Roman J. Kadaj Wyrównanie sieci kombinowanej (hybrydowej), złoŝonej z wektorów GNSS i terra-obserwacji, w układzie elipsoidalnym.

Transkrypt

1 Technical University of Rzeszów Department of Geodesy and Geotechnics of K. Weigel name Seminarium Komitetu Geodezji PAN i Wydział Geodezji i Kartografii PW pt. Współczesne problemy podstawowych osnów geodezyjnych w Polsce. Grybów września 2016 Roman J. Kadaj Wyrównanie sieci kombinowanej (hybrydowej), złoŝonej z wektorów GNSS i terra-obserwacji, w układzie elipsoidalnym. [Adjustment of a combined (hybrid) network, including GNSS vectors and terraobservations, in the ellipsoidal frame] Modele funkcjonalne i stochastyczne sieci kombinowanych i ich ocena. Próba określenia optymalnego modelu funkcjonalnego. Równania obserwacyjne. Testy numeryczne.

2 Streszczenie Referat przedstawia nowe ujęcie problematyki wyrównania sieci kombinowanych w układzie elipsoidalnym. W przeciwieństwie do stosowanych w praktyce aplikacji, nie ma potrzeby przekształcania wektorów GNSS w pseudo-obserwacje, jak np. parametry linii geodezyjnych. Tworzy się model funkcjonalny sieci, w którym składowe wektora kartezjańskiego GNSS wyraŝa się bezpośrednio w funkcji współrzędnych geodezyjnych. Obok naziemnych sieci poziomych, do układu obserwacyjnego mogą być dołączone niwelacje klasyczne przy wykorzystaniu numerycznego modelu quasi-geoidy (geoidy) wpasowanej w osnowę satelitarno-niwelacyjną. Wyrównanie sieci jest nieliniowym zadaniem najmniejszych kwadratów, do czego stosuje się zwykle iteracyjną procedurę Gaussa-Newtona. Wykonano testy porównawcze algorytmów na sieci GNSS o bokach kilkusetkilometrowych.

3 Warianty wyrównanie sieci na elipsoidzie lub na płaszczyźnie odwzorowania GNSS wektory Przekształcenie Pseudo-obserwacje R = ( X, Y, Z) Geodesic (E(f(R (0) )), E(f(R (0) + R))) [e.g.: Leick 2004; Kadaj,1997,1998] Geodesic 2D +1D vector G = (α, s, h) G + ε = G (0) + dg 1 R = ( X, Y, Z) Geodetic 2D +1D vector Geodetic differences [e.g. Thomson 1976] E = ( B, L, h ) E = E(f(R (0) + R)) E(f(R (0) )) E + ε = E (0) + d( T) 2 R = ( X, Y, Z) Mapping(E(f(R (0) )), E(f(R (0) + R))) [Gajderowicz, 1997; Gargula, 2010] Cartesian 2D +1D vector T = ( x, y, h) T + ε = T (0) + d( T) 3 GNSS wektor w funkcji współrzędnych płaskich x, y, wysokości H i parametrów transformacji pomiędzy układami. Współczynniki równań zlinearyzowanych (pochodne) wyznacza się numerycznie [Daxinger and Stirling, 1995; Strauss and Walter, 1993; Strehle,1996] 4 Originalny GNSS wektor jako funkcja współrzędnych elipsoidalnych B, L, h [Kadaj, 2016b] R ij + ε ij = Φ (E j ) Φ(E i ) = Φ(E j (0) ) Φ(E i (0) ) + a j de j a i de i = a j de j a i de i 5 de = (db, dl, dh), gdzie db, dl długości małych łuków południka i równoleŝnika

4 Konwersja wektora GNSS na pseudo-obserwacje GNSS vector ( X ij, Y ij, Z ij ) Elipsoida referencyjna i topo-surface j Płaszczyzna odwzorowania h i H i quasi-geoid H j h j j ζ i ellipsoid ζj j α ij s ij B ij x ij i L ij ( s, α, h ) ( B, L, h) ( x, y, h) i y ij R s s δ δ (s / R s ) a θ b s θ δ = b a a ; b cos(θ) δ [1 cos(θ)] = = 2 sin 2 (θ/2) δ ( /2) (s/r s ) 2

5 Sieci szczegółowe (powiatowe) wyrównywane w latach jako sieci hybrydowe (oznaczone kolorem niebieskim) lub jako sieci klasyczne (kolorem zielonym), programami systemu GEONET przez ALGORES-SOFT w Rzeszowie. Sieci klasyczne (26) Sieci hybrydowe (57)

6 Wybrane przykłady sieci hybrydowych Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie bialskim-podlaskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktów sieci LP = Liczba stalych punktów nawiazania LSS = 453 Liczba ruchomych punktów nawiazania LSR = 22 Liczba obserwacji kątowych LKA = Liczba stanowisk obs. kierunkowych LPK = 0 Liczba azymutów topograficznych LAZT = 299 Liczba azymutów geodezyjnych LAZG = 2055 Liczba dlugosci klasycznych LD = Liczba dlugosci GPS LDG = 2055 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = Liczba równań obserw. i pseudo-obs. M = Liczba elementów nadwymiarowych NW = 7821 µp = m (przeciętny błąd połoŝenia punktu sieci) Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie mińskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 9314 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 500 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 461 Liczba obserwacji katowych LKA = Liczba stanowisk obs. kierunkowych LPK = 188 Liczba obserwacji kierunkowych LK = 717 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 433 Liczba azymutow geodezyjnych LAZG = 1632 Liczba dlugosci klasycznych LD = 9552 Liczba dlugosci GPS LDG = 1632 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = Liczba elementow nadwymiarowych NW = 7580 µp = m

7 (c.d. przykładów sieci hybrydowych) Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie jarosławskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 7036 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 295 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 60 Liczba punktow wyznaczanych LR = 6681 Liczba obserwacji katowych LKA = 6683 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LST = 1922 Liczba obserwacji kierunkowych LKI = 6739 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 43 Liczba azymutow geodezyjnych (GPS) LAZG = 34 Liczba dlugosci klasycznych LD = 9440 Liczba dlugosci GPS LDG = 34 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = Liczba elementow nadwymiarowych NW = 7689 µp = m Sieć szczegółowa o strukturze hybrydowej w powiecie mławskim Parametry sieci: Liczba wszystkich punktow sieci LP = 8876 Liczba stalych punktow nawiazania LS = 306 Liczba ruchomych punktow nawiazania LSR = 128 Liczba punktow wyznaczanych LR = 8570 Liczba obserwacji katowych LKA = 5944 Liczba stanowisk obs. kierunkowych LST = 1720 Liczba obserwacji kierunkowych LKI = 7321 Liczba azymutow topograficznych LAZT = 96 Liczba azymutow geodezyjnych (GPS) LAZG = 268 Liczba dlugosci klasycznych LD = Liczba dlugosci GPS LDG = 268 Liczba niewiadomych wspolrzednych N = Liczba rownan obserw. i pseudo-obs. M = Liczba elementow nadwymiarowych NW = 8348 µp = m

8 Sieć realizacyjna o strukturze hybrydowej dla II linii metra w Warszawie. Wyrównanie sieci w systemie GEONET po przekształceniu wektorów GPS w pseudo-obserwacje w postaci wektorów linii geodezyjnych Liczba punktów wyznaczanych lp = 166 Przeciętny błąd połoŝenia (w łuku) Mp(sr) = m Maksymalny błąd połoŝenia (w łuku) Mp(max) = m

9 Formuły skalarne równań poprawek wektora GNSS w układzie elipsoidalnym (preferowana metoda) v ij (X) = + sin(b i ) cos(l i ) (R M (i) +h i ) db i + sin(l i ) cos(b i ) (R N (i) +h i ) dl i cos(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) cos(l j ) (R M (j) +h j ) db j sin(l j ) cos(b j ) (R N (j) +h j ) dl j + cos(l j ) cos(b j ) dh j + [ X ij (X j (0) Xi (0) )] = = + sin(b i ) cos(l i ) µ i db i + sin(l i ) ν i dl i cos(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) cos(l j ) µ j db j sin(l j ) ν j dl j + cos(l j ) cos(b j ) dh j [ X ij (X j (0) X i (0) )] v ij (Y) = + sin(b i ) sin(l i ) (R M (i) +h i ) db i cos(l i ) cos(b i ) (R N (i) +h i ) dl i sin(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) sin(l j ) (R M (j) +h j ) db j + cos(l j ) cos(b j ) (R N (j) +h j ) dl j + sin(l j ) cos(b j ) dh j + [ Y ij (Y j (0) Y i (0) )] = = + sin(b i ) sin(l i ) µ i db i cos(l i ) ν i dl i sin(l i ) cos(b i ) dh i + sin(b j ) sin(l j ) µ j db j + cos(l j ) ν j dl j + sin(l j ) cos(b j ) dh j [ Y ij (Y j (0) Y i (0) )] v ij (Z) = cos(b i ) (R M (i) +h i ) db i 0 dl i sin(b i ) dh i + + cos(b j ) (R M (j) +h j ) db j + 0 dl j + sin(b j ) dh j [ Z ij (Z j (0) Z i (0) )] = = cos(b i ) µ i db i 0 dl i sin(b i ) dh i + + cos(b j ) µ j db j + 0 dl j + sin(b j ) dh j [ Z ij (Z j (0) Z i (0) )] Objaśnienia: db, dl, dh - poprawki do aktualnych (przybliŝonych) współrzędnych B, L, h db, dl - odpowiadające korekty długości łuków południka i równoleŝnika, µ k = 1 + h k / R M (k), ν k = 1 + h k / R N (k) dla k = i, j ; h k 0 => {µ k 1, ν k 1 }, R M (k), R N (k) główne promienie krzywizny elipsoidy w punkcie k - tym.

10 Struktura układu równań obserwacyjnych sieci hybrydowej i algorytm Gaussa-Newtona Punkty podsieci GNSS E k+1 = E k + de k,k+1 A 1 de k,k+1 = C k 1 de k,k+1 de k,k+1 = (a kt P a k + α I ) 1 a kt P W k k = 0, 1, 2... (proces iteracyjny Gaussa-Newtona) A 2 A = A 1 A 2 Punkty podsieci naziemnej Punkty wspólne dwóch podsieci Równania poprawek i ich normalizacja: V = A de W = A C 1 de W = a de W ( a = A C 1 ) α > 0 parametr regularyzacyjny Tichonowa- Marquardta E = (B, L, h), e = (b, l, h) b, l odpowiadające B, L długości łuków południka i równoleŝnika

11 Sieć testowa wyrównanie w róŝnych wariantach Maksymalne korekty współrzędnych w kolejnych iteracjach [m] (miary kątowe przeliczane na długości łuków) Iteracja Gaussa- Newtona I Indeks metody II III I oryginalne GNSS wektory ( X, Y, Z) w funkcji wspolrzędnych geodezyjnych II pseudoobserwacje ( B, L) róŝnice współrzędnych III pseudoobserwacje (s, α) - parametry linii geodezyjnych ZałoŜenia: Ze współrzędnych stacji ASG-EUPOS w układzie PL-ETRF2000 wygenerowano wektory ( X, Y, Z). Przyjęto punkt stały GIZY. Dla pozostałych punktów załoŝono współrzędne przybliŝone B (0), L (0) zaokrąglone do 1 (t.j. ok m w długościach łuków równoleŝnika i południka), h (0) zaokrąglone do 1 m. Wyniki: z precyzją m mierzoną w długościach łuków lub zmianie wysokości otrzymano po 3-6 iteracjach.

12 Literatura cytowana Daxinger W., Stirling R. (1995): Kombinierte Ausgleichung von terrestrischen und GPS Messungen. Österreichische Zeitschrift für Vermessung und Geoinformation, 83, Gajderowicz, I. (1997): Combination of classical observations with two-dimensional GPS vectors. Olsztyn University of Agriculture & Technology. Institute of Geodesy. Gargula T. (2010): GPS vector Network adjustment on the projection plane of local coordinate system. Polska Akademia Nauk, Oddział w Krakowie, Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi. Nr 6/2010, s Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Wasle E. (2008): GNSS Global Navigation Satellite Systems. Springer-Verlag Wien. Kadaj R. (1997): Wyrównanie sieci wektorowej GPS i jej transformacja do układu odwzorowawczego elipsoidy Krasowskiego lub GRS-80 w programach systemu GEONET. Seminarium Komitetu Geodezji PAN: Zastosowanie technik kosmicznych w geodezji i geodynamice. Kraków września Kadaj R. (1998): Models, methods and computation algorithms of kinematic network in geodetic deformations measurements. In Polish: Modele, metody i algorytmy obliczeniowe sieci kinematycznych w geodezyjnych pomiarach przemieszczeń i odkształceń obiektów. Wydawnictwa AR w Krakowie, 1988, ISBN Kadaj R. (2016a): Empirical methods of reducing the observations in geodetic networks. Geodesy and Cartography. Vol. 65, No 1, 2016, pp Kadaj R. (2016b): The combined geodetic network adjusted on the reference ellipsoid a comparison of three functional models for GNSS observations. Geodesy and Cartography. April, 2016 (in print). Leick A. (2004): GPS Satellite Surveying. John Wiley & Sonst, Inc. (Third Edition). ISBN Strauss R., Walter H. (1993): Die Ausgleichung von GPS-Beobachtungen im System der Landeskoordinaten. AVN 6/1993, Strehle J. (1996): Ermittlung von Landeskoordinaten aus GPS-Messungen. Mitteilungsblatt DVW-Bayern 41/1996, Świątek, K. (1986): Wyrównanie łączne sieci naziemnej i dopplerowskiej. Geodezja i Kartografia, XXXV, 3-4. Thomson D.B. (1976): Combination of Geodetic Networks. Technical Report No. 30, April 1976, Department of Surveying Engineering University of New Brunswick, Canada

13 Dzi ziękuj kuję za uwagę Roman J. Kadaj Politechnika Rzeszowska Katedra Geodezji im. K. Weigla