Elementy logiki i teorii mnogości. Kazimierz Trzęsicki

Elementy logiki i teorii mnogości Kazimierz Trzęsicki 2006

4 Wyd. II poprawione i zmienione. Wersja elektroniczna.

Spis treści 1 Logika zdań 11 1.1 Pojęcie logiki........................... 11 1.2 Język logiki zdań......................... 14 1.2.1 Pojęcie języka logiki zdań................ 14 1.2.2 Definicja zdania...................... 15 1.2.3 Język formalny...................... 18 1.2.4 Język a metajęzyk.................... 23 1.2.5 Rekurencyjny charakter definicji zdania......... 25 1.2.6 Model i prawdziwość................... 28 1.3 Rachunek zdań.......................... 31 1.3.1 Tautologia......................... 31 1.3.2 Wybrane tautologie klasycznej logiki zdań....... 37 1.3.3 Tablice semantyczne................... 41 1.3.4 Tautologia a zdanie logicznie prawdziwe........ 51 1.3.5 Spójniki prawdziwościowe................ 53 1.3.6 Funkcjonalna pełność................... 56 1.3.7 Postacie normalne.................... 58 1.3.8 Elektroniczna interpretacja spójników.......... 61 1.3.9 Dowód w rachunku zdań................. 64 1.3.10 Twierdzenie o dedukcji.................. 67 1.3.11 Sprzeczne i niesprzeczne zbiory zdań.......... 70 1.3.12 Wynikanie syntaktyczne a wynikanie semantyczne... 70 1.3.13 Reguły, schematy i prawa logiki............. 72 1.3.14 Systemy logiki zdań.................... 78 2 Logika predykatów 95 2.1 Język rachunku predykatów................... 95 2.1.1 Dziedzina......................... 95 5

6 SPIS TREŚCI 2.1.2 Stałe i zmienne indywiduowe............... 96 2.1.3 Litery funkcyjne...................... 97 2.1.4 Term............................ 98 2.1.5 Litery predykatowe.................... 99 2.1.6 Formuła.......................... 100 2.1.7 Podstawialność...................... 105 2.2 Rachunek predykatów...................... 106 2.2.1 Dowód w rachunku predykatów............. 106 2.2.2 Twierdzenie o dedukcji.................. 115 2.2.3 Postacie normalne.................... 120 2.2.4 Tablice semantyczne................... 128 2.2.5 Dedukcja naturalna.................... 135 2.2.6 Model i prawdziwość................... 138 2.2.7 Pełność rachunku predykatów.............. 153 2.2.8 Problem rozstrzygalności................. 154 3 Algebra zbiorów 161 3.1 Zbiór i element zbioru...................... 161 3.2 Równość zbiorów......................... 167 3.3 Zawieranie się zbiorów...................... 170 3.4 Operacje na zbiorach....................... 173 3.4.1 Dopełnienie zbioru.................... 173 3.4.2 Suma zbiorów....................... 175 3.4.3 Przecięcie zbiorów.................... 177 3.4.4 Różnica i różnica symetryczna zbiorów......... 179 3.4.5 Związki między działaniami teoriomnogościowymi... 180 3.4.6 Uogólnione suma i przecięcie zbiorów.......... 183 3.5 Aksjomaty algebry zbiorów.................... 186 4 Relacje i funkcje 191 4.1 Iloczyn kartezjański zbiorów................... 191 4.2 Relacje............................... 196 4.2.1 Pojęcie relacji....................... 196 4.2.2 Relacje zwrotna i przeciwzwrotna............ 200 4.2.3 Relacje symetryczna, przeciwsymetryczna i antysymetryczna........................... 202 4.2.4 Relacja przechodnia.................... 205 4.2.5 Relacja równoważności.................. 207

SPIS TREŚCI 7 4.3 Rachunek relacji.......................... 218 4.4 Funkcja.............................. 222 4.4.1 Pojęcie funkcji....................... 222 4.4.2 Funkcja odwrotna..................... 228 4.4.3 Superpozycja funkcji................... 231 4.4.4 Obrazy i przeciwobrazy.................. 233 4.5 Uogólniony iloczyn kartezjański................. 236 4.6 Uporządkowanie zbiorów..................... 237 4.6.1 Zbiory uporządkowane.................. 237 4.6.2 Zbiory liniowo uporządkowane.............. 244 4.6.3 Zbiory dobrze uporządkowane.............. 247 5 Moce zbiorów 249 5.1 Równoliczność zbiorów...................... 249 5.2 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne............... 253 5.3 Arytmetyka liczb kardynalnych................. 263 5.4 Zbiory mocy continuum..................... 276 5.5 Zbiór potęgowy.......................... 282

8 SPIS TREŚCI

Przedmowa Niniejsze Elementy logiki i teorii mnogości są przygotowane z myślą o studiujących informatykę oraz ekonometrię i informatykę na poziomie inżynierskim lub licencjackim. Objętościowo książka przekracza standardowy wykład. Tym samym wykładowcom stwarza różne możliwości doboru tematów, a studentom daje szansę poszerzenia wiedzy. Elementy logiki i teorii mnogości obejmują klasyczną logikę zdań, klasyczną logikę predykatów oraz teorię mnogości. Dobór zagadnień oraz sposób ich ujęcia ma być przyjazny dla informatyków, czyli odpowiedni do potrzeb i zgodny co do stylu myślenia. Książka ma umożliwić studentowi opanowanie aparatu pojęciowego oraz symboliki, niezbędnych do rozumienia wykładu podstawowych przedmiotów teoretycznych oraz kierunkowych zawodowych. Miejscami książka wykracza poza te ramy. Ma to jednak miejsce tam, gdzie trudno było pominąć problematykę chociażby z powodu jej niezbędności do wyłożenia innych kwestii lub aby nie tworzyć jakieś niezrozumiałej luki. Książka ta od mojej Logiki i teorii mnogości różni się nie tylko zakresem. Niewątpliwie najbardziej widoczne jest pominięcie wielu kwestii i mniej szczegółowe ujęcie niektórych, co doprowadziło do zasadniczego zmniejszenia objętości książki. Zachowany został układ, a mianowicie wpierw rozważane są zagadnienia logiczne a następnie teoriomnogościowe. Praktyczne podejście do logiki wymaga pokazania zastosowania jej w praktyce matematycznej. Taki układ mają zwykle różne zbiory zadań, jak na przykład popularny w Polsce zbiór zadań W. Marka i J. Onyszkiewicza Logika i teoria mnogości w zadaniach. Mając do dyspozycji aparat logiczny możemy zastosować go w teorii mnogości do zapisu twierdzeń i wykorzystać w dowodach. Wykład teorii mnogości zyskuje zaś na ścisłości. 9

10

Rozdział 1 Logika zdań 1.1 Pojęcie logiki Logika to przede wszystkim teoria rozumowań. Rozumowanie najogólniej rzecz biorąc to proces poznawczy pozyskiwania nowej wiedzy na podstawie tylko dotychczas posiadanej wiedzy. Można powiedzieć więc, że logika jest działem teorii przetwarzania informacji: formułuje zasady przetwarzania, zachowującego własności logiczne informacji takie jak np. prawdziwość. Rachunki logiczne wyrosły z zamiaru oceny poprawności rozumowań poprzez kontrolę przestrzegania zasad przekształceń wyrażeń, za których pomocą informacja została zapisana. Logikę interesuje język głównie, choć nie jedynie, jako narzędzie przekazu informacji. Z tego względu mówiąc o zdaniu ma się na uwadze zdanie oznajmujące w sensie gramatycznym. Przez zdania rozumiemy wszystkie i tylko te wyrażenia, które nadają się do formułowania twierdzeń (wiedza w sensie obiektywnym) lub przekonań (wiedza w sensie subiektywnym). Poprawna metodologicznie definicja zdania możliwa jest, gdy określony jest język, czyli gdy zdefiniowany jest zbiór symboli (słownik języka) i zasady budowy (reguły syntaktyczne 1 ) jego wy- się: 1 Przez semiotykę rozumie się logiczną teorię języka. Za Ch. Morrisem (1938) wyróżnia syntaktykę, która opisuje stosunki między znakami; semantykę, rozważa ona związki między znakami a rzeczywistością, do której te znaki odnoszą; 11

12 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ rażeń (poprawnie zbudowanych). Zdanie to każdy i tylko taki ciąg symboli, który jest elementem wyróżnionej klasy wyrażeń (poprawnie zbudowanych), klasy zdań. Zdanie jest prawdziwe, wtedy i tylko gdy w rzeczywistości jest tak jak to zdanie głosi. Zdanie jest zaś fałszywe, wtedy i tylko gdy w rzeczywistości nie jest tak jak zdanie to głosi. Przykład 1.1. 2 jest prawdziwe. Zdanie: 2 + 2 = 4 Zdanie: 2 + 2 = 5 jest fałszywe. Powyższe określenia prawdziwości i fałszywości zdań są potocznym sformułowaniem klasycznej koncepcji prawdy. Klasyczne pojęcie prawdy jest pojęciem relacyjnym. Zwykle, gdy mówimy, że zdanie jest prawdziwe, nie dodajemy ze względu na jaki «świat» jest ono prawdziwe. Domyślnie przyjmujemy, że jest to świat realny, otaczająca nas rzeczywistość. Gdy jednak mówimy o prawdziwości lub fałszywości zdań niekoniecznie mając na uwadze świat realny, trzeba stworzyć jego substytut, chociażby w postaci jakiegoś czysto abstrakcyjnego konstruktu. Taki konstrukt będziemy nazywać modelem 3. pragmatykę, jej przedmiotem są relacje między znakami a ich użytkownikami. 2 Użycie wyrażenia jako nazwy samego siebie zaznacza się biorąc to wyrażenie w cudzysłów. W niniejszej książce będzie szereg odstępstw od tej zasady. Kierujemy się bowiem również zasadą ekonomii, która nakazuje zastosowanie tylko tyle środków wyrazu, ile jest konieczne, aby tekst był zrozumiały i jednoznaczny dla tego, do kogo jest adresowany. Zgodnie z tą zasadą cudzysłowy opuszczane będą wszędzie tam, gdzie ich brak nie będzie źródłem jakichś wątpliwości, co do sposobu rozumienia. W szczególności nie ma potrzeby brania w cudzysłów, jeśli używamy nazwy rodzaju wyrażenia, czyli na przykład gdy piszemy, że podajemy przykłady zdań. Podobnie, gdy używamy zwrotów w rodzaju: nazywamy, określamy. 3 Należy tu dodać, że kiedy mówi się o modelu języka, to ma się na uwadze pewnego rodzaju «rzeczywistość», do mówienia o której dany język może być używany. Kiedy mówi się o modelu jakiegoś zbioru zdań, to mówi sie o tego rodzaju «rzeczywistości», w której wszystkie zdania z tego zbioru są prawdziwe.

1.1. POJĘCIE LOGIKI 13 Prawdziwość i fałszywość to wartości logiczne zdań. Przyjmujemy zasadę dwuwartościowości; tzn. przyjmujemy, że zdania są bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Nie dopuszczamy istnienia zdań, które nie są ani prawdziwe, ani fałszywe. Nie dopuszczamy również wartości logicznych innych niż prawda i fałsz. Wnioskowanie to pośrednie uzasadnianie, czyli uzasadnianie poprzez odwołanie się do uprzednio uznanych zdań. Wnioskowanie służy więc do: 1. poszerzania naszej wiedzy obiektywnej, czyli systemów wiedzy, poprzez odwołanie się do zdań już należących do tych systemów oraz 2. wzbogacania naszej wiedzy subiektywnej, czyli zasobu naszych przekonań, na podstawie już żywionych przekonań. Przesłanki we wnioskowaniu to zdania skądinąd uznane bądź jako takie założone. Stanowią one punkt wyjścia wnioskowania. Wniosek zaś jest zdaniem, które we wnioskowaniu zostaje uznane. Na to, aby wnioskowanie było poprawne, konieczne jest, żeby między jego przesłankami a wnioskiem zachodził stosunek uzasadniania. Szczególnym rodzajem stosunku uzasadniania jest stosunek wynikania. Wnioskowania, w których prawdziwość przesłanek gwarantuje prawdziwość wniosku czyli gdy nie jest możliwy taki stan rzeczy, aby przesłanki były prawdziwe a wniosek fałszywy to wnioskowania, w których wniosek wynika (logicznie) z przesłanek. Są to wnioskowania dedukcyjne. Teoria wynikania logicznego jest zasadniczym zagadnieniem logiki. Podstawowym działem logiki jest więc teoria wnioskowań dedukcyjnych. Zdania, z których jakieś zdanie wynika nazywamy jego racjami, a zdanie, które wynika z jakichś zdań nazywamy ich następstwem. Rachunki logiczne tworzone są m.in. po to, aby metodami rachunkowymi stwierdzić poprawność rozumowania. Rozważymy problem rachunku dla logiki zdań. Logika zdań jest logiką języka, którego najprostsze, wewnętrznie nieanalizowalne elementy to zdania proste (atomowe). Znaczenie zdania, czyli sposób jego rozumienia wyczerpuje się w jego wartości logicznej, czyli prawdziwości lub fałszywości. W języku zdaniowym wszystkie elementy znaczeniowe wiążące te zdania ze sobą są wyrażalne przez spójniki zdaniowe. Spójniki te

14 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ są prawdziwościowe wtedy i tylko wtedy, gdy wartość logiczna zdań złożonych zbudowanych za pomocą tych spójników jest wyznaczana przez wartości logiczne zdań składowych (a więc z pominięciem treści tych zdań). Zasady logiki zdań stosują się do wszystkich języków o tyle, o ile abstrahujemy od wewnętrznej złożoności ich zdań prostych. Rachunek dla logiki zdań jest fragmentem bogatszego rachunku dla logiki języka, w którym wyróżnia się elementy składowe zdań będzie to rachunek predykatów. Klasyczna logika zdań to logika zdań języka, którego wszystkie spójniki są prawdziwościowe i w której przyjmuje się zasadę dwuwartościowości. 1.2 Język logiki zdań 1.2.1 Pojęcie języka logiki zdań Na język logiki zdań, jak na każdy język, składają się słownik (alfabet), reguły syntaktyczne (gramatyczne) oraz reguły semantyczne (znaczeniowe). Słownik języka, to zbiór symboli, z których budowane są wyrażenia (poprawnie zbudowane). Wyrażenia są skończonymi ciągami elementów słownika zbudowanymi zgodnie z regułami syntaktycznymi. W wypadku języka logiki zdań jedynymi poprawnie zbudowanymi wyrażeniami będą zdania. Zatem określenie reguł syntaktycznych tego języka sprowadza się do definicji zdania. Zdania budujemy, aby mówić o pewnej rzeczywistości, o jakimś świecie. W logice matematycznej takim «światem» jest abstrakcyjny konstrukt: model. Będzie on tak zbudowany, aby ujmował interesujące nas aspekty odnoszenia zdań do świata. Ściśle określony «świat», model, umożliwi definicję prawdziwości zdania (w modelu). Pojęcie prawdziwości zdania jest pojęciem semantycznym. Reguły semantyczne języka logiki zdań sprowadzają się zatem do definicji prawdziwości zdania w modelu. Zdania są jedynymi wyrażeniami poprawnie zbudowanymi języka logiki zdań. Mogą być one proste lub złożone. Proste to takie, których żadna część właściwa, czyli różna od całości nie jest zdaniem. Zdanie złożone to takie, którego jakaś część właściwa jest zdaniem. W każdym języku istnieją różne sposoby tworzenia zdań ze zdań. Zdania można tworzyć ze zdań za pomocą różnych wyrażeń (w gramatyce nazywanych spójnikami i partykułami) lub

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 15 zestawienia zdań (połączenia zdań składowych wraz z użyciem: w języku mówionym stosownej intonacji, a w języku pisanym odpowiedniej interpunkcji). Spójnik to każde i tylko takie wyrażenie, które łącznie ze zdaniem bądź zdaniami tworzy zdanie. Przykład 1.2. Spójnikami są.: nieprawda, że..., konieczne jest, że... oraz... lub... i... oraz.... Spójnikiem nie jest:... jest. Zdania, z których dany spójnik tworzy zdanie to argumenty tego spójnika. Spójniki dzieli się ze względu na ilość ich argumentów. Wyróżniamy więc spójniki jednoargumentowe, dwuargumentowe itd. Zdania, które otrzymujemy w wyniku dopisania zdania lub zdań do spójnika to zdania złożone. Zdania proste to zdania, które nie są złożone, czyli w których nie występują spójniki. Przykład 1.3. Zdaniami prostymi są: 2 + 2 = 4 Trójkąt ma trzy boki Zdaniami złożonymi są: Nieprawda, że 2 + 2 = 4. Jeżeli czworokąt ma cztery boki równe, to ma dwa kąty równe. 1.2.2 Definicja zdania Podane będą dwie definicje zdania. Jedna ze względu na to, że jest standardowa, powszechna. Druga, łukasiewiczowska, ze względu na wykorzystanie i samej definicji i pomysłu na zapis w szczególności w informatyce. Zdanie w notacji standardowej Alfabet języka logiki zdań Alfabet A języka logiki zdań jest zbiorem następujących obiektów (symboli): 1. p 0, p 1,..., 2., 3.,,,,

16 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ 4. ), (. p 0, p 1,... to litery zdaniowe. Intuicyjnie reprezentują one zdania proste, czyli zdania, w których nie występują spójniki. Stąd też nazywane są atomami. Dopuszczamy, aby zdań tych było tyle, ile jest liczb naturalnych, czyli przeliczalnie nieskończenie wiele. Zwykle jako liter zdaniowych używać będziemy liter: p, q, r,.... jest spójnikiem jednoargumentowym. Nazywamy go negacją. Spójniki:,,, są dwuargumentowe. Nazywamy je, odpowiednio: implikacją, alternatywą, koniunkcją i równoważnością. W wypadku implikacji jej pierwszy argument nazywamy poprzednikiem a drugi następnikiem. Nawiasy: ) nawias prawy, ( nawias lewy, pełnią funkcję znaków interpunkcyjnych. Znaki te w naszym języku logiki zdań są niezbędne dla jednoznacznego zapisu wyrażeń tego języka. Zwykle w tym celu, aby napis był bardziej czytelny stosuje się też nawiasy innych kształtów: ], [; }, {. Znaczenie, czyli sposób rozumienia poszczególnych spójników będzie określone przez reguły semantyczne. Reguły te podamy w związku z definicją prawdziwości zdania w modelu. Dla zdefiniowania wyrażeń (poprawnie zbudowanych) znajomość znaczenia nie jest konieczna. Z elementów powyżej opisanego słownika (alfabetu) budujemy zdania. Zdania są jedynymi poprawnie zbudowanymi wyrażeniami języka logiki zdań. Przypomnijmy, że ciąg to funkcja ze zbioru liczb naturalnych. Zamiast f(n) pisze się f n, a zwykle a n. Wartości tej funkcji, a n, to wyrazy ciągu. Ciąg jest skończony wtedy i tylko wtedy, gdy liczba jego wyrazów jest równa pewnej liczbie naturalnej n, czyli gdy jest to funkcja ze zbioru {1, 2,..., n}. Niech A będzie zbiorem wszystkich i tylko skończonych ciągów elementów A. Definicja 1.1 (zdania). Niech α i β będą dowolnymi skończonymi ciągami symboli alfabetu języka logiki zdań, czyli α i β są elementami A (α, β A ). 1. litery zdaniowe są zdaniami; 2. jeżeli α jest zdaniem, to α jest zdaniem; 3. jeżeli α, β są zdaniami, to (α β), (α β), (α β), (α β) są zdaniami;

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 17 4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, które są skończonymi ciągami symboli spełniającymi warunki 2 i 3. Warunek 4 można zastąpić warunkiem równoważnym: 5. zbiór zdań jest najmniejszym zbiorem skończonych ciągów symboli spełniających warunki 1 3 4. Znaczenie warunku 4 (5) można zilustrować przykładem. Ciąg p 1 p 2 nie jest zdaniem właśnie na mocy tego warunku. Nie można bowiem tego ciągu skonstruować według warunków 1 3. Same warunki 1 3 nie pozwalałyby na takie stwierdzenie. Przykład 1.4. Zdaniami są: p 0, p 4, p 5, p 0, (p 5 p 0 ), ( (p 0 p 5 ) p 0 ), (((p 0 p 1 ) p 2 ) (p 3 (p 1 p 2 ))). Zdaniami nie są: (p 0 ), (p 0 ) (p 5 ) (p 0 ), (p 0 p 5 ) (p 0 ), (p 0 p 1 ) (p 0 p 1 ) (p 0 p 1 )... Znaczenie zdań określone będzie przez znaczenie liter zdaniowych oraz przez znaczenie spójników. Podane zostanie w definicji prawdziwości zdania w modelu. Definicja 1.2 (spójnika głównego). Spójnikami głównymi w zdaniach: α, (α β), (α β), (α β), (α β) są spójniki, odpowiednio: implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności. Zdania te skrótowo określamy jako, odpowiednio: negację, implikację, alternatywę, koniunkcję i równoważność. Notacja łukasiewiczowska W wypadku, gdy wszystkie spójniki są prefiksami (czyli gdy pisane są przed swoimi argumentami) lub gdy wszystkie spójniki są sufiksami (czyli gdy pisane są po swoich argumentach) możliwe jest wyeliminowanie nawiasów. 4 Najmniejszy zbiór spełniający jakieś warunki to taki i tylko taki zbiór, którego każdy podzbiór właściwy nie spełnia tych warunków lub inaczej taki i tylko taki zbiór, który jest podzbiorem każdego zbioru spełniającego te warunki. A B (A jest podzbiorem B) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element A jest elementem B. W szczególności każdy zbiór jest swoim podzbiorem. Zbiór A jest podzbiorem właściwym B wtedy i tylko wtedy, gdy A jest podzbiorem B i jest różny od B.

18 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ Notację prefiksową języka rachunku zdań wynalazł Jan Łukasiewicz 5. Taką notację wykorzystuje się w informatyce. Słownik 1. p 0, p 1,..., 2. N 3. C, A, K, E; p 0, p 1,..., to litery zdaniowe. N to jednoargumentowy spójnik negacji zaś C, A, K, E są dwuargumentowymi spójnikami, odpowiednio: implikacji, alternatywy, koniunkcji i równoważności. Wszystkie one są prefiksami. Definicja 1.3 (zdania). Niech α i β będą dowolnymi ciągami symboli. 1. litery zdaniowe są zdaniami; 2. jeżeli α jest zdaniem, to N α jest zdaniem; 3. jeżeli α, β są zdaniami, to C αβ, Aαβ, K αβ, Eαβ są zdaniami. 4. nie ma innych zdań oprócz liter zdaniowych oraz tych wyrażeń, które można w skończonej ilości kroków skonstruować wedle punktów 1 3. Zdaniu: (p 0 p 1 ) p 0 odpowiada zdanie w notacji Łukasiewicza: KAp 0 p 1 p 0 a zdaniu: p 0 (p 1 p 0 ) Ap 0 Kp 1 p 0. 1.2.3 Język formalny Język rachunku zdań jest przykładem języka formalnego. Zbiór wszystkich wyrażeń poprawnie zbudowanych języka formalnego zostaje ustalony decyzją twórcy tego języka. Zazwyczaj podaje się: zbiór symboli (alfabet, słownik), reguły konstrukcji wyrażeń (reguły syntaktyczne). 5 Notacja łukasiewiczowska w literaturze anglojęzycznej określana jest jako polska (Polish notation). Podobna idea wykorzystana jest w notacji sufiksowej (reverse Polish notation).

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 19 Przykład 1.5. Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy skończony ciąg symboli:, rozpoczynający się od symbolu:. Taki język jest językiem formalnym. Przykład 1.6. Niech wyrażeniem poprawnie zbudowanym będzie każdy sensowny ciąg elementów słownika języka polskiego. W tym wypadku o poprawności budowy przesądzają reguły semantyczne. Tak określony język nie jest więc językiem formalnym. Definicja 1.4 (słowa nad alfabetem). Niech A będzie zbiorem. Nazywać będziemy go alfabetem. Elementy A, czyli skończone ciągi elementów A to słowa nad alfabetem A. Niech teraz α, β,... będą dowolnymi skończonymi ciągami elementów alfabetu (słowami). Definicja 1.5 (długości słowa, ). Długość słowa α, α, to liczba wystąpień elementów alfabetu w ciągu α. Definicja 1.6 (konkatenacji, ˆ). Konkatenacja, ˆ, słów α[= (a 1, a 2,..., a n )] i β[= (b 1, b 2,..., b m )], a i A, b i B, to słowo αˆβ powstałe przez napisanie ciągu β bezpośrednio po ostatnim wyrazie ciągu α, czyli słowo: (a 1, a 2,..., a n, b 1, b 2,..., b m ). Operacja konkatenacji jest łączna, czyli: (αˆβ)ˆγ = αˆ(βˆγ). Łączność operacji konkatenacji zwalnia nas z użycia nawiasów do wskazywania argumentów tej operacji: w jakiejkolwiek kolejności wykonamy operację konkatenacji (zachowując porządek argumentów) uzyskamy ten sam rezultat. Definicja 1.7 (słowa pustego, ε). Słowo puste ε to ciąg, którego liczba wyrazów równa jest 0, czyli ε = 0. Słowo puste jest elementem neutralnym operacji konkatenacji, czyli εˆα = α, αˆε = α. A + to zbiór wszystkich i tylko niepustych ciągów elementów A, czyli A + = A \ {ε}.

20 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ Definicja 1.8 (podsłowa). Słowo α jest podsłowem słowa β wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją słowa γ i δ takie, że β = γˆαˆδ. Definicja 1.9 (podsłowa właściwego). α jest podsłowem właściwym słowa β(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy γ ε lub δ ε, bądź co na jedno wychodzi gdy γˆδ ε. Definicja 1.10 (słowa początkowego). α jest słowem początkowym, inaczej prefiksem słowa β(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy γ = ε. Definicja 1.11 (słowa końcowego). α jest słowem końcowym, inaczej sufiksem słowa β(= γˆαˆδ) wtedy i tylko wtedy, gdy δ = ε. Zwykle konkatenację słów, gdy nie prowadzi to do niejasności, zapisuje się bez użycia symbolu konkatenacji, czyli zamiast np. αˆβ pisze się po prostu: αβ. Definicja 1.12 (produkcji, ::=). Produkcją lub regułą przepisywania słów α i β jest: α ::= β co czytamy: α jest zastępowane przez β. α to poprzednik produkcji a β to następnik produkcji. Definicja 1.13 (wyprowadzenia ze słowa). α γ::=δ β, czyli słowo β jest wyprowadzeniem ze słowa α na podstawie produkcji γ ::= δ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie α 1 i α 2, że α = α 1 γα 2, β = α 1 δα 2. Poprzednik produkcji może być w kilku miejscach podsłowem danego słowa. Wynik operacji wyprowadzania ze słowa zależy więc od tego, za które wystąpienie poprzednika (jako podsłowa danego słowa) wpisujemy następnik produkcji. Wynik operacji zastępowania nie jest więc określony jednoznacznie. Definicja 1.14 (podstawienia). Produkcja, której poprzednik jest symbolem (słowem o długości 1) to podstawienie. Słowo α powstałe ze słowa β przez podstawienie a ::= γ, gdzie a A, w miejsce każdego wystąpienia symbolu a to słowo β[a ::= γ].

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 21 Definicja 1.15 (języka). Językiem L nad alfabetem A jest dowolny podzbiór zbioru A. Zdania są słowami nad alfabetem A języka rachunku zdań. Na słowach definiowana jest operacja konkatenacji. Zbiór wyrażeń poprawnie zbudowanych, w tym wypadku zdań, jest podzbiorem A, czyli jest językiem formalnym. Warto zauważyć, że z punktu widzenia możliwości konstrukcji wyrażeń nie ma znaczenia, czy alfabet ma przeliczalnie nieskończenie wiele elementów (tyle, ile jest liczb naturalnych), czy też ma dwa elementy. Niech A ma przeliczalnie nieskończenie wiele elementów. Niech B ma dwa elementy, czyli niech to będzie np. zbiór {0, 1}. Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie elementów zbioru A i podzbioru zbioru B, którego elementami są skończone ciągi zer i jedynek takie, że ani pierwszy, ani ostatni wyraz ciągu nie jest zerem oraz jeżeli zero jest k-tym wyrazem ciągu, to nie jest nim wyraz (k+1)-szy, czyli inaczej mówiąc zero nigdy nie następuje po zerze. Takimi ciągami są np. (110111), (1011011101) a nie są nimi np. (011), (100111). Elementy A mogą być ustawione w ciąg a 1, a 2,.... Każdemu symbolowi a n przyporządkowujemy n-wyrazowy ciąg jedynek. Przyporządkowanie to jest wzajemnie jednoznaczne. Mając ciąg elementów zbioru A przyporządkowujemy mu ciąg elementów zbioru B w taki sposób, że po każdym ciągu jedynek przyporządkowanemu symbolowi, jeżeli nie jest to ostatni symbol rozważanego słowa, piszemy zero. Przyporządkowanie to jest wzajemnie jednoznaczne. Na przykład, wyrazowi (a 3 a 1 a 4 ) przyporządkowny jest ciąg (1110101111). Te ciągi binarne wypełniają rolę, którą mogą pełnić elementy A. Po prostu słowa nad A są kodowane binarnie. Języki zwykle definiuje się rekurencyjnie. W tym celu korzysta się z gramatyki formalnej 6. 6 Idea opisu języka za pomocą gramatyki sięga starożytności. Współczesne studia nad gramatyką, przede wszystkim porównawcze, podjęto na początku XIX wieku. Pojęcie gramatyki jako czegoś na wzór programu, wytwarzającego wyrażenia poprawnie zbudowane ujawnia się z pełną jasnością dopiero w pracach Noama Chomskiego w połowie lat pięćdziesiątych XX wieku.

22 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ Przykładem takiej gramatyki jest gramatyka bezkontekstowa 7. Gramatyka bezkontekstowa G to czwórka: Σ, V, X I, R, gdzie zbiory Σ i V są rozłączne, czyli Σ V =, X I jest elementem V, czyli X I V. Zbiór Σ to alfabet gramatyki G, a jego elementy to symbole końcowe (terminalne) gramatyki G. Elementy V to symbole niekońcowe (nieterminalne) lub inaczej zmienne gramatyki G. Wyróżniony symbol X I to symbol początkowy (startowy) gramatyki G. R to zbiór reguł przepisywania, czyli produkcji. O regule przepisywania przyjmuje się, że jest postaci: v ::= α, gdzie v V, czyli v jest symbolem nieterminalnym a α jest niepustym słowem nad alfabetem złożonym z elementów symboli terminalnych i nieterminalnych, czyli α (Σ V ) +. Wszystkie produkcje o poprzedniku v i następnikach α 1,..., α n zapisujemy następująco 8 : v ::= α 1... α n. Tu symbol rozumiemy jak alternatywę (nierozłączną) i czytamy tak jak alternatywę, czyli: lub. Język klasycznego rachunku zdań określamy następująco: Σ = {p, } {,,,, } { ), ( } V = {zdanie, litera-zdaniowa} X I = zdanie R = {zdanie ::= litera-zdaniowa zdanie (zdanie zdanie) (zdanie zdanie) (zdanie zdanie) (zdanie zdanie) litera-zdaniowa ::= p litera-zdaniowa } 9. 7 Wszystkie współcześnie powszechnie używane języki programowania oparte są na gramatyce bezkontekstowej. O ich powszechności przesądzają możliwości specyfikacji i implementacji jak i łatwość uczenia się ich. Języki programowania pojawiły się w początkach lat pięćdziesiątych XX wieku, zastępując jako języki wyższego poziomu uciążliwe programowanie w kodzie maszynowym. Rozwijany od 1954 r. FORTRAN bazował na notacji matematycznej. W 1958 r. John Backus w ramach projektu ALGOL wykorzystał znaną z logiki matematycznej ideę systemów produkcji. Było to rozwiązanie równoważne gramatyce bezkontekstowej. Około 1970 r. bezkontekstowy opis gramatyki stał się standardem dla języków programowania. 8 Jest to notacja zaproponowana przez Backusa, a na szerszą skalę zastosowana przez duńskiego informatyka Naura, redaktora opisu języka ALGOL 60. Stąd jej nazwa: notacja Backusa-Naura. 9 Poszczególne produkcje pisze się w odrębnych wierszach, bez rozdzielania przecinkiem.

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 23 Dla określenia zbioru wyrażeń poprawnie zbudowanych zbyteczna jest znajomość interpretacji, czyli znaczeń wyrażeń. Język formalny, taki jak język rachunku zdań, mogłaby w pełni przyswoić sobie maszyna, np. komputer. Język formalny jest zwykle tak opisany, że dane wyrażenie poprawnie zbudowane tego języka może być zbudowane, w sensie procesu konstrukcji, w jeden i tylko jeden sposób. Przyporządkowanie językowi interpretacji, czyli sposobu rozumienia jego wyrażeń jest najogólniej rzecz biorąc przedmiotem semantyki. Teoria modeli bada związki semantyczne, inaczej mówiąc jest teorią interpretacji. Podanie aparatu logicznego, a więc określenie zależności logicznych ze względu na zasady budowy wyrażeń, czyli ze względu na syntaktykę prowadzi to zagadnień teorii dowodu. Jest to teoria wynikania syntaktycznego. Wyrażenia poprawnie zbudowane w wypadku języka rachunku zdań zdania, są przedmiotami abstrakcyjnymi. Reprezentantem wyrażenia poprawnie zbudowanego jest konkretny napis (lub dźwięk). Dwa napisy (dźwięki) mogą być reprezentantami tego samego wyrażenia. Istnienie wyrażenia nie jest uwarunkowane aktualnym istnieniem konkretnych napisów (dźwięków), ani naszymi możliwościami zapisu. Pozwala to mówić zarówno o wyrażeniach, których zapis przekracza fizyczne możliwości człowieka jak i o językach mających nieskończenie wiele wyrażeń. Mówimy tu o możliwości w takim samym sensie, jak w arytmetyce liczb naturalnych gdzie dysponujemy dziesięcioma cyframi mówimy, że możemy zapisać nazwę dowolnej liczby naturalnej. 1.2.4 Język a metajęzyk Język rachunku zdań jest dla nas gdy uprawiamy logikę językiem przedmiotowym. Jest to język, o którym mówimy. Język, którym mówimy, a więc język tej książki, to metajęzyk. Oczywiście, metajęzyk sam może być przedmiotem rozważań i wówczas staje się językiem przedmiotowym. Język, którym mówi się o metajęzyku z punktu widzenia pierwotnego języka przedmiotowego jest metametajęzykiem. W ten sposób tworzona może być hierarchia języków. Pojęcia języka przedmiotowego, metajęzyka, metametajęzyka itd. są więc pojęciami relacyjnymi. W metajęzyku tworzy się nazwy wyrażeń językowych biorąc je w cudzysłów. Są to tak zwane nazwy cudzysłowowe. Fałszem jest, że czasownik jest rzeczownikiem. Prawdą zaś jest, że czasownik jest rzeczownikiem. Na-

24 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ zwa czasownik jest bowiem nazwą wyrażenia, które w języku, w którym występuje, jest rzeczownikiem. Jednak nie jest prawdą, że czasownik jest rzeczownikiem. Na przykład stoi jest czasownikiem a nie jest rzeczownikiem. Metajęzykiem musimy posługiwać się wszędzie tam, gdzie mówimy o języku. Informatycy mówią o języku programowania. Język, którym to mówią jest metajęzykiem dla tego języka programowania. Nie można mylić języka z metajęzykiem. Ktoś, kto nie rozróżnia języka od metajęzyka postępuje podobnie do kogoś, kto nie rozróżnia między np. krzesłem a słowem krzesło. Zgodnie z zasadą ekonomii o czym była już mowa użycie cudzysłowów może być pominięte, jeżeli dla osoby/osób, do której/których skierowany jest tekst z kontekstu jest jasne, w jakiej roli występuje wyrażenie, czy w językowej, czy w metajęzykowej. Z powodzeniem moglibyśmy więc napisać: zamiast: słowo krzesło słowo krzesło. W języku mówionym wyrażenia te nie różnią się, a jednak można je właściwie rozumieć. Zasady ekonomii nie traktujemy jednak jako nakazu nieliczącego się z pewnymi zwyczajami i przyzwyczajeniami. Z tego powodu preferowane są zapisy drugiego rodzaju. Jednak piszemy: słowo a nie: słowo krzesło krzesło. Pisać będziemy mniej nawiasów niż wynikałoby to z definicji zdania. Za zbędne uważamy nawiasy zewnętrzne, czyli zamiast: (α) piszemy: α. Jeżeli spójnik dwuargumentowy s 1 wiąże mocniej niż spójnik dwuargumentowy s 2, to zamiast: (αs 1 β)s 2 γ piszemy: αs 1 βs 2 γ; podobnie, zamiast: αs 2 (βs 1 γ) piszemy: αs 2 βs 1 γ. Przyjmujemy, że spośród spójników dwuargumentowych najmocniej wiąże koniunkcja, następnie alternatywa a po niej implikacja i równoważność. Jeżeli spójniki s 1 i s 2 wiążą z jednakową mocą, to zamiast αs 1 (βs 2 γ) możemy pisać αs 1 βs 2 γ. Jest to tak zwana zasada wiązania na lewo. Zwykle dla

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 25 większej czytelności pozostawiamy więcej nawiasów niż to wynikałoby z zasad opuszczania nawiasów. Ponadto, można używać nawiasy innych kształtów: {, }; [, ]. Gdy wyrażenie α chcemy ująć w nawias, to piszemy: [α], jeśli w α występują: (, ). Piszemy zaś {α}, gdy w α występują: [, ]. Nasze zasady używania i opuszczania nawiasów nie różnią się w jakiś istotny sposób od zasad znanych z arytmetyki szkolnej. Na użytek definicji zdania przyjęliśmy umowę, że litery greckie α, β,..., ewentualnie z indeksami, oznaczają dowolny ciąg symboli. Teraz odstępujemy od tej umowy. Liter greckich α, β,... będziemy używali jeżeli nie powiemy inaczej tylko na oznaczenie zdań. Wyrażenia α i np. α należą do języka, którym mówimy, a nie do języka, o którym mówimy, czyli należą do metajęzyka. Wyrażenia te nie są zdaniami metajęzyka. Są w nim nazwami zdań języka, o którym mówimy (w metajęzyku). Wyrażenia zbudowane wyłącznie z liter α, β,... oraz spójników i nawiasów mogą jeżeli wcześniej nie jest ustalone do jakiego zdania odnoszą oznaczać każde zdanie, które można otrzymać przez wpisanie w miejsce poszczególnych liter α, β,... jakichś zdań. O wyrażeniach takich mówimy, że są to schematy zdaniowe. Język, którym mówi się o logice nie różni się istotnie od języka naturalnego, w naszym wypadku polskiego. W zasadzie różnica ta sprowadza się do tego, że jest tu wiele słów są to terminy specyficzne logiki których na co dzień nie używamy. Język logiki jest językiem uniwersalnym w tym sensie, że nie zależy od języka narodowego, którym się mówi o logice. Podobnie jak język arytmetyki jest wspólny wszystkim, którzy mówią o arytmetyce, choć każdy mówi o niej jakimś językiem narodowym. 1.2.5 Rekurencyjny charakter definicji zdania Definicja zdania jest definicją rekurencyjną (indukcyjną). Najogólniej rzecz biorąc ten sposób definiowania polega na wskazaniu pewnej klasy (zbioru) przedmiotów (prostych, atomowych). Może to być klasa skończona, np. jednoelementowa, której jedynym elementem jest ; a może to być również jakaś klasa nieskończona, np. jak ma to miejsce w wypadku definicji zdania. Ponadto podane są reguły budowy obiektów złożonych oraz może być wyróżniona pewna klasa przedmiotów, które jedynie służą do «budowy» obiektów złożonych. Przedmioty te nie należą do definiowanej klasy obiektów. W wypadku języka rachunku zdań są nimi spójniki i nawiasy. Reguły bu-

26 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ dowy obiektów złożonych są pewnego rodzaju przepisami określającymi, jaki dokładnie jeden obiekt powstanie, gdy do budowy zostaną użyte określone obiekty. Np. mając obiekt oraz operację konkatenacji, czyli operację dopisywania symbolu po prawej stronie danego obiektu, możemy skonstruować obiekty:,,,.... Klasa indukcyjna to najmniejszy zbiór zawierający wszystkie elementy proste oraz wszystkie te przedmioty, które dadzą się zbudować z elementów prostych. Zbiór taki, że zastosowanie reguł konstrukcji do jego elementów daje w wyniku przedmiot będący elementem tego zbioru to zbiór domknięty ze względu na te reguły konstrukcji. Definicja 1.16 (definicji rekurencyjnej, indukcyjnej). W definicji rekurencyjnej (indukcyjnej) wyróżniamy trzy warunki: 1. bazowy (po prostu: baza) lub początkowy przez podanie nazw wskazane są pewne obiekty, które są elementami definiowanego zbioru; 2. indukcyjny (po prostu: indukcja) warunek ten określa, jaki dokładnie jeden obiekt powstanie z elementów definiowanego zbioru, jeżeli zastosowana zostanie do nich jedna z reguł konstrukcji; 3. końcowy warunek ten mówi, że przedmiot jest elementem definiowanego zbioru tylko wówczas, gdy może być skonstruowany z elementów bazowych przez stosowanie reguł konstrukcji. Warunek 3 może być wyrażony równoważnie przez jeden z następujących warunków: 3 Definiowany zbiór jest najmniejszym takim zbiorem, którego elementami są wszystkie elementy bazowe oraz który jest domknięty ze względu na reguły konstrukcji. 3 Definiowany zbiór jest przekrojem wszystkich i tylko takich zbiorów, których elementami są elementy bazowe i które są domknięte ze względu na reguły konstrukcji. 3 Definiowany zbiór to taki zbiór, którego żaden właściwy podzbiór nie ma jako swych elementów wszystkich elementów bazowych lub nie jest domknięty za względu na reguły konstrukcji.

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 27 Definicje rekurencyjne (indukcyjne) pozwalają na drodze wnioskowania, określanego jako wnioskowanie przez indukcję (matematyczną) dowodzić własności obiektów spełniających warunki definicji. Liczby naturalne możemy pojąć jako obiekty:,,,.... Na to, aby dowieść, że każda liczba naturalna ma jakąś własność W wystarczy pokazać jest to znany ze szkoły średniej schemat wnioskowania że 1. własność W przysługuje obiektowi: ; oraz 2. jeżeli własność W przysługuje obiektowi α, to przysługuje obiektowi: α. Podobnie, aby dowieść, że każde zdanie ma jakąś własność W (W jest formułą z jedną zmienną wolną, której zakresem zmienności jest zbiór zdań) wystarczy pokazać, że 1. każdej literze zdaniowej przysługuje własność W, 2. jeżeli α i β mają własność W, to α, α β, α β, α β, α β mają własność W. Warunki 1 i 2 można wyrazić równoważnie, odpowiednio: 3. zachodzi W (α), jeżeli α jest literą zdaniową, 4. jeżeli zachodzi W (α) i W (β), to W ( α), W (αsβ), gdzie s jest jednym z dwuargumentowych spójników. Własności zdań będziemy dowodzić na drodze wnioskowania indukcyjnego. Twierdzenie o poprawności takiego postępowania nosi nazwę zasady indukcji strukturalnej dla rachunku zdań. Warunek 1 (3) to warunek początkowy (bazowy). Warunek 2 (4) to teza indukcyjna. Rzeczywiście, zgodnie z warunkiem początkowym własność W ma każda litera zdaniowa. Z tezy indukcyjnej, czyli warunku 2 (4), dostajemy, że jeżeli własność W mają zdania α i β, to mają ją również zdania złożone z α i β. Stwierdzenie, że własność W mają wszystkie zdania wymaga odwołania się do faktu, że zdaniami są tylko te wyrażenia, które są literami zdaniowymi lub dadzą się z nich skonstruować za pomocą reguł budowy zdań.

28 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ O poprawności takiego postępowania mówi zasada rekurencji strukturalnej. Niech f będzie funkcją określoną na zbiorze zdań L. 1. warunek początkowy: dla dowolnej litery zdaniowej p dana jest wartość f(p), 2. warunek indukcyjny: wartość f( α) jest określona jednoznacznie przez f(α), wartość f(αsβ), gdzie s jest jednym ze spójników dwuargumentowych, jest jednoznacznie określona przez f(α) i f(β). Funkcja zdefiniowana zgodnie z podanymi zasadami jest dokładnie jedna. Dla wykazania, że funkcja f określona jest dla wszystkich zdań korzysta się z tego, że f określona jest dla liter zdaniowych, a na podstawie warunku indukcyjnego, jeżeli jest określona dla α i β, to określona jest dla zdań z nich zbudowanych. Ponieważ zdaniami są tylko litery zdaniowe i wyrażenia otrzymane z liter zdaniowych za pomocą reguł konstrukcji, więc f jest określona dla dowolnego zdania. Dla wykazania, że jest tylko jedna funkcja spełniająca podane warunki, wystarczy zauważyć, że dane zdanie złożone może być tylko w jeden sposób rozczłonowane na części składowe 10. Inaczej mówiąc, wartość f zależy od rozczłonowania zdania. Gdyby dane zdanie mogło być analizowane na różne sposoby, to temu zdaniu mogłyby być przyporządkowane różne wartości. Tym samym funkcja f nie byłaby jedyną, która spełnia warunki zasady rekurencji strukturalnej. 1.2.6 Model i prawdziwość W modelu każde zdanie proste powinno być bądź prawdziwe, bądź fałszywe. Interpretacja (określenie znaczeń zdań w modelu) polega na przyporządkowaniu poszczególnym zdaniom prostym znaczenia jednego z terminów: prawda, fałsz. Pomijając nieistotne detale możemy model po prostu utożsamić z jakimś podzbiorem M zbioru S liter zdaniowych. Jeżeli litera zdaniowa p n należy do podzbioru M zbioru S, to będziemy przez to rozumieć, że p n jest prawdziwe w modelu M. Gdy p n nie należy do M, to będziemy 10 Twierdzenie o takim fakcie określane jest jako twierdzenie o rozbiorze.

1.2. JĘZYK LOGIKI ZDAŃ 29 przez to rozumieć, że p n jest fałszywe w modelu M. Prawdziwość i fałszywość zdań złożonych określa się zaś ze względu na prawdziwość i fałszywość zdań składowych. Zamiast mówić, że zdanie jest prawdziwe w modelu będziemy też mówić, że jest spełnione w modelu. Do zapisania, że zdanie α jest prawdziwe w modelu M używać będziemy specjalnego oznaczenia: M = α. Definicja 1.17 (M = α). Niech M będzie podzbiorem zbioru S liter zdaniowych (M S). α jest prawdziwe (spełnione) w modelu M, M = α, wtedy i tylko wtedy, gdy: 1. jeżeli α jest literą zdaniową, to M = α wtedy i tylko wtedy, gdy α M; 2. jeżeli α jest zdaniem β, to M = α wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że M = β; 3. jeżeli α jest zdaniem β γ, to M = α wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że M = β lub jest tak, że M = γ; 4. jeżeli α jest zdaniem β γ, to M = α wtedy i tylko wtedy, gdy

30 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ 5. jeżeli α jest zdaniem β γ, to wtedy i tylko wtedy, gdy 6. jeżeli α jest zdaniem β γ, to wtedy i tylko wtedy, gdy M = β lub M = γ; M = α M = β i M = γ; M = α (M = β wtedy i tylko wtedy M = γ). Spójniki:,,,, w języku polskim będą odczytywane za pomocą wyrażeń, odpowiednio: nieprawda, że..., jeżeli..., to...,... lub...,... i...,... wtedy i tylko wtedy, gdy.... Symbole:,,,, są symbolami języka logiki zdań, a więc należą do języka, o którym mówimy. Z punktu widzenia języka, którym mówimy są one pewnego rodzaju przedmiotami, o których się mówi. Symbole te nie należą do języka, którym pisany jest ten tekst. Symboli tych i wyrażeń z nich zbudowanych używamy wyłącznie jako «cytatów», jako «przytoczeń» symboli i wyrażeń języka, o którym mówimy. Nie możemy użyć ich jako wygodnych skrótów dla spójników języka, którym mówimy. Nie możemy więc zastąpić, np. jeżeli..., to... i wtedy i tylko wtedy, gdy przez, odpowiednio:,. W naszym tekście o języku rachunku zdań, symbole i wyrażenia tego języka występują w supozycji materialnej, czyli na oznaczenie samych siebie. Definicja 1.18 (prawdziwości zdania). Zdanie α jest (logicznie) prawdziwe, co oznaczamy: = α, wtedy i tylko wtedy, gdy α jest prawdziwe we wszystkich modelach; czyli wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego M S : M = α.

1.3. RACHUNEK ZDAŃ 31 Tam, gdzie będzie istniała obawa nieporozumień, że prawdziwe (bez odnoszenia do jakiegoś modelu) będzie brane w znaczeniu prawdziwe w świecie realnym, zamiast o prawdziwości zdania będziemy mogli mówić o jego logicznej prawdziwości. Naszym celem jest wskazanie czysto syntaktycznych własności zdań prawdziwych, a więc tych własności ich kształtu, budowy, które są charakterystyczne dla zdań prawdziwych we wszystkich modelach. Wyróżnimy pewną klasę zdań, które będziemy określali jako tautologie. Pojęcie tautologii będzie więc pojęciem syntaktycznym. 1.3 Rachunek zdań Pojęcie zdania logicznie prawdziwego jest pojęciem semantycznym. Przedmiotem semantyki są relacje między znakiem a rzeczywistością (do której odnosi się ten znak). Zależy nam na syntaktycznym scharakteryzowaniu pojęcia zdania logicznie prawdziwego. Przedmiotem syntaktyki są relacje między znakami. Chcemy więc znaleźć takie własności zdań jako wyrażeń, które dałyby się opisać w kategoriach relacji między znakami bez odwoływania się do relacji między znakami a rzeczywistością i które wyróżniałyby zdania logicznie prawdziwe. Interesuje nas wynikanie jako relacja między przesłankami a wnioskiem. Podamy definicję dowodu jako pewnej procedury o charakterze rachunkowym. Reguły dowodu zostaną dobrane tak, aby zdanie miało dowód ze zbioru zdań wtedy i tylko wtedy, gdy z tego zbioru zdanie to rzeczywiście wynika. Podana będzie definicja rzeczywistego, czyli semantycznego wynikania. 1.3.1 Tautologia Zdanie jest skończonym ciągiem symboli, a więc w jego skład wchodzi skończona ilość liter zdaniowych. Dla każdego zdania można zatem wskazać taki początkowy skończony odcinek ciągu S liter zdaniowych, w którym znajdują się wszystkie litery występujące w tym zdaniu. Niech p 0, p 1,..., p n będzie ciągiem liter zdaniowych, wśród których znajdują się wszystkie litery zdaniowe występujące w α. Każdej literze zdaniowej przyporządkowujemy jeden z symboli: F, T. To, czym są te symbole nie jest

32 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ ważne. Mogą to być np. impulsy elektryczne. O symbolach tych jedynie zakładamy, że są różne. Definicja 1.19 (wartości logicznej). F i T to wartości logiczne 11. Definicja 1.20 (interpretacji). Niech p 0, p 1,..., p n będzie ciągiem liter zdaniowych, wśród których znajdują się wszystkie litery występujące w α. Ciąg: to interpretacja (zdania α). v 0, v 1,..., v n, gdzie v i, 0 i n jest jednym z symboli F lub T W ramach logiki zdań interpretacja liter zdaniowych wyczerpuje się więc w określeniu ich wartości logicznej. Definicja 1.21 (wartości logicznej zdania). Wartość logiczną zdania α dla interpretacji v 0, v 1,..., v n określamy (rekurencyjnie) następująco: jeżeli α jest literą zdaniową p m, to wartością logiczną zdania α jest v m ; wartości logiczne zdań złożonych obliczamy zaś zgodnie z poniżej podanymi tabelkami wartości logicznych: β β T F F T β γ β γ β γ β γ β γ T T T T T T T F T F F F F T T F T F F F F F T T Przykład 1.7. Zdanie: p 1 (p 3 p 2 ) dla interpretacji: F, T, T, T przyjmuje wartość: T. 11 F jest literą z angielskiego słowa false (fałsz), a T true (prawda).

1.3. RACHUNEK ZDAŃ 33 Zauważmy, że jedyna istotna różnica formalna pomiędzy określeniem prawdziwości zdań w modelu a definicją wartości zdania polega na tym, że modeli jest nieskończenie wiele. Dokładnie tyle, ile jest podzbiorów zbioru liter zdaniowych, czyli podzbiorów zbioru 2 N. Takich podzbiorów jest zaś tyle, ile jest liczb rzeczywistych, czyli c 12. Ilość interpretacji jest zaś skończona. Interpretacji o długości n jest tyle, ile jest n wyrazowych ciągów liter T i F, czyli 2 n. Definicja 1.22 (tautologii). Zdanie α jest tautologią, co oznaczamy: α, wtedy i tylko wtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji v 0, v 1,..., v n przyjmuje wartość T. Definicja 1.23 (kontrtautologii). Zdanie α jest kontrtautologią wtedy i tylko wtedy, gdy α dla dowolnej interpretacji przyjmuje wartość F. Pytanie, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalne. Aby tego dowieść należy wskazać «rachunkową» procedurę, która stosuje się do każdego zdania i która w wypadku każdego zdania po wykonaniu skończonej ilości kroków/operacji pozwoli dać odpowiedź na pytanie, czy zdanie to jest, czy też nie jest tautologią. Twierdzenie 1.1. Problem, czy zdanie jest tautologią jest rozstrzygalny, czyli istnieje metoda, która w skończonej liczbie operacji/kroków umożliwia znalezienie odpowiedzi TAK lub NIE na pytanie, czy dane zdanie klasycznej logiki zdań jest tautologią. Dowód. Niech α będzie zbudowane z n różnych liter zdaniowych (litery te mogą występować wielokrotnie). Zgodnie z definicją tautologii należy wziąć taki początkowy fragment ciągu liter zdaniowych, w którym mieszczą się wszystkie litery zdaniowe występujące w α. Zauważmy jednak, że dla interpretacji nieróżniących się na miejscach, odpowiadających literom zdaniowym występującym w α, wartości logiczne α też się nie różnią. Pod uwagę wystarczy zatem wziąć wszystkie tylko takie interpretacje, które różnią się na miejscach odpowiadających literom zdaniowym występującym w α. Ponieważ w α występuje dokładnie n różnych liter zdaniowych i mamy dokładnie dwie wartości logiczne, zatem takich interpretacji jest 2 n. Problem, jaka wartość logiczna przysługuje zdaniu α dla danej interpretacji jest rozstrzygalny. Wartość logiczną zdania α dla zadanej interpretacji 12 Użyte tu pojęcia i oznaczenia są objaśnione w części poświęconej teorii mnogości.

34 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ ustalamy w m krokach, gdzie m jest liczbą spójników występujących w zdaniu α. Ilość spójników określamy tak, że każde wystąpienie spójnika (każdy symbol) liczymy osobno. W celu określenia wartości logicznej zdania dla danej interpretacji korzystamy z tabelek wartości logicznych. Szczegóły takiego postępowania opiszemy niżej jako metodę wprost. Definicja 1.24 (metody wprost). W celu znalezienia metodą sprawdzania wprost odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią: 1. określamy wszystkie możliwe układy wartości logicznych zdań prostych, z których zbudowane jest dane zdanie; porządkujemy je np. alfabetycznie według zasady p i wyprzedza p i+1 a T wyprzedza F ; 2. dla każdego układu wartości pod każdą literą zdaniową podpisujemy wartość logiczną, jaka przysługuje jej dla rozpatrywanego układu; 3. tam, gdzie pod argumentami jakiegoś spójnika znajdują się podpisane wartości logiczne, określamy zgodnie z tabelkami wartość logiczną zdania zbudowanego za pomocą tego spójnika i wartość tę podpisujemy pod tym spójnikiem; postępowanie to kontynuujemy tak długo, aż zostanie podpisana wartość logiczna pod spójnikiem głównym rozpatrywanego zdania; 4. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu wartości określonego zgodnie z pkt. 1 pod spójnikiem głównym tego zdania znajduje się litera T. Przykład 1.8. Zdanie: [p (p q)] q jest tautologią. I. Musimy rozważyć cztery wypadki: {T, T }, {T, F }, {F, T }, {F, F }. [ p ( p q ) ] q T T T T T T T

1.3. RACHUNEK ZDAŃ 35 II. III. [ p ( p q ) ] q T T F F F F T [ p ( p q ) ] q F F T T T F T IV. [ p ( p q ) ] q F F F F T F T Zauważmy, że nie jest konieczne za każdym krokiem wypisywanie liter T i F w różnych wierszach. Metodę można stosować pisząc je na jednej linii. Na przykład dla wypadku I mamy: [ p ( p q ) ] q T T T T T T T Znajdowanie odpowiedzi na pytanie, czy zdanie jest tautologią za pomocą metody sprawdzania wprost jest uciążliwe. W praktyce zwykle korzystniej jest stosować metodę sprawdzania niewprost 13. Metoda niewprost, podobnie jak metoda wprost, ma charakter czysto «mechaniczny», tzn. stosując ją do dowolnego zdania postępujemy krok po kroku zgodnie z podanymi regułami. Nie są to jedyne metody tego rodzaju. Taki sam charakter również metoda tablic semantycznych, którą tu opiszemy. Ponadto zauważmy, że zawsze możemy zastosować szczególną procedurę, na jaką zezwala budowa zdania, o które pytamy się czy jest tautologią. 13 Metodę sprawdzania wprost oraz metodę niewprost określa się jako metodę zerojedynkową, a to dlatego, że zwykle stosowano cyfry 1 i 0, a nie litery T i F.

36 ROZDZIAŁ 1. LOGIKA ZDAŃ Definicja 1.25 (metody niewprost). W celu sprawdzenia metodą niewprost, czy zdanie jest tautologią postępujemy następująco: 1. pod spójnikiem głównym danego zdania piszemy literę F ; 2. jeżeli pod spójnikiem napisana jest jakaś litera, to rozważamy tyle wypadków (przez powtórzenie danego rysunku ), ile zgodnie z tabelkami wartości logicznych jest możliwych sposobów podpisania liter T i F pod argumenty tego spójnika; każdy taki wypadek rozważamy oddzielnie; gdy podpisujemy wartość logiczną pod jakąś literą zdaniową, to wartość tę podpisujemy pod każde wystąpienie tej litery zdaniowej; Opisaną procedurę przeprowadzamy dla każdego wypadku z osobna aż do momentu, gdy: (a) pod jakimś spójnikiem lub literą zdaniową pojawią się litery T i F lub (b) wyczerpane zostaną wszystkie możliwości i pod każdą literą znajduje się dokładnie jedna z liter T lub F ; 3. zdanie jest tautologią wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym wypadku otrzymanym zgodnie z pkt. 2 stwierdzamy, że pod jakimś spójnikiem lub jakąś literą zdaniową podpisane zostały obie litery T i F. Przykład 1.9. Zdanie: (p q) ( p q) nie jest tautologią. ( p q ) ( p q ) F T F T F F T F T T Inne przykłady zastosowania metody niewprost znajdujemy poniżej.