MAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla."

Transkrypt

1 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ 04. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania 4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.. Odpowiedzi do zadań zamkniętych ( 5) przenieś na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6 4) może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów. 5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzoróww matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 0. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 70 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-P_P-4

2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. 4 y x - Wskaż ten układ. A. y x y x 4 B. y x y x 4 C. y x y x 4 D. y x y x 4 Zadanie. ( pkt) Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to A. c 60 B. c 5 C. c 48 D. c 9 Zadanie. ( pkt) Wartość wyrażenia jest równa A. B. C. D. Zadanie 4.( pkt) Sumalog86 jest równa A. B. C. log87 D. 7 Zadanie 5. ( pkt) Wspólnym pierwiastkiem równań x 0 oraz 0 jest liczba x ( x )( x 0)( x 5) 0 A. B. C. 5 D. 0

3 Poziom podstawowy BRUDNOPIS

4 4 Poziom podstawowy Zadanie 6. ( pkt) Funkcja liniowa f() x = ( m 4) x jest malejąca, gdy A. m, B. m, C. m, D. m, Zadanie 7. ( pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. y x Funkcja f jest określona wzorem A. C. f( x) ( x)( x) B. f( x) ( x)( x) D. f( x) ( x)( x) f( x) ( x)( x) Zadanie 8. ( pkt) Punkt C (0,) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y x 4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD. A. y x B. yx C. y x D. y x Zadanie 9. ( pkt) Dla każdej liczby x, spełniającej warunek x 0, wyrażenie A. B. C. Zadanie 0. ( pkt) Pierwiastki x, 6 D. x x równania ( x)( x) 0 spełniają warunek x x jest równe x 6 x A. B. 0 C. x x x x D. x x 4 x x Zadanie. ( pkt) Liczby,, 4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ( a n), określonego dla liczb naturalnych n. Wzór ogólny tego ciągu ma postać A. a n 5 B. a n C. a n D. a n 5 n n n n

5 Poziom podstawowy 5 BRUDNOPIS

6 6 Poziom podstawowy Zadanie. ( pkt) Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C'są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 5 cm i 50 cm, to skala podobieństwa A'B' AB A. B. jest równa C. D. Zadanie. ( pkt) Liczby: x, 6,, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 0 B. C. D. 5 Zadanie 4. ( pkt) cos sin Jeżeli jest kątem ostrym oraz tg, to wartość wyrażenia jest równa 5 sin 5cos A. B. 4 5 C. D. Zadanie 5. ( pkt) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( x ) ( y) 4 z osiami układu współrzędnych jest równa A. 0 B. C. D. 4 Zadanie 6. ( pkt) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości jest równa A. B. C. D. 5 4 Zadanie 7. ( pkt) Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4 9 długości okręgu, ma miarę A. 60 B. 80 C. 40 D. 0 Zadanie 8. ( pkt) O funkcji liniowej f wiadomo, że Wzór funkcji f to 7 A. f. Do wykresu tej funkcji należy punkt P (,). f x x B. f x x C. f x x 7 D. f xx 4 Zadanie 9. ( pkt) Jeżeli ostrosłup ma 0 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa A. 5 B. 7 C. 8 D. 0

7 Poziom podstawowy 7 BRUDNOPIS

8 8 Poziom podstawowy Zadanie 0. ( pkt) Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest A. sześć razy dłuższa od wysokości walca. B. trzy razy dłuższa od wysokości walca. C. dwa razy dłuższa od wysokości walca. D. równa wysokości walca. Zadanie. ( pkt) Liczba A B. 0 5 jest równa C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y x, należy punkt A. A (, ) B. B (, ) C. C, D. D (4,4) Zadanie. ( pkt) Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A' zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość PA ( ) PA ( '), to A. PA ( ) B. PA ( ) C. PA ( ) D. PA ( ) 6 Zadanie 4. ( pkt) Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 0 zawodników? A. 00 B. 90 C. 45 D. 0 Zadanie 5. ( pkt) Mediana zestawu danych,, a, 0, 5, jest równa 7. Wówczas A. a 4 B. a 6 C. a 7 D. a 9

9 Poziom podstawowy 9 BRUDNOPIS

10 0 Poziom podstawowy ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań o numerach od 6. do 4. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 6. ( pkt) Wykresem funkcji kwadratowej f x x bx c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. Odpowiedź:....

11 Poziom podstawowy Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż równanie 9x 8x 4x8 0. Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

12 Poziom podstawowy Zadanie 8. ( pkt) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5.

13 Poziom podstawowy Zadanie 9. ( pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y x a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. gx ( ) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Odpowiedź: a).... b).... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

14 4 Poziom podstawowy Zadanie 0. ( pkt) Ze zbioru liczb,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Odpowiedź:....

15 Poziom podstawowy 5 Zadanie. ( pkt) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S A B Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. Wypełnia egzaminator Nr zadania 0.. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

16 6 Poziom podstawowy Zadanie. (4 pkt) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 98. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to ::. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. Odpowiedź:....

17 Poziom podstawowy 7 Zadanie. (5 pkt) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość, km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o km h prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. mniejsza od średniej Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania.. Maks. liczba pkt 4 5 Uzyskana liczba pkt

18 8 Poziom podstawowy Zadanie 4. (4 pkt) Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 0. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB. B F E G C D 0 A Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 4. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

19 Poziom podstawowy 9 BRUDNOPIS

20 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA Zadanie. (0 ) Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (II.8.d) Poprawna odpowiedź ( pkt) Wersja Wersja arkusza arkusza A B A C Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 4. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 5. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Stosowanie pojęcia procentu w obliczeniach (II..d) B C Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (II..a) C A Znajomość definicji logarytmu (II..h) D C Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II..e) C B Zadanie 6. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g) B D Zadanie 7. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej (II.4.l) D A

21 Zadanie 8. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Badanie równoległości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c) D A Zadanie 9. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej (IV..f) D B Zadanie 0. (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j) B D Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a) A D Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (II.7.b) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Badanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b) D A Zadanie 4. (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c) A B Zadanie 5. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Posługiwanie się równaniem okręgu ( x a) ( y b) r (II.8.g) B C

22 4 Zadanie 6. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, w tym z zastosowaniem trygonometrii (II.7.c) B C Zadanie 7. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich (IV.7.c) A D Zadanie 8. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (II..e) A B Zadanie 9. (0 ) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (III.9.b) A D Zadanie 0. (0 ) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (III.9.b) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym oraz stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (II..g) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym (II..g) B A

23 5 Zadanie. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.0.c) A D Zadanie 4. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych (IV.0.b) C C Zadanie 5. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczanie mediany danych (III..e) D A

24 6 Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (0 ) Wykresem funkcji kwadratowej punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. f x x bx c jest parabola, której wierzchołkiem jest Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i) Rozwiązanie (I sposób) b Ze wzorów xw, a b 4 i 0 4 Stąd y w 4a na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:, więc b 6 i c 0, czyli c. Rozwiązanie (II sposób) Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej b b b b b b f x x x c x x c x c Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne równań Stąd b 6 i b 6 c. 8 8 b 4 i 4 b c 0. 8 b b, c. Otrzymujemy układ 4 8 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy : obliczy współczynnik b: b 6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo b b zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.: 4 i c 0, 4 8 i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 6, c. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ x 4 oraz y 0, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny, w w zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej 4 f x x 6x, zatem b 6 i c. Stąd f x x.

25 7 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że f x x 4. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 6, c. Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie 9x 8x 4x 8 0. Wykorzystanie i tworzenie informacji Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki (I..d) Rozwiązanie (I sposób metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania wyrazów x x x x x Zatem x lub lub x x x x lub x , stąd Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: x 9x 4 poprzestanie lub dalej popełni błąd., i na tym Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x lub x lub x. Rozwiązanie (II sposób metoda dzielenia) albo Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4). Obliczamy pierwiastki trójmianu (9x 4) : x oraz x. Zatem x lub x lub x. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x x ). Obliczamy wyróżnik trójmianu : (9x x ) Stąd pierwiastkami

26 8 4 4 trójmianu są liczby x oraz x. Zatem x lub 8 8 lub x. albo x Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4x ). Obliczamy wyróżnik trójmianu: Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby 4 4 x oraz x. Zatem x lub x lub x. 8 8 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 8x x x przez trójmian kwadratowy, np. (9x 4), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:,,. Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej punkt.

27 Zadanie 8. (0 ) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. 9 Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V..a) I sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc k 7m, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy k m m m m m m m. Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 7 5. To oznacza, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze wyrażenie w postaci: 7m i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, które nie przekreślają poprawności rozumowania. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 7 7m 4m 5. II sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc mod7 Stąd wynika, że k 4mod7. Ponadto mod7 k 4mod7 mod7 5. To kończy dowód. k., więc z własności kongruencji Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod7. gdy zapisze że Uwaga Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4. Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod7 mod7 5. gdy zapisze

28 0 Zadanie 9. (0 ) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y x a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. g( x) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie na podstawie wykresu funkcji y f ( x) wykresów funkcji y f ( x a), y f ( x a), y f ( x) a, y f ( x) a (IV.4.b,d) Rozwiązanie a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0,. f x : b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba. Zatem miejscem zerowym funkcji g jest liczba 6, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając wykres funkcji f o jednostki w prawo. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, lub x i na f x : tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g albo poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór argumentów, dla których f( x) 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, i zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6. f x :

29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy:,,, x. Zadanie 0. (0 ) Ze zbioru liczb,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III.0.b,d) Rozwiązanie I sposób metoda klasyczna Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a, b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je: A 5,, 6,, 7,, 7,, 8,, 8, 4 Zatem A 6. Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ). 64 Rozwiązanie II sposób metoda tabeli Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ab, liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu X 6 X 7 X X 8 X X

30 Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Zliczamy, oznaczone krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: A 6. Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ). 64 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: albo obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: A 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe PA ( ). III sposób rozwiązania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjającej zdarzeniu A ,,, nie i nie nie nie lub nie i nie 4 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ) lub 4 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji sprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo. Zdający otrzymuje... pkt 6 gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe PA ( ). 64

31 Uwagi. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,75%.. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A, to otrzymuje 0 punktów. 4. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie może otrzymać punkty Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź PA ( ), to otrzymuje punkty, jeśli 64 natomiast zapisze tylko odpowiedź PA ( ), to otrzymuje punkt.

32 4 Zadanie. (0 ) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S A B Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich (V.7.c) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu. C S A B Z założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie cięciwy AB. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że ACB. Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), więc prosta CS zawiera dwusieczną kąta ACB, zatem SCB ACB. Odcinki SC i SB 4 to promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że SBC SCB, co kończy dowód. 4

33 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość kątów SBC i SCB lub równość kątów SCA i SAC i nie uzasadni tezy albo wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów SBC i SAC, korzystając z równoramienności trójkątów ABC i ABS, i nie uzasadni tezy. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że kąt ASB jest cztery razy większy od kąta SBC. Uwaga Jeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek, np. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 98. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to : :. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. 5 Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole P c powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe Pc xy xz yz. Możemy przyjąć, że x : y : z : :. Wtedy y x oraz z x. Zatem c 4 6 P x x x x x x x x x x x. Ponieważ Pc 98, więc otrzymujemy równanie x 98. Stąd x 9, więc x. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy p x y oraz d p z.

34 6 Stąd Zatem d x y z. d x y z x x x 4x x 4 4. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający albo zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej, np.: x, x, x zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi: d x y z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, P x x x x x x x albo np.: c zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.: d x x x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.: x. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu: d 4. Uwagi. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty.. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, x, x, i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi, stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.

35 Zadanie. (0 5) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość, km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. Modelowanie matematyczne Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym prowadzących do równań kwadratowych (III..b) Rozwiązanie (I sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza, a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci vt,. Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa v, natomiast czas, 4 w jakim wszedł, jest równy t t. Możemy więc zapisać drugie równanie v t,. 5 Stąd otrzymujemy 6 6 v vt t Po podstawieniu vt otrzymujemy v t, t v Podstawiając t v w równaniu vt, otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą v 79 6 v v, v v 0, v 58v 6 0, , v, v. 6 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 4,5,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. 7

36 8 Rozwiązanie (II sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza. Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy, v. Ponieważ 4 6 łączny czas wejścia i zejścia był równy godzinę i 4 minuty, czyli godziny, , więc czas, w jakim wchodził, był równy godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia 5 v, prędkość, z jaką wchodził, była równa km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie 6, 5 v z niewiadomą v, v, 6, 5 v 0v v, 0 v 6 6v v, v 6 6v v v 6, 6v v 95v 6, v 58v 6 0, , v, v. 6 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 4,5,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza t czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza 6 v t, 5 albo

37 9 oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze t czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 6 v t, 5 Uwaga Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie vt,. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 6 v t, 5 vt, albo zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 6 v t, 5 vt, albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze v albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza v 6, to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 5 v albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze

38 0, v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza. Uwaga Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości: czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to punkty otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech wielkości. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 79 6 v v, 5 5 albo zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 6 47 v v, 5 5 albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:,, 6 v v 5 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający albo rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie i nie obliczy średniej prędkości schodzenia rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze:,5 km/h Uwagi. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je konsekwentnie.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 03 WPISUJE ZJĄY KO PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI POZIOM POSTWOWY MJ

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 8

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi SIERPIEŃ 0 Zadanie. (0 ) Zakres umiejętności (standardy) Opis wymagań Wykonuje obliczenia procentowe;

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI Instrukcja dla zdającego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL We współpracy z: PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2013 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZMIN MTURLNY

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 010 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 15 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 2010 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI LISTOPAD 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu.

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJA 2016 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJA 2016 POZIOM ROZSZERZONY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych

Odpowiedzi do zadań zamkniętych. Schemat oceniania zadań otwartych Odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 Odpowiedź A C C B C A B C A D B C D B D C A B A A A C B A A Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. ( pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl

Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Plik pobrany ze strony www.zadania.pl Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy PESEL ZDAJĄCEGO Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdającego Arkusz I

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 011 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 01 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P1_1P-072 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2007 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 04/05 FORMUŁA DO 04 ( STARA MATURA ) MATEMATYKA POZOM PODSTAWOWY ZASADY OCENANA ROZWĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P MAJ 05 Uwaga: Akceptowane są wszystkie odpowiedzi merytorycznie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony klasa I

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony klasa I 1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony klasa I CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 010 Instrukcja dla zdającego Czas pracy 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015. MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO 1 MATEMATYKA - poziom rozszerzony LO MARZEC 015 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 17). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 05 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja

Bardziej szczegółowo

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na

Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na Przedstawiamy Państwu propozycję sprawdzianu diagnostycznego na koniec klasy I szkoły ponadgimnazjalnej opracowanego na wzór arkusza maturalnego na poziomie podstawowym. Narzędzie to było dostępne do pobrania

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P3 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P1_1P-091 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI STYCZEŃ ROK 2009 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJĄY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem (Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy) KOD ZDAJĄCEGO MMA-PGP-0 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut ARKUSZ I MAJ ROK 00 Instrukcja dla zdającego.

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 20 minut Instrukcja dla zdającego POZIOM PODSTAWOWY. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron (zadania ).

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 013 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 0/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 0 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 5 6 7 8 9

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdającego 1. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron. Ewentualny brak należy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące Informator o egzaminie eksternistycznym od 007 roku MATEMATYKA Liceum ogólnokształcące Warszawa 007 Opracowano w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z okręgowymi komisjami egzaminacyjnymi w

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo