Technical University of Rzeszów Department of Geodesy and Geotechnics of K. Weigel name Seminarium Komitetu Geodezji PAN i Wydział Geodezji i Kartografii PW pt. Współczesne problemy podstawowych osnów geodezyjnych w Polsce. Grybów 14-16 września 2016 Roman J. Kadaj Wyrównanie sieci kombinowanej (hybrydowej), złoŝonej z wektorów GNSS i terra-obserwacji, w układzie elipsoidalnym. [Adjustment of a combined (hybrid) network, including GNSS vectors and terraobservations, in the ellipsoidal frame] Modele funkcjonalne i stochastyczne sieci kombinowanych i ich ocena. Próba określenia optymalnego modelu funkcjonalnego. Równania obserwacyjne. Testy numeryczne.
Streszczenie Referat przedstawia nowe ujęcie problematyki wyrównania sieci kombinowanych w układzie elipsoidalnym. W przeciwieństwie do stosowanych w praktyce aplikacji, nie ma potrzeby przekształcania wektorów GNSS w pseudo-obserwacje, jak np. parametry linii geodezyjnych. Tworzy się model funkcjonalny sieci, w którym składowe wektora kartezjańskiego GNSS wyraŝa się bezpośrednio w funkcji współrzędnych geodezyjnych. Obok naziemnych sieci poziomych, do układu obserwacyjnego mogą być dołączone niwelacje klasyczne przy wykorzystaniu numerycznego modelu quasi-geoidy (geoidy) wpasowanej w osnowę satelitarno-niwelacyjną. Wyrównanie sieci jest nieliniowym zadaniem najmniejszych kwadratów, do czego stosuje się zwykle iteracyjną procedurę Gaussa-Newtona. Wykonano testy porównawcze algorytmów na sieci GNSS o bokach kilkusetkilometrowych.
Warianty wyrównanie sieci na elipsoidzie lub na płaszczyźnie odwzorowania GNSS wektory Przekształcenie Pseudo-obserwacje R = ( X, Y, Z) Geodesic (E(f(R (0) )), E(f(R (0) + R))) [e.g.: Leick 2004; Kadaj,1997,1998] Geodesic 2D +1D vector G = (α, s, h) G + ε = G (0) + dg 1 R = ( X, Y, Z) Geodetic 2D +1D vector Geodetic differences [e.g. Thomson 1976] E = ( B, L, h ) E = E(f(R (0) + R)) E(f(R (0) )) E + ε = E (0) + d( T) 2 R = ( X, Y, Z) Mapping(E(f(R (0) )), E(f(R (0) + R))) [Gajderowicz, 1997; Gargula, 2010] Cartesian 2D +1D vector T = ( x, y, h) T + ε = T (0) + d( T) 3 GNSS wektor w funkcji współrzędnych płaskich x, y, wysokości H i parametrów transformacji pomiędzy układami. Współczynniki równań zlinearyzowanych (pochodne) wyznacza się numerycznie [Daxinger and Stirling, 1995; Strauss and Walter, 1993; Strehle,1996] 4 Originalny GNSS wektor jako funkcja współrzędnych elipsoidalnych B, L, h [Kadaj, 2016b] R ij + ε ij = Φ (E j ) Φ(E i ) = Φ(E j (0) ) Φ(E i (0) ) + a j de j a i de i = a j de j a i de i 5 de = (db, dl, dh), gdzie db, dl długości małych łuków południka i równoleŝnika
Konwersja wektora GNSS na pseudo-obserwacje GNSS vector ( X ij, Y ij, Z ij ) Elipsoida referencyjna i topo-surface j Płaszczyzna odwzorowania h i H i quasi-geoid H j h j j ζ i ellipsoid ζj j α ij s ij B ij x ij i L ij ( s, α, h ) ( B, L, h) ( x, y, h) i y ij R s s δ δ (s / R s ) a θ b s θ δ = b a a ; b cos(θ) δ [1 cos(θ)] = = 2 sin 2 (θ/2) δ ( /2) (s/r s ) 2
Sieci szczegółowe (powiatowe) wyrównywane w latach 2001-2015 jako sieci hybrydowe (oznaczone kolorem niebieskim) lub jako sieci klasyczne (kolorem zielonym), programami systemu GEONET przez ALGORES-SOFT w Rzeszowie. Sieci klasyczne (26) Sieci hybrydowe (57)
Wybrane przykłady sieci hybrydowych Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie bialskim-podlaskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktów sieci LP = 11329 Liczba stalych punktów nawiazania LSS = 453 Liczba ruchomych punktów nawiazania LSR = 22 Liczba obserwacji kątowych LKA = 12985 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LPK = 0 Liczba azymutów topograficznych LAZT = 299 Liczba azymutów geodezyjnych LAZG = 2055 Liczba dlugosci klasycznych LD = 12135 Liczba dlugosci GPS LDG = 2055 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = 22658 Liczba równań obserw. i pseudo-obs. M = 30479 Liczba elementów nadwymiarowych NW = 7821 µp = 0.030 m (przeciętny błąd połoŝenia punktu sieci) Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie mińskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 9314 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 500 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 461 Liczba obserwacji katowych LKA = 10508 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LPK = 188 Liczba obserwacji kierunkowych LK = 717 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 433 Liczba azymutow geodezyjnych LAZG = 1632 Liczba dlugosci klasycznych LD = 9552 Liczba dlugosci GPS LDG = 1632 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = 18816 Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = 26396 Liczba elementow nadwymiarowych NW = 7580 µp = 0.037 m
(c.d. przykładów sieci hybrydowych) Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie jarosławskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 7036 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 295 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 60 Liczba punktow wyznaczanych LR = 6681 Liczba obserwacji katowych LKA = 6683 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LST = 1922 Liczba obserwacji kierunkowych LKI = 6739 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 43 Liczba azymutow geodezyjnych (GPS) LAZG = 34 Liczba dlugosci klasycznych LD = 9440 Liczba dlugosci GPS LDG = 34 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = 15994 Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = 23683 Liczba elementow nadwymiarowych NW = 7689 µp = 0.034 m Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie mławskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 8876 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 306 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 128 Liczba punktow wyznaczanych LR = 8570 Liczba obserwacji katowych LKA = 5944 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LST = 1720 Liczba obserwacji kierunkowych LKI = 7321 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 96 Liczba azymutow geodezyjnych (GPS) LAZG = 268 Liczba dlugosci klasycznych LD = 13183 Liczba dlugosci GPS LDG = 268 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = 17140 Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = 25488 Liczba elementow nadwymiarowych NW = 8348 µp = 0.022 m
Sieć realizacyjna o strukturze hybrydowej dla II linii metra w Warszawie. Wyrównanie sieci w systemie GEONET po przekształceniu wektorów GPS w pseudo-obserwacje w postaci wektorów linii geodezyjnych Liczba punktów wyznaczanych lp = 166 Przeciętny błąd połoŝenia (w łuku) Mp(sr) = 0.0042 m Maksymalny błąd połoŝenia (w łuku) Mp(max) = 0.0075 m
Formuły skalarne równań poprawek wektora GNSS w układzie elipsoidalnym (preferowana metoda) v ij (X) = + sin(b i ) cos(l i ) (R M (i) +h i ) db i + sin(l i ) cos(b i ) (R N (i) +h i ) dl i cos(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) cos(l j ) (R M (j) +h j ) db j sin(l j ) cos(b j ) (R N (j) +h j ) dl j + cos(l j ) cos(b j ) dh j + [ X ij (X j (0) Xi (0) )] = = + sin(b i ) cos(l i ) µ i db i + sin(l i ) ν i dl i cos(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) cos(l j ) µ j db j sin(l j ) ν j dl j + cos(l j ) cos(b j ) dh j [ X ij (X j (0) X i (0) )] v ij (Y) = + sin(b i ) sin(l i ) (R M (i) +h i ) db i cos(l i ) cos(b i ) (R N (i) +h i ) dl i sin(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) sin(l j ) (R M (j) +h j ) db j + cos(l j ) cos(b j ) (R N (j) +h j ) dl j + sin(l j ) cos(b j ) dh j + [ Y ij (Y j (0) Y i (0) )] = = + sin(b i ) sin(l i ) µ i db i cos(l i ) ν i dl i sin(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) sin(l j ) µ j db j + cos(l j ) ν j dl j + sin(l j ) cos(b j ) dh j [ Y ij (Y j (0) Y i (0) )] v ij (Z) = cos(b i ) (R M (i) +h i ) db i 0 dl i sin(b i ) dh i + + cos(b j ) (R M (j) +h j ) db j + 0 dl j + sin(b j ) dh j [ Z ij (Z j (0) Z i (0) )] = = cos(b i ) µ i db i 0 dl i sin(b i ) dh i + + cos(b j ) µ j db j + 0 dl j + sin(b j ) dh j [ Z ij (Z j (0) Z i (0) )] Objaśnienia: db, dl, dh - poprawki do aktualnych (przybliŝonych) współrzędnych B, L, h db, dl - odpowiadające korekty długości łuków południka i równoleŝnika, µ k = 1 + h k / R M (k), ν k = 1 + h k / R N (k) dla k = i, j ; h k 0 => {µ k 1, ν k 1 }, R M (k), R N (k) główne promienie krzywizny elipsoidy w punkcie k - tym.
Struktura układu równań obserwacyjnych sieci hybrydowej i algorytm Gaussa-Newtona Punkty podsieci GNSS E k+1 = E k + de k,k+1 A 1 de k,k+1 = C k 1 de k,k+1 de k,k+1 = (a kt P a k + α I ) 1 a kt P W k k = 0, 1, 2... (proces iteracyjny Gaussa-Newtona) A 2 A = A 1 A 2 Punkty podsieci naziemnej Punkty wspólne dwóch podsieci Równania poprawek i ich normalizacja: V = A de W = A C 1 de W = a de W ( a = A C 1 ) α > 0 parametr regularyzacyjny Tichonowa- Marquardta E = (B, L, h), e = (b, l, h) b, l odpowiadające B, L długości łuków południka i równoleŝnika
Sieć testowa wyrównanie w róŝnych wariantach Maksymalne korekty współrzędnych w kolejnych iteracjach [m] (miary kątowe przeliczane na długości łuków) Iteracja Gaussa- Newtona I Indeks metody II III 1 2 3 4 5 6 15.4151 0.0012 0.0000 15.4138 0.0001 0.0000 0.0000 14.8418 0.6752 0.0208 0.0006 0.0000 0.0000 I oryginalne GNSS wektory ( X, Y, Z) w funkcji wspolrzędnych geodezyjnych II pseudoobserwacje ( B, L) róŝnice współrzędnych III pseudoobserwacje (s, α) - parametry linii geodezyjnych ZałoŜenia: Ze współrzędnych stacji ASG-EUPOS w układzie PL-ETRF2000 wygenerowano wektory ( X, Y, Z). Przyjęto punkt stały GIZY. Dla pozostałych punktów załoŝono współrzędne przybliŝone B (0), L (0) zaokrąglone do 1 (t.j. ok. 20-30m w długościach łuków równoleŝnika i południka), h (0) zaokrąglone do 1 m. Wyniki: z precyzją 0.0001m mierzoną w długościach łuków lub zmianie wysokości otrzymano po 3-6 iteracjach.
Literatura cytowana Daxinger W., Stirling R. (1995): Kombinierte Ausgleichung von terrestrischen und GPS Messungen. Österreichische Zeitschrift für Vermessung und Geoinformation, 83, 48-55. Gajderowicz, I. (1997): Combination of classical observations with two-dimensional GPS vectors. Olsztyn University of Agriculture & Technology. Institute of Geodesy. Gargula T. (2010): GPS vector Network adjustment on the projection plane of local coordinate system. Polska Akademia Nauk, Oddział w Krakowie, Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi. Nr 6/2010, s. 133 144 Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Wasle E. (2008): GNSS Global Navigation Satellite Systems. Springer-Verlag Wien. Kadaj R. (1997): Wyrównanie sieci wektorowej GPS i jej transformacja do układu odwzorowawczego elipsoidy Krasowskiego lub GRS-80 w programach systemu GEONET. Seminarium Komitetu Geodezji PAN: Zastosowanie technik kosmicznych w geodezji i geodynamice. Kraków 22-23 września 1997. Kadaj R. (1998): Models, methods and computation algorithms of kinematic network in geodetic deformations measurements. In Polish: Modele, metody i algorytmy obliczeniowe sieci kinematycznych w geodezyjnych pomiarach przemieszczeń i odkształceń obiektów. Wydawnictwa AR w Krakowie, 1988, ISBN 83-86524-37-5. Kadaj R. (2016a): Empirical methods of reducing the observations in geodetic networks. Geodesy and Cartography. Vol. 65, No 1, 2016, pp 13-40. Kadaj R. (2016b): The combined geodetic network adjusted on the reference ellipsoid a comparison of three functional models for GNSS observations. Geodesy and Cartography. April, 2016 (in print). Leick A. (2004): GPS Satellite Surveying. John Wiley & Sonst, Inc. (Third Edition). ISBN 0-471-05930-7. Strauss R., Walter H. (1993): Die Ausgleichung von GPS-Beobachtungen im System der Landeskoordinaten. AVN 6/1993, 207-212 Strehle J. (1996): Ermittlung von Landeskoordinaten aus GPS-Messungen. Mitteilungsblatt DVW-Bayern 41/1996, 623-645 Świątek, K. (1986): Wyrównanie łączne sieci naziemnej i dopplerowskiej. Geodezja i Kartografia, XXXV, 3-4. Thomson D.B. (1976): Combination of Geodetic Networks. Technical Report No. 30, April 1976, Department of Surveying Engineering University of New Brunswick, Canada
Dzi ziękuj kuję za uwagę Roman J. Kadaj geonet@geonet.net.pl Politechnika Rzeszowska Katedra Geodezji im. K. Weigla