Arytmetyka liczb wymiernych w języku C++
|
|
- Sabina Barańska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Arytmetyka liczb wymiernych w języku C++ Monika Zagała Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Kierunek Informatyka, Rok V m_zagala@o2.pl Streszczenie Poniższa praca przedstawia projekt oraz implementację nowego typu danych mzrational dla języka C++, służącego do prostych operacji arytmetycznych na liczbach wymiernych. Artykuł wykazuje jego słabe i mocne strony, na podstawie porównania z liczbami zmiennoprzecinkowymi (dostępnymi w standardzie języka), precyzji wyników otrzymanych dla prostych działań matematycznych. Ponadto, została zaproponowana arytmetyka mieszana między liczbami wymiernymi, a liczbami zmiennopozycyjnymi oraz omówione zostały problemy, jakie się z tym wiążą. 1 Wstęp Wraz, z pojawieniem się pierwszych maszyn liczących, czynności związane z pobieraniem i przetwarzaniem danych liczbowych, zostały zautomatyzowane. Do wykonywania działań arytmetycznych stosowany jest powszechnie typ zmiennopozycyjny. Niestety, w wielu przypadkach, obliczenia wykonywane przy jego pomocy, dają przybliżone rezultaty. Występujące błędy, są spowodowane min. brakiem skończonego rozwinięcia dziesiętnego, dla niektórych ułamków zwykłych [1]. Inną istotną sprawą jest kolejność wykonywania działań. Ma ona duży wpływ na precyzję otrzymywanych wyników [2]. Fakt, że reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych w pamięci komputera nie zawsze jest precyzyjna, nasuwa ideę zastosowania zamiennie danych, w postaci wymiernej. Dzięki temu, że są one przedstawiane za pomocą pary liczb: licznika i mianownika, uniknąć można np. błędów zaokrąglenia liczb, które towarzyszą postaci dziesiętnej implementacji. Ze względu na brak ogólnodostępnego typu liczb wymiernych dla języka C++ oraz przez wzgląd na jego duże zapotrzebowanie w wielu dziedzinach nauki i techniki, została zaprojektowana biblioteka zawierająca zestaw algorytmów i funkcji, umożliwiajacych wykonywanie operacji arytmetycznych, na liczbach reprezentowanych w postaci ułamków zwykłych. Praca zorganizowana jest w nastepujący sposób: W rozdziale drugim przedstawiona została reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych, wraz z charakterystyką najczęściej spotykanych błędów wystepujących w obliczeniach. Rozdział trzeci zawiera definicję typu mzrational oraz jego porównanie z typami zmiennopozycyjnymi, na podstawie prostych przykładów działań arytmetycznych. Rozdział czwarty określa zasady arytmetyki mieszanej opracowanego typu liczb wymiernych, z istniejącymi postaciami reprezentacji liczb rzeczywistych. 1
2 2 Reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych Liczba zmiennoprzecinkowa (ang. floating point number) służy do przedstawienia ograniczonego przedziału liczb rzeczywistych w pamięci komputera. Wszystkie założenia, związane z reprezentacją tego typu, zdefiniowane zostały przez standard IEEE 754 [3]. W praktyce stosowane są trzy metody wyświetlania liczb zmiennoprzecinkowych: dziesiętna, naukowa oraz inżynierska. Najbardziej popularnym zapisem jest notacja naukowa[4]. Stosując dynamiczne przesunięcie przecinka oraz używając potęgi podstawy do o- kreślenia jego rzeczywistego położenia, możemy reprezentować dowolne liczby za pomocą kilku cyfr [5]. Ogólny wzór wygląda następująco: z m M β z cc (1) gdzie : M mantysa liczby (ang. mantissa), C cecha (ang. exponent), β używana podstawa systemu liczbowego (ang. base), z m znak mantysy, z c znak cechy. Zarówno, dla mantysy, jak i wykładnika ilość cyfr jest z góry ustalona. Zatem, dana liczba jest reprezentowana, z pewną skończoną dokładnością i należy, do policzalnego zbioru wartości [2]. Przy obliczeniach, wykonywanych na liczbach zmiennopozycyjnych, można napotkać podstawowe rodzaje błedów : Błędy danych wejściowych występują wówczas, gdy dane liczbowe wprowadzone do pamięci, lub rejestrów maszyny cyfrowej, odbiegają od dokładnych ich wartości. Błędy reprezentacji problem isnieje, w przypadku reprezentacji wszystkich liczb niewymiernych np. Π, 3, liczb o nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym np. 1/3, 1/6, 1/7 oraz dla ułamków dziesiętnych o nieskończonym rozwinięciu binarnym np. 0.1, 0.2. Nieuniknione jest wówczas zaokrąglenie. Błędy obcięcia powstają podczas obliczeń, na skutek zmniejszania liczby działań. Na przykład, podczas dodawania bardzo małej i bardzo dużej liczby, ze względu na ograniczoną reprezentację mantysy wyniku, jej przesunięcie względem tych samych cech, powoduje brak dodania liczb, a otrzymanym wynikiem będzie wartość liczby większej. Błędy zaokragleń pojawiają się podczas obliczeń, na skutek konieczności zaokrąglania wartości, ze wzgledu na ograniczoną długość słów binarnych. Błędy te można czasem zmniejszyć, ustalając umiejętnie sposób i kolejność wykonywania działań. Liczbę zmiennoprzecinkową można potraktować, jako sumę wartości dokładnej oraz poprawki do wartości liczby zmiennoprzecinkowej [3]: f = d + p (2) gdzie: f wartość zmiennoprzecinkowa; d wartość dokładna, którą reprezentuje liczba f ; p poprawka wartości d do wartości f, zwana również błędem zaokrąglenia (może przyjmować wartości dodatnie oraz ujemne). Dla przykładu, liczby: 2
3 float d1 = float d2 = są reprezentowane jako: f 1 = d1 + p1 i f 2 = d2 + p2, przy czym: f1 = , f2 = natomiast błędy zaokrąglenia wynoszą odpowiednio: p1 = , p2 = Podczas dodawania dwóch liczb zmiennoprzecinkowych mamy do czynienia, z sumowaniem się błędów: f 1 + f 2 = d1 + p1 + d2 + p2 = (d1 + d2) + (p1 + p2) ; (3) }{{} błąd Jeżeli, poprawki: p1 i p2 mają przeciwne znaki, wówczas błąd może być nieco mniejszy. Teoretycznie, po podstawieniu do wzoru liczb otrzymamy: f = d = p = Wyniki otrzymane, przy użyciu kompilatora dla języka C++, różnią się od przedstawionych wyżej, gdyż dochodzą jeszcze błędy reprezentacji poszczególnych składników działań arytmetycznych oraz otrzymanego wyniku. Stąd, f = , natomiast poprawka p = Mnożenie dwóch liczb zmiennoprzecinkowych, przedstawia poniższe równanie: f 1 f 2 = (d1 + p1) (d2 + p2) = (d1 d2) + (d1 p2 + d2 p1 + p1 p2) ; (4) }{{} błąd Dodając, do wartości ujętej w nawias klamrowy (z wzoru (4) ), błędy numeryczne, wynikające z niedokładnej reprezentacji tych liczb, uzyskany błąd całkowity może być duży. Biorąc pod uwagę, że jest to jedynie pojedyncza operacja, warto zastanowić się, kiedy dokonywanie bardziej skomplikowanych operacji arytmetycznych ma w ogóle sens [2]. 3 Działania arytmetyczne na liczbach wymiernych Z poprzedniego rozdziału wynika, że typ zmiennopozycyjny niesie ze sobą wiele niedoskonałości. Można łatwo uzyskać bezużyteczne wyniki, czyli takie, które obarczone są bardzo dużym błędem. Zastosowanie większej precyzji liczb zmiennoprzecinkowych, jest jedną z metod osłabiającą ryzyko uzyskania niedokładnych wyników [2]. Jednak, w wielu laboratoriach naukowych, technicznych, czy przemysłowych, gdzie jakość obliczeń ma bardzo duże znaczenie, arytmetyka zmiennopozycyjna może okazać się zawodna. Fakt ten, przyczynił się do prac nad nowym typem danych zwanym ogólnie Rational. Głównym założeniem jest przedstawienie liczb rzeczywistych, wymiernych, za pomocą ułamków zwykłych. Licznik i mianownik są zapisywane w postaci liczb całkowitych, i dlatego podstawowe działania matematyczne wykonywane są z pełną precyzją. Na przykład dla języków takich jak: Java, czy Python istnieją odpowiedniki takiej biblioteki. 3
4 Na stronie internetowej Boost a [6] można znależć implementację typu rational dla języka C++, wraz z podstawowymi algorytmami i funkcjami. Brakuje jednak operandów dla arytmetyki mieszanej i możliwosci rzutowania typu zmiennopozycyjnego, na typ wymierny. Pakiet ten jest biblioteką "otwartą", wciąż opracowywaną. Na jego podstawie została zaprojektowana własna biblioteka mzrational, z operandami: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia, a także relacji porównania. Dodatkowo zostały przeciążone operatory typów zmiennoprzecinkowych oraz zdefionowana została ich konwersja do mzrational, wraz z funkcjami dla całej arytmetyki mieszanej. Na podstawie przykładowych dwóch liczb: a = i b = 2e-8 zostało dokonane porównanie operacji dodawania i mnożenia pomiędzy danymi typu mzrational, gdzie poszczególne składowe ułamka zwykłego zdefiniowane zostały jako long long int oraz liczbami zmiennoprzecinkowymi typu double. Otrzymane wyniki były następujace: operacja mzrational double + ( / ) ( / ) dla wymiernej reprezentacji rezultat był prawidłowy, zarówno dla operacji dodawania oraz mnożenia. W przypadku liczb zapisanych w postaci dziesietnej, operacja dodawania dała wynik równy większemu czynnikowi, czyli wystapił typowy błąd obcięcia, charakterystyczny dla tego typu danych. Natomiast mnożenie zostało przeprowadzone precyzyjnie, z niewielkim błędem reprezentacji. Nasuwa się tutaj wniosek, że typ mzrational wykazuje zdecydowaną przewagę nad typem zmiennopozycyjnym, w operacjach dodawania (odejmowania) liczb skrajnie różnych. Porównanie arytmetyki, dla dwóch innych liczb: c = 45e12 oraz d = 5e-8, wykazało, że mnożenie wykonane zostało prawidłowo na liczbach mzrational, natomiast dodawanie zakończyło się błędem spowodowanym przekroczeniem najwyższej wartości liczby typu long long int. Podobnie, dla operacji mnożenia może wystąpić overflow (underflow), czyli tzw. bład nadmiaru (niedomiaru), szczególnie wtedy, gdy redukcja ułamków zwykłych jest niewykonalna. Zatem problem zachowania precyzji nie jest do końca rozwiązany. W tym konkretnym przypadku widoczna jest wyższość typów zmiennopozycyjnych typu double(long double). Przy zastosowaniu liczb typu float sprawa przedstawia się inaczej. Porównanie zakresów możliwych prezentowanych wyników wypada na korzyść reprezentacji mzrational. Dodatkowym atutem, reprezentacji liczb w postaci wymiernej, jest łatwość ich porównywania. Powszechnie wiadomo, że takie operacje na liczbach prezentowanych w postaci ułamków dziesiętnych nie są możliwe. Można jedynie sprawdzić, czy dana liczba zmiennopozycyjna mieści się w pewnym jej zakresie, otoczeniu [3]. Typ mzrational zapewnia nam operatory (<, >, ==,! =) dla tego typu relacji, zwracające odpowiednio true, jeżeli została ona spełniona, w przeciwnym razie false. Poniżej znajduje się fragment implementacji operatora mniejszości: template<typename Int> bool mzrational<int>::operator<( const mzrational<int>& less){ mzrational<int> l(*this); mzrational<int> r(less); 4
5 } if(l.num < 0 && r.num >= 0) return true; if(l.num >= 0 && r.num <= 0) return false; if(l.den == r.den) return l.num < r.num; l.normalize(); r.normalize(); Int gcd1 = gcd(l.num, r.num); Int gcd2 = gcd(r.den, l.den); return (l.num/gcd1) * (r.den/gcd2) < (l.den/gcd2) * (r.num/gcd1); Funkcja normalize() służy do redukcji ułamków zwykłych, natomiast gcd(), jako rezultat zwraca największy wspólny dzielnik. Zastosowanie operatora < wymaga zdefiniowania dwóch obiektów typu mzrational i porównaniu ich ze sobą. Ilustruje to poniższy przykład: int main(){ mzrational<long int> a(12, 78); mzrational<long int> b(34, 13); if(a < b){...} return 0; } Inną cechą typu mzrational, jest reprezentacja wyników w postaci zredukowanych ułamków zwykłych. Notacja dziesiętna jest zdecydowanie bardziej przyswajalna, od tego rodzaju prezentacji danych. Na przykład, liczba a = zostanie przedstawiona odpowiednio przez typ zmiennopozycyjny jako: natomiast mzrational wyświetli się jako: ( / 2) Tę małą niedogodność rekompensuje możliwość zamiany typu z mzrational na dowolny typ zmiennoprzecinkowy. Trzeba się liczyć z tym, że w niektórych przypadkach, konwersja może przyczynić się, do utraty dokładności prezentowanej liczby. Porównanie typów: mzrational ze wszystkimi typami zmiennopozycyjnymi nie miało na celu wykazania, który z nich jest lepszy. Zarówno jedna, jak i druga reprezentacja niesie ze sobą wiele zalet i wad. Jednakże, wykazanie słabych i mocnych stron pomaga w dobraniu odpowiedniego typu, w zależności od wykonywanych operacji. 4 Definicja arytmetyki mieszanej Najważniejszym, a zarazem najtrudniejszym zagadnieniem jest arytmetyka liczb mieszanych, czyli określenie zasad działania na liczbach wymiernych typu mzrational, z liczbami zmiennopozycyjnymi w dowolnym formacie. Stosowanie zamiennie liczb zmiennopozycyjnych i wymiernych wymaga zdefiniowania operatorów rzutowania: operator float( ){...} operator double( ){...} operator long double( ){...} do zamiany typu mzrational, na jeden z powyższych typów zmiennopozycyjnych oraz zdefiniowania konwersji odwrotnej, czyli liczby rzeczywistej w dowolnej reprezentacji zmiennoprzecinkowej na liczbę mzrational: 5
6 template<typename Real> explicit mzrational(real x){...} Rzutowaniu ułamków, z postaci zwykłej na postać dziesietną, towarzyszy często utrata precyzji. Jest to związane przede wszystkim z błędami w reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Odwrotna zamiana typów również nie pozwala uniknąć błędów. Przyczyny tego mogą być następujące. Po pierwsze, zamieniana liczba zmiennoprzecinkowa nie mieści się w granicach reprezentacji liczby wymiernej, wówczas konieczne jest obcięcie, bądź zaokrąglenie liczby do n cyfr (w jezyku C++, liczby typu long long int są zazwyczaj, co najwyżej 18 cyfrowe). Drugi rodzaj błędu, z jakim można się spotkać przy konwersji liczb rzeczywistych do typu mzrational, wynika z niedokładnej reprezentacji liczby zmiennoprzecinkowej. Ostatnim powodem utraty precyzji jest zamiana liczb niewymiernych na postać wymierną. Tego typu dane nigdy nie zostaną poprawnie przedstawione, co wynika z własności tych liczb [7]. Faktem jest, że nie każda zamiana typów spowoduje, że wartości liczbowe utracą swoją pierwotną dokładność. Jednak świadomość tego, kiedy i gdzie są popełniane błędy ułatwia określenie zasad dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb mieszanych, w taki sposób, by osiągnąć jak najwyższą prezyję otrzymywanych wyników. 5 Podsumowanie Artykuł przedstawia ogólną charakterystykę typu mzrational. Liczby prezentowane, jako ułamki zwykłe, poszerzają dotychczasowe możliwości, o wykonywanie precyzyjnego dodawania (a co za tym idzie, odejmowania) liczb, szczególnie o dużej rozbieżności wykładników. Ponadto, łatwość wykonywania porównań, takich jak: która z liczb jest większa, bądź: czy dwie liczby są równe, czy różne - to dodatkowy atut typu mzrational. Niestety, każdy reprezentacja danych, w pamięci komputera posiada pewne wady. Tak też jest w przypadku reprezentacji wymiernej implementacji. Świadczą o tym wyżej przedstawione przykłady. Dzięki poznaniu i zrozumieniu wszelkich ograniczeń, zastosowanie w konkretnych aplikacjach arytmetyki liczb wymiernych, staje się o wiele prostsze i bardziej efektywne. Literatura [1] W. Hebish, A. Szustalewicz, K. Tabisz, Wstęp do informatyki, [2] D. Goldberg, What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic, [3] K. Adamski, Liczby zmiennoprzecinkowe, [4] Wikipedia, [5] P. Furmański, Ś. Sobieski, Wstęp do Informatyki, wer. RCI, [6] Boost, [7] T. Trajdos, Matematyka, wyd. VI,
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015
Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Reprezentacja
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki
Podstawy Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 5 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Podstawy Informatyki Wykład 5 1 / 23 LICZBY RZECZYWISTE - Algorytm Hornera
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne
Wprowadzenie do architektury komputerów systemy liczbowe, operacje arytmetyczne i logiczne 1. Bit Pozycja rejestru lub komórki pamięci służąca do przedstawiania (pamiętania) cyfry w systemie (liczbowym)
Bardziej szczegółowo3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)
3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym
Bardziej szczegółowoPrzedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński
Przedmiot: Urządzenia techniki komputerowej Nauczyciel: Mirosław Ruciński Temat: Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy.
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania. Reprezentacje liczb. Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym
Wstęp do programowania Reprezentacje liczb Liczby naturalne, całkowite i rzeczywiste w układzie binarnym System dwójkowy W komputerach stosuje się dwójkowy system pozycyjny do reprezentowania zarówno liczb
Bardziej szczegółowoREPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH
REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć. Bartek Wilczyński 29.
Obliczenia Naukowe O arytmetyce komputerów, Czyli jak nie dać się zaskoczyć Bartek Wilczyński bartek@mimuw.edu.pl 29. lutego 2016 Plan semestru Arytmetyka komputerów, wektory, macierze i operacje na nich
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do metod numerycznych. Krzysztof Patan
Wprowadzenie do metod numerycznych Krzysztof Patan Metody numeryczne Dział matematyki stosowanej Każde bardziej złożone zadanie wymaga opracowania indywidualnej metody jego rozwiązywania na maszynie cyfrowej
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki dla I roku BO Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje 0 oraz liczby naturalne
Bardziej szczegółowoKod IEEE754. IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci
Kod IEEE754 IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers IEEE754 (1985) - norma dotycząca zapisu binarnego liczb zmiennopozycyjnych (pojedynczej precyzji) Liczbę binarną o postaci (-1) s 1.f
Bardziej szczegółowoWielkości liczbowe. Wykład z Podstaw Informatyki. Piotr Mika
Wielkości liczbowe Wykład z Podstaw Informatyki Piotr Mika Wprowadzenie, liczby naturalne Komputer to podstawowe narzędzie do wykonywania obliczeń Jeden bajt reprezentuje oraz liczby naturalne od do 255
Bardziej szczegółowoReprezentacja stałoprzecinkowa. Reprezentacja zmiennoprzecinkowa zapis zmiennoprzecinkowy liczby rzeczywistej
Informatyka, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki /, Wykład nr 4 /6 Plan wykładu nr 4 Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział lektryczny lektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne
Bardziej szczegółowoSYSTEMY LICZBOWE. SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M
SYSTEMY LICZBOWE SYSTEMY POZYCYJNE: dziesiętny (arabski):,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 rzymski: I, II, III, V, C, M System pozycyjno wagowy: na przykład liczba 444 4 4 4 4 4 4 Wagi systemu dziesiętnego:,,,,...
Bardziej szczegółowoArchitektura komputerów
Architektura komputerów Wykład 4 Jan Kazimirski 1 Reprezentacja danych 2 Plan wykładu Systemy liczbowe Zapis dwójkowy liczb całkowitych Działania arytmetyczne Liczby rzeczywiste Znaki i łańcuchy znaków
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łan Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 2 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Arytmetyka zmiennopozycyjna
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł
Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci:
Reprezentacja liczb rzeczywistych w komputerze. Liczby rzeczywiste są reprezentowane w komputerze przez liczby zmiennopozycyjne. Liczbę k można przedstawid w postaci: k = m * 2 c gdzie: m częśd ułamkowa,
Bardziej szczegółowoTeoretyczne Podstawy Informatyki
Teoretyczne Podstawy Informatyki cel zajęć Celem kształcenia jest uzyskanie umiejętności i kompetencji w zakresie budowy schematów blokowych algor ytmów oraz ocenę ich złożoności obliczeniowej w celu optymizacji
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.
ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe 0 = 4 4 + 4 4, 2 = 4: 4 + 4: 4, 3 = 4 4: 4 4, 4 = 4 4 : 4 + 4, 6 = 4 + (4 + 4): 4, 7 =
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy pierwszej zasadniczej szkoły zawodowej ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. LICZBY RZECZYWISTE I DZIALANIA
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII
KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien : Na ocenę dostateczną uczeń powinien: Na ocenę dobrą uczeń powinie: Na ocenę bardzo dobrą uczeń powinien: Na ocenę celującą
Bardziej szczegółowoPowtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *
Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................
Bardziej szczegółowoZwykle liczby rzeczywiste przedstawia się w notacji naukowej :
Arytmetyka zmiennoprzecinkowa a procesory cyfrowe Prawa algebry stosują się wyłącznie do arytmetyki o nieograniczonej precyzji x=x+1 dla x będącego liczbą całkowitą jest zgodne z algebrą, dopóki nie przekroczymy
Bardziej szczegółowoSystemy zapisu liczb.
Systemy zapisu liczb. Cele kształcenia: Zapoznanie z systemami zapisu liczb: dziesiętny, dwójkowy, ósemkowy, szesnastkowy. Zdobycie umiejętności wykonywania działań na liczbach w różnych systemach. Zagadnienia:
Bardziej szczegółowo1. LICZBY DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia
L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. LICZBY 1. Znam pojęcie liczby naturalne, całkowite, wymierne, dodatnie, ujemne, niedodatnie, odwrotne, przeciwne. 2. Potrafię zaznaczyć
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2016/2017 Ćwiczenia nr 7 Zadanie domowe Zadanie domowe Liczby naturalne (Sztuka nauczania matematyki w szkole podstawowej i gimnazjum,
Bardziej szczegółowoDokładność obliczeń numerycznych
Dokładność obliczeń numerycznych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2016 MOTYWACJA Komputer czasami produkuje nieoczekiwane wyniki >> 10*(1-0.9)-1 # powinno być 0 ans = -2.2204e-016 >>
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne Wykład 4
Technologie Informacyjne Wykład 4 Arytmetyka komputerów Wojciech Myszka Jakub Słowiński Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej Wydział Mechaniczny Politechnika Wrocławska 30 października 2014 Część
Bardziej szczegółowoMatematyka z kluczem. Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu. Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7
Matematyka z kluczem Szkoła podstawowa nr 18 w Sosnowcu Przedmiotowe zasady oceniania klasa 7 KlasaVII wymagania programowe- wymagania na poszczególne oceny ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane
Bardziej szczegółowoKlasa 1 technikum. Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:
Klasa 1 technikum Przedmiotowy system oceniania wraz z wymaganiami edukacyjnymi Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin
. Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Postać zmiennoprzecinkowa liczby. dr Artur Woike. Arytmetyka zmiennoprzecinkowa. Uwarunkowanie zadania.
Ćwiczenia nr 1 Postać zmiennoprzecinkowa liczby Niech będzie dana liczba x R Mówimy, że x jest liczbą zmiennoprzecinkową jeżeli x = S M B E, gdzie: B N, B 2 (ustalona podstawa systemu liczbowego); S {
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1
Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wykład VI
Pracownia Komputerowa wykład VI dr Magdalena Posiadała-Zezula http://www.fuw.edu.pl/~mposiada 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby całkowite : Operacja modulo % reszta z dzielenia: 125%2=62 reszta 1
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania
Bardziej szczegółowo1 P roste e t ypy p d a d n a ych c - c ąg ą g d a d l a szy 2 T y T py p z ł z o ł żo ż ne e d a d n a ych c : T BLICE
1. Proste typy danych- ciąg dalszy 2. Typy złożone danych : TABLICE Wykład 3 ZMIENNE PROSTE: TYPY WBUDOWANE Typy zmiennoprzecinkowe: float double long double Różne rozmiary bajtowe. W konsekwencji różne
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KL.VII ROZDZIAŁ I LICZBY 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 2. odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki dla uczniów klasy VII szkoły podstawowej Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny branżowa szkoła I stopnia klasa 1 po gimnazjum I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne 2. Liczby całkowite. 3. Liczby wymierne 4. Rozwinięcie dziesiętne liczby
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020.
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne śródroczne oceny klasyfikacyjne dla klasy VII w roku 2019/2020. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań edukacyjnych niezbędynych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie VII szkoły podstawowej ROZDZIAŁ I LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą jeśli: 1. rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie
Bardziej szczegółowoArytmetyka. Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm
Arytmetyka Działania na liczbach, potęga, pierwiastek, logarytm Zbiory liczbowe Zbiór liczb naturalnych N = {1,2,3,4, }. Zbiór liczb całkowitych Z = {, 3, 2, 1,0,1,2,3, }. Zbiory liczbowe Zbiór liczb wymiernych
Bardziej szczegółowoBŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH
BŁĘDY OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH błędy zaokrągleń skończona liczba cyfr (bitów) w reprezentacji numerycznej błędy obcięcia rozwinięcia w szeregi i procesy iteracyjne - w praktyce muszą być skończone błędy metody
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy VII Szkoły Podstawowej nr 100 w Krakowie Na podstawie programu Matematyka z plusem Na ocenę dopuszczającą Uczeń: rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)?
METODY NUMERYCZNE Wykład 2. Analiza błędów w metodach numerycznych Met.Numer. wykład 2 1 Po co wprowadzamy liczby w formacie zmiennoprzecinkowym (floating point)? Przykład 1. W jaki sposób można zapisać
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych
Bardziej szczegółowoTechnologie Informacyjne
System binarny Szkoła Główna Służby Pożarniczej Zakład Informatyki i Łączności October 7, 26 Pojęcie bitu 2 Systemy liczbowe 3 Potęgi dwójki 4 System szesnastkowy 5 Kodowanie informacji 6 Liczby ujemne
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PROCESORY SYGNAŁOWE W AUTOMATYCE PRZEMYSŁOWEJ. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q
LABORAORIUM PROCESORY SYGAŁOWE W AUOMAYCE PRZEMYSŁOWEJ Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej oraz operacji arytmetycznych w formatach Q 1. Zasady arytmetyki stałoprzecinkowej. Kody stałopozycyjne mają ustalone
Bardziej szczegółowoLiczby. Wymagania programowe kl. VII. Dział
Wymagania programowe kl. VII Dział Liczby rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane w systemie rzymskim w zakresie do
Bardziej szczegółowoArytmetyka binarna - wykład 6
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Arytmetyka binarna - wykład 6 Adam Szmigielski aszmigie@pjwstk.edu.pl SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 2 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2
Bardziej szczegółowoArytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa
Arytmetyka stało i zmiennoprzecinkowa Michał Rudowicz 171047 Łukasz Sidorkiewicz 170991 Piotr Lemański 171009 Wydział Elektroniki Politechnika Wrocławska 26 października 2011 Spis Treści 1 Reprezentacja
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VII Ocena Dopuszczający Osiągnięcia ucznia rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w systemie rzymskim w zakresie do 3000 odczytuje liczby naturalne dodatnie zapisane
Bardziej szczegółowoAdam Korzeniewski p Katedra Systemów Multimedialnych
Adam Korzeniewski adamkorz@sound.eti.pg.gda.pl p. 732 - Katedra Systemów Multimedialnych Sygnały dyskretne są z reguły przetwarzane w komputerach (zwykłych lub wyspecjalizowanych, takich jak procesory
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Inżynieria Ciepła, I rok. Wykład 5 Liczby w komputerze
Podstawy Informatyki Inżynieria Ciepła, I rok Wykład 5 Liczby w komputerze Jednostki informacji Bit (ang. bit) (Shannon, 948) Najmniejsza ilość informacji potrzebna do określenia, który z dwóch równie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej
Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny To się liczy! Branżowa Szkoła I stopnia, klasa 1 po szkole podstawowej Wymagania dostosowano do sześciostopniowej skali ocen. I. Liczby rzeczywiste zna cechy
Bardziej szczegółowoPrzypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z?
Przypomnienie wiadomości dla trzecioklasisty C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, (0 nie jest sztywno związane z N). Przykłady: 1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne
Bardziej szczegółowoPozycyjny system liczbowy
Arytmetyka binarna Pozycyjny system liczbowy w pozycyjnych systemach liczbowych wkład danego symbolu do wartości liczby jest określony zarówno przez sam symbol, jak i jego pozycję w liczbie i tak np. w
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA V Wymagania konieczne i podstawowe - na ocenę dopuszczającą i dostateczną. Uczeń powinien umieć: dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VII SZKOŁY PODSTAWOWEJ Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, jeśli nie opanował wiadomości i umiejętności na ocenę dopuszczającą, nie wykazuje chęci poprawy
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V
Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki praktycznych liczbę
Bardziej szczegółowoSamodzielnie wykonaj następujące operacje: 13 / 2 = 30 / 5 = 73 / 15 = 15 / 23 = 13 % 2 = 30 % 5 = 73 % 15 = 15 % 23 =
Systemy liczbowe Dla każdej liczby naturalnej x Î N oraz liczby naturalnej p >= 2 istnieją jednoznacznie wyznaczone: liczba n Î N oraz ciąg cyfr c 0, c 1,..., c n-1 (gdzie ck Î {0, 1,..., p - 1}) taki,
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne
Wymagania na poszczególne oceny szkolne OCENĘ NIEDOSTATECZNĄ OTRZYMUJE UCZEŃ KTÓRY NIE SPEŁNIA KRYTERIÓW DLA OCENY DOPUSZCZAJĄCEJ, NIE KORZYSTA Z PROPONOWANEJ POMOCY W POSTACI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH, PRACUJE
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki w klasie piątej
Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie piątej Klasa V Wymagania Wymagania ponad Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/ :02 p.
Metody numeryczne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 2/10/2002 23:02 p.1/63 Plan wykładu 1. Dokładność w obliczeniach numerycznych 2. Złożoność
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoNaturalny kod binarny (NKB)
SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KLASY VII Matematyka z plusem Ocena dopuszczająca: Pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej Rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne Porównywanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy I gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne sposób i potrzebę zaokrąglania
Bardziej szczegółowoProgramowanie w C++ Wykład 2. Katarzyna Grzelak. 4 marca K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44
Programowanie w C++ Wykład 2 Katarzyna Grzelak 4 marca 2019 K.Grzelak (Wykład 1) Programowanie w C++ 1 / 44 Na poprzednim wykładzie podstawy C++ Każdy program w C++ musi mieć funkcję o nazwie main Wcięcia
Bardziej szczegółowo1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1
Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.
Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena roczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza
Bardziej szczegółowoBŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO
BŁĘDY PRZETWARZANIA NUMERYCZNEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski Dlaczego modelujemy... systematyczne rozwiązywanie problemów, eksperymentalna eksploracja wielu rozwiązań, dostarczanie abstrakcyjnych
Bardziej szczegółowoSZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016
SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLAS 4-6 SP ROK SZKOLNY 2015/2016 Szczegółowe kryteria ocen dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: Zna zależności wartości cyfry od jej
Bardziej szczegółowoPracownia Komputerowa wyk ad VI
Pracownia Komputerowa wyk ad VI dr Magdalena Posiada a-zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Przypomnienie 125 (10) =? (2) Liczby ca kowite
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa V Rozdział Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4
Bardziej szczegółowoI. Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania śródrocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki w klasie VII.
Przedmiotowy system oceniania z matematyki w klasie VII. Ocena śródroczna Wyróżniono następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa VI - matematyka
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa VI - matematyka Dział 1. Działania na ułamkach zwykłych i dziesiętnych wykonuje działania na ułamkach dziesiętnych z pomocą kalkulatora; mnoży ułamki zwykłe
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne do klasy VII szkoły podstawowej na rok szkolny 2018/2019 LICZBY Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: rozpoznaje cyfry używane do zapisu liczb w
Bardziej szczegółowoWymagania z matematyki ( zakres wiedzy) dla klasy VII na poszczególne oceny
Wymagania z matematyki ( zakres wiedzy) dla klasy VII na poszczególne oceny dopuszczającą ocenę dostateczną Dział 1. Przybliżenia i zaokrąglenie. Oś liczbowa. 1. Liczby dodatnie i ujemne 2. Rozwinięcia
Bardziej szczegółowoWymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO
Wymagania i plan wynikowy z matematyki dla klasy I BO Lekcja Liczba Treści z podstawy godzin programowej I. Liczby rzeczywiste (9 h) 1. Liczby naturalne 1 Przypomnienie ze szkoły podstawowej ułatwiające
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61
Metody numeryczne I Dokładność obliczeń numerycznych. Złożoność obliczeniowa algorytmów Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/61 ... the purpose of
Bardziej szczegółowoPracownia komputerowa. Dariusz Wardecki, wyk. VI
Pracownia komputerowa Dariusz Wardecki, wyk. VI Powtórzenie Ile wynoszą poniższe liczby w systemie dwójkowym/ dziesiętnym? 1001101 =? 77! 63 =? 111111! Arytmetyka w reprezentacji bezznakowej Mnożenie liczb
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny szkolne
Wymagania na poszczególne oceny szkolne OCENĘ NIEDOSTATECZNĄ OTRZYMUJE UCZEŃ KTÓRY NIE SPEŁNIA KRYTERIÓW DLA OCENY DOPUSZCZAJĄCEJ, NIE KORZYSTA Z PROPONOWANEJ POMOCY W POSTACI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH, PRACUJE
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki- wykład 2
MATEMATYKA 1 Wstęp do informatyki- wykład 2 Systemy liczbowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion, 2012 www.cplusplus.com Jerzy
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5
WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny
Wymagania edukacyjne z matematyki dla zasadniczej szkoły zawodowej na poszczególne oceny Podstawa programowa z 23 grudnia 2008r. do nauczania matematyki w zasadniczych szkołach zawodowych Podręcznik: wyd.
Bardziej szczegółowoZbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R.
Zbiór liczb rzeczywistych, to zbiór wszystkich liczb - wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb rzeczywistych oznaczamy symbolem R. Liczby naturalne - to liczby całkowite, dodatnie: 1,2,3,4,5,6,... Czasami
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6
Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności
Bardziej szczegółowopodstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń:
Klasa V Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem
Bardziej szczegółowo