Analiza wpływu obciążeń dynamicznych na zachowanie się lepko-sprężystego modelu nawierzchni drogowej

ZBICIAK Artur 1 BRZEZIŃSKI Karol 2 MICHALCZYK Rafał 3 Analiza wpływu obciążeń dynamicznych na zachowanie się lepko-sprężystego modelu nawierzchni drogowej WSTĘP Określenie stanu odkształcenia i naprężenia w konstrukcji nawierzchni drogowej, wywołanego czynnikami zewnętrznymi, jest kluczowe w procesie projektowania oraz diagnostyce nawierzchni podatnych i półsztywnych. Warunkiem zapewnienia trwałości w całym okresie eksploatacji drogi jest wymaganie, aby w konstrukcji nie zostały przekroczone stany graniczne nośności i przydatności do użytkowania. Liczba obciążeń, jaką może przenieść konstrukcja nawierzchni do wystąpienia stanu granicznego nazywa się trwałością zmęczeniową. Wykorzystywane obecnie metody przewidywania tej trwałości możemy podzielić na dwie kategorie: empiryczne i mechanistyczno-empiryczne [4, 12]. Metody empiryczne opierają się na wynikach badań lub doświadczeniu z lat ubiegłych. Związki pomiędzy parametrami, jakie brane są pod uwagę w procesie projektowania drogi, a jej trwałością, uzyskano na podstawie wieloletnich obserwacji. Wadą takiego podejścia jest ograniczony zakres zastosowań. Jeżeli warunki, dla jakich projektowana jest droga różnią się od warunków, przy jakich dokonano obserwacji i wysnuto wnioski, metoda jest nieprzydatna i należy opracować nową, przyjmując oraz sprawdzając na drodze doświadczeń nowe relacje. Metody mechanistyczno-empiryczne projektowania nawierzchni podatnych opierają się na założeniach mechaniki ciała stałego, które wykorzystuje się w procedurze wyznaczania stanu naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia konstrukcji w zależności od obciążeń i własności materiałów, z jakich zbudowana jest droga. Określenia trwałości zmęczeniowej nawierzchni dokonuje się porównując stan naprężeń i odkształceń z wynikami badań eksperymentalnych dotyczących właściwości materiałów konstrukcyjnych i podłoża gruntowego. W wyniku tych porównań określa się liczbę cykli obciążenia, po których nastąpi uszkodzenie nawierzchni. Zaletą tej metody, w porównaniu z czysto empirycznym podejściem, jest możliwość uwzględnienia szerszej gamy warunków projektowych. Można wyróżnić dwa kryteria zmęczeniowe będące podstawą metody mechanistycznoempirycznej. Pierwsze z nich zakłada, że w wyniku powtarzalnych obciążeń od kół pojazdów samochodowych dolne warstwy asfaltowe, gdzie występują odkształcenia rozciągające, ulegają spękaniom wskutek zmęczenia materiału. Drugie z kryteriów dotyczy deformacji trwałych, jakie powstają w wyniku akumulacji odkształceń nieodwracalnych w górnej warstwie podłoża gruntowego. Prowadzi to do powstania kolein strukturalnych na powierzchni. Zarówno kryterium spękań zmęczeniowych warstw asfaltowych jak i kryterium deformacji trwałych może być powiązane z odkształceniami różnymi zależnościami. Do najbardziej znanych zalicza się metody Shella, Instytutu Asfaltowego, Uniwersytetu w Nottingham i Centrum Badań Drogowych w Belgii [12, 15]. Wszystkie one zostały oparte na wynikach badań laboratoryjnych mieszanek mineralno-asfaltowych (MMA), które mają własności lepkosprężyste, w typowych zakresach temperatur i obciążeń mechanicznych, jakim poddane są nawierzchnie. Mimo to przy wyznaczaniu stanu odkształcenia nawierzchni, zwykle zakłada się, że warstwy modelu zbudowane są 1 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej, Instytut Dróg i Mostów; 00-637 Warszawa; Al. Armii Ludowej 16, Tel: +48 22 825 35 72, Fax: +48 22 825 89 46, a.zbiciak@il.pw.edu.pl 2 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej, Instytut Dróg i Mostów; 00-637 Warszawa; Al. Armii Ludowej 16, Tel: + 48 663-440-368, karol.brze@gmail.com 3 Politechnika Warszawska, Wydział Inżynierii Lądowej, Instytut Dróg i Mostów; 00-637 Warszawa; Al. Armii Ludowej 16, Tel: +48 22 825 35 72, Fax: +48 22 825 89 46, r.michalczyk@il.pw.edu.pl 7037

z materiału sprężystego [5, 6, 9]. Jest to uproszczenie mogące mieć znaczący wpływ na uzyskiwane wyniki trwałości konstrukcji. Ten sam problem spotykany jest w diagnostyce nawierzchni, w tzw. zagadnieniu odwrotnym, polegającym na określeniu właściwości warstw asfaltowych na podstawie znanego stanu przemieszczenia pod określonym obciążeniem. Jednym z urządzeń diagnostycznych pozwalającym na zadanie obciążenia i jednoczesną rejestrację stanu przemieszczenia nawierzchni jest FWD (ang. Falling Weight Deflectometer). Obciążenie realizowane jest w sposób dynamiczny i mimo niewielkiej masy uzyskiwane są ugięcia porównywalne z długotrwałym (30 s) obciążeniem od koła pojazdu ciężarowego. Ponieważ czas obciążenia jest istotnym czynnikiem wpływającym na odkształcenia modeli reologicznych, w zadaniach dynamicznych uwydatniają się różnice pomiędzy wynikami uzyskanymi dla materiałów sprężystych i lepko-sprężystych. Badania, których wyniki przedstawiono w artykule, miały na celu analizę wpływu obciążeń dynamicznych na zachowanie się lepkosprężystego modelu nawierzchni drogowej. W tym celu wykonano obliczenia metodą elementów skończonych (MES). Zidentyfikowane zostały niektóre problemy, na jakie napotkano w trakcie rozpatrywania niniejszego zagadnienia oraz sposoby ich rozwiązania. 1. ANALIZA MES Dynamiczne obciążenia nawierzchni drogowych mogą mieć bardzo zróżnicowany charakter: przejazd koła z różną prędkością, zmienny nacisk wywołany drganiami pojazdu, uderzenia od urządzeń diagnostycznych. Właściwe przeanalizowanie omawianego problemu wymaga dobrego wstępnego rozpoznania. Należy określić, przy jakich obciążeniach ujawnią się lepkosprężyste właściwości materiałów, mające istotny wpływ na otrzymywane wyniki. Kluczowym elementem badania jest przyjęcie odpowiedniego matematycznego modelu konstrukcji drogowej. Nawierzchnia może być traktowana jako układ warstw o określonej grubości na podłożu gruntowym o nieskończonej grubości. Tak sformułowany warstwowy model może być analizowany przy zastosowaniu metod przybliżonych. Najpopularniejszą z nich jest obecnie metoda elementów skończonych (MES), umożliwiająca znalezienie rozwiązania poprzez dyskretyzację zagadnienia ciągłego (względem zmiennych przestrzennych) i uproszczenie problemu początkowobrzegowego opisanego równaniami różniczkowymi cząstkowymi do postaci opisanej równaniami algebraicznymi. Zastosowanie tej przybliżonej metody, oferuje możliwość analizowania układów o dowolnej geometrii i własnościach materiałowych, opisanych relacjami konstytutywnymi bardziej skomplikowanymi niż liniowa sprężystość. W niniejszej pracy przedstawiono techniki, pozwalające na efektywne wykorzystanie MES w zagadnieniach dynamicznych oddziaływań na nawierzchnię. 1.1. Implementacja modelu materiału lepkosprężystego Właściwości konstytutywne MMA można opisać za pomocą różnych modeli reologicznych, w zależności od typu analizy. Przykładem może być lepkosprężysty model Burgersa wykorzystywany do opisania procesu pełzania materiałów asfaltowych. W niniejszej analizie, wymagającej wyznaczenia stanów przemieszczeń, naprężeń i odkształceń pod obciążeniem dynamicznym, konieczne jest zastosowanie bardziej złożonego modelu mechanicznego, który opisuje właściwości MMA w pełnym zakresie częstotliwości [13, 14]. Przykładem takiego modelu jest uogólniony model Maxwella, którego funkcja relaksacji jest opisana za pomocą tzw. szeregu Prony ego [2, 7, 10]. W dalszej części pracy będziemy zamiennie używać nazwy model Prony ego i uogólniony model Maxwella, ze względu na podwójne nazewnictwo stosowane w literaturze. Konfiguracja struktury reologicznej analizowanego modelu powstaje przez równoległe połączenie N+1 gałęzi (N gałęzi Maxwella i jedna sprężyna) jak pokazano na rys. 1. 7038

Rys. 1. Struktura reologiczna modelu Prony ego Relację konstytutywną liniowego modelu lepko-sprężystego można zapisać w następującej postaci (przy założeniu zerowych warunków początkowych) [2, 11] t g( t ) d (1) 0 gdzie jądro operatora całkowego, funkcja g (t), jest funkcją relaksacji opisującą odpowiedź materiału na jednostkowy skok odkształcenia. W programie MES Abaqus, który wykorzystamy do przeprowadzenia obliczeń komputerowych, materiały lepko-sprężyste można definiować podając bezwymiarową funkcję relaksacji w postaci wspomnianego szeregu Prony ego g R n G P t / t 1 gi 1 e i (2) i 1 Bardziej wyczerpujący opis zagadnień związanych z implementacją modelu lepkosprężystego w programie Abaqus, zawarto w pracach [7, 8]. Tab. 2. Charakterystyczne parametry mieszanek zastosowanych do poszczególnych warstw asfaltowych Warstwa ν E 0 [Pa] ścieralna 0,3 5,499e+10 wiążąca 0,3 5,392e+10 podbudowa 0,3 5,125e+10 Na podstawie danych literaturowych [1] uzyskano parametry modelu materiałowego mieszanki mineralno-asfaltowej o 5% zawartości lepiszcza AAM-1, którego właściwości reologiczne odpowiadają asfaltom drogowym stosowanym w Polsce. Na tej podstawie wyznaczono stałe bezwymiarowej funkcji relaksacji. Zastosowany model składa się z 11. gałęzi Maxwella oraz jednej sprężyny. W celu pełnego zdefiniowania właściwości lepkosprężystych materiału, w programie Abaqus należy również podać wartość współczynnika Poissona (ν) i modułu Younga (E 0 ) opisujące natychmiastową odpowiedź materiału na nagłe obciążenie. Powyższe parametry dobrano tak, aby w próbie pełzania moduły sztywności Van Der Poela, po 0,02 s obciążenia wynosiły: mieszanka do warstwy ścieralnej 10 300 MPa, mieszanka do warstwy wiążącej 10 100 MPa, mieszanka do warstwy podbudowy 9 600 MPa. Powyższe wartości odpowiadają właściwościom mieszanek przyjętym do projektowania konstrukcji Katalogu typowych konstrukcji nawierzchni podatnych i półsztywnych [5], w temperaturze ekwiwalentnej 10 C. Dzięki temu uzyskane wyniki będzie można odnieść do typowych konstrukcji. Stałe bezwymiarowej funkcji relaksacji przedstawiono w tabeli 1, natomiast pozostałe parametry charakterystyczne dla poszczególnych warstw asfaltowych w tabeli 2. 7039

Tab. 1. Stałe bezwymiarowej funkcji relaksacji τ i [s] g i p 2,20e-5 0,213560 2,20e-4 0,296917 2,20e-3 0,238360 2,20e-2 0,139158 2,20e-1 0,087491 2,20e+0 0,018738 2,20e+1 0,004540 2,20e+2 0,000999 2,20e+3 0,000105 2,20e+4 0,000049 2,20e+5 0,000004 W celu weryfikacji poprawności przyjętych założeń przeprowadzono test quasi-statycznego rozciągania prostego na sześciennej próbce materiału o jednostkowych wymiarach. Na rys. 2 przedstawiono porównanie wyników dla materiału sprężystego i lepkosprężystego wykorzystywanego do zamodelowania warstwy ścieralnej. Rys. 2. Odkształcenie materiału sprężystego i lepkosprężystego w teście quasi statycznego rozciągania prostego Stwierdzono, że odkształcenia modelu lepkosprężystego, uzyskane w czasie 0,02 s, odpowiadają odkształceniom porównawczego modelu sprężystego o zadanych modułach sztywności Van Der Poela. 1.2. Geometria modelu nawierzchni Modelem najczęściej stosowanym do wyznaczania stanu odkształcenia i naprężenia nawierzchni drogowych jest układ izotropowych i jednorodnych warstw sprężystych spoczywających na półprzestrzeni sprężystej [3]. W zagadnieniach statycznych, można takie zadanie w efektywny sposób przybliżyć modelem osiowo-symetrycznym MES o stosunkowo niewielkich wymiarach (ok. 4-5 m). Brzegi modelu podparte są w sztywny sposób, co nie ma dużego znaczenia w przypadku zadania statycznego, natomiast w zagadnieniach dynamicznych istotnie wpływa na uzyskiwane wyniki. Niewłaściwe przyjęcie warunków brzegowych może spowodować powstanie zjawiska odbicia fali, a w konsekwencji wprowadzić nawierzchnię w drgania, które nie wystąpiłyby w warunkach 7040

rzeczywistych. Pewnym rozwiązaniem może być zwiększanie wymiarów modelu w taki sposób, aby czas propagacji fali był dłuższy od czasu analizy. Niestety przy dłuższym czasie analizy rozmiar modelu może wpłynąć na znaczne obniżenie efektywności obliczeniowej rozwiązania. Na potrzeby niniejszej pracy zastosowano bardziej subtelną technikę modelowania, dostępną w programie Abaqus, wykorzystującą elementy nieskończone. Ich zastosowanie na brzegu modelu pozwala na odebranie energii fali, co lepiej odzwierciedla warunki, w których pracuje rzeczywista nawierzchnia. Na rys. 3 przedstawiono przykładowe sposoby ograniczenia modelu nawierzchni, które zostały wykorzystane w obliczeniach. Rys. 3. Przykładowe sposoby ograniczenia modelu nawierzchni: a) brzegi utwierdzone, b) brzeg dolny ograniczony elementami nieskończonymi 1.3. Zastosowane modele fizyczne i obliczeniowe Jako punkt wyjścia do analizy przyjęto konstrukcję nawierzchni z Katalogu [5] przy założonej kategorii obciążenia ruchem KR4 i grupie nośności podłoża G1. Obciążenie od koła pojazdu ciężarowego zostało zrealizowane w postaci ciśnienia o wartości 650 kpa rozłożonego na powierzchni koła o średnicy 0,1565 m, co odpowiada naciskowi 100 kn na oś. Przyjętą konstrukcję i sposób obciążenia przedstawiono na rys. 4. Rys. 4. Przyjęta konstrukcja nawierzchni i sposób jej obciążenia W celu przeanalizowania wpływu obciążenia dynamicznego na zachowanie się lepkosprężystego modelu nawierzchni przeprowadzono obliczenia MES w kilku wariantach. Zastosowano podstawowy model osiowo-symetryczny o wymiarach jak na rys. 3. Podłoże i podbudowę z mieszanki 7041

niezwiązanej (kruszywo stabilizowane mechanicznie), w każdym wariancie stanowiły warstwy sprężyste o współczynniku Poissona 0,3 i modułach Younga odpowiednio 100MPa i 400MPa. Lepkosprężyste właściwości pakietu warstw asfaltowych przyjęto zgodnie z procedurą opisaną w punkcie 1.1. Natomiast sprężyste moduły sztywności zależały od czasu analizy. Przykładowe moduły sztywności warstw asfaltowych przedstawiono w tabeli 3. Tab. 2. Charakterystyczne parametry mieszanek zastosowanych do poszczególnych warstw asfaltowych Warstwa ścieralna wiążąca podbudowa S [Pa] 1,908e+9 1,871e+9 1,778e+9 Ponadto w obliczeniach uwzględniono różne sposoby ograniczenia modelu, zarówno o brzegach podpartych jak i z zastosowaniem elementów nieskończonych. Pozwoliło to na określenie w jaki sposób nieprawidłowe podparcie wpływa na zaburzenie wyników uzyskanych w analizie dynamicznej. 2. WYNIKI ANALIZY W toku analizy zbadano odpowiedź konstrukcji przy zastosowaniu różnych modeli konstytutywnych warstw asfaltowych, czasach obciążenia i sposobach ograniczenia brzegu. Dodatkowo rozpatrywano dwa warianty analizy: analiza quasi-statyczna (bez uwzględnienia sił bezwładności); analiza dynamiczna (przy uwzględnieniu sił bezwładności). W kolejnych puntach zostanie zaprezentowana część rezultatów obrazujących wpływ ww. czynników na wyniki obliczeń. Na wykresach będą prezentowane przebiegi czasowe ilustrujące historię przemieszczeń pionowych charakterystycznego punktu nawierzchni, zlokalizowanego na osi symetrii, na powierzchni warstwy ścieralnej. 2.1. Wpływ warunków brzegowych Zgodnie z przewidywaniami, w przypadku sztywnego utwierdzenia brzegów modelu nawierzchni, przyłożone obciążenie wywołuje drgania konstrukcji, których amplitudy wynikają z nałożenia efektu drgań powierzchniowych z efektem odbicia fali (rys. 5). Ten drugi efekt należy wyeliminować, gdyż jest on implikowany niewłaściwymi warunkami brzegowymi, umożliwiającymi odbicie fali. Jak widać na rys. 5, model drga wokół położenia równowagi wyznaczonego przez wynik obliczeń quasi- statycznych. Rys. 5. Ugięcie nawierzchni w osi obciążenia (wyniki dla modelu konstrukcji o brzegach utwierdzonych por. rys. 3a) 7042

2.2. Wpływ dynamicznego obciążenia W przypadku zastosowania elementów nieskończonych wyeliminowano drgania wynikające ze zjawiska odbicia fali od brzegów modelu. Z porównania wyników ugięcia nawierzchni, w analizie dynamicznej i quasi-statycznej, wpływ dynamicznego obciążenia ujawnia się w początkowej fazie obciążenia (patrz rys. 6). Jest to spowodowane bezwładnością konstrukcji, która w obliczeniach statycznych jest pomijana. Bardziej zjawisko to zarysowuje się w przypadku modelu sprężystego, ponieważ model lepkosprężysty, w początkowej fazie analizy, wykazuje dużo większą sztywność, zatem tłumi efekt dynamiczny. Rys. 6. Ugięcie nawierzchni w osi obciążenia (model z zastosowaniem elementów nieskończonych), czas analizy 1s Zestawienie wyników analogicznych obliczeń w krótszym czasie analizy (0,02 s) pozwala ocenić w jakim stopniu bezwładność konstrukcji wpływa na powstające deformacje. Ugięcie maksymalne pod koniec analizy, zarówno w przypadku nawierzchni sprężystej, jak i lepkosprężystej, jest większe niż wynika to z obliczeń quasi statycznych. Rys. 7. Ugięcie nawierzchni w osi obciążenia (model z zastosowaniem elementów nieskończonych), czas analizy 0,02 s Ugięcia modelu lepkosprężystego i sprężystego w analizie dynamicznej są bardziej zbliżone niż ma to miejsce w przypadku różnych analiz (quasi-statycznej i dynamicznej) z zastosowaniem tego samego modelu materiału (lepkosprężysty). Może to świadczyć o dominującej roli efektu dynamicznego przy czasie obciążenia 0,02 s. Zatem ma on istotny wpływ na stan odkształcenia nawierzchni. 7043

WNIOSKI Przeprowadzona analiza wpływu obciążeń dynamicznych na zachowanie się lepkosprężystego modelu nawierzchni drogowej miała na celu określenie, w jakim stopniu uwzględnienie przyjętych założeń wpływa na uzyskiwane wyniki. W pracy zwrócono uwagę na dobór sprawnego narzędzia do przeprowadzenia obliczeń oraz właściwe jego wykorzystanie. Przykłady pokazały, że podobnie jak w laboratorium, przeprowadzając symulację komputerową należy dogłębnie przeanalizować naturę badanych zjawisk aby zbyt pochopnie nie zinterpretować błędnych wyników. Na podstawie przeprowadzonych obliczeń wyciągnięto wnioski dotyczące, zarówno wpływu dynamiki obciążenia, jak i zastosowanego modelu materiałowego. Nie da się jednoznacznie określić, które z wymienionych zjawisk jest dominujące. Zależy to głównie od zastosowanych parametrów materiałowych i czasu obciążenia. Niewątpliwie jednak w zagadnieniach dynamicznych zaleca się stosowanie lepkosprężystych modeli materiałowych w odniesieniu do warstw asfaltowych. Nie ma wówczas konieczności przewidywania modułu sztywności. Odpowiedź materiału jest powiązana z czasem obciążenia poprzez relację konstytutywną, która ma formę równania różniczkowego albo całkowego względem czasu. Jest to szczególnie korzystne w przypadku zjawisk o gwałtownym, impulsowym przebiegu i trudnym do określenia czasem oddziaływania. Przykładem jest dynamiczne obciążenie od urządzenia diagnostycznego FWD albo obciążenie impulsowe od kół pojazdów wywołane nierównościami i progami na nawierzchni. Wnioski niniejszej pracy mogą posłużyć przeprowadzeniu zawężonej, szczegółowej analizy interpretacji wyników tego typu urządzeń. Streszczenie Głównym celem pracy jest analiza wpływu obciążeń dynamicznych na zachowanie się lepko sprężystego modelu nawierzchni drogowej. W tym celu przeprowadzono obliczenia metodą elementów skończonych. Omówiono dobór parametrów oraz sposób implementacji materiałów lepkosprężystych w programie ABAQUS. Przedstawiono specyficzne dla analizy zjawisko odbicia fali w skończonym modelu nawierzchni oraz jego wpływ na zaburzenie wyników. W kolejnym etapie analizy wyeliminowano drgania wywołane odbiciem fali stosując elementy nieskończone. Przeprowadzono właściwe obliczenia przyjmując różne wartości czasu obciążenia, parametrów materiałowych oraz sposoby analizy (dynamiczna i quasi statyczna). Spośród uzyskanych wyników przedstawiono i porównano przebieg w czasie przemieszczenia pionowego charakterystycznego punktu nawierzchni zlokalizowanego w osi obciążenia, na powierzchni warstwy ścieralnej. Na tej podstawie wyciągnięto wnioski dotyczące zarówno wpływu dynamiki obciążenia jak i lepkosprężystych właściwości nawierzchni. Ponadto wskazano możliwe pola wykorzystania niniejszej analizy jak i zalecenia dotyczące modelowania zagadnień dynamicznych. Analysis of dynamic loadings on the behavior of viscoelastic model of road pavement Abstract The main goal of the paper is to analyze the effect of dynamic loadings on the behavior of visco-elastic model of road asphalt pavement. Finite Element Method calculations were carried out for this purpose. The problem of material parameters calibration as well as the method of viscoelastic material model implementation in FEM Abaqus code were discussed. A specific problem of the wave reflection in the FE model and its effect on the raw results was also presented. In the next stage of the analysis the vibration effect caused by the reflection of the wave was eliminated by use of infinite elements. Appropriate calculations were performed assuming different values of the loading time, material parameters and the methods of analysis (dynamic and quasi-static). Among the results being obtained time history graphs of vertical displacements of the point located along the axis of symmetry at the top of wearing course were visualized. The conclusions concerning both the impact of the load dynamics and viscoelastic properties of the pavement materials were formulated. The possible applications of the analysis as well as recommendations concerning dynamic modelling were also given. 7044

BIBLIOGRAFIA 1. Araújo Jr. P.C., Soares J.B., Holanda A.S., Parente Jr. E., Evangelista Jr. F., Dynamic Viscoelastic Analysis of Asphalt Pavements using a Finite Element Formulation. Road Materials and Pavement Design 2010, 11(2), 409-433. 2. Christensen R.M., Theory of Viscoelasticity. Academic Press, New York 1982. 3. Firlej S., Mechanika nawierzchni drogowej. Petit s.c., Lublin 2007. 4. González S.M., Huamán A.O., Diseño moderno de pavimentos asfálticos. ICG, Lima 2006. 5. Katalog typowych konstrukcji nawierzchni podatnych i półsztywnych. GDDP, IBDiM, Warszawa 1997. 6. Katalog wzmocnień i remontów nawierzchni podatnych i półsztywnych. GDDP, IBDiM, Warszawa, 2001. 7. Marques S. P. C., Creus G. J., Computational Viscoelasticity. Springer, Heidelberg 2012. 8. Michalczyk R., Implementation of generalized viscoelastic material model in Abaqus code. Logistyka 2011, nr 6, 2883-2890. 9. Michalczyk R., Zbiciak A., Wyznaczanie stanów naprężeń i odkształceń w mechanistycznym projektowaniu nawierzchni podatnych. Polish-Ukrainian-Lithuanian Transactions Theoretical Foundations of Civil Engineering 2011, 19, 173-178. 10. Mottahedi M., Dadalau A., Hafla A., Verl A., Numerical analysis of relaxation test based on Prony series material model. SimTech Issue, No.1, Stuttgart 2010. 11. Nowacki W., Teoria pełzania. Arkady, Warszawa 1963. 12. Piłat J., Radziszewski P., Nawierzchnie asfaltowe. WKŁ, Warszawa 2003. 13. Zbiciak A., Mathematical description of rheological properties of asphalt-aggregate mixes. Bulletin of the Polish Academy of Sciences: Technical Sciences 2013, 61(1), 65-72. 14. Zbiciak A., Identification of viscoelastic properties of asphalt-aggregate mixes using classical and fractional rheological models. Teoretyczne podstawy budownictwa, tom I: Mechanika materiałów i konstrukcji, 63-72. OWPW, Warszawa 2012. 15. Zbiciak A., Brzeziński K., Porównanie procedur projektowania nawierzchni podatnych i półsztywnych na podstawie starego i nowego polskiego katalogu typowych konstrukcji. Monografia Wydziału Inżynierii Lądowej, tom III Konstrukcje inżynierskie, 103-114, OWPW, Warszawa 2013. 7045