Podręczniki. Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki. Część 2. Anna Jaśkowska Jerzy Meldizon. Lublin 2013

Transkrypt

1 Anna Jaśkowska Jerzy Meldizon Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki Część Lublin Podręczniki

2 Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki Część

3 Podręczniki Politechnika Lubelska Politechnika Lubelska Wydział Budownictwa i Architektury ul Nadbystrzycka 4B -68 Lublin

4 Anna Jaśkowska Jerzy Meldizon Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki Część Politechnika Lubelska Lublin

5 Recenzent: dr Robert Borc Politechnika Lubelska Publikacja wydana za zgodą Rektora Politechniki Lubelskiej Copyright by Politechnika Lubelska ISBN: Wydawca: Politechnika Lubelska ul Nadbystrzycka 8D -68 Lublin Realizacja: Biblioteka Politechniki Lubelskiej Ośrodek ds Wydawnictw i Biblioteki Cyfrowej ul Nadbystrzycka 6A -68 Lublin tel (8) wydawca@pollubpl wwwbibliotekapollubpl Druk: TOP Agencja Reklamowa Agnieszka Łuczak wwwagencjatoppl Elektroniczna wersja książki dostępna w Bibliotece Cyfrowej PL wwwbcpollubpl Nakład: egz

6 Spis treści Wstęp 7 Grawitacja 9 Zadania z rozwiązaniami 9 Zadania uzupełniające4 Ruch drgający i falowy 5 Zadania z rozwiązaniami5 Zadania uzupełniające9 Fizyka cząsteczkowa przemiany gazowe termodynamika Zadania z rozwiązaniami Zadania uzupełniające87 Wyprowadzenie wzoru barometrycznego5 R Wyprowadzenie wzoru c c = 9 µ p v

7

8 Wstęp Niniejsze opracowanie pt Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki Część II zostało pomyślane jako pomoc dydaktyczna dla studentów pierwszych lat studiów wszystkich kierunków Ze względu na stale zmniejszającą się liczbę godzin przeznaczoną na ćwiczenia rachunkowe z fizyki praca zawiera także pewną ilość zadań z rozwiązaniami w tym rozwiązania w oparciu o rachunek różniczkowy i całkowy oraz równania różniczkowe co pozwoli studentowi na głębsze i samodzielne przestudiowanie sposobu tych rozwiązań Autorzy mają nadzieję że praca ta udostępniona dla studentów w podręcznej bibliotece uczelni przyczyni się do szybszego opanowania przez nich sztuki rozwiązywania zadań tzw obiegowych z fizyki jak też zaciekawi niektórych problematyką praw fizyki występujących w przyrodzie i technice Zadania uzupełniające (bez rozwiązań) zostały dobrane w taki sposób aby można je było rozpracować w oparciu o te rozwiązane Książka pt Zadania do ćwiczeń rachunkowych z fizyki Część II jest kontynuacją wcześniejszego opracowania I części która zawiera takie działy jak: Wektory pola skalarne i wektorowe Kinematykę punktu materialnego oraz Dynamikę Część II natomiast zawiera: Grawitację Ruch drgający i falowy Fizykę cząsteczkową przemiany gazowe i termodynamikę Autorzy będą wdzięczni za wszelkie krytyczne uwagi oraz dostrzeżone błędy Autorzy 7

9 8

10 Rozdział I Grawitacja Zadania z rozwiązaniami Obliczyć w jakiej odległości od środka Ziemi pojazd kosmiczny lecący z Ziemi na Księżyc będzie przyciągany z jednakową siłą przez Ziemię i przez Księżyc Masa Księżyca jest 8 razy mniejsza od masy Ziemi a odległość Księżyca od Ziemi wynosi d = 8 km Przypuśćmy że szukane miejsce znajduje się w odległości x od środka Ziemi co jest pokazane na rys Z d F g z A F g K K x d x Rys W punkcie A pojazd kosmiczny jest jednakowo przyciągany zarówno przez Ziemię jak i przez Księżyc Wtedy w oparciu o prawo powszechnego ciążenia możemy napisać następujące równanie: 9

11 G Mm G M m Z K = x d x ( ) gdzie G jest stałą grawitacji M Z M K masą Ziemi i Księżyca odpowiednio m masą pojazdu kosmicznego Po przekształceniach mamy: M M stąd Z K = x d x ( ) x MZ d x = MK ostatecznie x = 9 d x = 4 km Dwie gwiazdy o masach m i m znajdują się w odległości L od siebie Znaleźć natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A znajdującym się w odległości r i r odpowiednio od pierwszej i drugiej gwiazdy Natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A γ w ( ) jest sumą wektorową ( ) oraz na- dwóch natężeń: natężenia pochodzącego od gwiazdy o masie m γ tężenia od gwiazdy o masie m ( γ ) Pokazane jest to na rys γ W = γ + γ γ = γ + W γ γγ cos α ()

12 r γ α A β γ W γ r C m L m B Rys Natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od dwóch gwiazd w punkcie A jest sumą wektorową natężeń pól od poszczególnych gwiazd Kąt α należy wyznaczyć w funkcji kąta β: α + β = 6 stąd α = 8 β Wzór () przyjmie teraz postać: gdzie γ = γ + W γ + γγcos β γ = G m r γ = G m r natomiast cosβ znajdujemy z trójkąta ABC: stąd L = r + r rr cos β cos β = L + r + r rr Ostatecznie szukane natężenie pola grawitacyjnego wyrazi się wzorem: γ w G m m mm = + L r r 4 4 r r rr ( )

13 Sztuczny satelita krąży wokół Ziemi po orbicie eliptycznej takiej że wielka półoś a tej elipsy jest mniejsza o Δa = km od wielkiej półosi a = km drugiego satelity Obliczyć okres obiegu drugiego satelity T jeżeli okres pierwszego wynosi T = 96 min W oparciu o trzecie prawo Keplera możemy napisać: T T a a = ale wielka półoś danego satelity jest mniejsza od wielkiej półosi drugiego satelity o Δa co możemy zapisać: a = a Δa Uwzględniając powyższe otrzymamy: T = T a ( a a) T = min 4 Obliczyć na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi natężenie pola grawitacyjnego Ziemi jest k = 9 razy mniejsze niż na powierzchni Promień Ziemi R = 64 km Wychodzimy stąd że wartość liczbowa natężenie pola grawitacyjnego Ziemi wyraża się wzorem: γ = G M R () gdzie M jest masą Ziemi R promień Ziemi Z treści zadania wynika że γ = G M k ( R+ h) gdzie h jest szukaną wysokością nad powierzchnią Ziemi

14 Po podzieleniu stronami powyższych równań oraz po przekształceniach otrzymamy: ( ) h= R k h = R 5 Okres wahań pewnego wahadła wynosi T Obliczyć ile wynosiłby okres wahań tego wahadła na planecie o promieniu 4 razy mniejszym od promienia Ziemi Przyjąć że Ziemia i planeta są jednorodnymi kulami o tej samej gęstości Okres wahań wahadła na Ziemi i na planecie wyrazi się odpowiednio: T z L = π g z T p L = π g p Po podzieleniu powyższych wzorów stronami będziemy mieli: T T g z P = z g p Przyjmując przybliżenie że przyśpieszenie ziemskie i danej planety są odpowiednio równe natężeniu grawitacyjnemu Ziemi i tej planety (przy zaniedbaniu ruchu wirowego obu ciał) możemy napisać: g z oraz że G M z = R g G M p R z p = p M z = 4 π Rz ρ Mp = 4 π Rp ρ Po uwzględnieniu powyższych zależności i po przekształceniach otrzymamy: T T R z p = z R T p = T z p

15 6 Czas trwania doby na jednorodnej kulistej planecie o gęstości ρ i promieniu R wynosi T Obliczyć na jakiej wysokości nad biegunem tej planety ciężar danego ciała będzie taki sam jak na równiku Stała grawitacji G Ciężar ciała nad biegunem na wysokości x nad daną planetą wyrazi się następującym wzorem: Q = G Mm b ( R+ x) Natomiast ciężar ciała na równiku jest sumą wektorową siły grawitacji i siły odśrodkowej bezwładności Q = F + F r g b Wartość Q r wynosi: Q = G Mm r m R R ω () gdzie mω R jest siłą odśrodkową bezwładności Uwzględniając że M= 4 π π R ρ oraz że ω = T i porównując ciężar ciała nad biegunem na wysokości x z ciężarem ciała na równiku danej planety możemy wyliczyć szukaną wysokość: G Mm G Mm = m ω R ( R+ x) R Z powyższego równania wyznaczamy szukaną wysokość: x = R G ρ T G ρ T π 7 Określić zależność ciężaru ciała od szerokości geograficznej Ziemi Ciężar ciała czyli siła z jaką ciało spada na Ziemię na biegunie równa się sile grawitacji: 4

16 F G Mm Z R = Z Natomiast z powodu ruchu obrotowego Ziemi wokół swojej osi ciężar ten jest zmniejszony o siłę odśrodkową bezwładności która wzrasta w miarę zbliżania się do równika i na równiku osiąga wartość maksymalną Zależność ciężaru od szerokości geograficznej wyrazi się więc równaniem wynikającym z twierdzenia cosinusów (rys ) Zatem: Q = F + F FF cos φ F φ G Mm R g = g b g b F = b m ω r gdzie R to promień Ziemi ω prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi r odległość danego ciała od osi obrotu Ziemi która zależy od szerokości geograficznej (rys ) i wyraża się następującym wzorem: r = Rcosφ φ jest szerokością geograficzną w r ϕ R F g F b ϕ Q ϕ Rys Ciężar ciała na danej szerokości geograficznej równy jest sumie wektorowej siły grawitacji oraz siły bezwładności Jego wartość wynika z tzw cosinusów Wynika stąd że wektor ciężaru nie jest skierowany do środka Ziemi z wyjątkiem bieguna i równika 5

17 8 Na równiku planety-ziemia ciała ważą o /9 mniej niż na biegunie Średnia gęstość Ziemi wynosi ρ = 557 kg/m Nm stała grawitacji G = 667 kg Obliczyć okres obrotu Ziemi dookoła własnej osi zakładając że Ziemia jest jednorodną kulą Ciężar ciała na równiku można wyliczyć z następującego równania: F G Mm r = m ω R R Na równiku ma dane ciało ważyć mniej o /9 niż na biegunie Warunek ten zapisujemy w postaci następującego równania: G Mm m R G Mm G Mm ω = R R 9 R lub ω R = G M 9 R Wyrażając masę Ziemi w zależności od jej gęstości: M= 4 π R ρ π oraz względniając że ω = T obliczymy szukany okres obrotu planety-ziemia T = 87 π G ρ T = 4 godz 9 Sztuczny satelita ma krążyć dookoła Ziemi po okręgu na wysokości H nad powierzchnią Ziemi i nie spaść na nią Obliczyć z jaką powinien być wyrzucony prędkością oraz jaki będzie jego okres obiegu Wykonać obliczenia przy założeniu że H << R Z gdzie R Z jest promieniem Ziemi Przyjąć g = 98 m/s R Z = 64 km 6

18 W sytuacji w której satelita ma krążyć dookoła Ziemi po orbicie kołowej i nie spaść na nią siła grawitacji musi stanowić siłę dośrodkową : G Mm ( R + H) skąd v Z = GM R + H Uwzględniając że g v I = R Z z mvi = R + H Z Z gz R + H Z GM = otrzymujemy: R Z Gdy H << R Z to v = g R (4) I Z Z Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: km v = 79 I s Otrzymaliśmy pierwszą prędkość kosmiczną W celu obliczenia okresu obiegu sztucznego satelity wychodzimy ze wzoru na okres ruchu po okręgu: T = π ω v Uwzględniając że ω = RZ + H π ( RZ + H) będziemy mieli T = v Zakładając że H << R Z i podstawiając za v wyrażenie gz RZ otrzymamy: R Z T = π g Z Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: T = godz 4 min 7

19 Obliczyć w jakiej odległości h od powierzchni Ziemi należy umieścić sztucznego satelitę aby nie zmieniał swego położenia względem Ziemi (satelita stacjonarny) Dany jest promień Ziemi R z = 67 km okres obrotu Ziemi T = 4 godz g = 98 m/s Satelita stacjonarny to taki który utrzymuje się nad Ziemią w płaszczyźnie równika Oznacza to że jego prędkość kątowa równa się prędkości kątowej Ziemi a siłę dośrodkową stanowi siła grawitacji na szukanej wysokości Zatem: m ω r G Mm = r gdzie r jest promieniem orbity sztucznego satelity: 4 π T r = G M skąd r = albo r = GMT 4 π GMRZT R 4 π Z r = grz T 4 π r = 4 km Ostatecznie szukana odległość od powierzchni Ziemi będzie: h = r R Z h = 57 km Obliczyć masę Ziemi wiedząc że Księżyc jest oddalony od Ziemi na odległość r = 84 km a jego okres obiegu dookoła Ziemi wynosi T = 7 dni 8

20 Siła przyciągania grawitacyjnego Księżyca (m) przez Ziemię (M) stanowi siłę dośrodkową utrzymującą Księżyc na orbicie Możemy więc napisać: GM m r mv = r uwzględniając że v = π T r otrzymamy G M r = 4 π T r stąd GM = 4 π r T r Ostatecznie M = 4 π T G Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: M = 6 4 kg Obliczyć prędkość liniową Ziemi w jej ruchu dookoła Słońca Masa Słońca jest M S = kg a średnia odległość Ziemi od Słońca wynosi r = 5 7 km Siła przyciągania Ziemi przez Słońce stanowi siłę dośrodkową w jej ruchu: G M m s mv = r r gdzie r odległość Ziemi od Słońca Z powyższego równania wyznaczamy szukaną prędkość liniową Ziemi: GMS v = r km km v = 9 8 s s 9

21 Obliczyć ile będzie ważyć na Księżycu człowiek który na Ziemi waży F = 9 N Masa Księżyca jest n = 8 razy mniejsza od masy Ziemi a promień Księżyca jest k = 7 razy mniejszy od promienia Ziemi Ciężar ciała na Księżycu wyrazi się wzorem: F = m g K gdzie m jest masą danego człowieka g K przyśpieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Księżyca które wynosi: g K G M K = R K Uwzględniając dane w treści zadania: g g k K = Z n m Po podstawieniu wartości liczbowych przyjęciu g = Z oraz m = 9 kg otrzymamy: s F = 5 N 4 Obliczyć wartość natężenia pola grawitacyjnego (przyśpieszenie grawitacyjne) na powierzchni Słońca Promień Słońca jest k = 8 razy większy od promienia Ziemi a średnia gęstość Słońca n = 4 razy mniejsza od średniej gęstości Ziemi Wartość natężenia pola grawitacyjnego na powierzchni Słońca wyraża się wzorem: γ s gdzie M s = G M R s = 4 π R ρ S S S ρ ρ = S Z n

22 R s = kr Z 4 Rs Mamy więc γs = G π ρs R γ s 4 = G ale 4 π R więc kr π kr ρ Z Z Z ρz n Z Z = M γ s = GM Z R Z γ s γ S = k Z n g = 7 g Z k n s 5 Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od powłoki kulistej o promieniu a i gęstości powierzchniowej σ w punkcie P odległym o r od środka powłoki Rozpatrzyć dwa przypadki a) gdy r > a oraz b) r<a a) Przypadek gdy r > a Wychodzimy z twierdzenia Gaussa dla natężenia pola grawitacyjnego: Ψγ = 4πGM tzn strumień natężenia pola grawitacyjnego przez zamkniętą powierzchnię S jest wprost proporcjonalny do sumarycznej masy ciał wewnątrz tej powierzchni (A Januszajtis Fizyka dla politechnik Tom II) Strumień elementarny: dψ = γ ds (rys4)

23 γ ds a r Rys 4 Strumień elementarny natężenia pola grawitacyjnego wyraża się wzorem dψ = γ ds Natomiast strumień całkowity będzie: Ψ = γ ds s Ψ γ = γ ds = γ ds cos8 (5) S Na mocy twierdzenia Gaussa mamy: Ψ γ = γ ds cos8 = 4 π GM zatem stąd S γ 4 π r = 4 π G M γ = GM r Natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez powłokę kulistą dla r > a jest takie samo jakby cała masa powłoki była umieszczona w jej środku π σ Jeżeli M= 4 π a σ to γ = G a 4 r b) gdy r < a W tym przypadku powierzchnia o promieniu r nie obejmuje żadnej masy więc: γ 4 π r =

24 Natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz powłoki kulistej jest równe zeru Jest to pokazane na wykresie na rys 5 γ a γ= γ GM = r r Rys 5 Natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz powłoki kulistej jest równe zeru Możemy wykazać inną metodą że natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz powłoki kulistej jest równe zeru W tym celu rozpatrujemy punkt materialny o masie m umieszczony w dowolnym miejscu wewnątrz powłoki kulistej o promieniu a i grubości da Następnie wycinamy dwa stożki o jednakowych kątach bryłowych i wierzchołkach gdzie znajduje się punkt materialny o masie m Stożki te wycinają na powłoce kulistej elementarne powierzchnie ds = dω r oraz ds = dω r Widać to na rys 6 r ds dr m r d Ω ds Rys 6 Dwa stożki o jednakowych kątach bryłowych wycinają powierzchnie ds i ds

25 Masy odpowiednich fragmentów powłoki ds i ds będą: dm = ds dr σ = dω r dr σ dm = ds dr σ = dω r dr σ Siły grawitacji działające ze strony wyżej wymienionych mas na punkt materialny o masie m wyrażają się wzorami: df df GdΩr dr σ m = = GdΩdr σ m r GdΩr dr σ m = = GdΩdr σ m r Siły te są jednakowe i przeciwnie skierowane a więc się redukują tzn że natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz powłoki kulistej jest równe zeru 6 Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego wytworzonego przez jednorodną kulę o promieniu a i gęstości objętościowej ρ w punkcie odległym od środka kuli o odległość r Rozpatrzyć dwa przypadki a) gdy r > a oraz b) gdy r < a a) Przypadek gdy r > a Podobnie jak w zadaniu poprzednim korzystamy z twierdzenia Gaussa: kulę pełną o promieniu a i gęstości objętościowej ρ otaczamy sferą kulistą o promieniu r (rys 7) Mamy: 4 π r γ = 4 π G M r γ a Rys 7 Kulę pełną o promieniu a otaczamy sferą kulistą o promieniu r 4

26 stąd γ = GM r Natężenie pola grawitacyjnego pochodzące od kuli pełnej jest takie samo jak od powłoki kulistej Natomiast wewnątrz pełnej kuli natężenie nie jest równe zeru b) Gdy r < a Wewnątrz kuli pełnej sfera o promieniu r < a obejmuje pewną masę tym mniejszą im jest mniejsze r Mamy więc 4 π r γ = 4 π G M jeśli uwzględnić że M= 4 π r ρ otrzymamy 4 r γ = G π r ρ ostatecznie γ = 4 π rg ρ Natężenie pola grawitacyjnego wewnątrz pełnej kuli jest wprost proporcjonalne do odległości od środka kuli co jest pokazane na wykresie na rys 8 γ a γ 4 = p ρ Ga γ = G M r r Rys 8 Natężenie pola grawitacyjnego od pełnej kuli wewnątrz i na zewnątrz tej kuli 5

27 7 Jednorodna kula wytwarza pole grawitacyjne którego natężenie na powierzchni kuli wynosi g Natężenie to zmienia się jeżeli wydrążymy w niej dwie kule styczne do siebie i do powierzchni danej kuli o średnicach równych promieniowi danej kuli i środkach leżących w płaszczyźnie równika (rys 9) Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A na biegunie kuli oraz w punkcie B C i D na równiku Oznaczymy przez γ i γ przez małe kule i natężenia pól grawitacyjnych wytwarzanych z A γ α γ B r o γ r D P O Q C y Rys 9 Natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A będzie różnicą wektorową pomiędzy natężeniem g a wypadkowym wektorem z dwóch wektorów γ i γ γ natężenie wypadkowe wytwarzane przez te kule γ A szukane natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A wytworzone przez część kuli oznaczoną ciemniejszym kolorem (rys 9) Natężenie to wyrazi się wzorem: γ = g γ + γ (6) A ( ) Wzór ten jest słuszny dla dowolnego punktu na powierzchni dużej kuli 6

28 Obliczanie dla punktu A Wartość natężenia pola grawitacyjnego wytworzonego przez małą kulę i w punkcie A wyrazi się wzorem: γ = G m r (7) gdzie m= 4 π r o ρ jest masą małej kuli którą należy wyrazić w funkcji R promienia R dużej kuli uwzględniając że r = o : 4 R M m = π ρ = 8 8 r jest odległością punktu A od środka małej kuli r jest promieniem małej kuli ρ jest gęstością dużej kuli M jest masą dużej kuli Podstawiając do wzoru (7) wartość na m oraz że g = G M R otrzymamy: γ = gr 8 r (8) ale dla punktu A jest r R 5 = R + = R 4 4 gdy wartość na r wstawimy do (8) otrzymamy: γ = g (9) Natężenie wypadkowe γ pola grawitacyjnego w punkcie A pochodzące od dwóch małych kul wyliczymy jako wektor wypadkowy dwóch natężeń γ i γ (rys 9) γ = γ + γ 7

29 Z rys 9 widać że: γ = γ cos α biorąc pod uwagę trójkąt APO otrzymamy: R cosα = = R 5 R + 4 Uwzględniając wzór (9) dostaniemy: γ = g 5 5 Szukane natężenie pola grawitacyjnego w punkcie A będzie różnicą dwóch wektorów (wzór 6): γ = g γ A Natomiast wartość liczbowa szukanego natężenia pola grawitacyjnego w punkcie A będzie równe: γ A g = g 5 5 γ A = g 5 5 Po wyliczeniu otrzymamy: γ A = 8 g b) Obliczanie dla punktu B Korzystając ze wzoru (7) na natężenie pola grawitacyjnego pochodzącego od małej kuli w punkcie A: γ = G m r dla punktu B przy uwzględnieniu że R r = r = oraz m = M otrzymamy: 8 o γ B = g 8

30 Natomiast w punkcie B natężenie pola grawitacyjnego od kuli uwzględniając że r = R oraz że m = M otrzymamy: 8 G m = = g r 8 γ B Wartość wektora wypadkowego w punkcie B wyrazi się wzorem: 5 γ B = g + g = g 8 9 Jest to natężenie pola grawitacyjnego pochodzące od dwóch małych kul Ostatecznie wartość liczbowa natężenie pola grawitacyjnego w punkcie B będzie wynosić: γ B = g 5 g 9 γ B = 4 9 g γ B = 44 g Natężenie pola grawitacyjnego w punkcie C γ C (na równiku) jest takie samo jak w punkcie D γ D i równa się (ze względu na symetrię) natężeniu pola w punkcie A γ A 8 Na półkuli północnej na szerokości geograficznej φ = 45 płynie rzeka z południa na północ z prędkością v = Obliczyć ciśnienie wywierane przez m s wodę na brzeg rzeki jeżeli jej szerokość wynosi b = m Gęstość wody można przyjąć ρ = kg Określić na który brzeg rzeki działa siła Coriolisa m 9

31 Wychodzimy ze wzoru na siłę Coriolisa: Fc = m vxω v prędkość rzeki a w prędkość kątowa ruchu obrotowego Ziemi W zapisie skalarnym: F = C m v ω sin ( v ω) Kąt między wektorami v i w wynosi φ co widać na rys w v ϕ v v F c ϕ Rys Prędkość danego ciała v rozkłada się na dwie składowe prędkości: prostopadłą do kierunku prędkości kątowej ruchu obrotowego Ziemi: v równoległą do tego kierunku vιι = vcosϕ Zatem = v sinϕ oraz F = c m v ω sin ϕ Siła Coriolisa działa prostopadle do płaszczyzny wektorów v i w zwrot jej określa reguła śruby prawoskrętnej Jak widać z rys siła Coriolisa skierowana jest za kartkę a więc działa na prawy brzeg rzeki Z drugiej strony siła ta może być wyrażona za pomocą ciśnienia p i pola powierzchni S brzegu rzeki na którą określona ilość wody wywiera ciśnienie p: F = p S

32 Masę wody natomiast możemy obliczyć jako iloczyn gęstości i objętości wody: m = V ρ gdzie V = S b Wstawiając powyższe do wzoru na siłę Coriolisa otrzymamy: Fc = S b ρ v ω sin ϕ Fc p = = b ρ v ω sin ϕ S N p = m 9 Obliczyć pracę podczas przenoszenia ciała o masie m w pomyślanym tunelu ze środka Ziemi na jej powierzchnię oraz energię potencjalną w dowolnym punkcie wewnątrz Ziemi Siła działająca na ciało próbne o masie m w tunelu wewnątrz Ziemi pochodzi tylko od kuli o promieniu r (rys ) ponieważ jak wykazano w zadaniu 5 nie ma oddziaływania pomiędzy zewnętrzną powłoką a masą m Warstwę Ziemi o grubości (R-r) można traktować jako sumę powłok kulistych F = G mm g r gdzie m jest masą kuli o promieniu r m= 4 π r ρ ρ jest średnią gęstością Ziemi którą wyznaczamy w funkcji masy całej Ziemi M:

33 R F g m r Rys Na ciało o masie m w pomyślanym tunelu przez środek Ziemi działa siła grawitacji pochodząca tylko od kuli o promieniu r M= 4 π R ρ skąd ρ = M 4 π R będzie więc m Mr = R Siła przyciągania grawitacyjnego przez kulę o promieniu r wyrazi się teraz wzorem: F = G mmr g r R ostatecznie F G mm R r g = Jest więc ta siła wprost proporcjonalna do odległości od środka Ziemi co jest pokazane na rys Praca natomiast jaką trzeba wykonać ażeby przenieść ciało o masie m w fikcyjnym tunelu przechodzącym przez środek Ziemi ze środka Ziemi na jej powierzchnię równa się polu pod wykresem siły:

34 W= R GMm R ostatecznie W = GMm R GMm R GM mr R O F g r B R A Rys Praca potrzebna do przeniesienia ciała o masie m ze środka Ziemi na jej powierzchnię jest równa polu pod wykresem siły Praca ta jest jednocześnie równa przyrostowi energii potencjalnej a więc różnicy pomiędzy energią potencjalną na powierzchni Ziemi a energią potencjalną w środku Ziemi W= E = E E () p pz po Z powyższego równania obliczamy energię potencjalną w środku Ziemi: E = E W po pz Uwzględniając wzory na E pz i W otrzymamy: E = G Mm G Mm po R R r E = G Mm po R () Wynik ten jest analogiczny ze wzorem na potencjał grawitacyjny w środku pełnej kuli o promieniu R gdy przyjmiemy za m jeden kilogram gdyż potencjał jest równy grawitacyjnej energii potencjalnej jednostki masy

35 W celu obliczenia energii potencjalnej w dowolnym punkcie wewnątrz Ziemi należy określić pracę potrzebną na przeniesienie ciała o masie m ze środka Ziemi do dowolnego punktu oddalonego od środka Ziemi o odległość r Praca ta jest równa polu trójkąta OAB co widać na rys W r G Mmr = R W G Mm r = R Energia potencjalna grawitacji w funkcji odległości od środka Ziemi będzie sumą energii potencjalnej w środku Ziemi plus praca określona powyższym wzorem: lub Epr = Epo + W E G Mm G Mmr pr = + R R Pierwszy człon powyższego równania określa energię potencjalną grawitacji w środku kuli ziemskiej a drugi pracę jaką trzeba wykonać aby przenieść ciało o masie m ze środka Ziemi do punktu r < R E p r G M m R R GM m R G M m r R G M m r Rys Zależność energii potencjalnej grawitacji od odległości od środka kuli ziemskiej 4

36 Wzór na pracę siły zewnętrznej równoważącej siłę pola grawitacyjnego podczas przeniesienia ciała o masie m z powierzchni Ziemi na wysokość h wynosi: W= G mm R Z R Z + h R Z jest promieniem Ziemi M masą Ziemi G stałą grawitacji Często jednak posługujemy się wzorem przybliżonym: W = m g h Do jakiej wysokości nad Ziemię można stosować ten wzór aby błąd względny popełniony przy obliczeniach pracy za pomocą wzoru przybliżonego był mniejszy od %? Dokładną wartość pracy wyrażamy wzorem: Wd = G Mm = GMm R R + h h R R + h Z Z Z Z ( ) () Dla h<<r Z wzór dokładny przechodzi we wzór przybliżony: W G Mm h p R ponieważ g więc = Z GM = R Z W p = m g h () Szukany błąd wyrazi się wzorem: lub W Wp W δ = = W W W W p d d < d d < 5

37 Korzystając ze wzorów () i () otrzymamy: stąd GMm h R Z h GMm R R + h Z ( ) RZ + h < R Z Z < lub h + < R Z Ostatecznie szukana wysokość wyrazi się wzorem: h< R Z Przyjmując że R Z = 674 km będziemy mieli: h < 67 km Obliczyć z jaką prędkością początkową należy wyrzucić ciało ażeby wyszło poza obszar przyciągania ziemskiego (druga prędkość kosmiczna) Przyjąć g = m/s Korzystamy z zasady zachowania energii: Suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała: lub mv mv II II + G Mm = R Z + G MmR R Z Z = 6

38 ale G M R Z Mamy więc: v II = g = g R Z km v = II s Drugą prędkość kosmiczną można także wyznaczyć w oparciu o to że energia kinetyczna jaką nadamy ciału będzie zużyta na pracę wykonaną przeciwko sile pola grawitacyjnego: mv II = GMm R Z r gdy r dąży do nieskończoności otrzymujemy drugą prędkość kosmiczną: v II = g R Z Obliczyć pracę jaką należy wykonać aby ciało o masie m = kg przenieść z powierzchni Ziemi na wysokość równą promieniowi Ziemi R Z = 64 km Przyjąć g = m/s Szukaną pracę wyliczymy ze wzoru: lub W= G Mm R Z r W G Mm R = Z RZ RZ r Przyjmując GM = g R Z 7

39 oraz że r = R Z otrzymamy: W g mr Z = W= 9 J Obliczyć drugą prędkość kosmiczną (prędkość ucieczki) z powierzchni planety Mars jeżeli średnica Marsa wynosi R M = 7 km stosunek masy Marsa do masy Ziemi k = Dany jest też promień Ziemi R z = 64 km oraz przyśpieszenie ziemskie g = m/s Energia kinetyczna z jaką wyrzucamy ciało do góry będzie zużyta na pracę przeciwko sile pola grawitacyjnego na Marsie: mv = GMM m R M r gdy r wówczas: GMM v = R M Ponieważ w treści zadania jest dany promień Ziemi i przyśpieszenie ziemskie to stałą grawitacji wyrażamy za pomocą tych wielkości: stąd g GMz = R z G gr M z = Mamy więc z grz M v = M R z M M Uwzględniając że M M M Z = k ostatecznie otrzymamy: 8

40 v = Rz g k R Po podstawieniu wartości liczbowych: km v = 55 s M 4 Sztuczny satelita krążący na wysokości h = R Z /8 nad Ziemią (R Z promień Ziemi) na skutek tarcia o rozrzedzoną atmosferę stopniowo przechodzi na orbitę znajdującą się na wysokości h = R Z / (rys 4) Obliczyć przyrost temperatury satelity jeżeli wykonany był z miedzi i jeżeli 5% wydzielonej energii cieplnej zostało oddane atmosferze Do obliczeń przyjąć promień Ziemi R Z = 64 km ciepło właściwe miedzi c w = 4 J/kgK Odległość satelity od środka Ziemi na wysokości h można wyrazić wzorem: r r R = RZ = 8 R Z Z v v r r h R h Rys 4 Sztuczny Księżyc na skutek tarcia o rozrzedzoną atmosferę przechodzi z orbity o promieniu r na orbitę o promieniu r 9

41 Natomiast na wysokości h będzie: r = R Z Na sztucznego satelitę działają dwie siły: siła tarcia i siła grawitacji Praca siły wypadkowej działającej na ciało równa się sumie prac poszczególnych sił działających na to ciało Zatem: W W = W T + W g Jednocześnie praca siły wypadkowej działającej na ciało równa się przyrostowi energii kinetycznej tego ciała: W W = ΔE k możemy więc napisać: ΔE k = W T + W g (4) Praca siły pola grawitacyjnego przy przesunięciu ciała z punktu do punktu (rys ) równa się ubytkowi energii potencjalnej : lub W G Mm G Mm = GMm r = r r r g ( ) (5) W = G Mm r r g r r Przyrost energii kinetycznej ΔE k wyrazi się wzorem: mv mv E = (6) k Korzystając z warunku że siła grawitacji stanowi siłę dośrodkową otrzymamy: mv = G Mm r r r Po pomnożeniu powyższego równania przez czynnik otrzymamy: mv = G Mm r 4

42 Wzór (6) przyjmie teraz postać: GMm E = GMm GMm r k r = r r lub ( E GMm r r ) k = (7) rr Znając wartość ΔE k i W g obliczymy pracę siły tarcia W T korzystając ze wzoru (4): W T = ΔE k - W g Wartości ΔE k i W g przedstawione są wzorami (7) i (5) zatem: W = GMm r r T r r ( ) ( ) + GMm r r r r Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika: ( ) W = GMm r r T rr Po podstawieniu odpowiednio za r i r wartości 9 8 R Z i R Z otrzymamy: WT = GMm 99 R Uwzględniając że g Z GM = R Z WT = RZ mg 99 będziemy mieli: Praca sił tarcia równa się ubytkowi energii wewnętrznej która zamienia się na ciepło Część tej energii powoduje ogrzanie satelity a część (η = 5) rozprasza się do atmosfery Możemy więc napisać: RZ m g-η RZmg= mcw T

43 albo RZ g( -η )= cw T 99 i ostatecznie RZ g T = 99 c w ( -η ) Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: ΔT = 88 K 4

44 Zadania uzupełniające 5 Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego w środku kwadratu o boku a = m jeżeli w narożach tego kwadratu znajdują się kule żelazne o masach: m = kg m = kg m = kg m 4 = 5 kg (rys 5) m m a γ γ 4 γ γ m 4 m Rys 5 Natężenie pola grawitacyjnego w środku kwadratu jest sumą wektorową natężeń grawitacyjnych pochodzących od czterech kul Odp γ k = G a m m ( ) 4 γ k N = 66 7 kg 6 Obliczyć okres T obiegu planetoidy krążącej wokół Słońca po orbicie eliptycznej o wielkiej półosi a większej od wielkiej półosi orbity Ziemi o Δa = 45 8 km Wielka półoś orbity eliptycznej Ziemi jest równa a z = 5 8 km Odp az + a T= T Z az T = 8 lat (bo T z = rok) 4

45 7 Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni Marsa wiedząc że MM stosunek masy Marsa do masy Ziemi = a promień planety Marsa M N R M = 5 km Rz = 64 km γ Z = 98 kg Odp γ M N = 9 kg Z 8 Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni Marsa wynosi g M = 4 g Z Obliczyć jaki jest ciężar człowieka na powierzchni Marsa jeżeli na powierzchni Ziemi wynosi P = 9 N Odp P M = 6 N 9 Obliczyć masę planety Mars jeżeli przyśpieszenie grawitacyjne na Marsie wynosi g M = 4 g Z (g Z jest przyśpieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Ziemi i wynosi 98 m/s ) Promień Marsa przyjąć R M = 4 km Odp m M gz R = 4 G M m M = 68 kg Wokół Marsa krążą dwa jego księżyce: Phobos który krąży po orbicie o promieniu R F = 94 km oraz Deimos z orbitą R D = 5 4 km Obliczyć okresy obiegów księżyców dookoła Marsa jeżeli masa Marsa wynosi M = 64 kg 44 Odp R T= π R GM T F = 77 h T D = 4 h

46 Obliczyć jakie przyśpieszenie grawitacyjne występuje na powierzchni Księżyca obiegającego Ziemię jeżeli jego masa jest n = 8 razy mniejsza od masy Ziemi a promień Księżyca wynosi R K = 7 km Promień Ziemi R z = 64 km Odp g K = /6 g Z Obliczyć na jakiej głębokości h pod powierzchnią Ziemi przyśpieszenie grawitacyjne ma wartość równą k = 5 wartości przyśpieszenia grawitacyjnego na powierzchni Ziemi Odp h = R Z (-k) Pierwszy sztuczny satelita Ziemi krążył wokół Ziemi na wysokości h = 947 km Obliczyć jaką musiał mieć prędkość liniową jeżeli masa Ziemi wynosi M Z = 59 4 kg Promień Ziemi r = 64 km Odp v = GM r+ h v m = 7 s 4 Okres drgań wahadła matematycznego na powierzchni Ziemi wynosi T = 5 s Obliczyć jaki będzie okres drgań tego wahadła umieszczonego na wysokości h = R/ nad poziomem Ziemi (R promień Ziemi) Odp T T R + = h R T = 5 s 45

47 5 Masa planety Uran jest n = 45 razy większa od masy Ziemi a promień Urana jest k = 4 razy większy od promienia Ziemi Obliczyć jaki jest stosunek wartości natężenia pola grawitacyjnego przy powierzchni Urana do wartości natężenia pola grawitacyjnego przy powierzchni Ziemi Odp s n = k s = Na równiku pewnej planety ciało waży razy mniej niż na biegunie Gęstość kg planety wynosi ρ = Obliczyć okres obrotu tej planety dookoła m własnej osi Odp T = 6 π T = 9696 s G ρ 7 Na równiku pewnej planety ciało waży o / mniej niż na biegunie Obliczyć okres obrotu tej planety dookoła własnej osi jeżeli jej gęstość wynosi ρ i zakładamy że planeta jest jednorodną kulą Odp T = π G ρ 8 Obliczyć średnią gęstość planety na której doba wynosi T = 6h jeżeli na jej równiku ciężar ciała jest mniejszy o % niż na biegunie Dana jest stała grawitacji G Odp π ρ = ρ = kg GT m 46

48 9 Obliczyć okres obiegu sztucznego księżyca Ziemi jeżeli jego odległość od powierzchni Ziemi jest równa podwójnemu promieniowi Ziemi Zakładamy że sputnik porusza się po okręgu Dane jest przyśpieszenie ziemskie g z = m/s i promień Ziemi R Z = 64 km Odp 7 R Z T = π T = 75 h g z 4 Obliczyć prędkość liniową z jaką porusza się Księżyc wokół Ziemi jeżeli jego odległość od Ziemi wynosi r = 84 km Masa Ziemi M Z = kg Odp GMZ v = km v = r s 4 Obliczyć ile razy szybciej niż obecnie powinna obracać się Ziemia dookoła swojej osi ażeby ciała na równiku były w stanie nieważkości jeżeli dany jest promień Ziemi R Z =6 4 km okres obrotu Ziemi dookoła osi T Z = 86 6 s oraz przyśpieszenie ziemskie g = m/s Odp TZ g n = n = 7 razy szybciej π R Z 4 Obliczyć ilość obiegów satelity dookoła Ziemi w ciągu doby jeżeli porusza się on po orbicie kołowej o promieniu r = 74 km Promień Ziemi R Z = 64 km Odp RZ g n = n =4 obiegów π r 47

49 4 Asteroida porusza się wokół planety po orbicie kołowej z prędkością liniową v = 6 km/s Promień planety wynosi R p = 4 km a natężenie pola grawitacyjnego przy jej powierzchni ma wartość γ = 4 4 m s Obliczyć promień orbity tej asteroidy Odp R p γ r = v r = 4 km 44 Obliczyć natężenie pola grawitacyjnego od jednorodnego pręta o długości L i gęstości liniowej λ w odległości r od tego pręta w kierunku prostopadłym do niego Odp γ = G r λ 45 Obliczyć stosunek ciężaru pewnego ciała na biegunie do ciężaru tego samego ciała na równiku planety w kształcie kuli o gęstości ρ i o okresie obiegu wokół własnej osi T Dana jest stała grawitacji G Odp GTρ S = GTρ π 46 Statek kosmiczny wznoszący się pionowo w górę ruchem jednostajnie przyśpieszonym osiągnął wysokość h = m w czasie t = s Obliczyć przeciążenie kosmonauty w tym statku w stosunku do przyśpieszenia ziemskiego g (Przeciążenie przyjęto uważać jako krotność standardowego przyśpieszenia ziemskiego) Odp a = 6 g 48

50 47 Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni Ziemi wynosi g Z Jakie będzie przyśpieszenie grawitacyjne na planecie o takiej samej masie co Ziemia ale o dwukrotnym promieniu ziemskim? Odp g p = 4 g Z 48 Pewna planeta opisuje okrąg dookoła Słońca z prędkością v = 5 km/s Obliczyć Nm okres obiegu tej planety jeżeli dana jest stała grawitacji G = 667 kg i masa Słońca M = 97 kg Odp GM T = π T = dni v 49 W kuli jednorodnej o promieniu R wydrążono obszar o dwukrotnie mniejszym promieniu Wydrążenie to jest styczne do danej kuli Natężenie pola grawitacyjnego na powierzchni kuli w punkcie styczności kuli dużej i wydrążonej w punkcie A wynosi g (po wydrążeniu małej kuli) Obliczyć wartość natężenia pola w punkcie O oraz pracę przeniesienia ciała o masie m ze środka kuli O na jej powierzchnią w punkcie A (rys 6) A P O R R Rys 6 W dużej jednorodnej kuli o promieniu R wydrążono kulę o promieniu r = R/ styczną w punkcie A Odp γ = g W = m g R 49

51 5 Obliczyć pierwszą prędkość kosmiczną dla Jowisza jeżeli wiadomo że orbita kołowa księżyca Jowisza Ganimedesa ma promień R G = 6 km i obiega on planetę w czasie T G = 75 dób ziemskich Promień Jowisza wynosi R J =7 km Odp v IJ RG RG = π T R G J v IJ km = 8 4 s 5 Obliczyć masę Słońca jeżeli znany jest okres obiegu Ziemi dookoła Słońca (T = 65 dni) oraz promień orbity Ziemi (r = 5 m) Odp r m = 4 π m S s = 97 kg TG 5 Znaleźć dla szerokości geograficznej φ = szybkość wody w rzece płynącej na północnej półkuli z południa na północ jeżeli na tej szerokości geograficznej każdy metr sześcienny wody działa na prawy brzeg rzeki siłą F = N/m Odp v F = v = 4 m/s ρωsin ϕ 5 Lokomotywa o masie m = 5 ton rozwija prędkość v = km Obliczyć h siłę Coriolisa działającą w kierunku poziomym na prawą szynę na trasie Poznań Warszawa na szerokości geograficznej φ = 5 Odp F = mv ω sin φ F = 6 N 5

52 54 Jaką pracę należy wykonać aby wystrzelić sztucznego satelitę o masie m = 5 kg na orbitę odległą od powierzchni Ziemi o h = 6 km Można przyjąć promień Ziemi R Z = 64 km a przyśpieszenie grawitacyjne g = m/s Odp W= m gr Z RZ + h R + h ( ) Z W = 9 J 55 Obliczyć jaką minimalną pracę należy wykonać ażeby sztuczny księżyc krążący wokół Ziemi po okręgu o promieniu r wynieść poza pole przyciągania grawitacyjnego Ziemi Dana jest masa Ziemi M Z masa sztucznego księżyca m i stała grawitacji G Odp W min = GMZ m r 56 Obliczyć drugą prędkość kosmiczną dla Księżyca oraz określić ile razy różni się ona od -giej prędkości kosmicznej Ziemi Przyjmujemy że promień Ziemi jest 4 razy większy od promienia Księżyca a masa Ziemi jest 8 razy większa od masy Księżyca Masa Ziemi wynosi M Z = 6x 4 kg a promień Ziemi R Z = 64 km Odp GMz v = R z v = 5 km/s v v Z K = Dana jest planeta będącą jednorodną kulą o promieniu R Przyśpieszenie grawitacyjne na powierzchni tej planety wynosi g Obliczyć potencjał grawitacyjny na powierzchni tej planety Odp V= -g R 5

53 58 Mała planeta w kształcie kuli ma promień R p = km i średnią gęstość ρ = 5 kg/m a) Obliczyć prędkość ucieczki z powierzchni tej planety b) obliczyć natężenie pola grawitacyjnego w pobliżu jej powierzchni c) obliczyć ciężar człowieka na tej planecie jeżeli na Ziemi waży on Q = 8 N Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g = 98 m/s Odp a) v = R b) g c) p Q p GR = 4 πρ p Qg = g πρg v = 7 km s p p m g = p 4 s Qp = N 59 Obliczyć ile razy wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Ziemi jest większa od wartości prędkości liniowej sztucznego satelity poruszającego się po orbicie kołowej o promieniu r = 8 R Z Odp n = 4 6 Obliczyć stałą grawitacji G jeżeli dany jest promień Ziemi R = 67 km średnia gęstość Ziemi ρ = 55 kg/m i przyśpieszenie grawitacyjne g Z = 98 m/s Odp g G = 4 π R ρ m G = 667 kg s 5

54 Rozdział II Ruch drgający i falowy Zadania z rozwiązaniami Ciało zostało wprawione w ruch harmoniczny z amplitudą A = 5 cm i okresem drgań T = s Obliczyć prędkość i przyśpieszenie w punkcie odległym od położenia równowagi o odległość x = 5 cm Wychylenie z położenia równowagi w ruchu harmonicznym wyraża się wzorem: x = Asinωt () gdzie A jest amplitudą ω prędkością kątową która wyraża się wzorem: π ω = T Prędkość w ruchu harmonicznym otrzymamy przez różniczkowanie wychylenia po czasie: dx v = x dt V x = Aωcosωt () lub v = x A ω sin ω t 5

55 Uwzględniając () otrzymamy: x vx = ω A - A v x = π = 68 cm/s Przyśpieszenie otrzymamy obliczając pochodną prędkości po czasie: a x = - ω A sin ω t () ale A sin ω t = x więc a x = - ω x (4) a x = - 5 p cm/s = -479 cm/s Punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym którego prędkość maksymalna jest V m = m/s a przyśpieszenie maksymalne a m = 8 m/s Obliczyć okres i częstość drgań w tym ruchu Prędkość i przyśpieszenie będą miały wartości maksymalne gdy cosωt we wzorze () i sinωt we wzorze () przyjmą wartości Wtedy otrzymamy: v m = A ω a m = - ω A Rugując z powyższych dwóch równań amplitudę A będzie: a m = ω v m lub a skąd m = π T v m v m T = π am Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: π T= s= 57 s 54

56 Częstość drgań jest odwrotnością okresu: ν = = π 64 Hz Punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym W odległości d od położenia równowagi jego przyśpieszenie wynosiło a Obliczyć okres drgań w tym ruchu Przyśpieszenie wyraża się wzorem a x = - ω A sin ω t ale A sin ω t = d więc a = - ω d lub a = 4 π T d Bierzemy wartość bezwzględną przyśpieszenia gdyż chodzi nam o wartość liczbową przyśpieszenia a nie o jego zwrot Z przekształcenia powyższego wzoru otrzymamy: d T = π [s] a 4 Punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym W odległościach x i x od położenia równowagi jego prędkości wynoszą odpowiednio v i v Obliczyć amplitudę drgań i częstość kołową Wychylenia punktów z położenia równowagi wyrażają się wzorami: x = A sin ω t x = A sin ω t 55

57 Prędkości otrzymamy obliczając pochodne z wychyleń po czasie: lub v v dx = = A ω cos ω t dt dx = = A ω cosω t dt v = Aω sin ω t v = Aω sin ω t Uwzględniając wzór () otrzymamy: v v x = Aω = ω A x (5) A x = Aω = ω A x A Po podzieleniu stronami powyższych dwóch równań i po podniesieniu do kwadratu otrzymamy: v v A = A x x skąd wyznaczamy szukaną amplitudę: A = vx v vx v W celu wyznaczenia częstości kołowej ω korzystamy ze wzoru (5) wstawiając za A obliczoną wartość zatem: vx vx v = ω x v v Po przekształceniu otrzymamy: ω = v x v x 56

58 5 Wzór na wychylenie w ruchu harmonicznym znamy w postaci: x = C sin (ω t + φ ) Wielkości C i φ są amplitudą i fazą początkową odpowiednio Wzór ten może być przedstawiony za pomocą innego następującego wzoru: x = A cos ω t + B sin ω t Wykazać że wzory te są równoważne Wzór x = C sin(ω t + φ ) rozwijamy zgodnie ze wzorem trygonometrycznym na sinus sumy kątów: x = C sin(ω t) cosφ + C cos(ω t) sinφ Wprowadzamy następujące oznaczenia dla cos φ i sin φ które nie zależą od czasu t: B A cos ϕ = sinϕ = C C gdzie C jest amplitudą drgań A B stałe Mamy więc x = C(sin ωt) B + C C (cos ω t ) A C a ostatecznie: x = A cos ωt + B sin ωt (6) 6 Punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne z okresem T = s W chwili początkowej punkt znajdował się w położeniu równowagi i miał prędkość v = m/s Napisać równanie ruchu Jeśli wyjdziemy ze wzoru: x = A cosωt + B sinωt to w oparciu o treść zadania dla t = mamy x = gdy A = Wtedy powyższe równanie dla dowolnego t przyjmie postać: x = B sinω t 57

59 Wyliczając prędkość jako pochodną x po czasie otrzymamy: dx v = = Bωcos ωt dt ale dla t = v = v Zatem z przekształcenia wzoru mamy: B = v ω Ostatecznie równanie ruchu będzie miało postać: x v sin ω t ω = Po podstawieniu liczb otrzymamy: x = sin π t π 7 Punkt materialny porusza się ruchem harmonicznym o okresie drgań T = 8 s i amplitudzie A = 5 cm Obliczyć średnią prędkość punktu na drodze S = 5 A licząc: a) od położenia równowagi b) od położenia skrajnego Średnia prędkość wyraża się wzorem: 5 A a) v śr = t gdzie t jest czasem liczonym od położenia równowagi do połowy amplitudy Czas ten wyliczamy w sposób następujący: A= Asinω t stąd π π T t = 6 więc t = T i ostatecznie v śr = 75 cm/s 58

60 b) v śr = 5A t gdzie t jest czasem liczonym od skrajnego położenia: π A= Asin( ωt + ) lub A= Acosω t Czas t wyliczamy analogicznie jak w przypadku a): t więc T = 6 v śr = 87 cm/s 8 Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach harmonicznych skierowanych: x = 8 sin (w t + π/6) x = 6 sin (w t + π/) Znaleźć amplitudę fazę początkową ruchu wypadkowego i napisać jego równanie (Patrz: Kurs fizyki I Jaworski i in Rozdz o składaniu drgań wzdłuż prostej) Składanie drgań o jednakowym kierunku znacznie się upraszcza jeśli drgania przedstawi się w postaci wektorów amplitud na płaszczyźnie (rys ) Tak otrzymany schemat nosi nazwę diagramu wektorowego Wskaz jest wektorem o długości równej amplitudzie drgań a jego kierunek tworzy z osią x kąt równy fazie drgań y A y A ϕ β ϕ A ϕ y x x x Rys Amplituda A jest wypadkową dwóch amplitud: amplitudy A oraz amplitudy A 59

61 By zilustrować treść zadania weźmy ciężarek na sprężynie Punkt zawieszenia sprężyny jest poddany drganiom resorów wagonu Zatem ciężarek wykonuje ruch drgający który składa się z dwóch drgań w jednym kierunku drgań własnych i drgań resorów Wartość długości amplitudy wypadkowej A można wyliczyć z twierdzenia cosinusów: A= A + A A A cos β Z rys wynika że A= A + A + A A cos( ϕ ϕ ) 6 Po podstawieniu wartości liczbowych z zadania otrzymamy: A= 48 cm= cm Tangens kąta φ wyliczamy ze wzoru: y+ y tg ϕ = (patrz rys ) x + x gdzie y y x x są określone przez funkcje sinus i cosinus A sinϕ + A Zatem tgϕ = A cosϕ + A sinϕ cosϕ Po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy: tg φ = 445 Równanie drgania wypadkowego będzie miało postać: ( ) x = 48 sin ω t+ arctg 445 ( ) x = 48 sin ω t+ π 9 Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach harmonicznych wzajemnie prostopadłych o jednakowych amplitudach okresach i tych samych fazach początkowych równych zeru: x = Asinωt y = Asinωt Znaleźć ruch wypadkowy

62 Met I (wykreślna) Rysujemy dwa okręgi styczne do dwóch sąsiednich boków kwadratu o boku równym średnicy okręgów Następnie rzutujemy ruch jednostajny punktu po okręgach na pole kwadratu Punkty przecięcia się prostych w kwadracie wyznaczają tor punktu ( w tym przypadku będzie to prosta) 4 4 Rys Dwa ruchy jednostajne po dwóch okręgach stycznych do kwadratu rzutowane na pole tego kwadratu dają szukany tor ruchu wypadkowego (w tym przypadku prostą) Met II (rachunkowa) Z powyższych dwóch równań należy wyrugować parametr t (czas) W tym celu wystarczy podzielić stronami obydwa równania: y x = lub y=x Ruch wypadkowy będzie odbywać się po prostej y = x nachylonej do osi X pod kątem 45 z amplitudą: A = w A 6

63 Jeżeli amplitudy ruchów harmonicznych składowych są różne np A i B odpowiednio to wypadkowy ruch odbywać się będzie po prostej nachylonej do osi OX pod kątem różnym od 45 takim że tgα = A B Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach harmonicznych wzajemnie prostopadłych o jednakowych amplitudach okresach ale różniące się fazami początkowymi o π/: Rozwiąznie x = A sin ω t y = Asin( ωt + π ) Znaleźć ruch wypadkowy Metoda I (graficzna) Postępujemy podobnie jak w zadaniu poprzednim Rys Punkty przecięcia prostych pochodzących od rzutowania punktów z okręgów układają się na torze ruchu wypadkowego W tym przypadku na okręgu o promieniu A co widać na rysunku Metoda II (rachunkowa) Z powyższych równań należy wyrugować parametr t (czas) W tym celu drugie równanie przekształcamy korzystając ze wzoru redukcyjnego następnie 6

64 podnosimy do kwadratu obie strony równań: x = A sin ω t y = A cos ω t i dodajemy stronami: x + y = A Ruch wypadkowy odbywa się więc po okręgu o promieniu A Jeżeli amplitudy byłyby różne to wypadkowy ruch punktu odbywałby się po elipsie Jeżeli dwa ruchy harmoniczne różnią się okresami i fazami początkowymi to torami ruchu wypadkowego są krzywe różnego kształtu zwane krzywymi Lissajous Rys 4 (zad ) Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch ruchach harmonicznych wzajemnie do siebie prostopadłych o jednakowych amplitudach i jednakowych fazach początkowych ale o różnych okresach: T = s oraz T = s: x = A sin π t y = A sin π t Znaleźć ruch wypadkowy Wyrugowanie parametru t z obydwóch powyższych równań w celu wyznaczenia równania toru ruchu wypadkowego prowadzi do skomplikowanej zależności y = f(x) Dlatego też w takich przypadkach stosujemy metodę wykreślną Zaznaczamy wychylenie punktu z położenia równowagi co /8 s Rys 4 Punkty przecięcia się prostych w polu kwadratu wyznaczają krzywą Lissajous 6

65 Jeżeli maksymalna energia kinetyczna punktu wykonującego drgania harmoniczne wynosi E to jaka będzie jej wartość w odległości ¾ amplitudy od położenia równowagi? Wartość energii kinetycznej w dowolnym punkcie amplitudy wyraża się wzorem: mv E = k gdzie v = ω A cos ω t Mamy więc m E A k = ω cos ω t (8) Funkcję cos ω t zamieniamy na sin ω t: cos ω t = sin ω t Wzór (8) przyjmie teraz postać: m A E = ω k ( sin ωt) ale x = A sin w t lub 4 A= Asin ωt Stąd sinωt = 4 Energia kinetyczna rozpatrywanego punktu wyrazi się teraz wzorem: E k = m ω A

66 ω Wyrażenie m A = E jest energią maksymalną więc ostatecznie szukana energia kinetyczna będzie: E = 7 k E 6 Probówka o masie m i polu przekroju S zawiera nieco rtęci o masie m i pływa w wodzie w pozycji pionowej (rys 5) Po wychyleniu z położenia równowagi w kierunku pionowym probówka wykonuje drgania Obliczyć okres drgań jeżeli gęstość wody przyjmiemy ρ a wszelkie opory pominiemy x x Rys 5 Na probówkę zanurzoną w wodzie na dodatkową głębokość x ( w stosunku do położenia równowagi) działa dodatkowa siła wyporu skierowana do góry która pełni rolę siły sprężystości w ruchu harmonicznym Probówka w stanie równowagi: mg = F wyp = ρv g gdzie V objętość zanurzonej próbówki w stanie równowagi W przypadku dodatkowego zanurzenia probówki w stosunku do położenia równowagi pojawia się dodatkowa siła wyporu która będzie stanowić siłę sprężystości działającą przeciwnie do wychylenia zwaną siłą zwracającą W przypadku w/w probówki siła ta jest określona prawem Archimedesa: 65

67 F x = Vρg gdzie ρ jest gęstością cieczy V objętością dodatkowego zanurzenia probówki ale V = S x mamy więc: F x = -S x ρ g I szy sposób: Korzystając z -giej zasady dynamiki możemy napisać równanie różniczkowe ruchu harmonicznego: m dx dt gdzie m = m + m = S ρ gx (9) Równanie (9) można zapisać w postaci: dx S ρ g + dt m m x = + Jest to szukane równanie różniczkowe ruchu ciała drgającego Współczynnik przy x jest równy ω Mamy więc skąd 4 π T T = S ρ g = m + m m + m S ρ g π II-gi sposób: Siłę zwracającą porównujemy z siłą w ruchu harmonicznym określoną jako iloczyn masy danego ciała przez jego przyśpieszenie uzyskiwane w ruchu harmonicznym: F x =ma x 66

68 gdzie F x =-Sρgx a x =-ω x a = 4 π x x T 4 π Sρgx = m x T gdzie m = m + m Szukany okres drgań wyrazi się wzorem: T = m + m S ρ g π 4 W rurce zgiętej w kształcie litery U znajduje się nieco rtęci o długości L Obliczyć okres drgań rtęci gdy zostanie ona wytrącona z położenia równowagi oraz napisać kinematyczne równanie ruchu drgającego rtęci jeżeli największa różnica poziomów rtęci wynosi h = x (rys 6) Rys 6 Siłą kierującą w tym przypadku jest ciężar słupka rtęci o wysokości h = x Siłą kierującą w tym zadaniu jest ciężar słupka rtęci spowodowany różnicą poziomów tj h = x gdzie x jest wychyleniem rtęci z położenia równowagi w górę i w dół odpowiednio w jednym i drugim ramieniu 67

69 Zatem siła ta skierowana zawsze przeciwnie do wychylenia wyrazi się wzorem: F x = -S x ρ g gdzie S - jest polem przekroju poprzecznego rurki ρ - jest gęstością rtęci x - wychyleniem z położenia równowagi liczonym od środka drgań Zgodnie z drugą zasadą dynamiki możemy napisać: lub m d x = Sρgx dt dx S ρ g + dt m x = gdzie m jest masą całej rtęci którą należy wyrazić w funkcji długości słupa tej rtęci L: m = L S ρ Mamy więc dx g + dt L x = () skąd g 4 L = π T Szukany okres drgań wyrazi się wzorem: L T = π g W celu uzyskania kinematycznego równania ruchu należy rozwiązać równanie () m tego równania jest w ogólnym przypadku funkcja: x = A cosω t + B sinω t Tutaj otrzymamy: 68

70 x = A cos g t + B L sin g L t dla t = otrzymamy x = A ale x = h/ (patrz rys 6) więc A = h/ W celu określenia drugiej stałej B należy wziąć pod uwagę prędkość dx v = h g g dt = L L t+ B g g sin cos L L t Z warunków początkowych mamy dla t = prędkość v = Wtedy z powyższego równania B = Zatem szukane równanie kinematyczne ruchu będzie miało postać: h g x = cos L t 5 Na dwóch rolkach o jednakowych promieniach odległych od siebie o L położono symetrycznie deskę o masie m Rolki obracają się do siebie w przeciwnych kierunkach jak pokazuje rys 7 Obliczyć okres drgań deski po wychyleniu jej z położenia równowagi jeżeli współczynnik tarcia pomiędzy rolkami a deską jest jednakowy i wynosi μ y N N L x S T T N N O x Rys 7 Siłą zwracającą będzie tutaj siła tarcia tym większa im będzie większy nacisk deski na rolkę wynikający z przesunięcia deski Po wytrąceniu deski z położenia równowagi siłą zwracajcą będzie tutaj wypadkowa sił tarcia ze strony obu rolek 69

71 Współrzędna wektora siły wypadkowej wynosi: F x = (T - T ) Ponieważ T = μ N i T = μ N to F x = μ (N N ) () gdzie N N są siłami nacisku rolki pierwszej i drugiej na deskę Momenty sił działające na deskę względem środka jej masy S są równe sobie w dowolnej chwili czyli przy dowolnym wychyleniu deski a więc i w momencie maksymalnego wychylenia deski z położenia równowagi Zatem możemy napisać: N ( L + x ) = N ( L - x ) Po przekształceniu otrzymamy: L (N - N ) = x (N + N ) lub ( ) N N = x L N + N Wynik ten wstawiamy do równania ( ) Jest to współrzędna x owa siły kierującej: x F = µ x N N L + ale N + N = m g więc ( ) x F = µ L mg x Wynik ten wstawiamy do wzoru: m a = F x czyli m dx x dt = µ L mg 7

72 Stąd d x µ x + dt L g = µ g 4 π = ω = L T ostatecznie więc L T = π µ g 6 W cylindrze zamkniętym na obu końcach i napełnionym gazem dwuatomowym znajduje się tłok który rozdziela gaz na dwie połowy (rys 8) Ciśnienie gazu na obydwie strony tłoka wynosi p = 5 N/m Tłok wytrącony z położenia równowagi na niewielką odległość zaczyna drgać Przemianę w gazie można traktować jako adiabatyczną Obliczyć okres drgań jeżeli masa tłoka wynosi m = 5 kg odległość tłoka od denka ( w przypadku równowagi) L = m pole powierzchni tłoka S = - m a wykładnik adiabatyczny κ = 4 Tarcie tłoka o ścianki cylindra pomijamy L x Rys 8 Po wychyleniu tłoka z położenia równowagi będzie na niego działać siła wypadkowa która będzie siłą zwracającą Po wychyleniu tłoka z położenia równowagi wypadkowa siła działająca na tłok wyrazi się wzorem: F w = F F gdzie F = F + df F = F df 7