REGULAORY W UKŁADACH REGULACJ AUOMAYCZNEJ Y - E B / K U Z G Y - cza zdwjenia całkwania D - cza wyrzedzenia różniczkwania K wółczynnik wzmcnienia D N Regulatr PD idealny = = Regulatr PD rzeczywity = = α α
REGULAOR P = = = gdzie: = jet zerem [db] 20 lg = wkaźnikiem wzmcnienia regulatra lg Odwiedź kkwa = [ ] -0-45 2-90 lg 2
REGULAOR PD [db] 20 lg = = α 20 lg gdzie: = α α jet zerem, lg = jet biegunem, = α jet wkaźnikiem wzmcnienia [ ] 90 regulatra rzeczywiteg PD. 0 Odwiedź kkwa = Odwiedź rędkściwa = lg 3
REGULAOR PD = = α α = =, =, =, =, = 2, = 2 gdzie = 4 rzy czym = 4 ; Odwiedź kkwa = 4
Zaady budwy regulatrów e k w = = u Regulatr P W celu budwy regulatra tyu P rrcjnalneg należy w ętli rzężenia zwrtneg użyć element tranmitancji = = = rzy czym = Regulatr P = =, = rzy czym = Regulatr PD = =, = 5
nne truktury regulatra PD Płączenie równległe P PD Płączenie zeregwe P i PD e G P u e G P G PD u G PD =, = = = = = =, =, = =, =, = 6
e k w u e k w u G G 2 G 2 = = =, = = = = = rzy czym =, =, = = G, = = = = = = rzy czym =, =, = 7
Ogólne zaady dbru tyu regulatra Z Y - E B / K U G Y D N Przewidywane działanie układu ze względu na ty regulatra:. Zmiana uchybu tatyczneg rzy wymuzeniu kkwym, zmiana rzeregulwania i czau regulacji - zalecany regulatr tyu P 2. Skrócenie czau regulacji, zmiana uchybu tatyczneg, zmiana rzeregulwania - zalecany regulatr tyu PD 3. Likwidacja lub zmiana uchybu tatyczneg, zmiana rzeregulwania, wydłużenie czau regulacji - zalecany regulatr tyu P 4. Likwidacja lub zmiana uchybu tatyczneg, zmiana rzeregulwania, zmiana lub krócenie czau regulacji - zalecany regulatr tyu PD. 8
Dbór nataw regulatrów PD W celu uzykania jak najlezej jakści racy układu regulacji z regulatrem trzech natawach K,, D, udział zczególnych człnów regulatra PD winien być dwiedni dbrze dbrany. Jeżeli znany jet dkładny mdel biektu, wówcza dbór dwiednich nataw mże być dknany drga ymulacji cyfrwych lub metdami analitycznymi. Mdele biektów rzemyłwych ą zwykle nieznane, a zwłazcza zmieniają ię ich arametry techniczne. Wówcza regulatry muzą być trjne metdami emirycznymi. W rzemyśle zerk ą twane metdy ekerymentalneg trjenia regulatrów arte na identyfikacji arametrów dwiedzi układu Ziegler i Nichl, 942r.. dentyfikacja arametrów dwiedzi na granicy tabilnści układu regulacji 2. dentyfikacja arametrów charakterytyki kkwej układu twarteg Celem bu metd jet uzykanie dwiedzi układu z tłumieniem cylacji dwóch klejnych rzeregulwań w tunku m 3 /m = /4. =, = t 9
Granica tabilnści Metda arta jet ekerymentalne wyznaczenie arametrów granicy tabilnści, czyli ulacji rzecięcia fazy kreu drgań nie ganących g raz zaau wzmcnienia wzmcnienia krytyczneg K g. Przetawiając regulatr na trjenie ręczne utawiamy układ w jeg nrmalnym unkcie racy. 2. Utawiamy regulatr na działanie rrcjnalne t.j. =maximum, D = 0. 3. Natawiamy niewielką wartść wzmcnienia K człnu rrcjnalneg. 4. Utawiamy regulatr na działanie autmatyczne i rejetrujemy dwiedź kkwą układu. 5. Zwiękzamy wzmcnienie K aż d uzykania wartści K g, t.j., tej, rzy której układ uzykuje drgania nieganące granica tabilnści 6. Określamy kre tych drgań granicznych g. 7. Wartści tak wyznacznych arametrów d wtawiamy d tablicy nataw Ziegler-Nichla. y e u y 0
Zalecane natawy regulatra zgdnie wg. Zieglera-Nichla Metda w arciu arametry granicy tabilnści = = 0,5 = = 0,45 = 0,85 = = 0,6 = 0,5 = 0,25 Metda w arciu arametry dwiedzi kkwej układu twarteg = = = = 0,9 = =,2 = 3,3 = 3,3 = 0,5
Metda w arciu arametry dwiedzi kkwej układu twarteg Metda zakłada mdel dynamiki biektu jak inercyjny z dminującą tałą czawą raz óźnieniem tranrtwym =. Przetawiając regulatr na trjenie ręczne utawiamy układ w jeg nrmalnym unkcie racy układ twarty 2. Pdaj niewielkie wymuzenie kkwe na wejście układu biektu. 3. Znajdź dcinek na krzywej dwiedzi makymalnym nachyleniu R unkt rzegięcia i wykreśl tyczną w tym unkcie. 4. Określ óźnienie = 5. Znając tak wyznaczne arametry R i L krzytamy z dwiedniej tabeli nataw regulatra rzednia trna h P h h h h = h 2
= Próba kku =,2 2 0,5 = 0,6 Granica tabilnści = 0,6 0,5 0,25 4 = 0,075 = 0,6 = wkaźniki wzmcnienia regulatra = 0,075, = zera regulatra, = 4 = 2, = 2 3
Wybrane metdy analityczne Metda Zieglera-Nichla, łużąca d yntezy regulatra liniweg ubtymalneg, w enie tej metdy, arta na zaaie tabilnści układu regulacji. Stując tę metdę regulatr łączny z biektem utawia ię na działanie tyu P. Wyznaczając wartść graniczną wółczynnika wzmcnienia regulatra zaa wzmcnienia układu raz kre cylacji drgań nieganących dwiedzi układu rzyjmuje ię zgdnie z tabelą na tr. 5 dwiednie natawy regulatra jakimi ą: wzmcnienie, tała czawa całkwania cza zdwjenia i tała czawa różniczkwania cza wyrzedzenia regulatra. 2 Metda kmenacji kreślania dminujących biegunów układu twarteg za mcą dwiedni dbranych zer regulatra liniweg wraz z metdą linii ierwiatkwych. Zakłada ię tu, że kmenacji dlegają bieguny tabilne układu twarteg raz, że ich lkalizacja dlega niewielkim wahanim, zależnie d warunków racy układu. 4
. Metda Evana linii ierwiatkwych Linie ierwiatkwe jet t miejce gemetryczne łżeń ierwiatków m.g.. równania charakterytyczneg a na łazczyźnie zmiennej zelnej układu zamknięteg, trzymane rzy uzmiennianiu wółczynnika wzmcnienia układu twarteg. Dla chematu blkweg układu regulacji rzedtawianeg na ryunku bk równanie charakterytyczne układu zamknięteg jet równważne równaniu = = 0 czyli = = Na tej dtawie mżliwe łżenie ierwiatków układu zamknięteg jet kreślne rzez warunek argumentu Ry. Schemat blkwy układu regulacji twany rzy krzytaniu z metdy linii ierwiatkwych a raz warunek mdułu arg =, gdzie niearzyte dla > 0 = W rzyadku analizy układu regulacji dla kreślenia kztałtu linii ierwiatkwej krzyta ię warunku argumentu b, z warunku mdułu c, krzyta ię zaś dla kreślenia łżenia ierwiatków na linii ierwiatkwej rzy knkretnych wartściach wzmcnienia K. b c 5
W rzyadku natmiat yntezy rjektwania układu regulacji, mając z góry narzucne, czekiwane łżenia ierwiatków układu, wyznacza ię niezbędną wartść wzmcnienia K w układzie twartym, tak aby była ełnina tżamść a. Mając na uwadze łatwy dtę d kmuterów raz zerkiej gamy rcedur matematycznych w tym akietów dedykwanych dla celów autmatyki, linie ierwiatkwe mżna kreślić bezśredni z definicji a. W rtym rzyadku układu twarteg zerach i biegunach rzeczywitych tranmitancja układu dana jet zwykle jak ułamek w taci = =, < = d twanej rzy analizie i yntezie układów metdami częttliwściwymi. Otóż w zatwaniach metdy linii ierwiatkwych dgdnie jet twać niec dmienną tać tranmitancji, a mianwicie = w której k jet wkaźnikiem wzmcnienia dany wzrem =, e, =, = ą zerami i biegunami tranmitancji układu twarteg, 6
unkty rzecięcia linii ierwiatkwych z ią liczb urjnych dwiadają wartścim granicznym wzmcnienia =, które mgą być także wyznaczne rzy użyciu kryterium tabilnści Hurwitza lub Nyquita 2 wartść bezwzględna K dla dwlneg unktu należąceg d linii ierwiatkwej wynika z warunku mdułu c, czyli = =, g Miejca gemetryczne łżeń ierwiatków bieguny układu regulacji - mają ściły związek z włanściami dynamicznymi zamknięteg układu regulacji. m bliżej i liczb urjnych rzebiegają linie ierwiatkwe, tym mniejze jet tłumienie układu. Stan rzejściwy, nieutalny, trwa dłużej. Z łżenia biegunów układu zamknięteg mżna kreślić takie wielkści charakteryzujące zachwanie ię układu, jak: - względny wółczynnik tłumienia, - częttliwść drgań włanych, - częttliwść drgań nietłuminych, graniczną wartść wółczynnika wzmcnienia. Należy zwrócić uwagę, że wykre linii ierwiatkwej uzuełnia kryterium Nyquita. Sób kreślenia tych wielkści ilutruje ryunek na natęnej trnie. 7
m{} = = c = Re{} Ry. Sób wyznaczania arametrów charakteryzujących dynamikę układu zamknięteg, takich jak: względny wółczynnik tłumienia, ulację drgań nietłuminych i włanych na wykreie miejc gemetrycznych ierwiatków. 8
Metda Zieglera-Nichla, łużąca d yntezy regulatra liniweg Wartści i mżna wyznaczyć krzytając z twierdzenia Nyquita tabilnści układu zamknięteg. Mianwicie: układ zamknięty jet na granicy tabilnści wtedy i tylk wtedy, gdy charakterytyka amlitudw-fazwa układu twarteg rzechdzi rzez unkt Nyquita, jω. Zatem K g i g mżna bliczyć rzwiązując ze względu na K g i ω równanie zelne = lub dwiadający mu układ równań rzeczywitych = m = 0, = Re{ } =. Pierwze równanie zwala wyznaczyć wartść rzecięcia fazy a tąd kre cylacji nieganących wyznacza ię z zależnści = 2 Pdtawiając d drugieg równania wartść ulacji dcięcia wyznacza ię wartść zaau wzmcnienia i tąd = = 9
Przykład. Dany jet URA złżny z biektu regulacji ianeg tranmitancją eratrwą = 2 4 i zeregweg regulatra idealneg tranmitancji eratrwej = Należy wyznaczyć natawy regulatra tując metdę Zieglera-Nichla. Rzwiązanie Pdtawiając = uzykuje ię tać tranmitancji widmwej układu twarteg = rzy czym = 2 4 = 9 22 3 2 6 9 2 6, = = 22 3 2 6 20
Rzwiązując równanie = 0 2 3 = 0 trzymujemy wartść ulacji drgań nieganących granicznych. Zaa wzmcnienia układu wyni = = 3 2 =,225 = 2 6 = 2,5. 9 Otrzymaliśmy: = 2,5, = 2 = 5,3. Natawy regulatra wynzą: = 0,6 = 7,5, = 0,5 = 2,6, = 0,25 = 0,64 a jeg tranmitancja będzie miała tać = = 7,5 2,6 0,64. Odwiedzi kkwe jedntkwe układu regulacji rzed krekcją 2
= L i krekcji z zatwaniem regulatra = L kazane ą na ryunku bk. Zatwany tutaj regulatr z wrwadził atatyzm d układu i rzez t likwidację uchybu łżeniweg Odbył t ię kztem znaczneg wzrtu rzeregulwania i zwiękzenia czau regulacji. Na ten wzrt wartści wych wkaźników miała wływ zatwana tutaj metda dbru nataw regulatra..5 0.5 Ry. Prównanie dwiedzi kkwych jedntkwych układu bez regulatra i z regulatrem PD. 0 5 0 5 20 t 22
Przykład 2. Dany jet układ regulacji autmatycznej z biektem ianym tranmitancją = 5 i regulatrem PD tranmitancji wkazanej w rzykładzie. Wyznaczyć natawy regulatra metdą Zieglera-Nichla. Rzwiązanie ranmitancja układu zamknięteg z regulatrem działaniu rrcjnalnym = ma tać = = 5 6 Stując kryterium Hurwitza d równania charakterytyczneg 5 6 = 0 trzymujemy bzar tabilnści układu 0 < <,2. Wartść graniczną wzmcnienia, wynzącą =,2, wtawiamy d równania charakterytyczneg układu zamknięteg i dtawieniu = trzymujemy 23
5 6 = 6,2 5 = 0. Przyrównując część rzeczywitą lub urjną d zera znajdujemy wartść ulacji granicznej = 5 = 0,447 rad i tąd kre drgań nieganących wyni = 2 = 2 3,4 0,447 4. Otymalne w enie metdy Zieglera-Nichla natawy regulatra wynzą: = 0,6 = 0,72, = 0,5 = 7, = 0,25 =,75, a jeg tranmitancja będzie miała tać = = 0,72 7,75. 24
2 = 62%.5 0.5 % = 39,8 0 0 20 30 40 50 60 70 80 Jak widać, zatwana tutaj metda dbru nataw regulatra zwliła znacznie krócić cza regulacji, zwiękzyła ię tłumiennść dwiedzi rzy mniejzej ulacji drgań. Niewiele natmiat zmniejzyła ię wartść rzeregulwania, ztając na dść wykim zimie 62%. Chwila wytąienia rzeregulwania i cza naratania ztały w zaadzie takie ame, jak w układzie bez regulatra. Ry. Prównanie dwiedzi kkwych jedntkwych układu bez regulatra i z regulatrem PD. 25
Przykład 3. Dla układu z rzykładu 2 należy dknać takiej krekcji nataw regulatra, aby uzykać znaczne krócenie czau regulacji. m Linie ierwiatkwe układu autmatycznej regulacji z rzykładu 2 bez regulatra linie czarne i z regulatrem PD idealnym linie niebiekie kazane ą na ryunku bk. W celu krócenia czau regulacji należy zmienić łżenie ary zer regulatra rzeuwając je bliżej czątku układu wółrzędnych. Aktualna wartść zer wyni =,2 0.8 0.6 0.4 0.2, = 4 = 4 4 = 0,284 Niech łżenie ary zer regulatra ztanie krygwane łwę, czyli łwę zmniejzy ię dytan d czątku układu wółrzędnych, =, 2 = 0,42 - -0.8-0.6-0.4-0.2 =,2 Re -0.2-0.4-0.6-0.8-26
Stałe czawe regulatra krekcji łżeń jeg zer rzyjmą wartści = lub = 4,05, = = 3,5 = = 0,72 4,05 3,5 = 2,53 0,42 Na ryunku bk klr zielny rerezentuje linie ierwiatkwe układu regulacji krekcji łżeń zer regulatra układu. Zera układu ą bliżej biegunów łżnych w czątku układu wółrzędnych. - -0.8-0.6-0.4-0.2 m 0.8 0.6 0.4 0.2 Re -0.2-0.4-0.6-0.8-27
.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 Odwiedzi kkwe układu regulacji rzed krekcją łżeń zer regulatra klr niebieki i krekcji klr zielny. 0 20 40 60 28
Prcedura wyznaczania arametrów regulatra PD metdą kmenacji kreślania biegunów dminujących rzez dwiedni dbór zer, regulatra = = = gdzie: = i = ą zerami regulatra, = wkaźnik wzmcnienia regulatra rzy czym wartści wółczynników mcniczych i dla zadaneg tunku = 4 wyznacza ię z zależnści = 2, = 2 i gdzie = 4 ;. Dbierz wartść jedneg z zer regulatra bliką- równą- wartści dminująceg bieguna biektu. 2. Niech drugie zer regulatra rzyjmie wartść bliką wartści drugieg bieguna dminująceg biektu. W celu uzykania tej wartści zera, należy dbrać dwiednią wartść tunku = 4 należy zatwać tu metdę rób i błędów. 3. Wykreśl linie ierwiatkwe dla układu kmenwaneg i wybierz takie łżenie dminującej ary biegunów zelnych rzężnych układu zamknięteg, aby dwiadające temu łżeniu biegunów wartść wzmcnienia układu =, a c za tym idzie wartść wzmcnienia regulatra zaewnić wymagane wartść rzeregulwania w dwiedzi układu zamknieteg. 29
Przykład 4. Dany jet układ regulacji z kakadw łącznymi biektem ianym tranmitancją eratrwą =, gdzie wkaźnik wzmcnienia raz bieguny wynzą i regulatrem = 2, = 0,25, =, = 4. = = =. gdzie: = i = ą zerami, = jet wkaźnikiem wzmcnienia regulatra idealneg PD, rzy czym wartści wółczynników mcniczych i, dla zadanej wartści wółczynnika rrcjnalnści = 4 ą wyznaczane ze wzrów = 2, = 2 i gdzie = 4. 30
Stując metdę kmenacji dminujących biegunów układu twarteg raz metdę linii ierwiatkwych dbrać natawy regulatra rzyjmując tień cylacyjnści =. Rzwiązanie Dminujący biegun biektu = 0,25 kmenujemy dminującym zerem regulatra, czyli = = 0,25 W układzie wytąi ełna kmenacja- kreślenie - bieguna. W efekcie teg zabiegu ztanie w układzie klejny biegun dminujący =. en zaś mże być kmenwany ztałym zerem regulatra = Aby iągnąć wartść zera jak najbliżzą wartści bieguna, rzyjmujemy wółczynnik rrcjnalnści = = 6,2. Wtedy wyróżnik ma wartść = 4 = 6,2 2,2 = 3,69. a wartści wółczynników mcniczych wynzą = 2 = 2 6,2 6,2 3.69 = 4,94, = 2 = 2 6,2 6,2 3.69 =,25. Mając wartści tych wółczynników, na dtawie zależnści 3
= = 0.25, wyznaczamy natawy czaów wyrzedzenia i zdwjenia regulatra = 0,25 = 0,8, = = 6,2 0,8 = 5,02 Dkładna wartść drugieg zera regulatra wynieie = =,25 0,8 = 0,988 Jet na bardz blika wartści bieguna biektu. Wbec teg tranmitancję układu twarteg krekcji całkw-różniczkwej mżemy zaiać w taci = = gdzie wkaźnik wzmcnienia układu kreślny jet związkiem = = = 0,8 2 =,62. 4, Wartść natawy człnu rrcjnalneg regulatra kreślimy na dtawie rzebiegu linii ierwiatkwych rzedtawinych na ryunku kazanym na natęnej trnie. 32
= 0,707 = 8 = 4,94-5 -4-3 -2 - m = 8 b 4 3 2 Re - -2-3 -4 a Łatw tu trzec, że wbec wymagania = wółrzędne biegunów dminujących układu zamknięteg wynią, = 2,0 ± 2,0 Pzukiwaną wartść wółczynnika wzmcnienia człnu rrcjnalneg regulatra wyznaczamy z warunku mdułu = = = 2 2 2 4 2,62 4,62 = 4,94 33
ranmitancja układu twarteg krekcji rrcjnaln-całkw-różniczkwej ma tać = = = 2 0,25 8 4 = 4.3% b 0.8 a 0.6 0.4 0.2 % = 2 0 2 4 6 8 t Ry. Odwiedzi kkwe jedntkwe układu autmatycznej regulacji: abez regulatra, b z regulatrem PD idealnym 34
Mdyfikacje truktur regulatrów G Y U Y E Z / D K N - 6 B K Y K U D D = G k G Z Y D = G k G K Y Y D D = Odwiedź eratrwa regulatra ranmitancja wyjście - wejście ranmitancja wyjście - zakłócenie 35
Sterwanie P-D G Y U Y E Z / D K N B - Przy braku zakłócenia Z i zumów N tranmitancja układu zamknięteg z regulatrem PD G K Y = B K Y K U D = 7 G K G K Y Y D D = G K G K Y Y D = Z regulatrem P-D G K G Z Y D = Dla bu truktur regulatrów tranmitancja wyjście zakłócenie jet taka ama 36
Sterwanie -PD Przy braku zakłócenia Z i zumów N tranmitancja układu zamknięteg z regulatrem PD G K Y = G Y U Y E Z / D K N B - B K Y K U D = 8 G k G K Y Y D D = Z regulatrem -PD G K G Z Y D = Dla bu truktur regulatrów tranmitancja wyjście zakłócenie jet taka ama G K G K Y Y D = 37