13x 7=7x+13. 5x + 1 = 2x 8 MATEMATYKA. Waga i monety Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia

Transkrypt

1 Waga i monety Rozwiązywanie równań pierwszego stopnia?? 13x 7=7x+13. 5x + 1 = 2x 8 MATEMATYKA Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Poradnik powstał w wyniku współpracy zespołu nauczycieli, trenerów i autorów: Krzysztof Grynienko, Piotr Kryszkiewicz, Maciej Krzywda- Pogorzelski, Grzegorz Mikuszewski, Alicja Ostrowska, Bożena Piotrowska

3 matematyka metoda podawcza gimnazjum matematyka metoda podawcza gimnazjum Waga i monety - rozwiązywanie równań matematyka Waga monety metoda podawcza rozwiązywanie gimnazjum pierwszego stopnia z równań pierwszego stopnia Waga jedną i monety niewiadomą rozwiązywanie równań pierwszego stopnia Uczeń: Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna Czas trwania zajęć: jedna 45 minut Cel zajęć jednostka lekcyjna Cel zajęć Cele wynikające z podstawy programowej Cele wynikające zajęć z podstawy programowej Uczeń: Cele wynikające z podstawy programowej sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] sprawdza, rozwiązuje czy równania dana liczba stopnia spełnia pierwszego równanie z jedną stopnia niewiadomą pierwszego [VII, z jedną 3]. niewiadomą [VII, 2] rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 3]. Uczeń: sprawdza, Cele czy operacyjne dana liczba spełnia osiągane równanie przez stopnia uczniów pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] rozwiązuje Cele równania operacyjne stopnia osiągane pierwszego z przez jedną niewiadomą uczniów [VII, 3]. Uczeń: Uczeń: Cele operacyjne osiągane przez uczniów poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x poznaje prezentuje typowe wybrane równania zasoby pierwszego internetowe stopnia ilustrujące z niewiadomą rozwiązywanie x równań pierwszego stopnia. prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego Uczeń: stopnia. poznaje typowe przykłady równania równań pierwszego stopnia z niewiadomą z ułamkami x i nawiasami, wykorzystuje prezentuje wybrane aplikacje zasoby internetowe do ilustrujące rozwiązywania rozwiązywanie równań. równań pierwszego Wiedza stopnia. i umiejętności wejściowe ucznia Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: Uczeń potrafi przed lekcją: pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, Wiedza np. i umiejętności wejściowe ucznia pierwiastkować 50=5 2 liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. podnosić 50=5 2 do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 Uczeń potrafi przed lekcją: podnosić stosować do zależność kwadratu między liczby, długością w zapisie boku, których a długością występuje przekątnej pierwiastek w kwadracie kwadratowy, w obie np. 3 5 pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, stosować strony, tak zależność aby nie stosować między długością do tego problemu boku, a długością twierdzenia przekątnej Pitagorasa, w kwadracie a od razu w mnożyć, obie np. strony, albo 50=5 2 dzielić tak aby przez nie 2 stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, podnosić albo dzielić do przez kwadratu 2 liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, albo dzielić przez 2 1

4 Infrastruktura Organizacja lekcji Układ miejsc tradycyjny skierowany na na tablicę tablicę multimedialną Ławki Komputery dwuosobowe podłączone z jednym do Internetu komputerem (co najmniej podłączonym jeden do na Internetu dwójkę na uczniów) dwójkę uczniów Tablica interaktywna podłączona z dostępem do do komputera Internetu nauczyciela podłączona z dostępem komputera do Internetu nauczyciela Zasoby Organizacja lekcji Infrastruktura Organizacja lekcji Infrastruktura Zasoby Zasoby Ćwiczenie Aplikacja Waga online i Interaktywna równania. dostępna waga dostępna na Ćwiczenie Aplikacja Monety online Interaktywny i równania. dostępna kasjer dostępna na Załącznik Układ miejsc nr 1: tradycyjny Waga i równania skierowany informacje. na tablicę multimedialną Załącznik Ławki dwuosobowe nr 12: Monety Interaktywna z jednym i równania komputerem waga instrukcja informacje. podłączonym do ćwiczenia do Internetu na dwójkę uczniów Załącznik Tablica interaktywna nr 23 Interaktywny Zestaw podłączona równań kasjer do nr komputera 1 instrukcja nauczyciela do ćwiczenia z dostępem do Internetu Załącznik Układ miejsc nr 4 tradycyjny Zestaw równań skierowany nr 2na tablicę multimedialną Załącznik Ławki dwuosobowe nr 5 Rozwiązania z jednym komputerem zestawu równań podłączonym nr 1 do Internetu na dwójkę uczniów Załącznik Tablica interaktywna nr 6 Rozwiązania podłączona zestawu do komputera równań nauczyciela nr 2 z dostępem do Internetu Ćwiczenie online Interaktywna waga dostępna na Ćwiczenie online Interaktywny kasjer dostępna na Załącznik Ćwiczenie nr online 1 Interaktywna waga waga instrukcja dostępna do na ćwiczenia Załącznik Ćwiczenie nr online 2 Interaktywny kasjer kasjer instrukcja dostępna do naćwiczenia Załącznik nr 1 Interaktywna waga instrukcja do ćwiczenia Załącznik nr 2 Interaktywny kasjer instrukcja do ćwiczenia 2

5 matematyka metoda podawcza gimnazjum Przebieg procesu dydaktycznego LekCja Czas: 35 min Organizacja Wprowadzenie lekcji i organizacja uruchomienie lekcji sprzętu Po Nauczyciel sprawdzeniu podaje obecności temat, ewentualnie uczniowie siadają sprawdza w ławkach obecność. z komputerami. Uruchamiają Uczniowie komputery uruchamiają i wchodzą komputery. na stronę Czas: min Wykład Prezentacja na temat aplikacji równań Waga 1 stopnia i równania ilustrowany oraz ćwiczenia interaktywnymi ćwiczeniami opartymi na konkretnych przykładach Nauczyciel przedstawia na tablicy interaktywnej dwa przykładowe prezentuje problemy, zakładki których aplikacji, rozwiązanie uczniowie opiera się na na komputerach równaniach liniowych: poznają jej działanie. 1. Po Arbuz wspólnym waży kilogram rozwiązaniu i pół zadania arbuza. Ile (czwarta waży arbuz? zakładka rozwiązywanie równania): 2. Arbuz Magda waży uzbierała kilogram 61 i zł pół w 20 arbuza. monetach Ile waży o nominałach arbuz? 2 i 5 złotych. Ile uczniowie monet pięciozłotowych samodzielnie wybierają ma Magda? zadania z ostatniej zakładki zadania losowe i rozwiązują je w parach na komputerach. Następnie W trakcie rozwiązywania prezentowane zapisują są rozwiązania w zeszytach powyższych równania, problemów które wyświetlają na Interaktywnej się pod wagą. wadze i Interaktywnym kasjerze. Załącznik nr 1 Interaktywna waga instrukcja do ćwiczenia oraz Załącznik nr 2 Interaktywny kasjer instrukcja do ćwiczenia W pierwszym przypadku przechodzimy wszystkie pozycje menu z wyjątkiem ostatniej szóstej; w drugim wszystkie pozycje menu (cztery) Interaktywne ćwiczenia online: Interaktywna waga oraz Interaktywny kasjer prezentowane przez nauczyciela na tablicy multimedialnej 3

6 kretnych przykładach Czas: 12 10min Czas: 10 min Czas: 10 min Czas: 810 min min Czas: 10 min Uczniowie pracują parami przy komputerach i rozwiązują równania wylosowane w ostatniej pozycji menu Interaktywnej wagi i Interaktywnego kasjera patrz: Prezentacja Utrwalenie treści aplikacji wykładu Monety w oparciu i równania o interaktywne oraz ćwiczenia na konkretnych przykładach Załącznik nr 1 Interaktywna waga instrukcja do ćwiczenia oraz Uczniowie samodzielnie pracują parami poznają przy komputerach działanie aplikacji, Załącznik nr 2 Interaktywny kasjer instrukcja i rozwiązują do ćwiczenia równania wylosowane w ostatniej pomaga pozycji tym, którzy menu napotkają Interaktywnej trudności. wagi i Interaktywnego kas- nauczyciel Następnie jera patrz: po wspólnym rozwiązaniu na tablicy interaktywnej jednego przykładu z zakładki Załącznik Interaktywne układanie nr 1 Interaktywna ćwiczenia równań online: (dalsza waga Interaktywna część rozwiązania instrukcja do waga wyświetla ćwiczenia oraz Interaktywny się w następnej zakładce) uczniowie wybierają samodzielnie zadania, rozwiązują je w zeszytach kasjer uruchomione na komputerach uczniowskich korzystając oraz z aplikacji jako podpowiedzi lub sprawdzenia. Załącznik nr 2 Interaktywny kasjer instrukcja do ćwiczenia Utrwalenie treści wykładu w oparciu o samodzielne rozwiązywanie abstrakcyjnych Interaktywne ale ćwiczenia prostych równań online: Interaktywna 1 stopnia waga oraz Interaktywny kasjer uruchomione na komputerach uczniowskich Nauczyciel prezentuje na tablicy interaktywnej odręczny zapis rozwiązania równanie 1. stopnia z całkowitymi współczynnikami: Prezentacja 2( x 2) = Utrwalenie treści aplikacji (x 4) wykładu Monety w oparciu i równania o samodzielne oraz ćwiczenia rozwiązywanie abstrakcyjnych a następnie zapisuje ale prostych rozwiązanie równań do pliku 1 stopnia jako notatkę i zleca uczniom samodzielne rozwiązanie podobnych równań: Nauczyciel prezentuje na tablicy rozwiązania równań: Nauczyciel prezentuje na tablicy interaktywnej odręczny zapis rozwiązania równanie - 3(x ( 6x 4) + 5) 3 = 9x 6(x + +1) stopnia z całkowitymi współczynnikami: -3( oraz 5x - 7) = - 20x + 1 2( x 2) = (x 4) 5(3 x) = 2(x 1) a następnie zapisuje rozwiązanie do pliku jako notatkę i zleca uczniom samodzielne rozwiązanie podobnych równań: Tablica interaktywna 3(x 4) 3 = 6(x +1) oraz Ćwiczenia Rozwinięcie i zadanie treści wykładu domowe w oparciu o rozwiązania równań 1 stopnia 5(3 x) = 2(x 1) o rosnącej trudności Tablica interaktywna Uczniowie Nauczyciel prezentuje rozwiązują trzy samodzielnie równania 1 stopnia w zeszytach o rosnącym wybrane stopniu przykłady trudności: z Zestawu równań nr 1 (forma papierowa lub elektroniczna załącznika nr 3), sprawdzają 9(2x 3) = (3 x) swoje rozwiązania z przykładowymi rozwiązaniami (forma papierowa lub elektroniczna Rozwinięcie x + 3(3 x) = 10 treści załącznika 4(1 wykładu x) nr 5). w Zadaniem oparciu o rozwiązania domowym może równań być 1 rozwiązanie stopnia wybranych ox/3 rosnącej 2(x + 5) przykładów trudności = 4(1 x) z aplikacji lub rozwiązanie pozostałych przykładów z Uczniowie zestawów rozwiązują (załączniki zadania nr 3 i samodzielnie nr 4 oraz nr w 5 zeszytach. i nr 6). Nauczyciel ocenia rozwiązania zgłoszone przez uczniów. Nauczyciel prezentuje trzy równania 1 stopnia o rosnącym stopniu trudności: 9(2x 3) = (3 x) Tablica interaktywna x + 3(3 x) = 10 4(1 x) x/3 2(x + 5) = 4(1 x) UWAGA Uczniowie rozwiązują zadania samodzielnie w zeszytach. Nauczyciel ocenia rozwiązania zgłoszone w zestawach przez uczniów. mają zróżnicowany poziom trudności i umożliwiają Równania uczniom wybór przykładów dostosowanych do ich indywidualnych umiejętności. Tablica interaktywna Nauczyciel może przygotować inne zestawy równań uwzględniające możliwości danej klasy. 4

7 matematyka metoda podawcza gimnazjum Informacje Waga i monety metodyczne rozwiązywanie Metodyka lekcji równań pierwszego stopnia Próby wprowadzenia TIK do metody podającej zmierzają często w kierunku uatrakcyjnienia lekcji lekcji przez przez wyświetlanie efektownych elementów multimedialnych, w lub skrajnym całych przypadku filmów uatrakcyjnienia edukacyjnych. całych filmów Czas edukacyjnych. Nawet trwania przy najwyższej Nawet zajęć: przy jakości jedna najwyższej tych jednostka filmów jakości stajemy tych lekcyjna filmów przed pro stajemy blemem przed braku problemem braku uczniów aktywizacji i skupieniu uczniów uczniów i rosnącym na tablicy skupieniu bez pracy uczniów w skali na klasy tablicy lub mniejszych bez wspólnej aktywności zespołów. pracy w skali Bez klasy aktywnej lub mniejszych roli nauczyciela zespołów. i uczniów Przy oglądanie braku aktywnej filmu w roli klasie nauczyciela nie różni i uczniów się wcale oglądanie od oglądania filmu w klasie go w nie domu. różni Dlatego się wcale warto od oglądania rozważyć go formy, w domu. w których Dlatego wykorzystując warto rozważyć aktywną formy, które rolę utrzymując nauczyciela aktywną TIK stosowany rolę nauczyciela jest do interaktywnego wykorzystują TIK konfi do gurowania, interaktywnego rozwiązy- konfigurowania, lub modelowania rozwiązywania bezpośrednio lub modelowania na tablicy wykonywanego i stanowi ele bezpośrednio ment tradycyjnego na tablicy wykładu. jako ele- Cel zajęć mentów tradycyjnego wykładu. Warto też skorzystać z tradycyjnych form interakcji w metodzie podawczej (np. wykład Cele wynikające z podstawy programowej konwersatoryjny) wspomaganej wykorzystaniem tych samych narzędzi interaktywnych na Warto też skorzystać z tradycyjnych form interakcji w metodzie podawczej (np. wykład konwersatoryjny) wspomaganej wykorzystaniem tych samych narzędzi interaktywnych na tablicy tablicy multimedialnej i na urządzeniach uczniowskich. multimedialnej Uczeń: i na urządzeniach uczniowskich. Wszystkie te elementy zastosowano dzięki dwóm interaktywnym aplikacjom wspomagającym sprawdza, tradycyjną czy część dana liczba lekcji. spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] Te wszystkie rozwiązuje elementy równania wykorzystano stopnia pierwszego to dzięki z jedną dwóm niewiadomą interaktywnym [VII, 3]. ćwiczeniom wspomagającym zarówno klasyczną część wykładu jak i część włączającą uczniów. Cele operacyjne osiągane przez uczniów Uczeń: Możliwości zastosowania modelu na innych lekcjach Zaprezentowane poznaje typowe techniki równania edukacyjne pierwszego i ich stopnia ułożenie z niewiadomą w ciąg lekcyjny x mogą mieć zastosowanie wszędzie lub dostosowanymi prezentuje tam, gdzie wybrane dysponujemy zasoby internetowe interaktywnymi ilustrujące narzędziami rozwiązywanie lub modelami równań pierwszego dostosowanymi do tematu stopnia. do tematu lekcji. lekcji. Nie muszą Nie muszą to być to zawsze być zawsze narzędzia narzędzia przygotowane przygotowane jednostkowo jednostkowo do konkretnego tematu nego tematu można - można skorzystać skorzystać z szeregu z szeregu narzędzi narzędzi bardziej bardziej uniwersalnych. uniwersalnych. W matematyce do konkret będzie to m.in. Geogebra. Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: Zobacz poradnik pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. 50=5 2 Metoda podawcza podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, albo dzielić przez 2 5

8 Podstawowe informacje Interaktywna waga to ćwiczenie umożliwiajace wprowadzenie tematu równa p stopnia w sposób oparty na konkretnych, odnoszących się do zrozumiałych dla u tuacji przykłdach Scenariusz typu Cegła 13 waży kilo i pół cegły ile waży cegła?,. Ćwiczenie prz jest do wykorzystania ZAŁĄCZNIK załącznik nr NR 1: na WAGA interaktywna tablicy I RÓWNANIA multimedialnej waga INFORMACJE instrukcja oraz do na ćwiczenia indywidualnych urządze czenie działa jako usluga online i wymaga połącznia z Internetem. Podstawowe informacje ekran ćwicznia WAGA Interaktywna I RÓWNANIA waga to aplikacja ćwiczenie umożliwiająca umożliwiajace poznanie wprowadzenie i ćwiczenie tematu rozwiązywania równa pierwszego równań I stopnia w z sposób jedną niewiadomą oparty na konkretnych, w sposób oparty odnoszących na konkretnych, się do zrozumiałych dla dla uczniów uczniów sytuacji przykłdach Aplikacja typu Cegła przeznaczona waży kilo jest i pół do cegły wykorzystania ile waży cegła?,. na tablicy Ćwiczenie multimedialnej przeznaczone oraz przykładach. na jest indywidualnych do wykorzystania urządzeniach. na tablicy multimedialnej Aplikacja działa oraz jako na usługa indywidualnych online i wymaga urządzeniach. połączenia Ćwiczenie Internetem. działa jako usluga online i wymaga połącznia z z Internetem. Ekran składa się z górnego menu oraz pola ćwiczeń. Standardowo należy przechod pozycje menu, które tworzą łącznie spójny ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Ciąg ten p wykonania zapisu matematycznego postawionego pytania, przez wymienienie typow zaburzających równowagę wagi i równania (np. jednostronne dodawanie i odejmow utrzymujących ekran ćwicznia równowagę wagi (a zatem i równania) takich jak dodawanie i odejm dwóch Ekran składa stron się tych z górnego samych menu wartości oraz pola i ćwiczeń. mnożenie Standardowo Można lub przechodzić dzielenie należy przechodzić kolejne dwóch pozycje stron kolejne prze liczy n menu, pozycje które menu, tworzą które tworzą łącznie łącznie spójny spójny ciąg. ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Ciąg ten prowadzi od wykonania zapisu matematycznego postawionego pytania, przez wymienienie typowych działań zaburzających równowagę wagi i równania (np. jednostronne dodawanie i odejmowanie) oraz Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem wcześniej działań utrzymujących równowagę wagi i równość równania. utrzymujących równowagę wagi (a zatem i równania) takich jak dodawanie i odejmowanie do dwóch stron tych samych wartości i mnożenie lub dzielenie dwóch stron prze liczy naturalne. Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem poznanych wcześniej działań utrzymujących równowagę wagi i równość równania. Ostatni krok ma już charakter losowego ćwiczenia do samodzielnego wykonania przez uczniów i polega na rozwiązaniu jednego z wygenerowanych równań opartych na podobnym Ostatni krok ma już charakter losowego ćwiczenia do samodzielnego wykon schemacie, ale innych wartościach liczbowych i innych przedmiotach zastępujących arbuz. uczniów i polega na rozwiązaniu jednego z wygenerowanych równań opartych na schemacie, ale innych wartościach liczbowych i innych przedmiotach zastępujący 6

9 matematyka metoda podawcza gimnazjum Część Waga 1 i oznaczenia monety rozwiązywanie równań pierwszego stopnia Pierwsza pozycja menu - oznaczenia pokazuje nam jak zapisać postawiony problem wagi arbuza językiem matematycznym. Arbuzowi Waga całego jest przypisywane arbuza oznaczona oznaczenie jest przez x, a x, jednemu a jednemu kilo- kilo gramowemu odważnikowi po prostu odpowiada 1 (jako liczba symbol 1. dowolnej jednostki miary). Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna Stan równowagi jest zapisywany jako równanie obie jego strony są sobie równe. Cel zajęć Cele wynikające z podstawy programowej Uczeń: sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 3]. Cele operacyjne osiągane przez uczniów Uczeń: Część 2 brak równowagi Kolejna pozycja menu brak równowagi pokazuje jak jak dokładając lub lub odejmując zdejmując coś coś z jednej z jednej tylko tylko szalki szalki powodujemy utratę utratę równowagi. równowagi. Po prawej Obok stronie wagi pojawiają się polecenia, kolejne polecenia, których poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego kliknięcie które stopnia. są od wizualizowane razu wizualizowane jest na na wadze i w i w zapisie algebraicznym matematycznym poniżej. poniżej. Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. 50=5 2 podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, albo dzielić przez 2 7

10 Część 3 dodawanie i odejmowanie z obu stron równania Kolejna pozycja menu - dodawanie i odejmowanie z pokazuje obu stron jak równania do kładając pokazuje (lub zdejmująckładając jednocześnie lub odejmując do (od) jednocześnie obu szalek na utrzymujemy obu szalkach stan utrzymujemy równowagi. stan Obok równowagi. wagi pojawiają Po prawej jak do- się stronie polecenia, pojawiają których się kolejne kliknięcie polecenia, jest wizualizowane które są od razu na wadze wizualizowane i w zapisie na matematycznym wadze i w zapisie poniżej. matematycznym poniżej. Część 4 mnożenie i dzielnie obu stron równania Kolejna pozycja menu - mnożenie i i dzielnie obu pokazuje stron równania jak mnożąc pokazuje lub dzieląc mnożąc (czyli lub dzieląc układając (czyli układając jednocześnie jednocześnie n razy n więcej razy więcej lub n razy lub n mniej razy mniej na obu na szalkach) obu szalkach) utrzymujemy utrzymujemy stan równowagi. stan równowagi. Obok Po wagi prawej pojawiają stronie się pojawiają polecenia, się których kolejne kliknięcie polecenia, od które razu są wizuali od razu zowane wizualizowane na wadze na wadze i w zapisie i w zapisie algebraicznym matematycznym poniżej. jest poniżej. 8

11 matematyka metoda podawcza gimnazjum Część Waga 5 i rozwiązywanie monety równania rozwiązywanie Kolejna pozycja menu rozwiązywanie równanie pokazuje pozwala w rozwiązać końcu jak przy tytułową pomocy zagadkę działań ściśle równań wykorzystując matematycznych, dokładanie pierwszego ale odpowiadających i zdejmowanie z stopnia szalek pokazanym tak, aby wcześniej waga cały zasadom czas pozostawała zachowania równowagi równowadze. na wadze można odpowiedzieć na postawione na wstępie pytanie Arbuz waży kilo w i pół arbuza ile waży arbuz? Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna Cel zajęć Cele wynikające z podstawy programowej Uczeń: sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 3]. Cele operacyjne osiągane przez uczniów Do dyspozycji mamy zestaw kartek-poleceń rozmieszczonych po bokach wagi każdy z naszych Uczeń: wyborów jest od razu wizualizowany na wadze i w matematycznym zapisie poniżej. poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego stopnia. Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. 50=5 2 podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, albo dzielić przez 2 Po kilku operacjach doprowadzamy równanie do postaci x = 2. Jakie to proste! 9

12 Część 6 rozwiązywanie zadania losowerównania o wartościach losowych Kolejna pozycja menu - zadanie losowe zawiera powtarza podobne ekran poprzedni, przykłady ale z innymi tym razem przedmiotami do (np. czynienia tortem, z innym pizzą) przedmiotem oraz zmienionymi (np. tortem, para metrami pizzą) równania. oraz nieznacznie zmienionymi para- mamy metrami równania. Te zadania powinny być rozwiązywane samodzielnie przez uczniów. To zadanie powinno już być rozwiązywane samodzielnie przez uczniów. Uczniowie rozwiązują równanie korzystając z karteczek-poleceń wyświetlanych widocznych obok wagi. z boku Każda wagi. decyzja Każda decyzja jest od jest razu od wizualizowana razu wizualizowana wadze na wadze i w zapisie i w zapisie matematycznym matematycznym (równaniu) (równaniu) widocznym poniżej. Po kilku operacjach doprowadzamy równanie do postaci x = n/m. To także może być proste! 10

13 matematyka metoda podawcza gimnazjum Waga i Scenariusz monety rozwiązywanie 13 ZAŁĄCZNIK NR 2: MONETY I RÓWNANIA INFORMACJE równań pierwszego stopnia załącznik nr 2 interaktywny kasjer instrukcja do ćwiczenia Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna Podstawowe informacje MONETY Interaktywny I RÓWNANIA kasjer to to ćwiczenie aplikacja prezentujące prezentująca wykorzystanie równań liniowych do do rozwiązywania problemów problemów typu: typu: rozwiązywania Wybierz 38 monet dwuzłotowych i pięciozłotowych tak, aby otrzymać 136 zł. Masz do dyspozycji Cel zajęć 10 dwuzłotówek i 10 pięciozłotówek. Dobierz tyle pięciozłotówek i dwuzłotówek, żeby otrzymać kwotę [wylosowana kwota], używając dokładnie [tu liczba monet dopasowana do kwoty] monet. Aplikacja przeznaczona jest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidualnych urządzeniach. Aplikacja działa jako usługa online i wymaga połączenia z Internetem. Cele wynikające z podstawy programowej Ćwiczenie przeznaczone jest do wykorzystania na tablicy multimedialnej oraz na indywidualnych urządzeniach. Ćwiczenie działa jako usluga online i wymaga połącznia z Internetem. Uczeń: ekran sprawdza, ćwicznia czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] Ekran rozwiązuje składa się równania z górnego stopnia menu pierwszego oraz pola z ćwiczeń. jedną niewiadomą Standardowo Można przechodzić [VII, 3]. należy przechodzić kolejne pozycje kolejne menu, pozycje które menu, tworzą które łącznie tworzą spójny łącznie ciąg. spójny ciąg wykładowo-ćwiczeniowy. Wywód zaczyna się od układania Cele metodą operacyjne prób i błędów osiągane zadanej przez kwoty przy uczniów pomocy dowolnej liczby monet dwui pięciozłotowych. Następnie przechodzimy tego samego problemu, ale z zadaną łączną liczą monet dwu- i pięciozłotowych. Następnie przechodzimy do zapisania takiego zadania w formie Uczeń: równania liniowego. poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego stopnia. Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. 50=5 2 podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 Po poznaniu tych zasad przechodzimy do rozwiązania równania z zastosowaniem poznanych stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie wcześniej strony, działań tak aby utrzymujących nie stosować do równowagę tego problemu wagi twierdzenia i równość równania Pitagorasa, i w a końcu od razu do mnożyć, rozwiązania takiego albo dzielić równania. przez 2 Zadane liczby monet i kwoty są w ćwiczeniach losowane z dosyć szerokiego predefiniowanego zakresu wartości zapewniającego z jednej strony wykonalność każdego zadania, a z drugiej niewielką szansę na powtórzenie ćwiczeń. 11

14 Część 1 układanie zadanej kwoty z monet Część o dwóch 1 nominałach dobieranie dwóch nominałów monet do zadanej kwoty Pierwsza pozycja menu układanie zadanej kwoty z monet o dwóch nominałach pozwala na ułożenie z monet dwu- i pięciozłotowych zadanej losowo kwoty metodą prób i błędów. Pierwsza pozycja menu dobieranie dwóch nominałów monet do zadanej kwoty pozwala na Na ułożenie ekranie widać z monet zadaną dwu- kwotę i pięciozłotowych oraz dwa stosy: zadanej jeden losowo zawiera kwoty dwuzłotówki, metodą prób drugi i błędów. pięciozłotówki oraz zbiór wybranych przez ucznia pięciozłotówek i dwuzłotówek. Monety wybieramy Na przeciągając ekranie widać je ze zadaną stosów do kwotę swojego oraz dwa zbioru. stosy: Można jeden też zawiera usuwać dwuzłotówki, monety ze swojego drugi - zbioru, pięciozłotówki. przeciągając Przeciągając z powrotem monety na stosy na z prawą monetami. stronę tworzymy swój zbiór. Można też usuwać monety ze swojego zbioru, przeciągając z powrotem na stosy z monetami. Na dole ekranu widać matematyczny opis zbioru monet w postaci: Na [liczba dole wybranych ekranu widać pięciozłotówek]*5+[liczba matematyczny opis zbioru wybranych monet dwuzłotówek]*2=[łączna w postaci: kwota] [liczba wybranych pięciozłotówek]*5+[liczba wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota] Kiedy łączna kwota wyliczona takim równaniu zgodzi się z zadaną kwotą, przechodzimy do Kiedy łączna kwota wyliczona w takim równaniu zgodzi się z zadaną kwotą wyświetlają się kolejnego ćwiczenia świetnie nam poszło! gratulacje. 12 Kolejna pozycja menu zapisywanie równania pokazuje jak zapisać problem doboru odpowiednich monet przy pomocy pojedynczego równania liniowego. Ten ekran nie jest ćwiczematematyka metoda podawcza gimnazjum Część 2 układnie kwoty z zadanej liczby monet matematyka metoda podawcza gimnazjum Kolejna pozycja menu układnie kwoty z zadanej liczby monet pokazuje, że w pewnym zakresie wartości można też ułożyć zadaną kwotę używając do tego celu zadanej liczby monet. Część 2 układnie kwoty z zadanej liczby monet Pary kwota/liczba monet w tym ćwiczeniu są dobrane tak, że układ jest zawsze wykonalny. Kolejna pozycja menu układanie kwoty z zadanej liczby monet pokazuje, że dla niektórych wartości można ułożyć zadaną kwotę używając do tego celu zadanej liczby monet. Kolejna Tym razem pozycja nasze menu poczynania układnie z monetami kwoty z zadanej ilustruje liczby zapis matematyczny monet pokazuje, w postaci: że w pewnym zakresie wartości można też ułożyć zadaną kwotę używając do tego celu zadanej liczby monet. Pary: [liczba kwota wybranych i liczba pięciozłotówek]*5+[liczba monet w tej aplikacji są dobrane wybranych tak, dwuzłotówek]*2=[łączna aby układ był wykonalny. kwota] Pary kwota/liczba monet w tym ćwiczeniu są dobrane tak, że układ jest zawsze wykonalny. Działania z monetami ilustruje zapis matematyczny w postaci: [liczba wybranych pięciozłotówek]+[liczba wybranych dwuzłotówek]=[łączna liczba monet] [liczba Tym razem wybranych nasze poczynania pięciozłotówek]*5+[liczba z monetami ilustruje wybranych zapis matematyczny dwuzłotówek]*2=[łączna w postaci: kwota] [liczba Kiedy obie wybranych liczby zgodzą pięciozłotówek]+[liczba się z zadanymi, przechodzimy wybranych dwuzłotówek]=[łączna do kolejnego ćwiczenia liczba jesteśmy monet] już [liczba wybranych pięciozłotówek]*5+[liczba wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota] Kiedy w połowie obie drogi! liczby zgodzą się z zadanymi, wyświetlają się gratulacje. [liczba wybranych pięciozłotówek]+[liczba wybranych dwuzłotówek]=[łączna liczba monet] Kiedy obie liczby zgodzą się z zadanymi, przechodzimy do kolejnego ćwiczenia jesteśmy już w połowie drogi! Część 3 zapisywanie równania

15 Część 4 rozwiązywanie równania losowana liczba] monet dwuzłotowych i pięciozłotowych. matematyka metoda podawcza gimnazjum Kolejna Jeżeli liczbę pozycja monet menu pięciozłotowych rozwiązywanie oznaczymy równania x, to zaczyna liczbę monet się od dwuzłotowych tego co było zakończeniem możemy opisać poprzedniego następująco: ekranu od równania liniowego opisującego sytuację z monetami: Część liczba Spróbuj monet rozwiązać dwuzłotowych równanie: Waga 3 i układanie monety = równania [liczba rozwiązywanie wszystkich monet] x Kolejna Możemy 5x + 2([liczba pozycja wtedy wszystkich zapisać menu - taki układanie monet] wzór na x) równania pełną = [zadana kwotę: pokazuje kwota] jak zapisać problem doboru odpowiednich równań x Potem * 5 + ([liczba pojawiają liczb monet pierwszego wszystkich się kolejno przy pomocy monet] przyciski równania stopnia x) * sugerujące liniowego. 2 = [zadana kolejne kwota] kroki zmierzające do rozwiązania równania: przycisk: rozwiń nawias Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna 5x + 2*[liczba wszystkich monet] 2x = [zadana kwota] przycisk: zgrupuj koło siebie wszystkie wyrażenia z x 5x 2x + 2*[liczba wszystkich monet] = [zadana kwota] Cel zajęć przycisk: skróć współczynniki przy x 3x + [liczba wszystkich monet]*2 = [zadana kwota] Cele wynikające z podstawy programowej przycisk: odejmij od obu stron dwukrotną liczbę wszystkich monet 3x = [zadana kwota] [liczba wszystkich monet]*2 Uczeń: przycisk: podziel obie strony równania przez współczynnik stojący przy x sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 2] x = ([zadana kwota] [liczba wszystkich monet]*2)/3 rozwiązuje równania stopnia pierwszego z jedną niewiadomą [VII, 3]. liczba wybranych pięciozłotówek = [x] Część 4 rozwiązywanie równania Cele operacyjne osiągane przez uczniów liczba wybranych dwuzłotówek = [liczba wszystkich monet] [x] Kolejna pozycja menu rozwiązywanie równania zaczyna się od tego co było zakończeniem Pozycja poprzedniego przycisk: rozwiązywanie sprawdzenie ekranu od równania umożliwia liniowego opisującego rozwiązanie sytuację równania z monetami: z poprzedniego ekranu. Uczeń: Klikając na podpowiedzi otrzymujemy kolejne równania równoważne, które prowadzą Spróbuj [liczba wybranych rozwiązać pięciozłotówek]*5+[liczba równanie: wybranych dwuzłotówek]*2=[łączna kwota] do rozwiązania równania i sprawdzenia otrzymanego wyniku. poznaje typowe równania pierwszego stopnia z niewiadomą x 5x W ten + 2([liczba sposób wszystkich można obliczyć monet] ile pięciozłotówek x) = [zadana kwota] oraz ile dwuzłotówek trzeba użyć, żeby uzyskać zadaną kwotę przy określonej łącznej liczbie monet. prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego Potem stopnia. pojawiają się kolejno przyciski sugerujące kolejne kroki zmierzające do rozwiązania równania: przycisk: rozwiń nawias 5x + 2*[liczba wszystkich monet] 2x = [zadana kwota] Uczeń potrafi przed lekcją: 5x 2x + 2*[liczba wszystkich monet] = [zadana kwota] np. 50=5 2 przycisk: skróć współczynniki przy x 3x + [liczba wszystkich monet]*2 = [zadana kwota] albo dzielić przez 2 3x = [zadana kwota] [liczba wszystkich monet]*2 Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia przycisk: zgrupuj koło siebie wszystkie wyrażenia z x pierwiastkować liczby, w szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np. 3 5 stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, tak aby nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, przycisk: odejmij od obu stron dwukrotną liczbę wszystkich monet przycisk: podziel obie strony równania przez współczynnik stojący przy x x = ([zadana kwota] [liczba wszystkich monet]*2)/3 liczba wybranych pięciozłotówek = [x] liczba wybranych dwuzłotówek = [liczba wszystkich monet] [x] 13

16 matematyka metoda podawcza gimnazjum Scenariusz 13 ZAŁĄCZNIK załącznik nr NR 3 Zestaw interaktywna równań waga nr 1 zestaw ćwiczeń nr 1 Ćwiczenia zestaw 1 a) a) (2x -(2x + 3) + + 3) 2 = + 4x 4 = 54x - 5 b) b) (3a -(3a 4) - 4) 5 = = ( a 6 + 2) (-a - 2) c) c) (5x - (5x 2) - = 2) 7x = +12 7x +12 d) d) 5-5 8x - = 8x (5x = -(5x 3) - 83) - 8 e) 2x + 7= (3x 8) + 5 e) 2x + 7= -(3x - 8) + 5 f) 1,2 (5,6a + 5) 4,2 = 2,6 + (3,6a + 20,6) f) 1,2 - (5,6a + 5) - 4,2 = - 2,6 - (3a - 20,6) Scenariusz 13 ZAŁĄCZNIK załącznik nr NR 4 interaktywna Zestaw równań waga nr 2 zestaw ćwiczeń nr 2 a) 2x + 7= 3 (3x 8) + 5 b) 1,5(2x + 2) = 3( 2 + 4x) c) a) 0,5 2x (30z + 7= 4) - + 3(3x 5 = 0,2-8) ( z) d) b) 2(2a -1,5(2x + 7) = + 2a 2) + = ( 3a -3(-2 4) + 4x) e) 4(3,5y 2) = 0,4(5y + 10) c) -0,5(30z - 4) + 5 = -0,2( z) d) -2(2a + 7) = 2a - (3a + 4) e) -4(3,5y - 2) = -0,4(5y + 10) 14

17 matematyka metoda podawcza gimnazjum Waga i Scenariusz monety rozwiązywanie 13 ZAŁĄCZNIK NR 5 Rozwiązania zestawu równań nr 1 równań pierwszego stopnia załącznik nr 4 interaktywna waga zestaw ćwiczeń nr 2 Czas trwania zajęć: jedna jednostka lekcyjna a) 2x + 7= 3 (3x 8) + 5 b) a) 1,5(2x -(2x + 2) 3) = + 3( 4 2 = 4x + 4x) - 5 e) 2x + 7 = - (3x - 8) + 5 c) 0,5-2x (30z ) = = 4x 0,2-5 ( 90 / + + 2x 20z) 2x + 7 = -3x / + 3x d) 2(2a 1 = + 6x 7) = - 52a / + + ( 3a 5 4) 5x + 7 = 13 /-7 Cel zajęć e) 4(3,5y 6 = 6x 2) /:6 = 0,4(5y + 10) 5x = 6 /:5 x = 1 x = 1,2 Cele wynikające z podstawy programowej b) -(3a - 4) - 5 = 6 + (-a - 2) f) 1,2 - (5,6a + 5) - 4,2 = - 2,6 -(3a - 20,6) Uczeń: -3a +4-5 = 6 - a - 2 1,2-5,6a - 5-4,2 = - 2,6-3a + 20,6 sprawdza, -3a - 1 = czy 4 - dana a /+3a liczba spełnia równanie - stopnia 8-5,6a pierwszego = - 3a +18 z jedną / + niewiadomą 8 [VII, 2] rozwiązuje -1 = 4 +2a równania / - 4 stopnia pierwszego z jedną -5,6a niewiadomą = - 3a +26 [VII, / + 3]. 3a -5 = 2a /:2-2,6a = 26/:(-2,6) a = - Cele 2,5 operacyjne osiągane przez a = -10 uczniów Uczeń: c) 10 - (5x - 2) = 7x +12 poznaje 10-5x typowe +2 = równania 7x +12 pierwszego stopnia z niewiadomą x prezentuje wybrane zasoby internetowe ilustrujące rozwiązywanie równań pierwszego 12-5x = 7x +12 / - 12 stopnia. -5x = 7x /+5x 0 = 12x /: 12 x = 0 Wiedza i umiejętności wejściowe ucznia Uczeń potrafi przed lekcją: d) -5-8x = -(5x - 3) - 8 pierwiastkować - 5-8x = - 5x liczby, + 3 w - 8szczególności wyłączać czynnik kwadratowy przed pierwiastek, np. 50= x = - 5x - 5 / + 5 podnosić do kwadratu liczby, w zapisie których występuje pierwiastek kwadratowy, np x = - 5x / + 5x stosować zależność między długością boku, a długością przekątnej w kwadracie w obie strony, - 3x = tak 0 / aby :(-3) nie stosować do tego problemu twierdzenia Pitagorasa, a od razu mnożyć, albo dzielić przez 2 x = 0 15

18 matematyka metoda podawcza gimnazjum Scenariusz 13 ZAŁĄCZNIK załącznik nr NR 36 Rozwiązania interaktywna zestawu waga równań zestaw nr ćwiczeń 2 nr 1 a) 2x + 7= - 3 (3x - 8) + 5 / - 7 Ćwiczenia zestaw 1 2x= -9x / +9x a) (2x 11x + 3) = = / 4x :11 5 b) (3a x = 4) 2 5 = 6 + ( a 2) c) 10 (5x 2) = 7x +12 d) b) 5-1,5(2x 8x = (5x + 2) 3) = -3( x) e) 2x + 7= (3x 8) + 5-3x - 3 = 6-12x / + 3 f) 1,2 (5,6a + 5) 4,2 = 2,6 + (3,6a + 20,6) -3x = 9-12x / + 12x 9x = 9 / :9 x = 1 c) -0,5 (30z - 4) + 5 = -0,2( z) -15z = 18-4z / + 4z -11z + 7 = 18 / -7-11z = 11 / : (-11) z = -1 d) -2(2a + 7) = 2a - (3a + 4) -4a - 14 = 2a - 3a - 4 / a = -a + 10 / + a -3a = 10 / : (-3) a = -3 ⅓ e) -4(3,5y - 2) = -0,4(5y + 10) -14y + 8 = -2y - 4 / y = -2y - 12 / + 2y -12y = -12 / : (-12) y = 1 16

19

20