WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA

Transkrypt

1 WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DZIAŁ I: LICZBY o podaje przykłady zdań w sensie logicznym; o zaprzecza zdaniu prostemu; o zaprzecza zdaniu złoŝonemu; o podaje podstawowe spójniki logiczne; o rozpoznaje zdania logiczne; o określa wartość logiczną zdań zapisanych jako alternatywa i koniunkcja; o określa wartość logiczną zdań zapisanych jako implikacja i równowaŝność; o stosuje pojęcie zbioru; o podaje przykłady elementów danego zbioru; o uŝywa symboli w zakresie działań na zbiorach; o określa zbiory na podstawie reguły słownej; o wyznacza podzbiory danego zbioru; o wyznacza sumę, róŝnicę i iloczyn dwóch zbiorów; o podaje przykłady zbiorów liczbowych skończonych i nieskończonych o określonych własnościach; o określa podzbiory liczb rzeczywistych; o wymienia przykłady liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, rzeczywistych; o zaznacza na osi liczbowej liczby wymierne; o zaokrągla podane liczby z zadaną dokładnością; o wykonuje działania na liczbach całkowitych; o zna i stosuje prawa działań arytmetycznych; o oblicza wartości łatwych wyraŝeń arytmetycznych; o zapisuje liczbę wymierną w postaci ułamka dziesiętnego skończonego lub ułamka nieskończonego okresowego; o wykonuje proste działania łączne na ułamkach; o stosuje własności działań na liczbach wymiernych; o stosuje wzory na kwadrat sumy i kwadrat róŝnicy oraz róŝnicę kwadratów; o stosuje odpowiednią kolejność wykonywania działań w rachunku arytmetycznym i na wyraŝeniach algebraicznych; o stosuje określenie przedziałów liczbowych; o zaznacza połoŝenie przedziałów liczbowych o określonych własnościach na osi liczbowej; o wyznacza sumę, iloczyn i róŝnicę dwóch przedziałów na osi liczbowej; o zaznacza przedział na osi liczbowej podany za pomocą podwójnej nierówności; o wykonuje działania na przedziałach; o stosuje określenie wartości bezwzględnej z danej liczby; o podnosi liczbę wymierną do potęgi o wykładniku naturalnym; o zapisuje iloczyn tych samych czynników w postaci potęgi; o mnoŝy i dzieli potęgi o tej samej podstawie; o podnosi potęgę do potęgi; o podnosi liczby wymierne do potęgi o wykładniku całkowitym; o zapisuje liczby w notacji wykładniczej; o stosuje w obliczeniach twierdzenia o potęgach o wykładniku całkowitym; o oblicza proste przykłady pierwiastków kwadratowych i sześciennych; o oblicza pierwiastek kwadratowy i sześcienny z liczby wymiernej; o podnosi do potęgi liczbę rzeczywistą o wykładniku naturalnym; o oblicza wartości łatwych wyraŝeń arytmetycznych z zastosowaniem potęg; o oblicza wartości wyraŝeń arytmetycznych z zastosowaniem potęg i kolejnością działań; o podnosi do potęgi iloczyn i iloraz liczb; o mnoŝy liczby zapisane w notacji wykładniczej; o zapisuje liczby będące iloczynem dowolnej liczby i potęgi liczby 10 w notacji wykładniczej; o oblicza potęgi liczb całkowitych o wykładniku całkowitym; o wyłącza czynnik przed znak pierwiastka; o podnosi liczby rzeczywiste do potęgi o wykładniku całkowitym; o oblicza wartości prostych wyraŝeń zawierających potęgi i pierwiastki; o stosuje kalkulator do prostych obliczeń, w których występują potęgi i pierwiastki; 1 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

2 1 1 o usuwa niewymierność z mianownika w ułamkach postaci oraz w prostych ułamkach postaci, a b c 1 ; a+ b c o stosuje pojęcie procentu; o wykonuje obliczenia procentowe: zamienia ułamek na procent i procent na ułamek, oblicza procent z danej liczby, oblicza liczbę z danego jej procentu, oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba; o odczytuje potrzebne informacje z tabel; o odróŝnia przyrost bezwzględny od przyrostu procentowego; o odróŝnia zmiany procentowe wyraŝone w procentach, od zmian wyraŝonych w punktach procentowych; o rozróŝnia i porównuje wartości dokładne liczb z ich przybliŝeniami; o odczytuje informacje z diagramu procentowego; o buduje diagramy słupkowe i kołowe; o odczytuje diagramy i wykresy statystyczne; o przedstawia dane statystyczne w postaci diagramu lub tabeli; o wykonuje działania na liczbach i wyraŝeniach liczbowych oraz szacuje ich wartości; o szacuje wartości pierwiastków kwadratowych; o podaje wyniki przybliŝone z zadaną dokładnością; o szacuje wartość średnią danych liczb. o rozumie, na czym polega dowód matematyczny; o podaje kontrprzykład pokazujący fałszywość danej hipotezy; o ocenia wartość logiczną trudniejszych zdań ze spójnikami alternatywy, koniunkcji i negacji wraz z uzasadnieniem; o podaje przykłady zbiorów spełniających określone warunki; o uzasadnia zawieranie się zbiorów oraz wykazuje, Ŝe dany zbiór jest pusty; o zapisuje liczby w róŝnej postaci; o zaznacza na osi liczbowej wybraną liczbę niewymierną; o przedstawia symbolicznie najwaŝniejsze zaleŝności w zbiorze liczb rzeczywistych; o oblicza wartości bardziej złoŝonych wyraŝeń arytmetycznych; o rozpoznaje liczby wymierne o skończonym i nieskończonym rozwinięciu dziesiętnym; o zamienia ułamek okresowy na ułamek zwykły i wyznacza długość okresu; o uzasadnia prawdziwość wzorów skróconego mnoŝenia; o podaje przykłady przedziałów liczbowych, spełniających określony warunek; o stosuje określenie wartości bezwzględnej dla danego wyraŝenia algebraicznego; o podaje interpretację geometryczną wartości bezwzględnej na osi liczbowej; o rozwiązuje równania i nierówności z wartością bezwzględną, w oparciu o interpretację geometryczną na osi liczbowej; o zapisuje za pomocą wartości bezwzględnej zbiory i przedziały liczbowe spełniające określony warunek; o porównuje liczby zapisane w notacji wykładniczej; o oblicza pierwiastki wyŝszych stopni; o przekształca wyraŝenie zawierające pierwiastki do najprostszej postaci; o oblicza wartości wyraŝeń zawierających potęgi i pierwiastki; o rozwiązuje proste równania, w których niewiadoma występuje w wykładniku; o stosuje kalkulator do trudniejszych obliczeń, w których występują potęgi i pierwiastki; 1 1 o usuwa niewymierność z mianownika w ułamkach postaci, ; b c a+ b c o oblicza wartości złoŝonych wyraŝeń zawierających potęgi o wykładnikach całkowitych i pierwiastki; o uzasadnia twierdzenia o pierwiastkach i potęgach; o oblicza, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba w trudniejszych przypadkach; o wykonuje obliczenia procentowe w zadaniach praktycznych; o rozwiązuje zadania praktyczne dotyczące procentowych porównań i zmian procentowych; o określa procentowe róŝnice szacowań i wyników dokładnych; o porównuje szacowania pomiarów z wynikami dokładnymi; o stosuje pojęcie błędu bezwzględnego i względnego w szacowaniu wyników; o stosuje w praktyce pojęcie dokładności pomiaru danej wielkości. Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

3 DZIAŁ II: FUNKCJE o podaje określenie funkcji i objaśnia je na przykładach; o rozstrzyga, czy dane przyporządkowanie jest funkcją; o określa, dla funkcji danej tabelką i grafem: dziedzinę, wartość dla danego argumentu, argumenty dla danych wartości, zbiór wartości; o sporządza wykres funkcji y = x ; o określa dziedzinę funkcji y = x, wyznacza jej wartości w punkcie i znajduje argument dla danej wartości; o odczytuje z wykresu: wartość funkcji w punkcie, argument dla danej wartości, dziedzinę funkcji i zbiór wartości; o sprawdza, czy dany punkt leŝy na wykresie funkcji, bez wykonywania wykresu; o sporządza wykres funkcji liniowej na podstawie tabelki; o rozstrzyga, czy dana krzywa jest wykresem funkcji; o sporządza wykres funkcji y = x za pomocą tabelki; o podaje określenie miejsca zerowego i objaśnia je na przykładach; o odczytuje z wykresu miejsca zerowe funkcji; o oblicza miejsca zerowe funkcji liniowej i funkcji y = x ; o objaśnia na przykładach określenia funkcji rosnącej, malejącej i stałej; o określa monotoniczność funkcji lub podaje przedziały monotoniczności na podstawie wykresu; o analizuje proste wykresy z Ŝycia codziennego, podając: dziedzinę i zbiór wartości, przedziały, w których funkcja jest dodatnia (ujemna), przedziały monotoniczności; o wyszukuje wśród danych wykresów takie, które spełniają z góry określone własności; o sporządza wykresy funkcji: y = x, y = c, y = x, y = x, y = x, y = x 1 bez pomocy tabelki; o określa na podstawie danych wykresów, dziedzinę funkcji, zbiór wartości, wartość największą i najmniejszą, miejsca zerowe i rodzaj monotoniczności funkcji: y = x, y = c, y = x, y = x, y = x, y = x 1 ; o wyznacza przedziały, dla których wartości funkcji są mniejsze (większe) od danej wartości; o podaje określenie wielkości wprost i odwrotnie proporcjonalnych i objaśnia je na przykładach; o na podstawie danej wartości oblicza wartość do niej proporcjonalną; o odczytuje z tabelki lub z wykresu współczynniki proporcjonalności; o określa rodzaj proporcjonalności między zmiennymi, opisanymi danym wzorem; o podaje określenie funkcji liniowej i objaśnia je na przykładach; o wyjaśnia znaczenie współczynnika kierunkowego i wyrazu wolnego, występujących w ogólnym wzorze funkcji liniowej; o wyznacza wzór funkcji liniowej w prostych zadaniach geometrycznych i z treścią; o wyznacza wzór funkcji liniowej, znając współczynnik kierunkowy i wartość funkcji w jednym punkcie lub znając wartości funkcji w dwóch punktach; o sporządza wykresy funkcji liniowych; o odczytuje z wykresu, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie lub ujemne; o znajduje miejsca zerowe funkcji liniowej; o określa monotoniczność funkcji liniowej na podstawie wykresu; o określa monotoniczność funkcji liniowej na podstawie wzoru; o rozwiązuje algebraicznie i graficznie proste nierówności liniowe; o sporządza wykresy prostych funkcji liniowych z wartością bezwzględną; o odczytuje wartości funkcji zapisanych w postaci klamerkowej ; o sporządza i analizuje wykresy drogi w zaleŝności od czasu w prostych przypadkach; o wykonuje przesunięcia pionowe i poziome danych wykresów funkcji. o określa, dla danej reguły, funkcje w róŝnej postaci: wzoru, grafu, tabeli, wykresu; o objaśnia na przykładach róŝnicę pomiędzy zbiorem wartości a przeciwdziedziną; o stosuje róŝne sposoby zapisu wzoru funkcji: y =, f(x) =, g:x, h(s)= ; o objaśnia pojęcie wykresu; o podaje przykład funkcji mającej nieskończenie wiele miejsc zerowych; o objaśnia na przykładach, np. y = x 1, Ŝe funkcja, która maleje (rośnie) na wszystkich przedziałach określoności, nie musi być malejąca (rosnąca) w całej dziedzinie; 3 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

4 o uzasadnia brak zaleŝności między monotonicznością funkcji a istnieniem miejsc zerowych; o analizuje złoŝone wykresy z Ŝycia codziennego, podając: dziedzinę i zbiór wartości, przedziały, w których funkcja jest dodatnia (ujemna), przedziały monotoniczności; o wyciąga wnioski o przebiegu zjawiska na podstawie wykresów kilku cech ilustrujących to zjawisko; o wyszukuje wśród funkcji danych wzorem funkcje, spełniające określone własności; o odczytuje z wykresu punkty przecięcia wykresów dwóch funkcji; o określa wzór, opisujący proporcjonalność prostą i odwrotną; o uzasadnia proporcjonalność dwóch wielkości na podstawie ich wykresów; o określa rodzaj i wzór proporcjonalności dla róŝnych sytuacji z Ŝycia codziennego; o analizuje i objaśnia przykłady modelowania matematycznego, wykorzystujące funkcje; o podaje interpretację geometryczną współczynnika kierunkowego prostej; o wyznacza wzór funkcji liniowej w bardziej złoŝonych zadaniach geometrycznych i zadaniach z treścią; o wyznacza wzór funkcji liniowej, znając współczynnik kierunkowy i miejsce zerowe; o rozwiązuje algebraicznie i graficznie bardziej złoŝone nierówności liniowe; o rozwiązuje zadania z treścią prowadzące do nierówności liniowych; o sporządza wykresy funkcji liniowych z wartością bezwzględną; o buduje funkcje klamerkowe, sporządza ich wykresy i określa monotoniczność; o analizuje i objaśnia przykłady modelowania matematycznego, wykorzystujące funkcje liniowe; o posługuje się funkcją y = [x]; o sporządza i analizuje wykresy drogi w zaleŝności od czasu w bardziej złoŝonych przypadkach; o wykonuje przesunięcia pionowe i poziome oraz buduje wzór funkcji przesuniętej. DZIAŁ III: FUNKCJA KWADRATOWA o podaje przykłady równań kwadratowych w najprostszych przypadkach: x = a, ax + bx = 0 oraz rozwiązuje je w sytuacjach, gdy posiadają pierwiastki wymierne; o rozwiązuje równania powyŝszego typu, wykonując najpierw proste przekształcenia; o rozwiązuje proste równania kwadratowe metodą uzupełniania do kwadratu; o oblicza wartość wyróŝnika dla trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych; o określa na podstawie znaku wyróŝnika liczbę pierwiastków równania kwadratowego; o rozwiązuje równania kwadratowe za pomocą wzorów; o rozwiązuje w pamięci proste równania kwadratowe typu x = c; o rozwiązuje proste zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych; o szkicuje wykresy funkcji kwadratowych postaci y = ax oraz y = ax + c; o odczytuje z wykresu funkcji kwadratowej argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne); o bada, czy dany punkt leŝy na wykresie funkcji kwadratowej; o wyznacza miejsca zerowe i zbiór wartości funkcji kwadratowej; o dopasowuje wzór funkcji kwadratowej do odpowiedniego wykresu; o podaje współrzędne wierzchołka paraboli, wartość najmniejszą albo największą oraz zbiór wartości funkcji i wyznacza przedziały monotoniczności na podstawie postaci kanonicznej funkcji kwadratowej; o sprowadza trójmiany kwadratowe do postaci kanonicznej na podstawie wzoru; o oblicza argument(y) funkcji kwadratowej, gdy dana jest jej wartość; o oblicza współrzędne wierzchołka paraboli, wartość najmniejszą albo największą oraz zbiór wartości i wyznacza przedziały monotoniczności na podstawie postaci ogólnej funkcji kwadratowej; o określa w prostych przypadkach liczbę punktów wspólnych paraboli z prostą i paraboli z parabolą na podstawie wykresu; o wyznacza punkty przecięcia się dwóch parabol; o rozwiązuje typowe zadania dotyczące zastosowań funkcji kwadratowej w geometrii, ekonomii oraz fizyce. o rozwiązuje równania kwadratowe mające pierwiastki niewymierne, podając je z zadaną dokładnością; o dobiera odpowiednie współczynniki do równań kwadratowych tak, aby równania te miały dany pierwiastek; o uzupełnia wyraŝenia algebraiczne o współczynnikach całkowitych do pełnego kwadratu; o uzupełnia wyraŝenia algebraiczne o współczynnikach wymiernych do pełnego kwadratu; o rozwiązuje trudniejsze równania kwadratowe metodą uzupełniania do kwadratu; o dobiera odpowiednie wartości parametru w równaniu kwadratowym tak, aby równanie to miało dokładnie jeden pierwiastek; o wyprowadza wzory na pierwiastki równania kwadratowego przy ustalonym współczynniku; 4 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

5 o uzasadnia sposób wyznaczania dziedziny funkcji wymiernej o mianowniku będącym funkcją kwadratową i wyznacza tę dziedzinę; o rozwiązuje równania kwadratowe z wartością bezwzględną; o układa równania kwadratowe mając dane pierwiastki; o rozwiązuje trudniejsze zadania tekstowe prowadzące do równań kwadratowych; o wyznacza równanie paraboli, spełniające dane warunki; o bada monotoniczność funkcji kwadratowej w przedziale, w oparciu o postać kanoniczną tej funkcji; o wyznacza punkt wspólny rodziny parabol; o sprowadza trójmiany kwadratowe do postaci kanonicznej poprzez uzupełnienie do kwadratu; o bada monotoniczność funkcji kwadratowej w przedziale, w oparciu o postać ogólną i wykres tej funkcji; o rozpoznaje na podstawie wzoru funkcji kwadratowej rodzaj przekształcenia, jakiemu został poddany wyjściowy jednomian kwadratowy; o podaje współrzędne wierzchołka paraboli na podstawie symetrycznie połoŝonych punktów wykresu; o wyszukuje wśród wzorów funkcji kwadratowych wzory tych funkcji, które przyjmują tylko wartości dodatnie (ujemne); o rozwiązuje trudniejsze zadania dotyczące zastosowań funkcji kwadratowej w geometrii, ekonomii i fizyce; o wyznacza równanie paraboli, gdy dane są trzy róŝne punkty leŝące na niej; o wyznacza równanie paraboli, gdy dany jest jej wierzchołek i jeden punkt leŝący na niej. o rozwiązuje zadania dotyczące modelowania zjawisk z otaczającej rzeczywistości. DZIAŁ IV: GEOMETRIA o podaje przykłady figur podobnych; o sprawdza proporcjonalność odcinków; o określa skalę podobieństwa figur; o rozpoznaje wielokąty podobne; o stosuje pojęcie proporcji do określania podobieństwa figur; o rozpoznaje figury podobne w otaczającym świecie; o oblicza na podstawie skali podobieństwa pola i obwody figur podobnych; o rozpoznaje kąty przyległe, wierzchołkowe, odpowiadające oraz naprzemianległe; o omawia własności kątów odpowiadających i naprzemianległych; o wskazuje w trójkącie wysokości i środkowe; o odczytuje, w jakim stosunku dana prosta dzieli odcinek; o stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie oraz o kątach przy podstawie w trójkącie równoramiennym; o oblicza pole trójkąta w typowych sytuacjach; o określa skalę podobieństwa na podstawie długości boków trójkąta; o oblicza długości odcinków wyznaczonych przez ramiona kąta i proste równoległe; o objaśnia i stosuje cechy przystawania trójkątów; o zapisuje stosunki odpowiednich boków trójkąta. sprawdza proporcjonalność boków trójkątów; o rozpoznaje trójkąty podobne; o objaśnia i stosuje cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych; o interpretuje i stosuje twierdzenie Talesa; o objaśnia i stosuje cechy BBB, KKK, BKB podobieństwa dowolnych trójkątów; o sprawdza podobieństwo trójkątów; o oblicza długości boków lub miary kątów w trójkątach podobnych; o rysuje trójkąt podobny do danego o określonych własnościach; o zna twierdzenie o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta; o zna i stosuje twierdzenie o wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym; o rysuje trójkąt prostokątny i nazywa poszczególne boki. potrafi oznaczać długości boków i miary kątów w standardowy sposób; o oblicza stosunki długości odpowiednich boków w prostokątnych trójkątach podobnych; o określa tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym; o odczytuje z rysunku odpowiednie dane i oblicza tangens kąta; o znajduje za pomocą kalkulatora przybliŝoną wartość tangensa dowolnego kąta; o odczytuje z tabeli przybliŝone wartości liczbowe tangensa danego kąta; o określa cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym; o odczytuje z rysunku odpowiednie dane i oblicza cotangens kąta; o znajduje za pomocą kalkulatora przybliŝoną wartość cotangensa dowolnego kąta; o rysuje kąt, gdy dany jest jego tangens; 5 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

6 o rysuje kąt, gdy dany jest jego cotangens; o oblicza długości przyprostokątnych, gdy dany jest tangens lub cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym; o określa sinus i cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym; o odczytuje z rysunku odpowiednie dane i oblicza sinus lub cosinus kąta; o znajduje przy pomocy kalkulatora przybliŝoną wartość sinusa lub cosinusa dowolnego kąta; o oblicza długości boków w trójkącie prostokątnym, gdy dany jest sinus lub cosinus kąta ostrego; o wyznacza w oparciu o własności trójkąta równobocznego oraz trójkąta prostokątnego równoramiennego, wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30, 45, 60 i sprawdza wyniki tych obliczeń; o rozwiązuje trójkąty prostokątne. o wyjaśnia własność złotego prostokąta i stosuje złoty podział odcinka; o stosuje kryterium podobieństwa wielokątów foremnych; o podaje przykłady brył podobnych i znajduje ich skalę podobieństwa; o wyjaśnia na przykładach zaleŝność między skalą podobieństwa, a polem powierzchni i objętością brył; o modeluje róŝne sytuacje wykorzystując podobieństwo figur płaskich i brył; o stosuje twierdzenie Talesa w nietypowych sytuacjach (w obie strony); o przedstawia najwaŝniejsze idee dowodu twierdzenia Talesa; o uzasadnia podział trójkąta prostokątnego na trójkąty podobne za pomocą wysokości; o stosuje twierdzenie o stosunku pól trójkątów o takiej samej wysokości; o stosuje twierdzenie Pitagorasa do sprawdzania podobieństwa trójkątów; o formułuje cechy podobieństwa wielokątów; o wyznacza długości boków lub miary kątów wielokątów podobnych; o oblicza pole trójkąta w nietypowych sytuacjach; o dzieli konstrukcyjnie dany odcinek na dwie części w danym stosunku lub na inną, określoną liczbę równych części; o oblicza długość odcinków wyznaczonych przez ramiona kąta i proste równoległe w bardziej złoŝonych przypadkach; o zauwaŝa związek podobieństwa trójkątów z twierdzeniem Talesa i wykorzystuje go w rozwiązywaniu zadań; o wykonuje niezbędne pomiary w celu wyznaczenia przybliŝonej wartość tangensa, cotangensa, sinusa i cosinusa danego kąta; o porównuje wartości funkcji tangens, cotangens, sinus, cosinus dla danego kąta; o oblicza dokładne wartości funkcji sinus, cosinus, tangens, cotangens dla kątów o mierze 30, 45, 60 ; o na podstawie wartości funkcji trygonometrycznych rozpoznaje kąty 30, 45, 60 ; o ustala związki między funkcjami tego samego kąta ostrego; o oblicza pole i wysokość trójkąta równobocznego o danym boku; o rozwiązuje złoŝone zadania tekstowe na zastosowanie poznanych własności trójkątów prostokątnych o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90 ; o oblicza wartości nietypowych wyraŝeń zawierających funkcje trygonometryczne. DZIAŁ V: GEOMETRIA ANALITYCZNA o stosuje układ współrzędnych do określania połoŝenia punktów zaznacza punkty i odczytuje ich współrzędne; o sporządza wykresy prostych w postaci kierunkowej; o sprawdza, czy dany punkt leŝy na wykresie prostej, bez wykonywania wykresu; o analizuje wykresy prostych; odczytuje współczynnik kierunkowy i wyraz wolny danej prostej; o sporządza wykresy i odczytuje wzory prostych pionowych; o określa równoległość prostych w postaci kierunkowej; o wyznacza równanie prostej, gdy dany jest punkt i kierunek prostej; o wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty; o przekształca równanie prostej z postaci kierunkowej do ogólnej i odwrotnie; o sporządza wykresy prostych danych w postaci ogólnej; o znajduje punkt przecięcia prostych poprzez rozwiązywanie układu równań metodą podstawiania i metodą przeciwnych współczynników; o zaznacza na płaszczyźnie zbiory rozwiązań nierówności i prostych układów nierówności liniowych; o opisuje za pomocą układów nierówności liniowych proste obszary płaszczyzny; o oblicza odległość między punktami, wyznacza długości boków wielokątów; o wyznacza środek odcinka; 6 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

7 o stosuje wzór na odległość punktów do badania prostych sytuacji geometrycznych oraz sytuacji z Ŝycia codziennego; o ustala, czy dane proste są prostopadłe. o określa kierunek prostej poprzez interpretację współczynnika kierunkowego; y y1 o wyprowadza wzór na współczynnik kierunkowy prostej k = ; x x1 o uzasadnia warunek równoległości prostych w postaci kierunkowej; o wyznacza wartości parametrów, dla których proste są równoległe; o znajduje równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i przecinającej oś Ox pod danym kątem; o wyprowadza wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty; o wyznacza równania prostych zawierających boki wielokątów; o uzasadnia warunek równoległości prostych w postaci ogólnej; o wyznacza pole figury ograniczonej prostymi; o wyznacza parametry, dla których proste przecinają się; o zaznacza na płaszczyźnie rozwiązania alternatywy nierówności liniowych; o rozwiązuje graficznie złoŝone nierówności liniowe (równieŝ z wartością bezwzględną); o opisuje za pomocą układów nierówności liniowych bardziej złoŝone obszary płaszczyzny; o uzasadnia wzór na odległość punktów na płaszczyźnie; o wyznacza równanie symetralnej odcinka; o wyznacza odległość między prostymi równoległymi; o wyznacza równanie prostej przechodzącej przez dany punkt i prostopadłej do danej prostej. o analizuje i objaśnia przykłady modelowania matematycznego oraz samodzielnie przeprowadza modelowanie róŝnych zagadnień za pomocą metod geometrii analitycznej. 7 Przewodnik metodyczny. Klasa 1. Zakres podstawowy

8 WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DZIAŁ I: CIĄGI o odgaduje wzór ciągu w prostych przypadkach na podstawie jego wykresu; o wymienia elementy dziedziny i wyrazy ciągu określonego słownie, wykresem lub tabelką; o zapisuje ciąg słownie, w formie tabelki, wzoru; o rozpoznaje, czy dany ciąg jest skończony, czy nieskończony; o określa kolejne wyrazy ciągu na podstawie opisu słownego lub ogólnego wzoru; o bada w prostych przypadkach, czy dany ciąg jest rosnący, malejący, czy stały; o sporządza wykres danego ciągu przy określonej liczbie wyrazów; o podaje ogólny wzór ciągu na podstawie opisu słownego n-tego wyrazu; o rozróŝnia, które z danych wykresów funkcji przedstawiają ciągi; o odkrywa zasadę tworzenia ciągu na podstawie podanych kilku pierwszych wyrazów tego ciągu; o określa wartość wybranego wyrazu ciągu, gdy dane są wartości kilku początkowych wyrazów; o rozpoznaje na podstawie kilku pierwszych wyrazów ciągu, czy dany ciąg jest arytmetyczny; o rozpoznaje na podstawie podanego wzoru ogólnego ciągi arytmetyczne; o podaje na podstawie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego pierwszy wyraz a 1 i róŝnicę ciągu r; o podaje wzór ogólny ciągu arytmetycznego, gdy dany jest pierwszy wyraz a 1 i róŝnica ciągu r; o rozpoznaje, które z danych wykresów są wykresami ciągu arytmetycznego; o określa typ monotoniczności podanego ciągu arytmetycznego; o stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania prostych zadań tekstowych; o znajduje sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego; o znajduje liczbę wyrazów ciągu arytmetycznego, gdy dana jest wartość sumy, wyraz pierwszy i róŝnica ciągu; o rozpoznaje na podstawie pierwszych wyrazów ciągu, czy dany ciąg jest ciągiem geometrycznym; o odróŝnia na podstawie podanego wzoru ogólnego, które ciągi są ciągami geometrycznymi; o podaje na podstawie wzoru ogólnego ciągu geometrycznego pierwszy wyraz a 1 i iloraz ciągu q; o podaje wzór ogólny ciągu geometrycznego, gdy dany jest pierwszy wyraz a 1 i iloraz q ciągu; o rozpoznaje, które z danych wykresów są wykresami ciągu geometrycznego; o określa typ monotoniczności podanego ciągu geometrycznego; o stosuje własności ciągu geometrycznego do rozwiązywania prostych zadań tekstowych; o znajduje sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o skończonej liczbie wyrazów; o znajduje liczbę wyrazów skończonego ciągu geometrycznego, gdy dana jest wartość sumy, wyraz pierwszy i iloraz ciągu; o rozwiązuje, z zastosowaniem ciągu geometrycznego, zadania wiąŝące się ze wzrostem o stałym tempie procentowym; o oblicza wzrost lub zanik wykładniczy danej wielkości; o wykonuje obliczenia procentowe dotyczące zaniku wykładniczego danej wielkości w czasie; o oblicza wysokość rat i odsetek od kredytu o określonej wysokości i stałym oprocentowaniu w ciągu roku; o oblicza, jaki procent kredytu przy stałym oprocentowaniu stanowią odsetki; o oblicza wartość spłaconego kredytu, tj. wysokość rat kredytowych + odsetek, gdy dany jest okres spłaty i roczna stopa procentowa; o przeprowadza obliczenia dotyczące spłaty kredytu o określonej wysokości i stałym oprocentowaniu w danym okresie (tzw. procent składany); o znajduje wysokość wzrostu kwoty kredytu z odsetkami przy danym oprocentowaniu w określonym czasie. o rozróŝnia wielkości ciągłe i dyskretne; o odczytuje z danego wykresu wartości ciągu i przedziały monotoniczności; o przedstawia róŝne zaleŝności za pomocą wykresu ciągu, którego dziedziną jest skończony podzbiór zbioru liczb naturalnych; o wybiera optymalny sposób przedstawienia danych w konkretnej sytuacji (mając do dyspozycji np. wykres, wzór, tabelkę); 1 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

9 o znajduje, o ile istnieje, najmniejszy i największy wyraz ciągu na podstawie wzoru ogólnego; o znajduje na podstawie wzoru ogólne ciągu, numer wyrazu ciągu, znając jego wartość; o bada, czy ciąg o danym wzorze ogólnym jest monotoniczny, czy posiada wartość najmniejszą oraz największą; o odkrywa trudniejsze zasady tworzenia ciągu na podstawie podanych kilku pierwszych wyrazów ciągu; o opisuje za pomocą ogólnego wzoru reguły tworzenia ciągów geometrycznych; o odczytuje rekurencyjny sposób opisania ciągów i stosuje go w prostych przypadkach do wyznaczenia początkowych wyrazów ciągu; o określa kolejne wyrazy ciągu na podstawie podanej rekurencyjnie zaleŝności; o sprawdza, mając dane dwa inne wyrazy tego ciągu, czy dana liczba jest wartością wyrazu danego ciągu arytmetycznego; o stosuje własności ciągu arytmetycznego do rozwiązywania złoŝonych zadań tekstowych; o uzasadnia trudniejsze własności ciągu arytmetycznego, tj. monotoniczność i to, Ŝe kaŝdy wyraz, oprócz pierwszego, jest średnią arytmetyczną dwóch sąsiednich wyrazów; o wyznacza ogólny wyraz ciągu arytmetycznego, znając zaleŝność na Sn; o wykorzystuje wzór na sumę ciągu arytmetycznego w rozwiązywaniu róŝnych problemów; o stosuje własności ciągu geometrycznego do rozwiązywania złoŝonych zadań tekstowych; o uzasadnia trudniejsze własności ciągu geometrycznego, tj. monotoniczność i to, Ŝe kaŝdy wyraz, oprócz pierwszego, jest średnią geometryczną dwóch sąsiednich wyrazów; o wykorzystuje wzór na sumę ciągu geometrycznego do rozwiązywania róŝnych problemów; o oblicza okres podwojenia przy danym rocznym wzroście procentowym; o oblicza przyrost procentowy, znając przyrost w danym okresie; o określa procentowe tempo wzrostu w danym okresie przy podanej wielkości wzrostu; o porównuje procentowe przyrosty danej wielkości przy róŝnym tempie wzrostu tej wielkości w określonym czasie; o oblicza procent spadku danej wielkości w określonym czasie; o odczytuje i interpretuje róŝne sytuacje dotyczące modelowania matematycznego z uŝyciem ciągów arytmetycznego i geometrycznego; o oblicza na podstawie podanego wzoru wysokość miesięcznych rat kredytu przy danej liczbie rat oraz danym oprocentowaniu; o wykonuje obliczenia dotyczące kapitalizacji kapitału początkowego na podstawie ogólnego wzoru; o rozróŝnia oprocentowanie nominalne od efektywnego; o określa łączny kapitał przy systematycznym oszczędzaniu i stałym rocznym oprocentowaniu; o wyznacza stopę procentową odsetek, znając wartość początkową i końcową lokaty; o wyznacza, jaki procent poŝyczonej sumy stanowią odsetki; o wyznacza efektywną stopę kredytu przy róŝnych okresach kapitalizacji odsetek; o wybiera najkorzystniejszą z lokat oferowanych przez banki w danym czasie. DZIAŁ II: LICZBY I WIELOMIANY o wykonuje dzielenie pisemne z resztą; o uzupełnia brakujące elementy w zapisie dzielenia liczby całkowitej z resztą; o rozwiązuje proste zadania praktyczne na dzielenie liczb całkowitych z resztą; o wyznacza wszystkie moŝliwe reszty z dzielenia liczby całkowitej przez inną liczbę całkowitą; o zapisuje za pomocą wzoru liczby całkowite spełniające określone warunki; o wypisuje wszystkie dzielniki dla konkretnych liczb całkowitych; o podaje wielokrotności danej liczby mniejsze od danej liczby naturalnej; o uzasadnia, Ŝe dana liczba jest złoŝona, korzystając z cech podzielności; o dokonuje rozkładu liczby naturalnej na iloczyn czynników pierwszych; o wskazuje kilka wspólnych wielokrotności dla pary liczb oraz wyznacza ich najmniejszą wspólną wielokrotność; o wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność pary liczb, korzystając z ich rozkładu na czynniki pierwsze; o rozwiązuje proste zadania praktyczne prowadzące do najmniejszej wspólnej wielokrotności oraz największego wspólnego dzielnika; o wyznacza wszystkie wspólne dzielniki pary liczb oraz wskazuje największy z nich; o wyznacza największy wspólny dzielnik pary liczb, korzystając z ich rozkładu na czynniki pierwsze; o wskazuje wielomiany wśród róŝnych funkcji; Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

10 o wyznacza kolejne współczynniki wielomianu; o wyznacza brakujący współczynnik wielomianu, mając daną wartość wielomianu dla danego argumentu; o wyznacza współczynniki wielomianów równych; o oblicza wartość wielomianu dla argumentów liczbowych i literowych; o wskazuje wśród liczb te, które są pierwiastkami danego wielomianu; o wykonuje dodawanie, odejmowanie i mnoŝenie dwóch wielomianów; o wykonuje dodawanie, odejmowanie, mnoŝenie i potęgowanie kilku wielomianów; o porządkuje wielomiany; o wykonuje dzielenie wielomianów z resztą i bez reszty; o podaje przykład wielomianu, który przy dzieleniu przez dany wielomian daje określoną resztę; o oblicza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x r, stosując twierdzenie Bézout; o rozstrzyga, czy wielomian jest podzielny przez dwumian x r; o rozstrzyga, znając resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x r, która z danych liczb nie jest pierwiastkiem tego wielomianu; o rozkłada trójmiany kwadratowe na czynniki, korzystając ze wzorów na pierwiastki; o rozkłada trójmiany kwadratowe na czynniki, korzystając ze wzorów skróconego mnoŝenia; o rozstrzyga, czy dany trójmian kwadratowy moŝna rozłoŝyć na czynniki; o wyznacza dwa współczynniki trójmianu kwadratowego, znając dwa pierwiastki tego trójmianu; o dopasowuje postaci iloczynowe trójmianów kwadratowych do odpowiednich wykresów; o rozwiązuje nierówności kwadratowe dane w najprostszej postaci; o rozwiązuje nierówności kwadratowe, wykonując najpierw odpowiednie przekształcenia; o rozwiązuje nierówności kwadratowe dla trójmianów danych w postaci iloczynowej; o rozwiązuje nierówności kwadratowe dla trójmianów danych w postaci niezupełnej; o rozwiązuje nierówności kwadratowe dla trójmianów danych w postaci iloczynowej po obu stronach znaku nierówności; o wyznacza dziedzinę funkcji, która zawiera trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem kwadratowym; o rozwiązuje nierówności kwadratowe w liczbach naturalnych; o rozkłada wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik przed nawias oraz stosując wzory skróconego mnoŝenia; o podaje przykłady wielomianów o danych pierwiastkach; o wyznacza współczynnik wielomianu, mając dany czynnik występujący w rozkładzie tego wielomianu; o rozwiązuje proste równania wielomianowe; o wyznacza jedyny pierwiastek całkowity równania trzeciego stopnia; o wyznacza wszystkie pierwiastki całkowite równań trzeciego stopnia; o wyznacza pozostałe pierwiastki równania czwartego stopnia, mając dane dwa pierwiastki tego równania; o określa zbiór tych wartości, dla których dane wyraŝenie wymierne ma sens; o oblicza wartość wyraŝenia wymiernego dla danych wartości liczbowych zmiennych; o wykonuje dodawanie, odejmowanie, mnoŝenie i dzielenie wyraŝeń wymiernych; o przekształca równania tak, aby otrzymać jedną ze stron w postaci wyraŝenia wymiernego; o wskazuje wśród wyraŝeń wymiernych te, które są homografiami; o szkicuje wykresy najprostszych funkcji homograficznych; o odczytuje z wykresu homografii własności tej funkcji; o wyznacza dziedzinę i przedziały monotoniczności na podstawie wzoru homografii; o odczytuje z wykresu homografii równania jej asymptot; o podaje równania asymptot homografii na podstawie jej wzoru; o rozwiązuje zdania praktyczne prowadzące do badania własności homografii; o rozwiązuje proste równania z funkcją homograficzną; o układa, a następnie rozwiązuje proste równania z funkcją homograficzną; o rozwiązuje proste nierówności z homografią; o układa, a następnie rozwiązuje proste nierówności z homografią. o uzasadnia podzielność liczb całkowitych przez konkretną liczbę; o wyznacza najmniejsze liczby całkowite spełniające określone warunki; o uzasadnia cechę podzielności przez 11 dla liczb dwu- i trzycyfrowych; o podaje rozkład liczby na czynniki, które są iloczynem dwóch liczb zapisanych w postaci rozkładu na czynniki pierwsze; o wybiera spośród zestawu liczb te, które są pierwsze; o wyznacza największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność trójki liczb; 3 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

11 o wyznacza największy wspólny dzielnik dla duŝych liczb; o wyznacza parę liczb, mając dany jej największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność; o wyznacza najmniejszą wspólną wielokrotność, korzystając z algorytmu Euklidesa; o rozwiązuje zadania praktyczne prowadzące do najmniejszej wspólnej wielokrotności oraz największego wspólnego dzielnika; o wyznacza brakujące współczynniki wielomianu, mając dane wartości wielomianu dla dwóch róŝnych argumentów; o zapisuje w postaci wielomianu iloczyn kilku dwumianów róŝnych stopni; o wyznacza stopień wielomianu będącego wynikiem róŝnych działań na dwóch wielomianach o danych stopniach; o wyznacza resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian x r, nie wykonując dzielenia; o podaje przykład wielomianu, który daje tę samą resztę przy dzieleniu przez róŝne dwumiany x r; o uzupełnia przestawiony schemat dzielenia wielomianu przez dwumian x r; o rozstrzyga, czy wielomian czwartego stopnia dzieli się przez iloczyn dwumianów postaci x r; o wyznacza współczynnik wielomianu tak, aby wielomian ten był podzielny przez dwumian x r; o wyznacza dwa współczynniki wielomianu tak, aby wielomian ten był podzielny przez iloczyn dwumianów postaci x r; o podaje przykłady wielomianów moŝliwie najniŝszego stopnia o danych pierwiastkach; o wyznacza te wartości n, dla których wielomian stopnia n jest podzielny przez dwumian x + 1; o układa równania kwadratowe, mając dane dwa jego pierwiastki; o wyprowadza wzory na sumę i iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego; o rozwiązuje nierówności wielomianowe dla wielomianów danych po obu stronach znaku nierówności w postaci iloczynowej; o podaje przykład nierówności kwadratowej, o danym rozwiązaniu; o rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe z wartością bezwzględną; o rozwiązuje zadania tekstowe prowadzące do nierówności kwadratowych; o wyznacza współczynnik wielomianu tak, aby wielomian dzielił się przez dwumian x r; o rozkłada na czynniki wielomian, stosując podstawienie; o wyznacza dwa współczynniki wielomianu, wiedząc, Ŝe wielomian ten dzieli się przez dany trójmian kwadratowy; o podaje przykład wielomianu o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkami są dane liczby wymierne i niewymierne; o podaje przykład wielomianu róŝnego od stałej, który dla danych argumentów przyjmuje tę samą wartość; o rozstrzyga, czy dany wielomian jest podzielny przez wielomian trzeciego stopnia; o wskazuje wśród danych równań wielomianowych te, które nie mają pierwiastków ujemnych; o wyznacza pierwiastek wielomianu, którego suma współczynników jest równa zero; o rozwiązuje wybrane równania czwartego stopnia; o podaje wzór wielomianu stopnia trzeciego, gdy dany jest jego wykres; o dopasowuje wykresy wielomianów trzeciego i czwartego stopnia do danych wzorów wielomianów; o podaje przykłady wielomianów trzeciego i czwartego stopnia spełniające określone warunki; o wyjaśnia, dlaczego dany wykres nie moŝe być wykresem wielomianu określonego stopnia; o wyznacza przybliŝoną wartość pierwiastka wielomianu trzeciego stopnia, wiedząc, Ŝe naleŝy on do danego przedziału, w końcach którego wielomian ten przyjmuje wartości przeciwnych znaków; o wyznacza jedyny pierwiastek równania trzeciego stopnia z zadaną dokładnością; o wyznacza dla danego równania trzeciego stopnia przedział o całkowitych końcach, do którego naleŝą pierwiastki tego wielomianu; o szkicuje zbiór utworzony z tych punktów płaszczyzny, dla których dane wyraŝenie wymierne z dwiema zmiennymi traci sens; o rozwiązuje zadania praktyczne prowadzące do wyraŝeń wymiernych; o podaje wzór homografii na podstawie jej wykresu; o określa przekształcenia, jakie naleŝy wykonać, aby z wykresu funkcji y = x k otrzymać wykres danej homografii; o podaje przykład homografii, mając dane jej miejsce zerowe i równania dwóch asymptot; o szkicuje wykresy homografii z wartością bezwzględną; o wykonuje róŝne przekształcenia wykresu homografii; o rozwiązuje bardziej złoŝone zadania praktyczne prowadzące do badania własności homografii; o układa, a następnie rozwiązuje bardziej złoŝone równania z funkcją homograficzną; o rozwiązuje równania z funkcją homograficzną i ciągiem geometrycznym; 4 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

12 o rozwiązuje układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, złoŝony z równania liniowego i równania z homografią; o rozwiązuje w liczbach całkowitych proste nierówności z homografią; o układa, a następnie rozwiązuje bardziej złoŝone nierówności z homografią; o rozwiązuje równania homografią i z wartością bezwzględną. DZIAŁ III: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE o odczytuje miary kątów zaznaczonych na rysunku; o zaznacza na rysunku kąt o danej mierze; o wskazuje punkt, na jaki przechodzi dany punkt w obrocie o kąt 180 ; o wyznacza wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla kątów zaznaczonych na rysunku; o wyznacza sinus i cosinus danego kąta; o podaje przykład kąta, którego sinus i cosinus mają określone znaki; o określa znak sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla danego kąta; o wyznacza dwa kąty ujemne i dwa kąty dodatnie takie, aby sinus (cosinus) tych kątów był jednakowy; o wyznacza na podstawie wykresów funkcji sinus (cosinus) niektóre własności tych funkcji: wartość największą (najmniejszą), zbiór wartości, miejsca zerowe; o wybiera z zestawu liczb te, które mogą być wartościami funkcji sinus (cosinus); o wskazuje na wykresie przedziały monotoniczności funkcji sinus (cosinus) dla kątów z przedziału [ 360, 360 ]; o odczytuje z wykresu funkcji sinus (cosinus) w przedziale [0, 360 ] kąty, dla których funkcje te przyjmują miejsca zerowe, wartość największą (najmniejszą); o wskazuje wśród tangensów i cotangensów danych kątów te, które są określone; o rozstrzyga, czy moŝna podać przykład kąta, dla którego tangens jest dodatni, a cotangens ujemny; o podaje przynajmniej trzy kąty, dla których tangens (cotangens) jest równy tangensowi (cotangensowi) danego kąta; o rozstrzyga, czy istnieje kąt, którego tangens jest równy danej liczbie; o wskazuje na wykresie przedziały monotoniczności funkcji tangens (cotangens) dla kątów z przedziału [ 180, 180 ]; o wskazuje na wykresie funkcji tangens (cotangens) te przedziały zawarte w przedziale [0, 360 ], w których funkcje te przyjmują wartości dodatnie (ujemne); o wyznacza punkty wspólne tangensoidy z prostą; o podaje znak kaŝdej z czterech funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta; o określa typ monotoniczności dla kaŝdej z czterech funkcji trygonometrycznych w danym przedziale; o określa połoŝenie kąta z dokładnością do ćwiartki układu przy danych znakach funkcji trygonometrycznych; o rozpoznaje wykresy funkcji trygonometrycznych narysowanych w róŝnych przedziałach; o rozpoznaje rodzaje funkcji na podstawie przyjmowanego znaku i typu monotoniczności w danej ćwiartce układu współrzędnych; o wskazuje miejsce zerowe kaŝdej z czterech funkcji trygonometrycznych, połoŝone najbliŝej danego kąta; o rozstrzyga istnienie kąta, dla którego funkcje trygonometryczne spełniają określone warunki; o oblicza wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając ze wzorów postaci: sin( α) = sinα, i sin(180 α) = sinα, o przekształca do najprostszej postaci wyraŝenia zawierające funkcje trygonometryczne; o sprawdza toŝsamości trygonometryczne; o wyznacza wartość funkcji tangens (cotangens), mając daną wartość funkcji cotangens (tangens) dla kąta α; o wyznacza wartość funkcji sinus (cosinus), mając daną wartość funkcji cosinus (sinus) dla kąta α, leŝącego w danej ćwiartce; o oblicza wartości funkcji trygonometrycznych dla kąta zaznaczonego na rysunku, będącego wielokrotnością kąta 45, a takŝe kąta 30 ; o oblicza wartości funkcji trygonometrycznych, wykorzystując ich okresowość; o zamienia kąty wyraŝone w mierze stopniowej na kąty wyraŝone w mierze łukowej i odwrotnie; o szacuje w radiach kąt o mierze jednego stopnia i kąt o mierze jednego radiana w stopniach; o oblicza wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej; o podaje punkty nieokreśloności funkcji tangens i cotangens w danym przedziale; 5 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

13 o zapisuje za pomocą wzoru miejsca zerowe funkcji y = tgx i y = ctgx; o zapisuje za pomocą wzoru zbiór tych x, dla których funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej przyjmują określoną wartość; o odczytuje z wykresu funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej przedziały, w których funkcje przyjmują wartości dodatnie (ujemne), są rosnące (malejące); o szkicuje wykresy funkcji trygonometrycznych postaci y = ksinx, oraz y = sinkx,, dla zmiennej rzeczywistej; o dopasowuje wzory funkcji postaci y = ksinx, oraz y = sinkx, do ich wykresów; o wyznacza okres i zbiór wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej postaci y = ksinx, oraz y = sinkx, o wskazuje punkt, który przechodzi na dany punkt w obrocie o określony kąt; o podaje współrzędne punktu, który otrzymamy, obracając podany punkt o kąt 90 ; o podaje kąt, o który naleŝy obrócić dowolny punkt, aby otrzymać jego obraz w symetrii względem osi poziomej, pionowej oraz środka układu współrzędnych; o rozwiązuje zadania praktyczne prowadzące do określania obrotów o dany kąt; o wskazuje kąty z przedziału [0, 360 ], dla których sinus (cosinus) są równe określonej liczbie; o odczytuje z rysunku wartość sinusa określonego kąta; o wyznacza kąty, spełniające równanie typu: sinα = sin50 (cosα = cos50 ); o rysuje kąt, mając daną wartość sinusa (cosinusa) tego kąta i za pomocą kątomierza wyznacza przybliŝoną wartość miary tego kąta; o wyznacza te kąty z przedziału [0, 360 ], dla których sinus i cosinus lub tangens i cotangens mają te same (przeciwne) wartości; o porównuje wartości sinusów (cosinusów, tangensów i cotangensów) dla róŝnych katów; o wykorzystuje wiadomości o funkcjach trygonometrycznych do rozwiązywania zadań dotyczących figur geometrycznych; o odczytuje z wykresów funkcji sinus i cosinus w przedziale [ 180, 180 ] kąty, dla których obie funkcje przyjmują równe wartości (jedna funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości drugiej funkcji); o przekształca wykresy funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens (symetria względem osi poziomej, przesunięcie względem osi poziomej); o rysuje wykresy funkcji sinus, cosinus, tangens i cotangens z wartością bezwzględną; o rozwiązuje zadania praktyczne prowadzące do rysowania wykresów funkcji sinus i cosinus; o wyznacza te kąty, dla których tangens i sinus są równe; o rysuje kąt, mając dany jego tangens lub cotangens; o odczytuje z wykresów funkcji tangens i cotangens w przedziale [90, 180 ] kąty, dla których jedna funkcja przyjmuje wartości mniejsze od wartości drugiej funkcji; o porównuje wartości funkcji tangens, korzystając ze wzoru tg(45 + α) = tg(45 α); o dopasowuje wzory odwrotności funkcji trygonometrycznych do ich wykresów; o wyznacza ćwiartkę układu, w której dane dwie funkcje trygonometryczne mają ten sam typ monotoniczności; o wyznacza wspólne własności dla róŝnych par czterech funkcji trygonometrycznych; o podaje kąty odpowiadające punktom zaznaczonym na wykresie funkcji trygonometrycznej; o oblicza wartości funkcji trygonometrycznych, mając dane przybliŝone wartości funkcji trygonometrycznych innego kąta; o rozstrzyga, czy osie układu są osiami symetrii wykresów czterech funkcji trygonometrycznych; o wskazuje osie symetrii funkcji sinus (cosinus); o rozstrzyga o istnieniu osi symetrii wykresów czterech funkcji trygonometrycznych; o oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego samego kąta, mając dany sinus (cosinus) tego kąta; o oblicza wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego samego kąta, mając dany tangens (cotangens) tego kąta; o rozwiązuje zadania o tematyce praktycznej prowadzące do wykorzystania własności funkcji trygonometrycznych; o wyznacza ćwiartkę układu współrzędnych, w której jest połoŝony kąt wyraŝony w radianach; o wyznacza miarę łukową i stopniową dla kątów środkowych o podanych promieniach i łukach; o wyznacza długość łuku oraz miarę łukową dla kątów środkowych podanych na rysunku; o rozstrzyga, czy miara kąta niezerowego moŝe się wyraŝać liczbą całkowitą w radianach i stopniach jednocześnie; 6 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

14 o wyznacza przedziały, w których dwie funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej przyjmują ten sam typ monotoniczności; o wyznacza znak wartości funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej dla dowolnych wartości argumentu, nie korzystając z kalkulatora; o porównuje wartości funkcji trygonometrycznej dla tych samych wartości liczbowych, ale podanych w mierze stopniowej oraz łukowej; o rozwiązuje graficznie proste nierówności trygonometryczne postaci: sinx < a; o określa dziedzinę, zbiór wartości oraz miejsca zerowe funkcji powstałych z przesunięć funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej względem osi układu; o wyznacza okres oraz zbiór wartości dla funkcji trygonometrycznych zmiennej z wartością bezwzględną; o dobiera tak wartości liczbowe współczynnika k, aby funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej postaci y = ksinx, oraz y = sinkx, miały zadany okres (wartość największą); o wyznacza zbiór wartości, wartość w punkcie x = 0 oraz okres dla funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej postaci y = ksin(x p) + q, o podaje przykłady funkcji trygonometrycznej rosnącej (niemonotonicznej) na przedziale; o odczytuje z wykresu funkcji amplitudę i okres; o określa amplitudę i okres na podstawie wzoru funkcji; o podaje przykład funkcji o danej amplitudzie i okresie; o podaje wzór funkcji trygonometrycznej zmiennej rzeczywistej, której wykres znajduje się na rysunku. DZIAŁ IV: GEOMETRIA o wskazuje punkt symetryczny do danego punktu względem prostej oraz względem innego punktu; o rozpoznaje figury symetryczne osiowo i środkowo; o wskazuje osie i środki symetrii figur; o podaje przykłady figur mających oś lub środek symetrii; o określa liczbę osi i środków symetrii; o określa, na podstawie symetrii, własności boków i kątów trójkąta równoramiennego; o oblicza boki i kąty trójkąta równoramiennego, znając odpowiednie zaleŝności między nimi; o rozpoznaje figury wypukłe i niewypukłe; o określa, czy czworokąt o danych własnościach jest równoległobokiem; o podaje przykłady równoległoboków spełniających określone warunki; o wyznacza kąty równoległoboku na podstawie znanych zaleŝności między nimi; o znajduje długości przekątnych równoległoboku, znając inne zaleŝności między elementami równoległoboku; o wyznacza kąt przecięcia dwusiecznych sąsiednich kątów równoległoboku; o podaje własności charakterystyczne równoległoboku; o wyznacza współrzędne wierzchołków równoległoboku; o wyznacza symetrie prostokątów, rombów i kwadratów; o określa własności deltoidu; o podaje przykłady trapezów równoramiennych i prostokątnych; o określa, czy czworokąt o danych własnościach jest trapezem; o oblicza kąty i boki trapezu, znając zaleŝności między nimi; o stosuje własność linii środkowej w trapezie; o wyznacza boki i kąty trójkąta prostokątnego z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; o oblicza długości boków, przekątnych oraz kąty równoległoboku, prostokąta, kwadratu, deltoidu; ah absinγ o oblicza pole trójkąta, stosując wzory P= i P= ; o oblicza pole równoległoboku, stosując wzory P = ah i P = absinα; ef o oblicza pole rombu, stosując wzór P= ; o oblicza długości boków, przekątnych oraz kąty trapezu; ( a+ b) h ef sinγ o oblicza pole trapezu, stosując wzory P= i P= ; o rozpoznaje kąty środkowe i wpisane w okręgu; o określa własności kątów środkowych i kątów wpisanych w okrąg; 7 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

15 o oblicza kąty w okręgu, wykorzystując własności stycznej; o określa połoŝenie środka okręgu opisanego na trójkącie i opisuje okrąg na trójkącie; o określa, czy na danym czworokącie moŝna opisać okrąg; o oblicza kąty czworokąta, na którym opisano okrąg; o oblicza średnicę okręgu opisanego na prostokącie; o określa połoŝenie środka okręgu wpisanego w trójkąt i wpisuje okrąg w trójkąt; o określa, czy w dany czworokąt moŝna wpisać okrąg; a+ b+ c a+ b+ c+ d o stosuje wzory na pole trójkąta i czworokąta opisanego na okręgu: P< = r, P = r o rozpoznaje i określa wielokąty foremne; o określa liczbę osi symetrii wielokąta foremnego; o oblicza promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym; o oblicza bok trójkąta równobocznego, kwadratu, sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg; o oblicza kąt wewnętrzny wielokąta foremnego; o oblicza kąty środkowe pomiędzy przekątnymi wielokąta foremnego. o podaje określenie punktu symetrycznego do danego punktu względem prostej oraz względem innego punktu; o podaje określenie osi symetrii i środka symetrii; o określa, czy wykres funkcji ma oś lub środek symetrii; o określa równanie prostej będącej osią symetrii wykresu funkcji; o na podstawie znanych zaleŝności między bokami i kątami trójkątów określa ich przystawanie; o uzasadnia, Ŝe w czworokącie suma kątów wynosi 360 ; o podaje określenie równoległoboku; o wyprowadza z określenia równoległoboku własności kątów równoległoboku; o uzasadnia połowienie się przekątnych równoległoboku; o uzasadnia, korzystając z cech przystawania trójkątów, Ŝe przekątna dzieli równoległobok na dwa trójkąty przystające; o uzasadnia, Ŝe czworokąt wyznaczony przez dwusieczne równoległoboku jest prostokątem; o uzasadnia, Ŝe środki boków czworokąta są wierzchołkami równoległoboku; o uzasadnia na podstawie róŝnych cech czworokąta, Ŝe jest on równoległobokiem; o uzasadnia, Ŝe czworokąt jest równoległobokiem wtedy i tylko wtedy, gdy ma środek symetrii; o podaje określenie trapezu; o uzasadnia własność linii środkowej w trapezie; o oblicza długości podstaw, ramion, przekątnych i linii środkowych trapezów na podstawie róŝnych zaleŝności między nimi; o określa, czy trapezy o danych własnościach są podobne; o wyznacza przekroje sześcianu, czworościanu, piramidy, graniastosłupa będące trapezami; absinγ o uzasadnia wzór na pole trójkąta P= ; o wyznacza boki i kąta trójkątów z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych; o określa zaleŝność pola trójkąta od kąta zawartego pomiędzy dwoma danymi bokami; o wykazuje, Ŝe wśród wszystkich trójkątów o bokach a i b największe pole ma trójkąt prostokątny; ef sinγ o uzasadnia wzory na pole równoległoboku P = absinα i P= ; o oblicza długości boków, przekątnych oraz pole równoległoboku, mając dane bardziej złoŝone zaleŝności między nimi; absinγ o uzasadnia wzór na pole trapezu P = ; o stosuje funkcje trygonometryczne do modelowania związków miarowych w urządzeniach technicznych i budowlach; o uzasadnia własność sumy kątów wpisanych opartych na łukach dopełniających; o uzasadnia własności stycznej do okręgu; o oblicza pole i obwód koła opisanego na trójkącie prostokątnym; o uzasadnia warunki opisywalności okręgu na czworokącie oraz warunki wpisywalności okręgu w czworokąt; o oblicza promień okręgu opisanego na czworokącie i promień okręgu wpisanego w czworokąt; ; 8 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

16 o uzasadnia związek pomiędzy promieniem okręgu opisanego a promieniem okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny; o uzasadnia wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym; o wyznacza promień okręgu wpisanego w n-kąt foremny; o wyznacz bok n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu R; o oblicza pole n-kąta foremnego o boku a; o uzasadnia, Ŝe istnieją tylko trzy parkietaŝe zbudowane z jednakowych wielokątów foremnych; o oblicza kąty wpisane pomiędzy przekątnymi wielokąta foremnego. 9 Przewodnik metodyczny. Klasa. Zakres podstawowy

17 WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DZIAŁ I: KOMBINATORYKA, PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA o zna i stosuje w prostych sytuacjach regułę mnoŝenia; o zna pojęcie permutacji danego zbioru; o wypisuje wszystkie permutacje zbioru - i 3-elementowego; o oblicza wartość symbolu n! dla n < 10; o oblicza wartości wyraŝeń arytmetycznych, w których występuje symbol silni; o zapisuje za pomocą symbolu silni i działań arytmetycznych róŝne wyraŝenia; o wyznacza liczbę permutacji danego zbioru; o rozwiązuje proste zadania kombinatoryczne równowaŝne obliczaniu liczby wariacji z powtórzeniami lub wariacji bez powtórzeń; o wie, co to są kombinacje i podaje odpowiednie przykłady; o wskazuje proste przykłady kombinacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego; o oblicza liczbę k-elementowych kombinacji ze zbioru n-elementowego dla małych k, n; o stosuje własności współczynników newtonowskich do wykonywania obliczeń; o stosuje własności współczynników newtonowskich przy rozwiązywaniu typowych zadań kombinatorycznych; o rozwiązuje proste zadania kombinatoryczne; o wyjaśnia, dlaczego wybrane zjawiska mają losową naturę; o zapisuje zbiór moŝliwych wyników danego doświadczenia; o zna pojęcie zdarzenia i przestrzeni zdarzeń (zbioru moŝliwych wyników) Ω; o określa lub opisuje zbiór moŝliwych wyników danego doświadczenia i określa ich liczbę; o zna klasyczną definicję prawdopodobieństwa; o zna i stosuje pojęcie zdarzenia przeciwnego; o zna podstawowe własności prawdopodobieństwa; o stosuje podstawowe własności prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań; o zapisuje wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń; o wskazuje zdarzenia wykluczające się; o oblicza prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wykluczających się; o rozwiązuje proste zadania praktyczne, wykorzystując klasyczną definicję prawdopodobieństwa; o określa liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia przy jego wielokrotnym powtarzaniu; o określa liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zajściu danego zdarzenia przy wielokrotnym powtarzaniu danego doświadczenia; o oblicza prawdopodobieństwo zdarzenia przy załoŝeniu, Ŝe uzyskamy same poraŝki lub same sukcesy; o rozwiązuje proste zadania, obliczając prawdopodobieństwo metodą drzew; o szacuje na podstawie liczby otrzymanych sukcesów liczbę przeprowadzonych prób; o porządkuje zbiór danych; o przedstawia uporządkowany zbiór danych za pomocą tabelki; o rysuje diagram słupkowy dla danego zbioru danych; o wyznacza podział zbioru danych na odpowiednie grupy i przedstawia je w postaci tabeli, diagramu słupkowego; o szacuje średnią wartość zbioru danych na podstawie pogrupowanych wyników; o przedstawia dane w postaci diagramu kołowego; o oblicza średnią arytmetyczną zbioru danych z diagramu słupkowego, kołowego; o przedstawia zbiór wyników danego doświadczenia w róŝnych postaciach: tabelki, diagramu słupkowego, diagramu kołowego; o wykorzystuje tabelę lub diagram do interpretacji wyników doświadczenia; o zna pojęcie średniej waŝonej; o oblicza średnie waŝone; o interpretuje średnią waŝoną w sytuacjach praktycznych; o zna pojęcie mediany; o podaje medianę dla danego zbioru danych; o interpretuje pojęcie mediany w sytuacjach praktycznych; o zna pojęcie mody; 1 Przewodnik metodyczny. Klasa 3. Zakres podstawowy

18 o podaje modę dla danego zbioru danych; o interpretuje pojęcie mody w sytuacjach praktycznych; o zna pojęcie wariancji; o oblicza wariancję dla danego zbioru danych; o interpretuje pojęcie wariancji w sytuacjach praktycznych; o zna pojęcie odchylenia standardowego; o oblicza odchylenie standardowe dla danego zbioru danych; o interpretuje pojęcie odchylenia standardowego w sytuacjach praktycznych. o stosuje pojęcie permutacji dowolnego zbioru skończonego do rozwiązywania nietypowych zadań; o rozwiązuje trudniejsze i nietypowe zadania praktyczne, związane z pojęciem wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń; o oblicza liczbę dzielników liczby naturalnej o znanym rozkładzie; o uzasadnia wzór na liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego; o rozwiązuje trudniejsze i nietypowe zadania praktyczne, wykorzystując pojęcie k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego; o oblicza wartości współczynników newtonowskich dla większych liczb; o oblicza wartości wyraŝeń, w których występuje symbol Newtona, za pomocą kalkulatora; o określa liczbę kombinacji dla danego zbioru, gdy dotyczy to obiektów rozróŝnialnych; o wykorzystuje własności algebry zbiorów do uzasadniania własności prawdopodobieństwa; o rozwiązuje trudniejsze i nietypowe zadania praktyczne, obliczając prawdopodobieństwo danego zdarzenia i korzystając z podstawowych własności prawdopodobieństwa; o uzasadnia związek między zdarzeniem pewnym a prawdopodobieństwem równym 1; o uzasadnia związek między zdarzeniem niemoŝliwym a prawdopodobieństwem równym 0; o wykorzystuje pojęcie zdarzenia przeciwnego w rozwiązywaniu nietypowych zadań; o stosuje metodę drzew do obliczania prawdopodobieństwa w trudniejszych zadaniach; o oblicza średnią waŝoną oraz odchylenie standardowe w trudniejszych przypadkach. DZIAŁ II: STEREOMETRIA o wskazuje w prostopadłościanie pary ścian równoległych oraz prostopadłych; o wskazuje w prostopadłościanie krawędzie prostopadłe do ścian, krawędzie równoległe i skośne; o wyznacza w prostopadłościanie liczbę wszystkich par krawędzi skośnych (krawędzi równoległych); o wskazuje w piramidzie krawędzie równoległe (skośne) do podanej krawędzi; o stwierdza lub zaprzecza prawdziwości zdań, mówiących o wzajemnym połoŝeniu prostych i płaszczyzn w przestrzeni; o wskazuje wśród róŝnych brył te, które są graniastosłupami lub ostrosłupami; o wskazuje wśród róŝnych siatek brył te, które przedstawiają siatki wielościanów; o szkicuje siatki wskazanych wielościanów; o wyznacza liczbę ścian, krawędzi i wierzchołków podanych graniastosłupów (ostrosłupów); o wyznacza liczbę wszystkich przekątnych w określonym graniastosłupie; o podaje przykład wielościanu wypukłego; o określa wzajemne połoŝenie ścian (krawędzi) wielościanów po złoŝeniu siatek tych wielościanów; o podaje wzór na przekątną sześcianu o krawędzi długości a; o oblicza pole powierzchni i objętość walca, stoŝka oraz kuli, odczytując potrzebne dane z rysunków; o podaje wymiary walca, otrzymanego po obrocie prostokąta o danych bokach wokół jednego z tych boków; o rozwiązuje problemy praktyczne, związane z bryłami obrotowymi; o oblicza pole wycinka i długość łuku okręgu; o oblicza pole powierzchni i objętość walca, stoŝka oraz kuli, odczytując potrzebne dane z rysunków; o podaje wymiary stoŝka, otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego o danych przyprostokątnych wokół jednej z przyprostokątnych; o oblicza wymiary brył obrotowych; o oblicza miary kątów pomiędzy krawędziami oraz przekątnymi w ostrosłupach i graniastosłupach; o rozróŝnia kąt między prostą a płaszczyzną od kąta między prostymi oraz kąta dwuściennego; o oblicza miary kątów dwuściennych w prostych przypadkach w graniastosłupach i ostrosłupach. Przewodnik metodyczny. Klasa 3. Zakres podstawowy

19 o wyznacza w bardziej złoŝonych wielościanach liczbę wszystkich krawędzi równoległych (skośnych) do wskazanej krawędzi; o stwierdza lub zaprzecza prawdziwości zdań, mówiących o wzajemnym połoŝeniu prostych i płaszczyzn w przestrzeni w bardziej złoŝonych przypadkach; o wskazuje w sześcianie płaszczyzny, wyznaczone przez jego wierzchołki, prostopadłe do wskazanej przekątnej sześcianu; o stwierdza lub zaprzecza prawdziwości zdań, mówiących o przekrojach graniastosłupów (ostrosłupów), ścianach, wierzchołkach i krawędziach graniastosłupów (ostrosłupów); o wyznacza krawędzie prostopadłościanu, mając dane przekątne jego ścian; o rozwiązuje problemy związane z wielościanami wpisanymi w bryły obrotowe; o rozwiązuje problemy związane z przekrojami brył obrotowych; o rozwiązuje bardziej złoŝone problemy praktyczne, związane z bryłami obrotowymi, wycinkiem koła i długością łuku okręgu; o oblicza objętość bryły, powstałej przez obrót trapezu prostokątnego wokół krótszego ramienia; o rozwiązuje problemy związane z kulą wpisaną w walec; o oblicza miary kątów pomiędzy krawędziami oraz przekątnymi w ostrosłupach i graniastosłupach w bardziej złoŝonych przypadkach; o wyznacza miary kątów między krawędziami (przekątnymi) a ścianami w róŝnych wielościanach; o oblicza miary kątów dwuściennych w bardziej złoŝonych przypadkach w graniastosłupach i ostrosłupach; o wyznacza rzuty prostokątne wierzchołków, krawędzi oraz ścian wielościanu na wskazane płaszczyzny; o stosuje twierdzenie o rzucie prostokątnym do wyznaczania miar kątów dwuściennych oraz pól powierzchni wielokątów. 3 Przewodnik metodyczny. Klasa 3. Zakres podstawowy