñ obwodu elektrycznego w jednofazowej maszynie LSPMSM o rozruchu za pomoc¹ kondensatora (b) Magnesy trwa³e w wirniku mog¹ byæ umieszczone praktycznie dowolnie. Decyzja o ich kszta³cie i po³o eniu zale y od projektanta maszyny. Rysunek 1a przedstawia przyk³adowe rozmieszczenie magnesów w wirniku, które jest w literaturze spotykane najczêœciej [3 7, 11, 16]. ³obki klatki rozruchowej s¹ rozmieszczone w wirniku symetrycznie, mo liwe jest jednak ich u³o enie nierównomierne na obwodzie wirnika. Przy projektowaniu magnesów oraz ³obków klatki nale y pamiêtaæ o takim ich wzajemnym po³o eniu, aby ograniczyæ strumieñ rozproszenia magnesów i dziêki temu dobrze wykorzystaæ materia³ magnetyczny twardy. Przesuniêcie fazowe pomiêdzy pr¹dem uzwojenia g³ównego i m oraz bocznego i a umo liwiaj¹ce uzyskanie pola wiruj¹cego jest realizowane poprzez u ycie kondensatora pracy C r w obwodzie bocznym. Jego prawid³owy dobór jest gwarancj¹ uzyskania sinusoidalnego pola stojana i zrównowa enia Ÿród³a zasilania. Oznacza to minimalizacjê sk³adowej przeciwnej pr¹du stojana, która jest odpowiedzialna za powstawanie w maszynie dodatkowego, szkodliwego momentu oscylacyjnego. W [18] zosta³y zawarte wyniki analizy wp³ywu rozmieszczenia uzwojeñ g³ównego i bocznego w stojanie. Autorzy zastosowali cztery ró ne stojany dla tego samego wirnika, co umo liwi³o okreœlenie wp³ywu parametrów uzwojenia na w³asnoœci maszyny. Wartoœæ kondensatora C r powinna byæ dobrana do stanu pracy ustalonej, przy której maszyna wiruje z prêdkoœci¹ synchroniczn¹. T.J.E. Miller zawar³ w [14] sposób analizy silników jednofazowych przy u yciu transformacji do sk³adowych symetrycznych, a nastêpnie do wspó³rzêdnych dq. Szczegó³owy algorytm postêpowania umo liwia zrównowa- enie uk³adu zasilania za pomoc¹ kondensatora C r, a w efekcie zminimalizowanie momentu oscylacyjnego od sk³adowej przeciwnej pola stojana. Wzory analityczne zawarte w artykule pozwalaj¹ na dobór k¹ta ζ miêdzy uzwojeniem g³ównym i pomocniczym oraz

Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi... 21 kondensatora C r w sposób daj¹cy sinusoidalne pole stojana. Analiza jest s³uszna dla wszystkich maszyn zasilanych jednofazowo. Autor zauwa y³ równie mo liwoœæ u ycia drugiego kondensatora, w celu poprawy w³asnoœci silnika przy dochodzeniu do prêdkoœci synchronicznej. 3. Metody rozruchu W trakcie rozruchu korzystne jest u ycie kondensatora rozruchowego C s o wiêkszej pojemnoœci. Gwarantuje on zwiêkszenie momentu rozruchowego i dziêki temu szybszy rozruch lub start przy wiêkszym obci¹ eniu. Celowoœæ u ycia dodatkowego kondensatora przy dochodzeniu do prêdkoœci synchronicznej zauwa y³ T.J.E. Miller ju w 1985 roku [13]. Im wiêksza wartoœæ pojemnoœci C s, tym wiêkszy moment rozruchowy, jednak wzrasta równie natê enie pr¹du. W zwi¹zku z tym nale y pamiêtaæ o takim wyborze C s, aby nie uszkodziæ cieplnie maszyny. Istnienie w obwodzie stosunkowo du ej pojemnoœci C s w trakcie pracy znamionowej jest niekorzystne ze wzglêdu na powstawanie sk³adowej przeciwnej, powoduj¹cej zmniejszanie sprawnoœci maszyny. Z tego powodu wykorzystuje siê czêsto w obwodzie pomocniczym rezystancjê PTC zale n¹ od temperatury, która wy³¹cza kondensator C s przy oko³o 80 90% prêdkoœci synchronicznej. Analizê wp³ywu doboru C s na charakterystyki silnika przedstawili autorzy [7]. Porównane zosta³y w³asnoœci rozruchowe rzeczywistej maszyny przy u yciu trzech wartoœci kondensatora rozruchowego oraz przy innym mo liwym sposobie rozruchu z zastosowaniem przekszta³tnika PWM. Sposób pod³¹czenia uzwojeñ g³ównego oraz pomocniczego w przypadku zasilania falownikowego jest przedstawiony na rysunku 2. Rys. 2. Schemat po³¹czeñ uzwojeñ stojana przy zasilaniu falownikowym U ycie falownika PWM oznacza dzia³anie silnika przy stale zrównowa onym Ÿródle zasilania. Dziêki temu nie jest konieczne stosowanie kondensatorów C s i C r. Rozruch przebiega znacznie ³agodniej, przy mniejszym pr¹dzie i momencie elektromagnetycznym ni w przypadku zastosowania wariantu zasilania z kondensatorami. Oznacza to gorsz¹ zdolnoœæ do rozruchu przy znacznym obci¹ eniu. Niew¹tpliw¹ zalet¹ stosowania przekszta³tnika PWM (Pulse Width Modification) jest uzyskanie wy szej sprawnoœci maszyny ni przy rozruchu kondensatorowym [7]. Do wad nale y zaliczyæ wiêkszy stopieñ skomplikowania oraz wiêkszy koszt ze wzglêdu na istnienie falownika w obwodzie zasilania.

22 Marcin Bajek 4. Analiza w³asnoœci LSPMSM jednofazowego Silnik jednofazowy synchroniczny z magnesami trwa³ymi o rozruchu bezpoœrednim to maszyna, która charakteryzuje siê asymetri¹ zarówno w wirniku, jak równie w stojanie. Pole wytwarzane przez magnesy to pole sta³e, podobnie jak w konwencjonalnej maszynie synchronicznej. Niesymetria Ÿród³a zasilania powoduje, e w pr¹dzie stojana pojawia siê sk³adowa przeciwna, niewystêpuj¹ca przy zasilaniu symetrycznym trójfazowym. Z tych wzglêdów do analizy silnika dobrze jest u yæ kombinacji transformacji do sk³adowych symetrycznych (z powodu asymetrii zasilania) oraz transformacji Parka (ze wzglêdu na sta³e pole magnesów wirnika). Schemat przejœcia ze wspó³rzêdnych rzeczywistych do wspó³rzêdnych dq przedstawia rysunek 3. a) b) Rys. 3. Idea przejœcia z wartoœci rzeczywistych do wspó³rzêdnych dq (a); reprezentacja graficzna (b) ród³o: [13] Do transformacji z wielkoœci rzeczywistych do wspó³rzêdnych Parka s³u ¹ nastêpuj¹ce przekszta³cenia: va 1 cosζ va v+ 1 1 j va,, v = b 0 sin v = m v 2 1 j v ζ b va 1 0 va vd cosθ sinθ va,. v = b 0 1/ v = b v q sin cos v β θ θ b W powy szych zale noœciach wspó³czynnik β jest okreœlony jako stosunek liczby zwojów uzwojenia g³ównego do pomocniczego, ζ to k¹t pomiêdzy tymi uzwojeniami, natomiast θ to k¹t miêdzy osiami a' i d.

Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi... 23 W pracy [13] T.J.E. Miller u y³ tej w³aœnie metody analizy. Dla stanu ustalonego zosta³ przedstawiony dok³adny algorytm postêpowania prowadz¹cy do okreœlenia w³asnoœci maszyny. Zosta³y równie podane zale noœci s³u ¹ce do analizy stanu asynchronicznego przy wykorzystaniu transformacji Parka. W efekcie u ycia opisanych wy ej transformacji otrzymuje siê dwa modele dq (po jednym dla sk³adowej zgodnej i przeciwnej), które mog¹ byæ rozpatrywane z osobna. Rys. 4. Model omawianej maszyny po transformacjach do sk³adowych symetrycznych oraz Parka ród³o: [3] Model taki pozwala na dok³adn¹ analizê momentu asynchronicznego silnika 1-fazowego LSPMSM. Na jego kszta³t maj¹ wp³yw zarówno moment od klatki rozruchowej, moment hamuj¹cy od magnesów, moment reluktancyjny, jak równie sk³adowa oscylacyjna momentu [3]. mp Te = ( Lmd idriq Lmqiqrid ) + ( Lmd Lmq ) id iq + Lmd ieiq = Tcage + Trel + m, 2 T mp Tcage = ( Lmd idriq Lmqiqr id ), 2 mp mp Trel = ( Lmd Lmq) idiq = ( Ld Lq) idiq, 2 2 mp mp Tm = Lmdieiq = E0iq, 2 2 ω gdzie: m liczba faz, P liczba biegunów, ω prêdkoœæ synchroniczna, L md, L mq indukcyjnoœci wzajemne w osiach d i q, E 0 si³a elektromotoryczna indukowana na otwartych zaciskach stojana, i d, i q, i qr, i dr pr¹dy stojana i wirnika w osiach d i q, i e pr¹d odpowiadaj¹cy strumieniowi od magnesów trwa³ych.

24 Marcin Bajek Moment hamuj¹cy T m jest wynikiem indukowania przez wiruj¹ce magnesy trwa³e si³y elektromotorycznej E 0 w uzwojeniu twornika. W wyniku tej si³y powstaje pr¹d, powoduj¹cy wydzielanie siê energii na rezystancji stojana. Moment reluktancyjny T rel jest wynikiem niesymetrii wirnika, czyli zró nicowania indukcyjnoœci L d oraz L q w modelu dq maszyny. Moment T cage jest wynikiem wspó³dzia³ania strumienia uzwojenia stojana ze strumieniem wytwarzanym przez pr¹d indukowany w klatce, podobnie jak w silniku indukcyjnym. Na kszta³t momentu elektromagnetycznego silnika jednofazowego LSPMSM stosunkowo du y wp³yw maj¹ sk³adowe oscylacyjne. By³y one przedmiotem analizy w artykule [3], gdzie autorzy mieli do dyspozycji cztery ró ne silniki, na których potwierdzili stosunkowo dobr¹ zgodnoœæ obliczeñ analitycznych z pomiarami. Doszli oni do wniosku, e zbyt du e oscylacje mog¹ spowodowaæ trudnoœci przy synchronizacji, jak równie wp³ywaj¹ na zachowanie maszyny przy rozruchu. Oscylacje momentu w LSPMSM jednofazowym s¹ nie tylko wy sze, ale trwaj¹ d³u ej ni w silniku indukcyjnym ze wzglêdu na istnienie pola magnesów, które generuje nie zanikaj¹c¹ sk³adow¹ sta³¹ [3]. Model dq maszyny w po³¹czeniu z transformacj¹ na sk³adowe symetryczne pozwala na dobre analityczne odwzorowanie maszyny. Istniej¹ jednak parametry, których wyznaczenie analityczne jest skomplikowane, ze wzglêdu na zale noœæ od stanu pracy maszyny. Do takich parametrów nale ¹ reaktancje synchroniczne X d oraz X q. Zale noœæ tych wielkoœci od pr¹du twornika naj³atwiej jest uzyskaæ drog¹ obliczeñ polowych, np. za pomoc¹ metody elementów skoñczonych [11]. Model obwodowo-polowy pozwala na analizê wp³ywu poszczególnych parametrów maszyny na jej w³asnoœci, jak równie optymalizacjê konstrukcji i uk³adu zasilania. 5. Metody poprawy w³asnoœci LSPMSM 1-fazowego Optymalizacja silnika 1-fazowego LSPMSM powinna zacz¹æ siê od zrównowa enia Ÿród³a zasilania, w celu eliminacji szkodliwej sk³adowej przeciwnej pola stojana. Gwarantowane jest to przez odpowiedni dobór k¹ta ζ miêdzy uzwojeniem g³ównym i pomocniczym, oraz kondensatora C r. Zale noœci umo liwiaj¹ce oszacowanie pojemnoœci kondensatora C r mo na znaleÿæ w [13]. Wyznaczenie optymalnych (ze wzglêdu na eliminacjê sk³adowej przeciwnej pola stojana) parametrów obwodu zasilania jest tak e mo liwe przy wykorzystaniu metody wykresów fazowych. Dowiedli tego autorzy pracy [1], gdzie wyniki obliczeñ potwierdzili eksperymentalnie na prototypowym silniku. Podstawowym sposobem na zwiêkszenie momentu rozruchowego jest, podobnie jak w maszynie indukcyjnej, zwiêkszenie rezystancji klatki. Mo na to osi¹gn¹æ poprzez zastosowanie materia³u o wiêkszej rezystywnoœci, b¹dÿ zwiêkszenie liczby prêtów. W pracy [2] zosta³y wyprowadzone zale noœci na obliczenie rezystancji pierœcieni zwieraj¹cych oraz prêtów przy ich nierównomiernym roz³o eniu. Za pomoc¹ metody elementów skoñczonych oraz przez pomiary na rzeczywistym silniku potwierdzono, e przy rozmieszczeniu nierów-

Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi... 25 nomiernym silnik charakteryzuje siê szybszym rozruchem ze wzglêdu na wiêkszy moment rozruchowy. Mniejsza rezystancja klatki oznacza lepsz¹ synchronizacjê [9]. G³êbsze ³obki, dla których rezystancja jest mniejsza, mog¹ zostaæ u yte jako bariera dla strumienia rozproszenia magnesów. Prawid³owy wybór kszta³tu oraz rozmieszczenia prêtów powinien byæ wynikiem analizy zarówno w³asnoœci rozruchowych, jak i zdolnoœci do synchronizacji. Na zdolnoœæ silnika 1-fazowego LSPMSM do synchronizacji maj¹ równie wp³yw wartoœæ napiêcia zasilania i pojemnoœci kondensatora. Wykazali to autorzy [19], gdzie przeprowadzili eksperyment na rzeczywistym silniku o mocy 275 W. Z badañ wynikn¹³ wniosek, e dla silnika jednofazowego projektowany stosunek si³y magnetomotorycznej, pochodzenia od magnesów trwa³ych, do napiêcia zasilania powinien byæ wiêkszy ni dla trójfazowego odpowiednika, ze wzglêdu na dodatkow¹ niesymetriê uk³adu zasilania. Moment asynchroniczny mo na zwiêkszyæ poprzez zmianê stosunku iloœci zwojów g³ównych do bocznych β jego zmniejszenie powoduje wzrost momentu asynchronicznego, lecz tak e hamuj¹cego pochodz¹cego od magnesów [12]. Straty w elazie mo na uwzglêdniæ w modelu elektrycznym maszyny jako dodatkow¹ rezystancjê R c w³¹czon¹ w ga³êzi równoleg³ej do Ÿród³a napiêcia [5, 11]. Minimalizacjê strat w obwodzie stojana, stanowi¹cych najwiêksz¹ czêœæ strat w ma³ych silnikach, mo na osi¹gn¹æ przez zwiêkszenie liczby zwojów. Straty w wirniku mo na zmniejszyæ poprzez obni enie rezystancji klatki (wiêksze ³obki, mniejsza liczba prêtów, materia³ o mniejszej rezystywnoœci), ma to jednak wp³yw na rozruch i synchronizacjê, o czym by³a mowa powy ej. Kszta³t i po³o enie magnesów trwa³ych w wirniku decyduje o w³asnoœciach maszyny w stanie pracy z prêdkoœci¹ synchroniczn¹. W artykule [4] zosta³a przedstawiona procedura projektowania rozmiaru i po³o enia magnesów w wirniku silnika LSPM. Jest ona oparta o model elektryczny drogi strumienia magnetycznego, w którym zadana jest ¹dana indukcja w szczelinie powietrznej. Za pomoc¹ metody elementów skoñczonych autorzy wyznaczyli dla ró nych wymiarów magnesów trwa³ych wartoœci si³y elektromotorycznej i indukcyjnoœci L d i L q, na podstawie których zosta³y dobrane najlepsze wymiary oraz po³o enie magnesów trwa³ych w wirniku. Przy projektowaniu kszta³tu i po³o enia magnesów trwa- ³ych nale y pamiêtaæ o momencie hamuj¹cym T m, którego wartoœæ jest ujemna w ca³ym zakresie prêdkoœci obrotowej, jak równie o mo liwoœci rozmagnesowania magnesów na skutek zbyt wysokiej temperatury [5]. Zmniejszenie wahañ momentu elektromagnetycznego mo na uzyskaæ poprzez zastosowanie maszyny o ³obkach skoœnych. Porównania w³asnoœci silnika ze ³obkami prostymi i skoœnymi dokona³ A.M. Knight w pracy [8]. Potwierdzenie poprawnoœci wyników obliczeñ modelu analitycznego uzyska³ za pomoc¹ metody elementów skoñczonych. Ten sam autor dokona³ w [10] porównania silnika ze ³obkami prostymi i ze skosem jedno ³obkowym, wykorzystuj¹c metodê elementów skoñczonych, a nastêpnie potwierdzi³ wyniki obliczeñ na rzeczywistym silniku 150 W. Zauwa y³ równie, e w³asnoœci tak ma³ej maszyny zale ¹ silnie od nawet niewielkiej zmiany jej parametrów, m.in. indukcji remanentu magnesów lub momentu bezw³adnoœci wirnika.

26 Marcin Bajek 6. Analiza za pomoc¹ metody elementów skoñczonych Metoda elementów skoñczonych zosta³a wykorzystana po raz pierwszy do analizy jednofazowego silnika LSPMSM w pracy [16]. Za pomoc¹ FEM (Finite Element Method) oraz wzorów analitycznych autorzy wyznaczyli charakterystyki momentu, pr¹du oraz prêdkoœci przy dochodzeniu do prêdkoœci synchronicznej. Wyniki zosta³y zweryfikowane na prototypie z magnesami NdFeB oraz z kondensatorem rozruchowym. W pracy [17] autorzy przedstawili porównanie dwóch metod analizy za pomoc¹ metody elementów skoñczonych. Pierwsza z nich opiera siê na modelu obwodowym, do którego za pomoc¹ FEM wyliczane s¹ iteracyjnie indukcyjnoœci L d i L q. Druga to metoda pr¹dów wirowych, w której jednoczeœnie rozwi¹zywane s¹ równania ró niczkowe dla pól od uzwojeñ stojana, klatki oraz wzbudzenia. Rzeczywisty silnik 150 W z magnesami NdFeB o indukcji remanentu 1,16 T pos³u y³ do weryfikacji obu metod. Nieco dok³adniejsza okaza³a siê metoda wykorzystuj¹ca model obwodowy, która nie uwzglêdnia jednak strat od pr¹dów wirowych. Umo liwia ona ponadto analizê silników ze skosem prêtów klatki. Drugi sposób analizy jest z kolei znacznie szybszy w przypadku badanego modelu 18 razy szybszy, przez co lepiej nadaje siê do projektowania konstrukcji typu LSPMSM. 7. Wnioski W artykule zosta³y omówione podstawowe cechy omawianego typu maszyny oraz porównanie metod analizy, które mo na znaleÿæ w stosunkowo obszernej literaturze specjalistycznej. Zaproponowane zosta³y metody poprawy w³asnoœci poprzez zmianê geometrii oraz parametrów obwodu elektrycznego. Przedstawionych zosta³o wiele czynników, których uwzglêdnienie jest bardzo wa ne do prawid³owego zaprojektowania silnika jednofazowego LSPMSM. Konstrukcja ta mo e w przysz³oœci wyprzeæ silnik indukcyjny w zastosowaniach do urz¹dzeñ niewielkich mocy, ze wzglêdu na wy sz¹ sprawnoœæ. Koszt maszyny mo e z uwagi na malej¹c¹ cenê materia³ów magnetycznych trwa³ych zostaæ obni ony do poziomu, przy którym jej stosowanie bêdzie znacznie bardziej op³acalne, ni maszyny asynchronicznej. Literatura [1] Sano T., Nakayama E., Sawa K., Circuit Parameter Optimization Method of Single-Phase Line- Start Permanent-Magnet Motor. International Power Electronics Conference IPEC 05, Niigata, Japonia, 2005. [2] Kim B.T., Kim Y.K., Kim D.J., Analysis of Squirrel Cage Effect in Single Phase LSPM. KIEE International Transactions on EMECS, t. 4-B, nr 4, 2004, 190 195. [3] Popescu M., Miller T.J.E., McGilp M., Strappazzon G., Trivillin N., Santarossa R., Asynchronous Performance Analysis of a Single-Phase Capacitor-Start, Capacitor-Run Permanent Magnet Motor. IEEE Transactions on Energy Conversion, t. 20, nr 1, 2005, 142 150. [4] Hong S.H., Ko K.M., Park C.B., Magnet Design procedure of Single-Phase LSPM Synchronous Motor. International Conference on Electrical Machines ICEM 04, Kraków, Polska, 2004.

Analiza w³asnoœci jednofazowego silnika z magnesami trwa³ymi... 27 [5] Miller T.J.E., Popescu M., Cossar C., McGilp M., Strappazzon G., Trivillin N., Santarossa R., Line-Start Permanent-Magnet Motor Single-Phase Steady-State Performance Analysis. IEEE Transactions on Industry Applications, t. 40, nr 2, 2004, 516 525. [6] Popescu M., Miller T.J.E., Cossar C., McGilp M., Strappazzon G., Trivillin N., Santarossa R., Comparative Study of Starting Methods for a Single-Phase Permanent Magnet Synchronous Motor. The 10th European Conference on Power Electronics and Applications EPE 03, Toulouse, Francja, t. 15, nr 1, 2003, 48 56. [7] Popescu M., Miller T.J.E., McGilp M.I., Strappazzon G., Trivillin N., Santarossa R., Torque Behaviour of 1-Phase Permanent Magnet AC Motor. IEEE International Electric Machines and Drives Conference IEMDC 03, Madison, USA, t. 2, nr 1 4, 2003, 820 825. [8] Williamson S., Knight A.M., Performance of skewed single-phase line-start permanent magnet motors. IEEE Transactions on Industry Applications, t. 35, 1999, 577 582. [9] Miller T.J.E., Synchronization of line-start permanent magnet motors. IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems, t. PAS-103, 1984, 1984, 1822 1828. [10] Knight A.M., Salmon J.C., Modeling the dynamic behaviour of single-phase line-start permanent magnet motors. IEEE 34th Industrial Applications Society Annual Meeting, Phoenix, USA, t. 4, 1999, 2582 2588. [11] Kang G.H., Nam H., Hong J.P., Hur J., Analysis and design methodology for single-phase linestart permanent magnet motor considering parameters variation on d-q axis vector diagram. IEEE 38th Industrial Applications Society Annual Meeting, Salt Lake City, USA, t. 3, 2003, 1946 1953. [12] Popescu M., Miller T.J.E., McGilp M., Kalluf F.J.H., da Silva C., von Dokonal L., Effect of winding harmonics on the asynchronous torque of a single-phase linestart permanent-magnet motor. IEEE 40th Industrial Applications Society Annual Meeting, Hong Kong, t. 4, 2005, 2820 2827. [13] Miller T.J.E., Single-phase permanent-magnet motor analysis. IEEE Transactions on Industry Applications, t. IA-21, nr 4, 1985, 651 658. [14] Rahman M.A., Osheiba A.M., Performance analysis of single-phase permanent magnet motors. Electric Energy Conference EECON 87, Adelaide, 1987. [15] Knight A.M., Williamson S., Influence of magnet dimensions on the performance of a singlephase line-start permanent magnet motor. IEEE International Electric Machines and Drives Conference IEMDC 99, Seattle, USA, 1999, 710 772. [16] Carlson R., Sadowski N., Arruda S.R., da Silva C.A., Von Donkal L. 1994: Singlephase linestarted permanent magnet motor analysis using finite element method. IEEE 29th Industrial Applications Society Annual Conference, Denver, USA, t. 1, 1994, 227 233. [17] Knight A.M., Salmon J.C., A comparison between finite element techniques when modelling single phase line-start permanent magent motors. 9th International Conference on Electrical Machines and Drives EMD 99, Canterbury, 1999. [18] Miller T.J.E., Popescu M., McGilp M.I., Strappazzon G., Trivillin N., Santarossa R., Line-start permanent-magnet motor: single-phase starting performance analysis. IEEE 37th Industrial Applications Society Annual Meeting, t. 4, 2002, 2499 2506. [19] Chalmers B.J., Baines G.D., Williamson A.C., Performance of a line-start single-phase permanent-magnet synchronous motor. 7th International Conference on Electrical Machines and Drives EMD 99, Canterbury, 1995, 413 417.