SENSITIVITY ANALYSIS OF POWER SYSTEM STABILITY FACTORS INCLUDING THE UNCERTAINTY OF MATHEMATICAL MODEL PARAMETERS

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 2011 Zeszyt 2 (218) Rok LVII Adrian NOCOŃ, Stefan PASZEK Instytut Elektrotechniki i Informatyki, Politechnika Śląska w Gliwicach SENSITIVITY ANALYSIS OF POWER SYSTEM STABILITY FACTORS INCLUDING THE UNCERTAINTY OF MATHEMATICAL MODEL PARAMETERS Summary. The paper presents sensitivity analysis of the stability factors that can be used as criteria for further optimisation of power system stabilizers. The sensitivity of these factors to changes of selected mathematical model parameters of the sources connected to the medium voltage distribution network analysed was investigated. The obtained results were used for determining parameters of the models being more and less significant for the sensitivity analysis. The models taking into account nonlinearity were applied to modelling the system Keywords: power system, sensitivity, synchronous generator model, parameter uncertainty ANALIZA WRAŻLIWOŚCI WSKAŹNIKÓW STABILNOŚCI SYSTEMU Z UWZGLĘDNIENIEM NIEPEWNOŚCI PARAMETRÓW MODELI MATEMATYCZNYCH Streszczenie. W artykule przedstawiono analizę wrażliwości wskaźników stabilności mogących służyć jako kryteria do późniejszej optymalizacji stabilizatorów systemowych. Badano wrażliwość tychże wskaźników na wybrane parametry modeli matematycznych źródeł przyłączonych do analizowanej sieci dystrybucyjnej średniego napięcia. Uzyskane wyniki posłużyły do określenia parametrów modeli mniej i bardziej znaczących w analizie stabilności. Do modelowania systemu zastosowano modele z uwzględnieniem nieliniowości. Słowa kluczowe: wrażliwość, model generatora synchronicznego, model GENROU, niepewność parametrów 1. INTRODUCTION Stricter and stricter CO2 emission standards as well as the wish to diversify the electrical energy supply influence the dynamic development of renewable sources. These sources, usually of not large power, are more and more often installed in medium voltage distribution

2 8 A. Nocoń, S. Paszek networks. When there are appropriately many distributed sources in the network, there arise interactions between the working sources in transient states (caused by, for instance, shortcircuit or shut-down of one of the sources). These interactions can result in loss of the source stability and more serious failure consequences, including the power loss in the area covered by this network. Application of systems stabilizing the network operation, for instance appropriately selected excitation control systems or power system stabilizers (PPSs), can be a solution to this problem. Low power (up to 5 MW) distributed sources manufactured nowadays are most often equipped with standard control systems. On account of it, it would be uneconomical to equip them with system stabilizers without technical justification. Then, the stability analysis of operation of these sources, and in the case justified optimisation of control systems, including PSSs, becomes necessary. In order to optimise the PSSs, it is necessary to know the mathematical model of the system analysed and to determine disturbances that can be most threatening to the system (the distribution network in the case considered) stability [8]. The mathematical model, strictly speaking its parameters, is most often determined in the numerical estimation process, whereas the modal analysis is used for determining the disturbances that can be most threatening to the system stability [7]. In consequence, the quality of the PSS optimisation depends on the accuracy of representing transient states occurring in the network analysed. Due to not large powers of distributed sources, it would be difficult to find economical justification for complete investigations of the system in order to accurately determine all its parameters. On account of it, stability analyses have to be based on the mathematical model parameters estimated roughly. In consequence, it worsens the quality of the analysed PSS optimisation. Performing investigations based on the models whose significant parameters are accurately determined and the standard values assumed for the other parameters is a solution to this problem, which, in consequence, results in increase of the analysis accuracy. For such a solution it is necessary to determine more and less significant parameters. To do it, the sensitivity analysis can be used [5, 6]. There is presented an exemplary sensitivity analysis of the stability factors which can be used as criteria for further PSS optimisation. In this paper the waveforms of instantaneous power and angular speed deviation (that is quantities associated with electromechanical swings) as well as terminal voltage of particular generators for selected disturbances of the steady state are assumed to be the stability factors [7, 8]. There was investigated the sensitivity of these factors to selected mathematical model parameters of the sources connected to the medium voltage distribution network analysed. The obtained results were used for determining the models less and more significant for the stability analysis. For modelling the system there were used the models taking into account

3 Sensitivity analysis of power 9 the nonlinearity of magnetization characteristics. The package PSLF was used for simulation calculations [4]. 2. MATHEMATICAL MODEL OF POWER SYSTEM In the investigations presented the analysis was performed for the medium voltage distribution network being a part of the Polish power system (PPS). The network under consideration covers the area of about 100 km 2 inhabited, according to statistical data, by about 25 thousand of people. In this area there is one town of 14 km 2 area inhabited by 12 thousand people. The rest of this area contains rural grounds. The power network consists of 15 kv lines. Their total length is about 60 km. The lines supplying the town are cable lines of conductor diameters equal to 70 and 95 mm 2. The rural area is supplied mainly by overhead lines of conductor diameters equal to 35, 50 and 70 mm 2. PS L1 G2 G1 Fig. 1. Simplified diagram of the PS fragment analysed Rys. 1. Uproszczony schemat analizowanego fragmentu PS The analysed power system (PS) model consisted of 181 nodes, 191 lines, 85 loads (working at 0.4 kv voltage) and 5 generating units, in that one equivalent unit representing, in a simplified way, dynamics of the whole PPS. Additionally, there was modelled a 110 / 15 kv

4 10 A. Nocoń, S. Paszek transformer connecting the distribution network with the power system as well as 15 / 0.4 kv transformers supplying low voltage loads. The analysed system structure is shown in Fig. 1. Structure of generating units of the PS analysed Table 1 Generated power Type of mathematical models Generating unit representing the system equivalent 8.6 MW GENCLS Generating units of hydropower plants 2 x 1 MW GENSAL [1, 9] EXST1 [2, 9], HYGOV [3, 9] Generating units of wind power plants 3 x 1 MW GENWRI, EXWTG1, WNDTRB [4] It was assumed that there are two small 1 MW hydropower plants located at the town outskirts (G1 and G2 in Fig. 1) working at nominal power. Moreover, there were taken into account in the system three 1.65 MW wind power plants built in the rural area. These plants are equipped with asynchronous generators controlled by resistance change in the rotor circuit. It was assumed that the wind power plants work at the power equal to 0.6 nominal power, that is each of them produces about 1 MW power. The analysed system structure and the models assumed for analysis are presented in Table 1. For simulation investigations the line was modelled with an impedance model of type which takes into account the resistance and longitudinal reactance of the line and its capacity. The network parameters (line resistances and reactances) were assumed according to the data of its operator. 3. SENSITIVITY ANALYSIS OF PS STABILITY FACTORS In the investigations presented there was determined the sensitivity of three quantities associated with the system stability and describing the transient state of the generating unit G1. The waveforms were determined for the transient state caused by three-phase passing short-circuit in the line L1 (the short-circuit place is marked in Fig. 1) as well as for the transient state caused by sudden shut-down of all wind farms generation. The waveforms of the instantaneous power deviation p(t), the terminal voltage deviation u(t) as well as the rotation speed change (t) were investigated under these transient conditions. It was assumed that these waveforms were connected with the PS stability factors. The halfrelative sensitivity was used for estimation of the selected waveform sensitivity to the parameter changes. Due to the fact that the sensitivity values depend on time, the sensitivity was assumed to have integral form:

5 Sensitivity analysis of power 11 S S q1 q2 t q( t) x t x t 0 t x i 0 xi i q( t) i dt, (1) 2 dt, (2) where: q(t) the waveform for which the sensitivity is determined ( p(t), u(t) or (t)), xi the parameter in relation to which the sensitivity is determined, t time of the transient state analysis. The sensitivity analysis of the waveforms was performed for the following parameters of the models: transient time constant in d axis of generator G1 - Td0G1', transient reactance in d axis of generator G1 - XdG1', inertia time constant of generating unit G1 - HG1, transient time constant in d axis of generator G2 - Td0G2', transient reactance in d axis of generator G2 - XdG2', inertia time constant of generating unit G2 - HG2, inertia time constant of generating unit representing the PPS equivalent - HPS. In order to take into account the uncertainty of parameters in relation to which the sensitivity was determined, the parameter xi value was replaced with the probability distribution of the given parameter k(xi) value occurrence. There was assumed in calculations that all probabilities are of normal distribution for which the average value is x i and the range is ±25%. In the investigations presented the probability distribution of the parameters was determined based on the analysis of the catalogue data of mass-produced generators. There were analysed 72 generators of rated powers from 50 kv A to 1000 kv A produced by two manufacturers. The detailed analysis is contained in [6]. The exemplary probability distribution for the transient time constants in d axis of generators G1 and G2 - Td0' is shown in Fig. 2. The average values for the other parameters of ' generators G1 and G2 are: X d = 0,205 p.u., H = 5,23 s, whereas for the unit representing the PPS equivalent H PS = 3 s. Fig. 2. Probability distribution for the transient time constant in d axis of generator G1 Rys. 2. Rozkład prawdopodobieństwa dla przejściowej stałej czasowej w osi d generatora G1 Simulation investigations leading to determining the sensitivity when taking into account the uncertainty of the mathematical model parameters consist in performing repeated calculations for randomly chosen parameter values according to the assumed probability

6 12 A. Nocoń, S. Paszek distribution (Fig. 2). In this case the calculation results are bands of the selected waveforms (instantaneous powers, terminal voltage and rotational speed of the unit G1) and, in consequence, bands of the sensitivity waveforms. All bands obtained are characterised by the limit values (for instance, the maximum and minimum values) and the average value. In the investigations presented the average values were determined for 100 sets of parameters chosen randomly according to the assumed probability. The bands of the waveforms of the instantaneous power, terminal voltage and rotational speed of the generating unit G1 for short-circuit in the line L1 are shown in Fig. 3a, while for shut-down of wind power plants generation in Fig. 3b. Figs. 4-7 present the waveforms of the sensitivity factors (1) and (2) for short-circuit and shut-down of wind power plants generation, respectively. In order to make the figures legible, there are shown only the average values of the sensitivity factors. a) b) Fig. 3. Bands of the waveforms of instantaneous power p(t), terminal voltage u(t) and rotational speed (t) of generator G1 for short-circuit in line L1 (a) and shut-down of wind power plants generation (b) Rys. 3. Pasma przebiegów mocy chwilowej p(t), napięcia zaciskowego u(t) i prędkości wirowania (t) generatora G1 przy zwarciu w linii L1 (a) i wyłączeniu generacji siłowni wiatrowych (b)

7 Sensitivity analysis of power 13 Fig. 4. Waveforms of the average value of the sensitivity factors S p(t), S u(t), S (t) of generator G1 for short-circuit in line L1 (sensitivity factors (1)) Rys. 4. Przebiegi średniej wartości wskaźników wrażliwości S p(t), S u(t), S (t) generatora G1 przy zwarciu w linii L1 (wg zależności (1)) Fig. 5. Waveforms of the average value of the sensitivity factors S p(t), S u(t), S (t) of generator G1 for short-circuit in line L1 (sensitivity factors (2)) Rys. 5. Przebiegi średniej wartości wskaźników wrażliwości S p(t), S u(t), S (t) generatora G1 przy zwarciu w linii L1 (wg zależności (2)) Fig. 6. Waveforms of the average value of the sensitivity factors S p(t), S u(t), S (t) of generator G1 for shut-down of wind power plants generation (sensitivity factors (1)) Rys. 6. Przebiegi średniej wartości wskaźników wrażliwości S p(t), S u(t), S (t) generatora G1 przy wyłączeniu generacji siłowni wiatrowych (wg zależności (1))

8 14 A. Nocoń, S. Paszek Fig. 7. Waveforms of the average value of the sensitivity factors S p(t), S u(t), S (t) of generator G1 for shut-down of wind power plants generation (sensitivity factors (2)) Rys. 7. Przebiegi średniej wartości wskaźników wrażliwości S p(t), S u(t), S (t) generatora G1 przy wyłączeniu generacji siłowni wiatrowych (wg zależności (2)) 4. SUMMARY The following conclusions can be drawn from the calculations performed: - The sensitivity factors (1-2) for particular generator output quantities and model parameters have different waveforms for different disturbances. However, it can be noted that the greatest and least instantaneous values of particular factors are most often connected with the same parameters. The parameters connected with great values of the appropriate factors are relatively well (with a small error) calculated in the estimation process. When estimating the parameters of particular models, it is possible to use different objective functions analogical to the sensitivity factors defined. Hence, it is recommended to use for estimation an objective function taking into account many waveforms. - The waveforms of the instantaneous power and rotational speed of generators for the disturbances analysed are especially sensitive to changes of the inertia time constant of particular generators. The generator terminal voltage waveforms are highly sensitive to the changes of the synchronous reactance Xd and transient time constant Td0' of generators. Due to it, these quantities should be determined particularly accurately in the parameter estimation process of the PS element mathematical models. If necessary, the estimation inaccuracy of these parameters should be taken into consideration when optimising and polyoptimising the parameters of PPSs working in the PS of uncertain parameters. - Based on the sensitivity analysis of the generator output quantities to the change of the model parameters, it can be noted that it is possible to choose such an objective function (for instance multiplicative or additive) that its sensitivity to particular parameters should be increased.

9 Sensitivity analysis of power 15 - The transient state duration has significant influence on the sensitivity value, and as a consequence, on the objective function value assumed for generator parameter estimation. BIBLIOGRAPHY 1. De Mello, F. P., Hannett, L. H.: Representation of Saturation in Synchronous Machines IEEE Transactions on Power Systems. 1986, Vol. PWRS-1, No. 4, p Excitation System Subcommittee IEEE Computer Models for Representation of Digital- Based Excitation Systems. 3. IEEE Committee Report, Dynamic Models for Steam and Hydro Turbines in Power System Studies, IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems 1973, Vol. PAS- 92, No. 6, p Miller N. W., Price W. W., Sanchez - Gasca J. J.: Stability modeling of Vestas V80 wind turbine generator. GE PSLF, March Nocoń A., Pasko M., Paszek S.: Sensitivity analysis including uncertainty of synchronous generator model parameters. 9th International Conference Control of Power Systems 10, Tatranské Matliare, Slovak Republic, June 2010, p Nocoń A., Szuster D.: Distributed source mathematical model including parameter uncertainty. 33th International Conference on Fundamentals of Electrotechnics and Circuit Theory, SPETO 2010, Ustroń-May 2009, p Paszek S.: Optimisation of PSS parameters. Journal of Electrical Engineering. Slovak Centrum of IEE. 2001, Vol. 52, p Paszek S., Pawłowski A.: Parameter optimization of dual input power system stabilizers PSS3B in multi-machine power system. International Conference of Fundamentals of Electrotechnics and Circuit Theory 2004, Vol. 2, p Power Technologies, a Division of S&W Consultants Inc., Program PSS/E Application Guide. This work was partly financed by the Polish Ministry of Science and Higher Education from means of budget on science in years as research project N N Wpłynęło do Redakcji dnia 16 maja 2011 r. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marian Łukaniszyn

10 16 A. Nocoń, S. Paszek Omówienie Przy optymalizacji parametrów stabilizatorów systemowych konieczna jest znajomość modelu matematycznego analizowanego systemu elektroenergetycznego, w skład którego może wchodzić m in. sieć dystrybucyjna średniego napięcia. Ze względu na niewielkie moce źródeł pracujących w sieci dystrybucyjnej, trudno byłoby znaleźć ekonomiczne uzasadnienie pełnych badań systemu w celu dokładnego wyznaczenia wszystkich jego parametrów. W związku z tym analizy stabilności muszą być oparte na zgrubnie oszacowanych parametrach modeli matematycznych. Rozwiązaniem tego problemu, a w konsekwencji zwiększenie dokładności analizy, może być przeprowadzenie badań na podstawie modeli, w których dokładnie wyznaczono parametry znaczące, wpływające w znacznym stopniu na analizowane wskaźniki stabilności, natomiast dla pozostałych przyjęto wartości standardowe. W celu określenia parametrów, mniej lub bardziej wpływających na wybrane wskaźniki, można zastosować analizę wrażliwości. W niniejszym artykule przedstawiono przykładową analizę wrażliwości wskaźników stabilności, mogących służyć jako kryteria przy optymalizacji parametrów stabilizatorów systemowych. Jako wskaźniki stabilności przyjęto przebiegi mocy chwilowej i odchyłki prędkości kątowej oraz napięcia zaciskowego poszczególnych generatorów przy wybranych zakłóceniach stanu ustalonego. Badano wrażliwość tych wskaźników na wybrane parametry modeli matematycznych źródeł przyłączonych do analizowanej sieci dystrybucyjnej średniego napięcia. Uzyskane wyniki posłużyły do określenia parametrów modeli mniej i bardziej znaczących w analizie stabilności. W prezentowanych badaniach analizę przeprowadzono dla sieci dystrybucyjnej średniego napięcia, stanowiącej fragment polskiego systemu elektroenergetycznego. Rozpatrywana sieć obejmowała obszar około 100 km 2. Sieć elektroenergetyczną stanowią linie o napięciu 15 kv o długości ok. 60 km. Model analizowanego systemu składał się ze 181 węzłów w tym 5 węzłów wytwórczych. Strukturę analizowanego systemu przedstawiono na rys. 1. Założono, że w rozpatrywanym systemie pracują dwie małe elektrownie wodne (G1 i G2 na rys. 1) o mocy 1 MW. Ponadto, w systemie uwzględniono trzy siłownie wiatrowe o mocy 1,65 MW. W prezentowanych badaniach wyznaczano wrażliwość wybranych przebiegów w stanach przejściowych wywołanych przez trójfazowe przemijające zwarcie w linii L1 oraz nagłym wyłączeniem generacji wszystkich farm wiatrowych. Do oceny wpływu zmian parametrów na wybrane przebiegi wykorzystano wrażliwość półwzględną zgodnie z zależnościami (1) i (2). Przy czym analizę wrażliwości przebiegów przeprowadzono dla wybranych parametrów modeli generatora G1, generatora G2 i zespołu wytwórczego reprezentującego zastępczy ekwiwalent pozostałej reszty systemu. Uwzględnienie niepewności parametrów, względem których wyznaczano wrażliwość, nastąpiło poprzez zastąpienie konkretnej wartości parametru rozkładem prawdopodobieństwa

11 Sensitivity analysis of power 17 wystąpienia danej wartości parametru. W obliczeniach założono, że wszystkie prawdopodobieństwa mają rozkład normalny (rys. 2). Badania symulacyjne prowadzące do wyznaczenia wrażliwości z uwzględnieniem niepewności parametrów modelu matematycznego polegają na wielokrotnym powtarzaniu obliczeń przy losowo wybieranych wartościach parametrów, zgodnie z założonym rozkładem prawdopodobieństwa. Wynikami obliczeń są w tym przypadku pasma przebiegów wybranych wielkości, a w konsekwencji pasma przebiegów wrażliwości. W przedstawionych badaniach wartości średnie określono dla 100 zestawów parametrów wylosowanych zgodnie z przyjętym prawdopodobieństwem. Pasma przebiegów mocy chwilowej, napięcia zaciskowego i prędkości kątowej generatora dla zespołu wytwórczego G1 przedstawiono na rys. 3. Na rys. od 4 do 7 przedstawiono przebiegi wskaźników wrażliwości (1) i (2), odpowiednio dla zwarcia i wyłączenia generacji siłowni wiatrowych. Przy czym ze względu na czytelność rysunku na wykresach tych przedstawiono tylko wartości średnie wskaźników wrażliwości. Z przeprowadzonych obliczeń wyciągnięto następujące wnioski ogólne: - Wyznaczone wskaźniki wrażliwości dla poszczególnych parametrów modelu generatora mają różne przebiegi dla różnych zakłóceń. Jednak można zauważyć, że największe i najmniejsze wartości chwilowe poszczególnych wskaźników są najczęściej związane z tymi samymi parametrami, które są stosunkowo dobrze (z małym błędem) obliczane w procesie estymacji. Dlatego też zaleca się stosowanie, przy estymacji parametrów odpowiednich modeli, funkcji celu, uwzględniającej wiele przebiegów zakłóceniowych. - Przebiegi mocy chwilowej i prędkości kątowej generatorów przy analizowanych zakłóceniach są szczególnie wrażliwe na zmianę wartości stałej czasowej inercji poszczególnych generatorów. Przebiegi napięcia zaciskowego generatorów są wrażliwe w dużym stopniu na zmiany reaktancji synchronicznej i stałej czasowej podprzejściowej generatorów. W związku z tym te wielkości powinny być szczególnie dokładnie określone w procesie estymacji parametrów modeli matematycznych. Ewentualne niedokładności estymacji tych parametrów trzeba uwzględniać przy optymalizacji i polioptymalizacji parametrów stabilizatorów systemowych, pracujących w systemie elektroenergetycznym o niepewnych parametrach.