MAJ Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

Transkrypt

1 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ 04. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 9 stron (zadania 4). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu na to przeznaczonym.. Odpowiedzi do zadań zamkniętych ( 5) przenieś na kartę odpowiedzi, zaznaczając je w części karty przeznaczonej dla zdającego. Zamaluj pola do tego przeznaczone. Błędne zaznaczenie otocz kółkiem i zaznacz właściwe. 4. Pamiętaj, że pominięcie argumentacji lub istotnych obliczeń w rozwiązaniu zadania otwartego (6 4) może spowodować, że za to rozwiązanie nie otrzymasz pełnej liczby punktów. 5. Pisz czytelnie i używaj tylko długopisu lub pióra z czarnym tuszem lub atramentem. 6. Nie używaj korektora, a błędne zapisy wyraźnie przekreśl. 7. Pamiętaj, że zapisy w brudnopisie nie będą oceniane. 8. Możesz korzystać z zestawu wzoróww matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. 9. Na tej stronie oraz na karcie odpowiedzi wpisz swój numer PESEL i przyklej naklejkę z kodem. 0. Nie wpisuj żadnych znaków w części przeznaczonej dla egzaminatora. Czas pracy: 70 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 MMA-P_P-4

2 Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. 4 y x - Wskaż ten układ. A. y x y x 4 B. y x y x 4 C. y x y x 4 D. y x y x 4 Zadanie. ( pkt) Jeżeli liczba 78 jest o 50% większa od liczby c, to A. c 60 B. c 5 C. c 48 D. c 9 Zadanie. ( pkt) Wartość wyrażenia jest równa A. B. C. D. Zadanie 4.( pkt) Sumalog86 jest równa A. B. C. log87 D. 7 Zadanie 5. ( pkt) Wspólnym pierwiastkiem równań x 0 oraz 0 jest liczba x ( x )( x 0)( x 5) 0 A. B. C. 5 D. 0

3 Poziom podstawowy BRUDNOPIS

4 4 Poziom podstawowy Zadanie 6. ( pkt) Funkcja liniowa f() x = ( m 4) x jest malejąca, gdy A. m, B. m, C. m, D. m, Zadanie 7. ( pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. y x Funkcja f jest określona wzorem A. C. f( x) ( x)( x) B. f( x) ( x)( x) D. f( x) ( x)( x) f( x) ( x)( x) Zadanie 8. ( pkt) Punkt C (0,) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y x 4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD. A. y x B. yx C. y x D. y x Zadanie 9. ( pkt) Dla każdej liczby x, spełniającej warunek x 0, wyrażenie A. B. C. Zadanie 0. ( pkt) Pierwiastki x, 6 D. x x równania ( x)( x) 0 spełniają warunek x x jest równe x 6 x A. B. 0 C. x x x x D. x x 4 x x Zadanie. ( pkt) Liczby,, 4 są trzema początkowymi wyrazami ciągu arytmetycznego ( a n), określonego dla liczb naturalnych n. Wzór ogólny tego ciągu ma postać A. a n 5 B. a n C. a n D. a n 5 n n n n

5 Poziom podstawowy 5 BRUDNOPIS

6 6 Poziom podstawowy Zadanie. ( pkt) Jeżeli trójkąty ABC i A'B'C'są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 5 cm i 50 cm, to skala podobieństwa A'B' AB A. B. jest równa C. D. Zadanie. ( pkt) Liczby: x, 6,, w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba x jest równa A. 0 B. C. D. 5 Zadanie 4. ( pkt) cos sin Jeżeli jest kątem ostrym oraz tg, to wartość wyrażenia jest równa 5 sin 5cos A. B. 4 5 C. D. Zadanie 5. ( pkt) Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu ( x ) ( y) 4 z osiami układu współrzędnych jest równa A. 0 B. C. D. 4 Zadanie 6. ( pkt) Wysokość trapezu równoramiennego o kącie ostrym 60 i ramieniu długości jest równa A. B. C. D. 5 4 Zadanie 7. ( pkt) Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4 9 długości okręgu, ma miarę A. 60 B. 80 C. 40 D. 0 Zadanie 8. ( pkt) O funkcji liniowej f wiadomo, że Wzór funkcji f to 7 A. f. Do wykresu tej funkcji należy punkt P (,). f x x B. f x x C. f x x 7 D. f xx 4 Zadanie 9. ( pkt) Jeżeli ostrosłup ma 0 krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa A. 5 B. 7 C. 8 D. 0

7 Poziom podstawowy 7 BRUDNOPIS

8 8 Poziom podstawowy Zadanie 0. ( pkt) Stożek i walec mają takie same podstawy i równe pola powierzchni bocznych. Wtedy tworząca stożka jest A. sześć razy dłuższa od wysokości walca. B. trzy razy dłuższa od wysokości walca. C. dwa razy dłuższa od wysokości walca. D. równa wysokości walca. Zadanie. ( pkt) Liczba A B. 0 5 jest równa C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Do wykresu funkcji, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem y x, należy punkt A. A (, ) B. B (, ) C. C, D. D (4,4) Zadanie. ( pkt) Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A' zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość PA ( ) PA ( '), to A. PA ( ) B. PA ( ) C. PA ( ) D. PA ( ) 6 Zadanie 4. ( pkt) Na ile sposobów można wybrać dwóch graczy spośród 0 zawodników? A. 00 B. 90 C. 45 D. 0 Zadanie 5. ( pkt) Mediana zestawu danych,, a, 0, 5, jest równa 7. Wówczas A. a 4 B. a 6 C. a 7 D. a 9

9 Poziom podstawowy 9 BRUDNOPIS

10 0 Poziom podstawowy ZADANIA OTWARTE Rozwiązania zadań o numerach od 6. do 4. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania. Zadanie 6. ( pkt) Wykresem funkcji kwadratowej f x x bx c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. Odpowiedź:....

11 Poziom podstawowy Zadanie 7. ( pkt) Rozwiąż równanie 9x 8x 4x8 0. Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

12 Poziom podstawowy Zadanie 8. ( pkt) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5.

13 Poziom podstawowy Zadanie 9. ( pkt) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y x a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. gx ( ) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Odpowiedź: a).... b).... Wypełnia egzaminator Nr zadania Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

14 4 Poziom podstawowy Zadanie 0. ( pkt) Ze zbioru liczb,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Odpowiedź:....

15 Poziom podstawowy 5 Zadanie. ( pkt) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S A B Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. Wypełnia egzaminator Nr zadania 0.. Maks. liczba pkt Uzyskana liczba pkt

16 6 Poziom podstawowy Zadanie. (4 pkt) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 98. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to ::. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. Odpowiedź:....

17 Poziom podstawowy 7 Zadanie. (5 pkt) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość, km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o km h prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. mniejsza od średniej Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania.. Maks. liczba pkt 4 5 Uzyskana liczba pkt

18 8 Poziom podstawowy Zadanie 4. (4 pkt) Kąt CAB trójkąta prostokątnego ACB ma miarę 0. Pole kwadratu DEFG, wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta ACB. B F E G C D 0 A Odpowiedź:.... Wypełnia egzaminator Nr zadania 4. Maks. liczba pkt 4 Uzyskana liczba pkt

19 Poziom podstawowy 9 BRUDNOPIS

20 ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMAT PUNKTOWANIA Zadanie. (0 ) Obszar standardów Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (II.8.d) Poprawna odpowiedź ( pkt) Wersja Wersja arkusza arkusza A B A C Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 4. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Zadanie 5. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Stosowanie pojęcia procentu w obliczeniach (II..d) B C Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (II..a) C A Znajomość definicji logarytmu (II..h) D C Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II..e) C B Zadanie 6. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wykorzystanie interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g) B D Zadanie 7. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej (II.4.l) D A

21 Zadanie 8. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Badanie równoległości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c) D A Zadanie 9. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Wykorzystanie pojęcia wartości bezwzględnej (IV..f) D B Zadanie 0. (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j) B D Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a) A D Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (II.7.b) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Badanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b) D A Zadanie 4. (0 ) Wykorzystanie i tworzenie informacji Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c) A B Zadanie 5. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Posługiwanie się równaniem okręgu ( x a) ( y b) r (II.8.g) B C

22 4 Zadanie 6. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, w tym z zastosowaniem trygonometrii (II.7.c) B C Zadanie 7. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich (IV.7.c) A D Zadanie 8. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (II..e) A B Zadanie 9. (0 ) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (III.9.b) A D Zadanie 0. (0 ) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (III.9.b) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym oraz stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (II..g) C B Zadanie. (0 ) Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym (II..g) B A

23 5 Zadanie. (0 ) Rozumowanie i argumentacja Wykorzystanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.0.c) A D Zadanie 4. (0 ) Użycie i tworzenie strategii Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych (IV.0.b) C C Zadanie 5. (0 ) Modelowanie matematyczne Obliczanie mediany danych (III..e) D A

24 6 Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (0 ) Wykresem funkcji kwadratowej punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. f x x bx c jest parabola, której wierzchołkiem jest Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i) Rozwiązanie (I sposób) b Ze wzorów xw, a b 4 i 0 4 Stąd y w 4a na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:, więc b 6 i c 0, czyli c. Rozwiązanie (II sposób) Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej b b b b b b f x x x c x x c x c Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne równań Stąd b 6 i b 6 c. 8 8 b 4 i 4 b c 0. 8 b b, c. Otrzymujemy układ 4 8 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy : obliczy współczynnik b: b 6 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy albo b b zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.: 4 i c 0, 4 8 i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 6, c. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ x 4 oraz y 0, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny, w w zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej 4 f x x 6x, zatem b 6 i c. Stąd f x x.

25 7 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że f x x 4. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 6, c. Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie 9x 8x 4x 8 0. Wykorzystanie i tworzenie informacji Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki (I..d) Rozwiązanie (I sposób metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania wyrazów x x x x x Zatem x lub lub x x x x lub x , stąd Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: x 9x 4 poprzestanie lub dalej popełni błąd., i na tym Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x lub x lub x. Rozwiązanie (II sposób metoda dzielenia) albo Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4). Obliczamy pierwiastki trójmianu (9x 4) : x oraz x. Zatem x lub x lub x. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x x ). Obliczamy wyróżnik trójmianu : (9x x ) Stąd pierwiastkami

26 8 4 4 trójmianu są liczby x oraz x. Zatem x lub 8 8 lub x. albo x Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 8x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4x ). Obliczamy wyróżnik trójmianu: Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby 4 4 x oraz x. Zatem x lub x lub x. 8 8 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy: podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 9x 8x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x x ) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd albo podzieli wielomian 8x x x przez trójmian kwadratowy, np. (9x 4), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:,,. Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej punkt.

27 Zadanie 8. (0 ) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. 9 Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V..a) I sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc k 7m, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy k m m m m m m m. Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 7 5. To oznacza, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze wyrażenie w postaci: 7m i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, które nie przekreślają poprawności rozumowania. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 7 7m 4m 5. II sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc mod7 Stąd wynika, że k 4mod7. Ponadto mod7 k 4mod7 mod7 5. To kończy dowód. k., więc z własności kongruencji Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod7. gdy zapisze że Uwaga Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4. Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod7 mod7 5. gdy zapisze

28 0 Zadanie 9. (0 ) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y x a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. g( x) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie na podstawie wykresu funkcji y f ( x) wykresów funkcji y f ( x a), y f ( x a), y f ( x) a, y f ( x) a (IV.4.b,d) Rozwiązanie a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0,. f x : b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba. Zatem miejscem zerowym funkcji g jest liczba 6, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając wykres funkcji f o jednostki w prawo. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy: zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, lub x i na f x : tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g albo poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór argumentów, dla których f( x) 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, i zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6. f x :

29 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy:,,, x. Zadanie 0. (0 ) Ze zbioru liczb,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III.0.b,d) Rozwiązanie I sposób metoda klasyczna Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a, b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je: A 5,, 6,, 7,, 7,, 8,, 8, 4 Zatem A 6. Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ). 64 Rozwiązanie II sposób metoda tabeli Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ab, liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu X 6 X 7 X X 8 X X

30 Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: Zliczamy, oznaczone krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: A 6. Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ). 64 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: albo obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A, polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: A 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe PA ( ). III sposób rozwiązania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjającej zdarzeniu A ,,, nie i nie nie nie lub nie i nie 4 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A: 6 PA ( ) lub 4 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji sprzyjających zdarzeniu A i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo. Zdający otrzymuje... pkt 6 gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A jest równe PA ( ). 64

31 Uwagi. Akceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,75%.. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i A, to otrzymuje 0 punktów. 4. Akceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie może otrzymać punkty Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź PA ( ), to otrzymuje punkty, jeśli 64 natomiast zapisze tylko odpowiedź PA ( ), to otrzymuje punkt.

32 4 Zadanie. (0 ) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym ABC, o ramionach AC i BC, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S A B Wykaż, że miara kąta wypukłego ASB jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SBC. Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich (V.7.c) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu. C S A B Z założenia wynika, że kąt wpisany ACB oraz kąt środkowy ASB leżą po tej samej stronie cięciwy AB. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że ACB. Trójkąt ABC jest równoramienny (ramionami są AC i BC), więc prosta CS zawiera dwusieczną kąta ACB, zatem SCB ACB. Odcinki SC i SB 4 to promienie okręgu, więc trójkąt BCS jest równoramienny. Stąd wynika, że SBC SCB, co kończy dowód. 4

33 Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość kątów SBC i SCB lub równość kątów SCA i SAC i nie uzasadni tezy albo wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów SBC i SAC, korzystając z równoramienności trójkątów ABC i ABS, i nie uzasadni tezy. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że kąt ASB jest cztery razy większy od kąta SBC. Uwaga Jeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek, np. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 98. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to : :. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. 5 Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole P c powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe Pc xy xz yz. Możemy przyjąć, że x : y : z : :. Wtedy y x oraz z x. Zatem c 4 6 P x x x x x x x x x x x. Ponieważ Pc 98, więc otrzymujemy równanie x 98. Stąd x 9, więc x. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów ABD i BDH otrzymujemy p x y oraz d p z.

34 6 Stąd Zatem d x y z. d x y z x x x 4x x 4 4. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający albo zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej, np.: x, x, x zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi: d x y z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, P x x x x x x x albo np.: c zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.: d x x x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.: x. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu: d 4. Uwagi. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty.. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, x, x, i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi, stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.

35 Zadanie. (0 5) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość, km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. Modelowanie matematyczne Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym prowadzących do równań kwadratowych (III..b) Rozwiązanie (I sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza, a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci vt,. Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa v, natomiast czas, 4 w jakim wszedł, jest równy t t. Możemy więc zapisać drugie równanie v t,. 5 Stąd otrzymujemy 6 6 v vt t Po podstawieniu vt otrzymujemy v t, t v Podstawiając t v w równaniu vt, otrzymujemy równanie kwadratowe z niewiadomą v 79 6 v v, v v 0, v 58v 6 0, , v, v. 6 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 4,5,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. 7

36 8 Rozwiązanie (II sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza. Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy, v. Ponieważ 4 6 łączny czas wejścia i zejścia był równy godzinę i 4 minuty, czyli godziny, , więc czas, w jakim wchodził, był równy godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia 5 v, prędkość, z jaką wchodził, była równa km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie 6, 5 v z niewiadomą v, v, 6, 5 v 0v v, 0 v 6 6v v, v 6 6v v v 6, 6v v 95v 6, v 58v 6 0, , v, v. 6 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 4,5,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza t czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza 6 v t, 5 albo

37 9 oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze t czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 6 v t, 5 Uwaga Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie vt,. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 6 v t, 5 vt, albo zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 6 v t, 5 vt, albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze v albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza v 6, to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 5 v albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze

38 0, v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza. Uwaga Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości: czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to punkty otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech wielkości. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 79 6 v v, 5 5 albo zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 6 47 v v, 5 5 albo oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:,, 6 v v 5 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający albo rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie i nie obliczy średniej prędkości schodzenia rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze:,5 km/h Uwagi. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je konsekwentnie.