ĆWICZENIE 2 SYGNAŁY DYSKRETNE, RÓWNANIA RÓśNICOWE I TRANSFORMACJA DTFT

Transkrypt

1 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 1/7 ĆWICZENIE 2 SYGNAŁY DYSKRETNE, RÓWNANIA RÓśNICOWE I TRANSORMACJA DTT 2.1. CELE ĆWICZENIA Przypomnienie, pogłębienie i utrwalenie wiadomości o ygnałach dykretnych i o równaniach róŝnicowych liniowych o tałych wpółczynnikach oraz o podtawowych właściwościach tranformacji DTT to główne cele ćwiczenia O SPOSOBIE OSIĄGANIA CELÓW ĆWICZENIA W ćwiczeniu zbadamy podtawowe właściwości ygnałów dykretnych i obliczymy parametry tych ygnałów. Wyznaczymy teŝ odpowiedzi ytemów DLS (dykretnych, liniowych, tacjonarnych) na pobudzenia ygnałami dykretnymi oraz tranformaty widma DTT tych ygnałów. Zakłada ię, Ŝe w ramach przygotowania ię do ćwiczenia ćwiczący: co najmniej przypomni obie materiał wykładu z PiAPS z poprzedniego emetru dotyczący tematyki ćwiczenia oraz zapozna ię z treścią niniejzej intrukcji, zatanowi ię nad potawionymi w intrukcji problemami. W prawozdaniu naleŝy zamieścić odpowiedzi na pytania wytępujące w kolejnych punktach oraz przedykutować otrzymane wyniki i formułować wnioki WPROWADZENIE W ytemach elektronicznych mamy najczęściej do czynienia z ygnałami ciągłymi i dykretnymi. Sygnały ciągłe (inaczej analogowe) ą poddawane dykretyzacji (próbkowaniu na oi czau), aby umoŝliwić obliczenia numeryczne na ciągu próbek ygnału. Jet to najbardziej efektywny wpółczeny poób przetwarzania ygnałów. Sygnały dykretne (DT dicrete time) ą przetwarzane w ytemach dykretnych. Dla ygnału dykretnego x[n] 2 moŝna wyznaczyć takie jego parametry jak: uma x [ n], uma bezwzględna x n] E = x[ n]. n= n= [, energia n= Na ygnale dykretnym moŝna m.in. wykonać takie podtawowe działania jak mnoŝenie, dodawanie/odejmowanie, opóźnienie ygnału o d próbek x[n-d], jak równieŝ dekompozycję na część parzytą i nieparzytą x[n] = x e [n] + x o [n] (gdzie x e [n] = (x[n] + x[ n])/2, x o [n] = (x[n] x[ n])/2), odbicie lutrzane ygnału x[n] x[ n] (odwrócenie kolejności n próbek), umowanie kumulowane (akumulację) x [ k] (odpowiednik całkowania ygnałów ciągłych), wyznaczanie k= przyrotów (róŝnicowanie wtecz) x[n] x[n 1] (odpowiednik róŝniczkowania ygnałów ciągłych). Typowe ygnały dykretne, to: impul jednotkowy zwany deltą Kroneckera δ[n], kok jednotkowy u[n], funkcja rampa r[n]=n u[n], ygnał wykładniczy b n, ygnał potęgowy n p, ygnał harmoniczny A co[b(+r], impul protokątny (funkcja rect), impul trójkątny (funkcja tri), dykretny inc z definicji inc(x) = in(πx)/πx ) : n rect( 2 N ) = 1, n N 0, n >N tri( N n ) = 1 - Nn, n N 0, n >N inc( N n ) = in( nπ / N), n 0 nπ / N 1, n = 0 Sytem DLS opiuje ię równaniem róŝnicowym liniowym ze tałymi wpółczynnikami. Równanie to, oparte na róŝnicach wtecznych, ma potać a 0 y[n] + a 1 y[n 1] a N y[n N] = b 0 x[n] + b 1 x[n 1] b N x[n N] gdzie x[n] jet pobudzeniem, a y[n] jet odpowiedzią. Odpowiada to opiowi ytemu za pomocą tranmitancji: Nazwa inc pochodzi od 'inu cardinal'.

2 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 2/7 H Y ( z) Num b + b z b b z + b z 1 N N N N 0 1 ( z) = = = = 1 N N N 1 X ( z) Den a0 + a1z an z a0z + a1z z b a Odpowiedź y[n] ytemu N-tego rzędu dla zadanego pobudzenia x[n] moŝna obliczyć, gdy znane ą warunki początkowe y[ 1], y[ 2],..., y[ N]. Odpowiedź całkowita y[n] jet umą odpowiedzi wymuzonej (przy zerowych warunkach początkowych) i odpowiedzi włanej (przy zerowym ygnale wejściowym). Odpowiedź impulowa h[n] jet definiowana jako odpowiedź ytemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie impulem jednotkowym δ[n]. Odpowiedź jednotkowa h1[n] jet definiowana jako odpowiedź ytemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie kokiem jednotkowym u[n]. Tranformatę ouriera czyli widmo zepolone ygnału ciągłego x(t), nieokreowego, oblicza ię ze wzoru definicyjnego: X ( jω) = x( t) e Warunkiem itnienia tej tranformaty jet bezwzględna całkowalność ygnału x(t) lub całkowalność z kwadratem czyli ograniczoność energii ygnału (warunki dotateczne). Dokonajmy teraz operacji równomiernego próbkowania ygnału x(t) co T S ekund, z zybkością S = 1/T S w Sa/ lub w Hz lub inaczej z pulacją próbkowania Ω S = 2π S w rad/. Tym amym ygnał ciągły zatępujemy ygnałem dykretnym czyli ciągiem próbek. W tym celu wykorzytamy dytrybucję grzebieniową, a widmo ygnału próbkowanego zapizemy w potaci: n= jωt dt X ( jω) = x( t) δ ( t nt ) e Z właściwości delty Diraca oraz biorąc pod uwagę, Ŝe moŝna zamienić kolejność operacji całkowania i umowania, dotajemy: n= X ( jω) = x( nt ) e jωnt PowyŜzy wzór moŝna przekztałcić, podtawiając ω = ΩT = 2π / [ rad / Sa] gdzie Sa jet ymbolem próbki (od ang. ample). Nowa zmienna ω to pulacja kątowa (w rad/sa) znormalizowana względem czętotliwości próbkowania. W analizie ygnałów dykretnych przyjęła ię notacja, Ŝe ygnał dykretny jet nie tyle funkcją czau ciągłego t, co chwil próbkowania numerów próbek n tzn. x[n]=x(nt S ). Widmo ciągu próbek jet okreowe i zapiywane jako funkcja zmiennej e jω. Otatecznie więc otrzymujemy widmo fourierowkie ygnału dykretnego x[n] X ( e jω ) = n= x( e Wzór powyŝzy to definicja protego przekztałcenia DTT. Widmo to jet ciągłą i okreową (o okreie 2π na oi ω) funkcją pulacji znormalizowanej ω lub (inaczej i częściej) mówimy, Ŝe jet okreowe w funkcji czętotliwości znormalizowanej (cyfrowej) f =ω/2π z okreem 1. Gdy f [ ½, ½] mówimy, Ŝe jet to część zybkości próbkowania. Modulacja AM i M Dykretny ygnał zmodulowany amplitudowo (AM) ma potać: jωn jωt x[ n] = (1 + mxm[ n])co(2π gdzie m głębokość modulacji, x m [n] ciąg modulujący, czętotliwość nośna w Hz, S zybkość próbkowania w Sa/. Ciągiem modulującym moŝe być próbkowany przebieg inuoidalny potaci: gdzie m jet czętotliwością w Hz przebiegu modulującego. x m m [ n] = co(2π dt N N

3 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 3/7 Sygnał dykretny zmodulowany czętotliwościowo (M) ma potać: + x[ n] = co 2π n x [ n n m ] Przebiegiem modulującym, tak jak w poprzednim przypadku, moŝe być przebieg inuoidalny Dewiacja czętotliwości wynoi gdzie β jet nazywana wpółczynnikiem modulacji. x m m [ n] = co(2π = β m 2.4. Interfejy programu MATLAB wykorzytywane podcza ćwiczenia: Interfej iggui (ry.2.1) ZłoŜony ygnał dykretny generujemy umując przycikiem Dodaj kładowe ygnału z zagłębionego menu Sygnał: Delta, Skok, Rampa, Sinuoida, Wykładnicza, Sinc, Protokąt, Trójkąt, unkcja potęgowa, Potać ogólna A (b^ (n^p) co(c n+r), Tablica MATLAB. Dla pozczególnych kładowych ygnału wpiuje ię parametry A, v,..., Zakre n. JeŜeli pewna kładowa juŝ zapianego ygnału x[n] ma być uunięta, to podświetlamy ją kliknięciem i uuwamy przycikiem Uuń. Wartości Indek DT (od ang. dicrete-time) definiują granice na oi n dla kompletnego ygnału. Wartości Zakre, n definiują granice indeków próbek pozczególnych kładowych ygnału. Początkowo w polu wykreów jet wykreślony dwukrotnie ygnał x[n]. JeŜeli liczba próbek określona w polu Indek DT jet więkza niŝ 128, to próbki naryowane łupkami byłyby uytuowane obok iebie zbyt gęto, tąd dla lepzej czytelności wykreu jet on kreślony linią ciągłą. W ramce Miary ygnału x[n] ą podane wartości: umy, umy bezwzględnej i energii ygnału. bezwzględn Odbicie l. Ry.2.1. Okno interfeju graficznego iggui

4 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 4/7 ytem pocz. 0 Ry.2.2. Okno interfeju graficznego dtygui W ramce Działania na x[n] przycikiem Parzyta powodujemy wykreślenie parzytej części x[n], a przycikiem Nieparzyta powodujemy wykreślenie nieparzytej części x[n]. Przycikiem Suma kumulowana powodujemy wykreślenie umy kumulowanej ygnału x[n]. Dotępny jet teŝ przycik Działanie A+B x[f n-d] do manipulacji na ygnale. JeŜeli wartości parametrów zotały wpiane z klawiatury, to naleŝy je zaakceptować przycikiem Akceptuj. Wartości zadawane z uwaków ą akceptowane automatycznie. Wyjście z interfeju graficznego natępuje poprzez menu z górnego paka ile Exit lub poprzez zamknięcie okna x. Interfej dtygui (ry. 2.2). Sygnał dykretny jet generowany w identyczny poób jak w poprzednim interfejie graficznym iggui. Wymaga ię jednak, aby ygnał był przyczynowy (n = 0, 1, 2,... ). W dolnej ramce wpiuje ię dane opiujące analizowany w interfejie ytem. Wpiuje ię wpółczynniki licznika Num = b 0, b 1,..., b N, wpółczynniki mianownika Den = a 0, a 1,..., a N i warunki początkowe War pocz = y[ 1], y[ 2],..., y[ N]. Z zagłębionego menu Odp ytemu wybiera ię rodzaj obliczanej odpowiedzi ytemu: całkowita, włana, wymuzona. Po naciśnięciu przyciku Akceptuj ukaŝe ię wykre odpowiedzi y[n] ytemu. Wyjście z interfeju graficznego natępuje poprzez menu z górnego paka ile Exit lub zamknięcie okna x. Interfej dtftpgui (ry. 2.3). SłuŜy do wyznaczania widm ygnałów dykretnych oraz badania właściwości DTT. W okienku edycji x[n] moŝna wprowadzić dowolny przyczynowy ciąg próbek (liczba próbek N < 50) lub korzytać z biblioteki gotowych ygnałów w rozwijanym (popup) menu zawierającym: impuly protokątne w formie rectanglen (ang. rectangle = protokąt), gdzie N przyjmuje wartości od 2 do 7 i 26, oraz impuly typu inc. Na przykład wprowadzenie rectangle3 wyświetla na ekranie w oknie Original DT Signal x[n] ciąg 3-ch próbek rozpoczynając od próbki zerowej. Po naciśnięciu przyciku Accept w oknie X(e jω ) oberwujemy to, co przedtawiono na ry. 2.3:

5 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 5/7 Magnitude widmo amplitudowe w kali liniowej, Phae (deg) widmo fazowe w topniach, Real część rzeczywita widma, Imag część urojona widma. Wzytkie charakterytyki ą prezentowane w funkcji znormalizowanej czętotliwości f, w zakreie podtawowym ± 0.5. f range łuŝy do zmiany zakreu oberwacji widma. Ry. 2.3 Okno interfeju graficznego dtftpgui. Składową wejściową moŝna poddawać natępującym operacjom: Shift(x[n-K]) przeunięcie o ±K próbek, old(x[ n]) odbicie względem oi rzędnych, Modulation AM modulacja amplitudy; zadaje ię tu czętotliwość f (Hz) ygnału koinuoidalnego w formacie: x[n]co(2πf/, gdzie czętotliwość próbkowania S =50 Hz. Przykładowo, wpianie f=25 oznacza czętotliwość znormalizowaną 25/50 = 0.5. Dalze polecenia do wyboru w interfejie graficznym to: Self-Convolution plot włany (amoplot) ygnału, Self-Correlation funkcja autokorelacji, Self-Product przemnoŝenie ygnału przez iebie. Operacji nie moŝna kładać.

6 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 6/ ZADANIA DO WYKONANIA Poługując ię interfejem SYSGUI Oblicz przebieg umy kumulowanej dla ygnałów: rampa i kok jednotkowy. Z jakim działaniem matematycznym moŝna powiązać tę operację? Oblicz przebieg przyrotu (pierwzej róŝnicy wtecznej) x[n] x[n 1] dla ygnałów: rampa i funkcja kwadratowa. Wprowadź ygnał o potaci x[n] x[n 1], gdzie x[n]=rampa, a natępnie x[n]=n 2. Z jakim działaniem matematycznym moŝna powiązać tę operację Zamodeluj przepływ towaru przez magazyn w ciągu 6 dni, koro przy zerowym tanie początkowym w pierwzym dniu wpłynęło 100 ztuk, w natępnych dwóch dniach ubyło 28 ztuk i 32 ztuki, w natępnym dniu wpłynęło 100 ztuk, w natępnych dwóch dniach ubyły 53 ztuki i 7 ztuk. Korzytając z opcji Tablica MATLAB wprowadź ciąg (100, 28, 32, 100, 53, 7); Indek DT = 0, 5; Zakre n = 0, 5. Co w tym przypadku wyraŝa przebieg umy kumulowanej i jaki en mają wartości Suma i Suma bezwzględna? Korzytając z opcji Tablica MATLAB wprowadź dwa natępujące ygnały: a) (1+0.3*co(0.1*).*co(0.5*; Indek DT = 0, 200; Zakre n = 0, 200. b) co(0.3*(1+0.5*in(0.01*).*; Indek DT = 0, 500; Zakre n = 0, 500. Objaśnij jakie modulacje oberwujez? Poługując ię interfejem DTSYSGUI Wprowadź ytemy o natępujących parametrach i zbadaj ich odpowiedzi impulowe: a) Num= Den = b) Num=1 0 Den =1 0.9 c) Num=1 0 Den =1 1.1 Na podtawie odpowiedzi impulowych określ, jakiego typu ą to ytemy i czym ię charakteryzują. Poługując ię interfejem DTTPGUI: Wygeneruj tranformaty DTT dla ygnału protokątnego (rectanglen) o róŝnych długościach. Jak zmienia ię kztałt widma amplitudowego przy wydłuŝaniu ygnału protokątnego? Dla ygnału protokątnego o utalonej długości wykonaj operacje przeunięcia i plotu. W jaki poób operacje te wpływają na widmo amplitudowe i fazowe, tj. na moduł i argument tranformaty DTT. Z którymi właściwościami tranformacji DTT mamy do czynienia?

7 Ćw. 2. Sygnały dykretne, równania róŝnicowe i tranformacja DTT Laboratorium PiAPS A. Leśnicki, C. Stefańki, M.Makowki, A. Sobocinki 7/7 Nazwiko i imię nr indeku... data... nr komputera... dzień tygodnia... godz.... Ad SPRAWOZDANIE Ad Ad Ad Ad Ad