- to p-ty kwantyl rozkładu.

Krzysztof Piontek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Pomiar i testowanie skośności rozkładów stóp zwrotu instrumentów finansowych Wprowadzenie Relatywnie mało prac, w porównaniu do analizy innych własności finansowych szeregów czasowych, poświęconych zostało zagadnieniom pomiaru oraz testowania istotności skośności rozkładów stóp zwrotu. Typowe własności szeregów stóp zwrotu (przede wszystkim grube ogony) powodują, iż zazwyczaj stosowane testy, mogą zawodzić. Prawidłowa identyfikacja potencjalnie występującej w rozkładach stóp zwrotu skośności może mieć jednak kluczowe konsekwencje w wycenie opcji, konstrukcji portfela oraz pomiarze ryzyka. Niniejszy artykuł jest kontynuacją wcześniejszych prac autora [8],[9].. Miary skośności W literaturze wymienia się szereg miar skośności wraz z opisem ich własności (por. [3],[5],[7]). Miary te dzieli się zazwyczaj według wpływu na ich wartość pojedynczych obserwacji nietypowych. Najczęściej wykorzystuje się jednak typowe miary skośności, z których zdecydowanie największą popularność zdobyły dwie miary: SK SK µ =, () 3 3 µ ( ) + ( ) ( 0,5) F ( p) F ( p) F p F p F = gdzie: i µ - to i-ty moment centralny, natomiast F ( p), () - to p-ty kwantyl rozkładu. Miary te, w przypadku rozkładów symetrycznych, przyjmują wartości bliskie zeru. Odrzucenie lub zaakceptowanie hipotezy o symetrii rozkładu odbywa się jednak na podstawie odpowiednich testów statystycznych. Testy te mogą, ale nie muszą opierać się na odpowiednich miarach skośności. Poniżej zaprezentowane zostały trzy najczęściej wykorzystywane podejścia w zakresie testowania skośności rozkładów stóp zwrotu z instrumentów finansowych. Zaprezentowane rozwiązania zobrazowane zostały następnie przykładem empirycznym dla wybranych polskich szeregów finansowych.

. Testowanie skośności rozkładu stóp zwrotu - wybrane podejścia Spośród najczęściej wymienianych podejść w zakresie testowania skośności rozkładów stóp zwrotu wymienić można następujące rozwiązania (por. [],[],[7],[8],[9]): a) testy parametrów (statystyk) rozkładów bezwarunkowych, b) analizę istotności parametrów modeli szeregów stóp zwrotu, c) testy zgodności rozkładów (wolne od założenia o postaci rozkładu). Do pierwszej grupy metod zalicza się testy oparte na miarach skośności (zazwyczaj SK ). W klasycznym teście normalności rozkładu zmiennej losowej zaproponowanym przez Jarque i Berego występują składniki związane ze skośnością oraz z kurtozą rozkładu. Jest to test łączny, z którego wydzielić można składnik związany jedynie z testem skośności rozkładu : ( b ) ~ JB = n χ, (3) 6 gdzie b to wartość miary skośności (SK ), a n to wielkość próby. Niestety stosowanie tego testu wprost jest zazwyczaj nieuprawnione, ze względu na udokumentowane wieloma badaniami empirycznymi odstępstwa rozkładu stóp zwrotu od rozkładu normalnego, który legł u podstaw tego testu. Odpowiednia poprawka, rozszerzająca zakres stosowania testu na pewne rozkłady o grubych ogonach, zaproponowana została przez Godfrey a i Orme a [4] oraz spopularyzowana przez Berego oraz Premaratne a []. Statystyka testowa przyjmuje postać: ( b ) ~ χ 3 6 m4m RS = n 9 + m m 6 gdzie m i to odpowiednie i-te momenty zwykłe rozkładu., (4) Istotą poprawki jest zwiększenie wartości mianownika dla rozkładów o grubych ogonach, co skutkuje zmniejszeniem statystyki testowej i rzadszym odrzucaniem hipotezy o symetrii rozkładu w przypadku występowania obserwacji nietypowych. Nietrudno wykazać, że dla rozkładu normalnego mianownik przyjmuje wartość 6 i statystyka dana wzorem (4) jest zgodna ze statystyką daną wzorem (3). Problematyczne pozostaje jednak istnienie 6-tego, 4- tego oraz -go momentu zwykłego badanego rozkładu. Warunki istnienia odpowiednich momentów zwykłych rozkładu wyprowadzone zostały przy założeniu, iż dany szereg stóp zwrotu można opisać modelem GARCH(,) z warunkowym rozkładem t-studenta. Jest to jeden z najczęściej wykorzystywanych modeli. Ma on postać (por. [8],[9]): Pozostawiono typowe oznaczenie skośności występujące w literaturze.

P P y = = µ + ε = µ + h z, (5) t t t t t t Pt h = ω + αε + β h ( ), (6) z ~ iid 0,. (7) t Warunek istnienia (m)-tego momentu zwykłego dla bezwarunkowego rozkładu realizacji modelu GARCH(,) jest następujący (por. [5]): m µ ' α, β, = E α β + <, (8) ( m) ( Z ) gdzie Z to zmienna losowa o standaryzowanym rozkładzie t-studenta o ν stopniach swobody. Dla m=,,3 uzyskuje się warunki istnienia odpowiednio -go, 4-go i 6-tego momentu rozkładu bezwarunkowego szeregu stóp zwrotu. t t t α + β < * * m4α + mαβ + β < * 3 * * 3 m6α + 3m4α β + 3mαβ + β <, gdzie m = * * ν m4 = 3 ν 4 m = 5 * 6 ( ν ) ( ν 4)( ν 6) W części empirycznej dla każdego z analizowanych szeregów wyestymowane zostały parametry ( µ, α, β, ν ) modelu GARCH(,) celem sprawdzenia istnienia odpowiednich momentów oraz poprawności stosowania statystyki (4). U podstaw kolejnego podejścia w zakresie testowania skośności rozkładów znajduje się wprost model szeregu stóp zwrotu. Wzory (5)-(7) opisują model GARCH(,), którego klasyczna postać zakłada, że warunkowy rozkład jest rozkładem symetrycznym. Nic nie stoi jednak na przeszkodzie, by był to rozkład skośny o zerowej średniej oraz jednostkowej wariancji. Skośność warunkowego rozkładu w modelu GARCH implikuje skośność rozkładu bezwarunkowego. W praktyce, jako warunkowe rozkłady skośne wybiera się bądź to rozkłady, które w swej istocie są rozkładami skośnymi, lub rozkłady, które powstały na bazie rozkładów symetrycznych poprzez odpowiednią ich modyfikację. W ramach pierwszego podejścia wykorzystuje się najczęściej rozkład Pearsona typu IV (por. [9]): (9) q z z f ( z; a, q, δ ) = k + exp δ arctg a a, gdzie q iδ Γ q k = π aγ ( q ) Parametr δ jest w tym modelu bezpośrednio odpowiedzialny za opis skośności. (0) 3

Więcej na temat wykorzystania tego rozkładu w zakresie modelowanie skośności polskich szeregów finansowych znaleźć można w pracy [9]. Mniej popularną alternatywą pozostają na przykład rozkłady z rodziny hiperbolicznych. Alternatywne podejście sprowadza się do uzyskania rozkładów skośnych na bazie rozkładów symetrycznych. W ogólności, aby otrzymać skośny rozkład f ( z ) na bazie symetrycznego rozkładu g( z ), wykorzystuje się następujące przekształcenie (por. [8]): z z f ( z ψ ) = g I( z 0) + g I ( z< 0), () a ( ψ ) + b( ψ ) a ( ψ ) b( ψ ) gdzie a ( ψ ), b( ψ ) - odpowiednio dobrane funkcje normujące, ψ - parametr skośności. Najczęściej stosuje się następujące podstawienie ( ) a ξ ( ) = λ oraz b( λ ) a λ = + λ (por. [8]). = ξ oraz b( ξ ) = ξ, lub W ramach powyższej metody rozkłady skośne tworzone są najczęściej na bazie symetrycznego rozkładu t-studenta lub rzadziej rozkładu GED. Testowanie skośności rozkładu stóp zwrotu sprowadza się więc do zbadania, czy dla analizowanego szeregu parametr modelu odpowiadający za skośność warunkowego rozkładu ( δ, ξ, lub λ ) ma wartość istotnie różną od zera, lub alternatywnie czy model uwzględniający skośność w istotnie lepszy sposób dopasowuje się do danych empirycznych. Zwykle stosowane jest to drugie podejście, a do wyboru optymalnej postaci modelu (ze względu, iż są to modele zawierające się w sobie) wykorzystuje się test różnicy logarytmów funkcji wiarygodności (Likelihood Ratio Test-LRT) (por. [9]). Ostania z prezentowanych w tej pracy technik testowania skośności jest intuicyjnie najprostsza i pochodzi z pracy Peiro (por. [],[7]). Podstawową zaletą tego podejścia jest brak konieczności przyjęcia założenia o konkretnej postaci rozkładu stóp zwrotu lub o jego własnościach (np. skończoności momentów). Istota testu sprowadza się do podziału obserwacji na dwie podpróby i porównania, czy rozkłady w obu podpróbach (co do wartości bezwzględnej) są zgodne: { } { } y = y y y < y t t t y = y y y > y + t t t. () Porównania dokonuje się poprzez test zgodności rozkładów tak otrzymanych zmiennych, którym zazwyczaj jest test Kołmogorowa Smirnowa w wersji dla dwóch prób (por. [],[7]). Przykład empiryczny 4

Próbę do badań stanowiły szeregi prostych, dziennych stóp zwrotu liczonych na podstawie cen zamknięcia. Do analiz wybrano spółki, dla których szeregi stóp zwrotu miały w dniu badania (7.09.006) co najmniej 000 obserwacji. Analizie poddano więc 50 instrumentów (w tym wybrane indeksy). Wszystkie analizowane szeregi stóp zwrotu (celem porównywalności analizowanego okresu) skrócono do 000 obserwacji. Po 0.5% największych i najmniejszych stóp zwrotu przekształcono przyrównując je odpowiednio do kwantyla 0.5% i 99.5%, co pozwoliło zredukować wpływ szczególnie dużych, co do wartości bezwzględnej, obserwacji nietypowych będących często wynikiem błędów w bazach danych. Dla każdego z szeregów wykonano 4 testy skośności rozkładów: testy wykorzystujące statystyki zadane wzorami (3) i (4), test LRT dla modelu z warunkowym rozkładem Pearsona typu IV oraz test Kołmogorowa-Smirnowa dla dwóch podrób (por. wzór ()). Jednocześnie dla każdego modelu wyestymowano parametry modelu GARCH i sprawdzono warunki skończoności odpowiednich momentów rozkładu bezwarunkowego. Żadne z podejść nie jest wolne od pewnych problemów. Test wykorzystujący statystykę (3) nie jest uprawniony ze względu na grube ogony rozkładów, co skutkuje zwiększoną w stosunku do innych testów częstością odrzucania hipotezy o symetrii rozkładu. Statystyka (4) została co prawda opracowana przy założeniu, że grube ogony mogą występować, lecz wymaga istnienia skończonych momentów 6-tego i 4-tego rzędu. Tylko 4 spółki, na 50 analizowanych, spełniały warunki stałości tych momentów wyznaczone na podstawie wyestymowanych parametrów modelu GARCH(,) z warunkowym rozkładem t-studenta. Tymi spółkami były: TPSA, PKN Orlen, PEKAO oraz KGHM. W przypadku testu wykorzystującego warunkowy rozkład Pearsona typu IV problemem bywa konieczność maksymalizacji funkcji wiarygodności dla 6 parametrów i poszukiwania maksimum globalnego funkcji. Problemy wystąpiły także dla najprostszego testu sprowadzającego się do porównania rozkładów dla podprób uzyskanych dla danych powyżej i poniżej średniej (por. wzór ()). W polskich szeregach stóp zwrotu z akcji występuje wiele zerowych stóp zwrotu. Warto wyraźnie zaznaczyć, że nie jest to wynikiem braku notowań, a po prostu faktu, że cena się nie zmienił 3. W rozkładach stóp zwrotu obserwuje się bardzo wyraźny pik odpowiadający zerowym stopom zwrotu, który degeneruje rozkład i powoduje, że test w swej klasycznej wersji prowadzi do odrzucenia hipotezy o symetrii praktycznie dla wszystkich szeregów. Zaproponowano więc mody- Skończoność momentu -go zapewniana jest na etapie estymacji modelu. 3 Częstości występowania zerowych stóp zwrotu dla wybranych akcji: TALEX 3,30%, TIM 0,40%, TPSA,0%, TRASINTUR 0,40%, TUEUROPA 8,60%, TUP 0,60%, UNIMIL 0,70%, VISTULA 0,0%, WANDALEX 8,60%, WIG0 0,0%, WILBO,00%, WOLCZANKA 4,70%, YAWAL 6,70%, ZEG 5,90%, ZREW 5,0%. Dla pozostałych spółek wartości nie odbiegają od prezentowanych. 5

fikację testu i badano symetrię rozkładu wokół zerowych stóp zwrotu, co nie jest dużą ingerencją w istotę testu, gdyż średnia stóp zwrotu nieznacznie różni się od zera. Alternatywą byłoby wycięcie z próby zerowych stóp zwrotu. Problem zerowych stóp zwrotu w ostatnim podejściu obrazuje Rys.. Po modyfikacji brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy o równości rozkładów. Rys.. Porównanie rozkładów dla podprób (test klasyczny i jego modyfikacja) Źródło: obliczenia własne. Uzyskane wyniki dla wszystkich testów prezentuje Tabela. Wartość w tabeli oznacza, że dla danego szeregu i danego testu istniały podstawy do odrzucenia hipotezy o symetrii rozkładu. Oznaczenia kolumn z wynikami testów są następujące: P4 test wykorzystujący rozkład Pearsona typu IV, RS test na podstawie statystyki testowej zadanej wzorem (5), KS test Kołmogorowa-Smirnowa dla prób, JB test na podstawie (4). Na podstawie Tabeli. można zauważyć, iż poszczególne testy nie zawsze się wzajemnie potwierdzają. Test P4 prowadzi do odrzucenia hipotezy o symetrii dla 69 analizowanych szeregów, test RS dla 66, test KS 54, natomiast test JB dla 00. Tabela. Wyniki testów skośności dla wybranych szeregów. Spółka P4 RS KS JB Spółka P4 RS KS JB Spółka P4 RS KS JB ABG 0 HUTMEN 0 0 0 PGF 0 0 0 0 AGORA 0 0 0 0 HYDROBUD 0 0 0 0 PKNORLEN 0 0 0 0 ALCHEMIA 0 HYDROTOR POLIMEXMS ALMAMARKET IBSYSTEM 0 POLLENAE AMICA 0 0 0 0 IGROUP 0 POLNA 0 0 0 0 AMPLI 0 0 0 IMPEXMET POLNORD 0 0 0 APATOR INDYKPOL 0 0 PONARFEH 0 0 0 0 ARKSTEEL 0 0 0 0 INGBSK 0 0 PPWK 0 0 0 0 ATLANTIS 0 INSTAL 0 PROCHEM 0 BANKBPH 0 0 0 0 INSTALKRK 0 0 0 0 PROCHNIK BAUMA 0 INTERIA 0 PROJPRZEM 0 BEEFSAN 0 0 IRENA 0 0 0 PROKOM 0 0 0 0 BORYSZEW JUPITER 0 PROSPER 0 0 BOS 0 0 JUTRZENKA 0 PROVIMROL BRE 0 0 0 KABLE 0 PUE 0 BUDIMEX 0 KETY 0 0 0 0 RAFAKO 6

BUDOPOL 0 0 0 0 KGHM 0 0 0 RELPOL 0 0 0 BYTOM 0 0 0 KOGENERA 0 REMAK BZWBK 0 0 0 0 KOMPAP 0 0 0 0 ROPCZYCE 0 0 CENSTALGD KOPEX SANOK CERSANIT 0 KREDYTB 0 0 0 0 SANWIL 0 0 0 COMARCH KROSNO 0 0 SIMPLE COMPLAND 0 0 0 0 KRUK 0 0 0 0 SKOTAN CSS 0 0 0 KRUSZWICA 0 SOFTBANK 0 0 0 DEBICA 0 0 0 0 LENTEX 0 0 SPIN 0 0 0 0 ECHO 0 LPP 0 0 STALEXP 0 EFEKT 0 LUBAWA 0 0 STALPROD EKODROB 0 0 0 LZPS 0 0 0 0 STALPROFI ELBUDOWA MACROSOFT 0 STRZELEC 0 ELDORADO 0 0 0 MCI SUWARY 0 0 ELEKTRIM MENNICA 0 0 0 SWARZEDZ ELEKTROEX MIESZKO 0 0 SWIECIE 0 0 0 0 ELMONTWAR 0 MILLENNIUM 0 0 0 0 TALEX 0 0 0 ELZAB 0 0 MNI 0 TECHWIG 0 0 0 ENAP 0 MOSTALEXP TIM ENERGOPLD 0 0 MOSTALPLC 0 0 TPSA 0 0 0 ENERGOPN 0 MOSTALWAR 0 0 TRASINTUR 0 0 0 0 ENERGOPOL 0 0 0 0 MOSTALZAB 0 TUEUROPA 0 0 0 FARMACOL 0 0 MUZA 0 0 TUP 0 0 0 0 FERRUM 0 0 0 0 NAFTA 0 UNIMIL 0 0 0 0 FON 0 0 0 0 NETIA 0 0 0 VISTULA 0 0 0 FORTE 0 0 0 NFIEMF 0 0 WANDALEX 0 FORTISPL 0 0 0 NOVITA 0 0 0 0 WAWEL 0 0 0 GANT 0 ODLEWNIE 0 0 0 WIG0 0 0 0 0 GETIN 0 OPTIMUS 0 WILBO 0 0 0 0 GRAJEWO 0 0 0 ORBIS 0 0 0 WOLCZANKA 0 0 GROCLIN 0 0 PAGED 0 YAWAL 0 0 0 GRUPAONET PEKAO 0 0 0 0 ZEG 0 0 0 0 HANDLOWY 0 0 0 0 PEPEES 0 ZREW 0 0 HOGA PERMEDIA 0 0 0 0 ZYWIEC 0 0 0 Źródło: obliczenia własne. Tabela. prezentuje w zbiorczy sposób uzyskane wyniki. Wytłuszczone wartości przedstawiają liczbę szeregów, dla których testy prowadzą do zgodnych wniosków. Odrzucając test JB jako nieuprawniony, najwyższą zgodność wyników uzyskano pomiędzy testami oznaczonymi jako P4 i RS, a najniższą pomiędzy parą KS i RS. Tabela. Analiza wyników P4 RS KS 0 0 0 RS 5 5 0 8 66 KS 38 6 33 0 3 65 33 63 JB 64 36 66 34 43 57 0 5 45 0 50 39 Źródło: obliczenia własne Podsumowanie Na podstawie przedstawionych metod i badań stwierdzić można, że brak jest jednoznacznego standardu w jaki sposób testować skośność w rozkładach stóp zwrotu. Wyniki uzyskane dla szeregów z polskiej giełdy nie są jednoznaczne i zależą od wyboru metody testowania skośności. Można przyjąć jednak, że w około 4% analizowanych przypadków mamy do 7

czynienia z rozkładami niesymetrycznymi. Prawidłowe zidentyfikowanie spółek, dla których obserwuje się skośność w szerach stóp zwrotu może prowadzić do poprawy procedur zarządzania portfelem lub pomiaru ryzyka, co powinno skutkować wymiernymi korzyściami ekonomicznymi. Niezbędne wydają się jednak dalsze badania nad testowaniem skośności rozkładów stóp zwrotu zarówno w obszarze teorii, jak i badań empirycznych ze szczególnym uwzględnieniem specyfiki rynku polskiego (duża liczba zerowych stóp zwrotu). Literatura [] Asai M., Dashzeveg U., 006, Distribution-Free Test for Symmetry with an Application to S&P Index Returns, http://office.soka.ac.jp/faculty/economics/dp/004.pdf [] Bera A., Premaratne G., 00, Adjusting the Tests for Skewness and Kurtosis for Distributional Misspecifications, www.business.uiuc.edu/working_papers/papers/0-06.pdf [3] Brys, G., Hubert, M., Struyf, A. (003), A comparison of some new measures of skewness, wis.kuleuven.be/stat/papers/skewicors00.pdf [4] Godfrey L., Orme C., (99), Testing for skewness of regression distribuances, Economic Letters, 37, 3-34 [5] He C., Teräsvirta T. (999). Properties of moments of a family of GARCH processes, Journal of Econometrics 9: 73-9. [6] Kim T., White H., 003, On more Robust Estimation of Skewness and Kurtosis: simulation and Application to the S&P500 Index, Finance Research Letters,, 56-70 [7] Peiro A. (999). Skewness in financial returns. Journal of Banking & Finance, 6, 847-86 [8] Piontek K., 005a, Modelowanie własności szeregów stóp zwrotu skośność rozkładów, Ekonometria 5, PN nr 096 AE we Wrocławiu, 97-308 [9] Piontek K., 005b, Wykorzystanie warunkowego rozkładu Pearsona typu IV w modelowaniu skośności i leptokurtozy rozkładów stóp zwrotu, Taksonomia, PN nr 076 AE we Wrocławiu, 434-443 8

Krzysztof Piontek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Pomiar i testowanie skośności rozkładów stóp zwrotu instrumentów finansowych Streszczenie Pomimo, iż skośność rozkładów stóp zwrotu stała się elementem wielu modeli finansowych, problem mierzenia i testowania skośności rozkładów stóp zwrotu pozostaje nadal zagadnieniem otwartym. Artykuł w skrótowy sposób prezentuje trzy wybrane metody testowania skośności i sygnalizuje możliwe do napotkania problemy. Przedstawiono zmodyfikowany test Jacque-Bera, test oparty na modelu GARCH ze skośnym warunkowym rozkładem reszt oraz wolny od założeń o postaci rozkładu test zaproponowany przez Peiro. W części empirycznej przebadano łącznie 50 szeregów stóp zwrotu z akcji wybranych spółek i indeksów. W około 4% przypadków testy potwierdziły skośność rozkładów. Measuring and Testing of Skewness for Financial Return Distributions Summary The presumption of skewness in financial returns is implicitly or explicitly assumed in many financial models. However, the possible skewness of the unconditional distribution of stock or index returns is still an open question. In this paper, three different approaches are briefly reviewed and their properties discussed in the relevance of testing skewness in the whole return distribution: the adjusted Jacque-Bera test, the test based on the GARCH(,) model with the conditional Pearson type IV distribution and the distribution free test for skewness by Peiro. In the empirical part of the paper, 50 Polish financial series are examined. The results received from our research proved that about 4% of financial distributions are asymmetric. 9