Czas dyskretny. 1 Modele o jednym okresie. 1.1 Model dwumianowy

Transkrypt

1 Część I Czas dyskretny Kursy otwarcia czy zamknięcia pojawiaja się w kolejnych ustalonych momentach czasu. Jeśli pominiemy dni wolne od handlu otrzymamy ciag kolejnych momentów pojawiania się notowań (0, h, 2h, 3h,...), gdzie za h przyjmujemy zwykle 1/252, gdyż w roku jest około 252 dni transakcyjnych na giełdzie. Moment czasu t = 0 wygodnie jest przyjać za poczatek notowań lub poczatek inwestycji. Dla wygody zapisu przyjmujemy, że notowania pojawiaja się w dyskretnych momentach czasu ponumerowanych kolejnymi nieujemnymi liczbami całkowitymi tj. (0, 1, 2, 3,...). W rozważanych modelach rynku występuja: walor pozbawiony ryzyka np. obligacja, lokata bankowa (przy stałej i znanej stopie procentowej) oraz walor ryzykowny np. akcja, waluta, złoto (ogólnie dowolne dobro, którego cena w przyszłości nie jest obecnie znana). Dla ustalenia uwagi ograniczamy rozważania do obligacji i akcji. Pomocne w studiowaniu niniejszego rozdziału moga okazać się pozycje [2], [3] i [4] z proponowanej literatury. 1 Modele o jednym okresie 1.1 Model dwumianowy Model dwumianowy możliwie najbardziej upraszcza rzeczywistość zachowujac jednocześnie stochastyczny charakter zmian cen 5. Model dopuszcza dwa możliwe scenariusze zachowania się akcji, które zwykle utożsamiane sa ze wzrostem lub spadkiem cen akcji. Ograniczanie zachowania się ceny do informacji mówiacej wył acznie o wzroście lub spadku jest surowe, ale pamiętajmy, że informacja o tym, że cena akcji spadnie (wzrośnie) bywa wystarczajaca do podjęcia decyzji o inwestycji. W tym rozdziale rozważamy dwa momenty czasu: t = 0 oraz t = T. Niech cenę instrumentu ryzykownego opisuje proces stochastyczny S indeksowany elementami zbioru {0, T }. Przy czym S(0) jest wielkościa znana (de- terministyczna). Natomiast przyszła cena S (T ) jest nieznana, a ściślej jest zmienna losowa. Model dwumianowy dopuszcza dwa możliwe scenariusze (zdarzenia), a tym samym dwie możliwe ceny, stad zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór wyników) Ω jest dwuelementowy. Wygodnie jest zdefiniować Ω jako zbiór możliwych stóp zwrotu: Ω = {U, D}. 5 Jedyny prostszy model to model deterministyczny, który zakłada, że cena akcji jest stale taka sama. 6

2 Wówczas gdzie S (T ) : {U, D} { S U (T ), S D (T ) }, S D (T ) = S (0) (1 + D) S U (T ) = S (0) (1 + U) przy czym 1 + U zwykło się interpretować jako współczynnik wzrostu (ang. up), a 1 + D jako współczynnik spadku (ang. down). Cena akcji rośnie lub spada z odpowiednim prawdopodobieństwem P. Przyjmijmy, że: P ({U}) = p, P ({D}) = 1 p, gdzie 0 < p < 1. Sytuacja, w której p = 0 lub p = 1 oznacza model z jedna cena, który nie jest dla nas interesujacy (nie jest modelem dwumianowym). Dla wygody będziemy zapisywać P ({ω}) jako P (ω). Formalnie P jest odwzorowaniem, którego dziedzina jest rodzina podzbiorów Ω: przy czym F = {, {U}, {D}, Ω}, P ( ) = 0, P (Ω) = 1. Zauważmy, że F jest ciałem (formalna definicja znajduje się w kursie Metody Matematyczne). Liczba p, określajaca prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia ω = U, jednoznacznie wyznacza prawdopodobieństwo P. Można zatem utożsamiać p z P i na odwrót. Niech K będzie zmienna losowa oznaczajac a stopę zwrotu z inwestycji w instrument ryzykowny, zatem { U z prawdopodobieństwem p K = D z prawdopodobieństwem 1 p Dla ustalenia porzadku zakładamy, że: D < U. Ponieważ cena nie może przyjmować wartości ujemnej, zatem Ostatecznie przyjmuje się: 1 < D. 1 < D < U. Zilustrujmy na diagramie dynamikę ceny akcji: S (0) S (0) (1 + U) S (0) (1 + D) 7

3 Przykład 3 Niech S (0) = 100, U = 0, 1, D = 0, (1 + 0, 1) = (1 + ( 0, 2)) = 80 Uwaga 1 U oraz D kojarzone sa zwykle ze wzrostem (U > 0) oraz spadkiem ceny (D < 0) w porównaniu z poczatkow a cena akcji S (0), ale w ogólnej sytuacji tak być nie musi. Poniższy przykład ilustruje taka sytuację. Przykład 4 S (0) = 100, U = 0, 1, D = 0, 2, T = Strategie inwestycyjne S D (1) = 100 (1 + ( 0, 2)) = 80 S U (1) = 100 (1 + ( 0, 1)) = 90 Załóżmy, że na rynku handluje się akcja S. Dostępna jest również inwestycja w pozbawiony ryzyka instrument A z rynku pieniężnego - jest to tzw. rachunek rynku pieniężnego (ang. money market account) realizowany przez obligację. Przez A (0) i A (T ) będziemy rozumieć wartość jednostki instrumentu A odpowiednio w chwilach t = 0 i t = T. Przyjmijmy, że A (T ) = A (0) (1 + R), gdzie R jest wolna od ryzyka stopa procentowa. Dla ustalenia uwagi zakładamy, że A (0) = 1. Liczbę posiadanych w portfelu akcji oznaczać będziemy przez x, a liczbę jednostek rynku pieniężnego przez y. Portfel inwestycyjny będziemy utożsamiać z para liczb (x, y). Wartość portfela oznaczymy przez V x,y. Wielkość ta zależy od wartości akcji i jednostki rynku pieniężnego, stad: V x,y = xs + ya. W danym momencie czasu trwania inwestycji wartość portfela wynosi oraz V x,y (0) = xs (0) + ya (0) V x,y (T ) = xs (T ) + ya (T ). Ponieważ cena akcji w chwili t = T jest losowa, stad wartość portfela w chwili t = T jest zmienna losowa przyjmujac a wartość: V ω x,y (T ) = xs ω (T ) + ya (T ) 8

4 z prawdopodobieństwem P (ω), a konkretnie: { xs V x,y (T ) = U (T ) + ya (T ) xs D (T ) + ya (T ). Zakładamy, że ceny walorów w dowolnej chwili czasu sa liczbami dodatnimi: S (0) > 0, S (T ) > 0, A (0) > 0, A (T ) > 0. Dla wygody prowadzenia rachunków zakładamy, że liczby posiadanych walorów moga być dowolnymi liczbami rzeczywistymi tzn.: x R i y R. Zauważmy, że liczba posiadanych akcji czy obligacji może być np. ułamkiem. Innymi słowy założyliśmy tzw. (doskonał a) podzielność walorów. Powyższe założenie wymaga dodatkowego komentarza. Podzielność walorów próbuje się uzasadniać tłumaczac, że inwestor zwykle zakupuje/posiada pakiety akcji czy obligacji, zatem ma sens mówić o 1 4 pakietu walorów złożonego ze 100 sztuk, tzn. 25 akcji czy obligacji. Jednak nie da się w ten sposób wytłumaczyć posiadania np. części równej 2 lub 5 7 z pakietu 100 akcji. Założenie podzielności walorów wprowadza się dla wygody prowadzenia rachunków. Jeśli wielkości x lub y sa ujemne to oznacza, że zajęliśmy pozycje krótkie w danych walorach. Jeśli wielkości x lub y sa dodatnie to oznacza to, że zajęliśmy pozycje długie. Wprowadźmy, zapowiedziana we wstępie, formalna definicję arbitrażu: Definicja 1 Istnieje możliwo sć arbitrażu (krócej: istnieje arbitraż) je sli istnieje portfel arbitrażowy (x, y) taki, że V x,y (0) = 0, V x,y (T ) 0 oraz z dodatnim prawdopodobieństwem V (T ) > 0. Uwaga 2 Warunek: V (T ) > 0 z dodatnim prawdopodobieństwem oznacza, że V U (T ) > 0 lub V D (T ) > 0. Istnieje wygodny sposób na sprawdzenie istnienia możliwości arbitrażu: Twierdzenie 2 Brak arbitrażu równoważny jest warunkowi D < R < U. Dowód. Etap I: Udowodnijmy, że jeśli możliwość arbitrażu nie istnieje to prawdziwy jest warunek D < R < U. a) Przypuśćmy, że R D: ( Niech (x, y) = 1, S(0) ), wówczas V 1, S(0) (0) = S (0) S(0) A (0) = 0. W 9

5 chwili t = T wartość portfela wynosi: V S(0) 1, (T ) = S (T ) S (0) A (0) A (T ) = { S U (T ) S (0) A(T ) z prawdopodobieństwem p = S D (T ) S (0) A(T ) z prawdopodobieństwem 1 p { S (0) (U R) z prawdopodobieństwem p = S (0) (D R) z prawdopodobieństwem 1 p. Ostatecznie V S(0) 1, (T ) 0. Natomiast gdy ω = U, co zachodzi z prawdopodobieństwem p > 0, wówczas V S(0) 1, (T ) > 0. Otrzymujemy sprzeczność z brakiem arbitrażu. b) Przypuśćmy, ( że U R: Niech (x, y) = 1, S(0) ), wówczas V 1, S(0) W chwili t = T wartość portfela wynosi: V S(0) 1, (T ) = S (T ) + S (0) A (0) A (T ) = S (0) (1 + K) + S (0) (1 + R) = S (0) (R K) 0. (0) = S (0) + S(0) A (0) = 0. Natomiast gdy ω = D, co zachodzi z prawdopodobieństwem 1 p > 0, wówczas V S(0) 1, (T ) > 0. Otrzymujemy sprzeczność z brakiem arbitrażu. Etap II: Udowodnijmy, że jeśli prawdziwy jest warunek D < R < U, to nie istnieje możliwość arbitrażu. Rozważmy dowolny portfel (x, y), dla którego V x,y (0) = 0, stad: xs (0) + ya (0) = 0 Wartość portfela w chwili t = T wynosi: Rozważmy następujace przypadki: xs (0) y = A (0). V x,y (T ) = xs (T ) + ya (T ) xs (0) = xs (T ) A (0) A (T ) { S (0) x (U R) = S (0) x (D R). jeśli x = 0, to V x,y (T ) = 0 z prawdopodobieństwem 1, 10

6 jeśli x > 0, to V x,y (T ) = { S (0) x (U R) > 0 S (0) x (D R) < 0, jeśli x < 0, to V x,y (T ) = Zatem nie ma możliwości arbitrażu. { S (0) x (U R) < 0 S (0) x (D R) > 0. Uwaga 3 Założenie prawdziwo sci warunku D < R < U jest rozsadne (podobnie jak założenie braku arbitrażu). Gdyby D < U R, wówczas nikt nie byłby zainteresowany zakupem akcji, która w każdej z możliwych sytuacji przynosiłaby zysk nie większy niż inwestycja pozbawiona ryzyka, a to naruszałoby założenie o sensowno sci istnienia akcji (handlu akcja) na rynku. Natomiast w przypadku R D < U nikt nie byłby zainteresowany posiadaniem instrumentu pozbawionego ryzyka, gdyż jego stopa zwrotu byłaby nie większa niż stopa zwrotu z instrumentu ryzykownego, a to naruszyłoby założenie istnienia waloru pozbawionego ryzyka na rynku. Przykład 5 Niech T = 1, S (0) = 210, S U (1) = 215, S D (1) = 190 oraz R = 5%. Sprawd zmy czy istnieje możliwo sć arbitrażu. Wyznaczmy U oraz D : U = SU (1) S (0) S (0) D = SD (1) S (0) S (0) = = , 024 0, 095 Ponieważ R > U, zatem z powyższego twierdzenia wiadomo, że w modelu istnieje arbitraż. Je sli A (0) = 1, to skład portfela arbitrażowego jest postaci: x = 1 y = S (0) A (0) = 210. Uwaga 4 Przy zadanej warto sci poczatkowej portfela V x,y (0) oraz ustalonej warto sci inwestycji xs (0) w instrument ryzykowny, liczba jednostek inwestycji pozbawionej ryzyka jest jednoznacznie wyznaczona zależno scia: V x,y (0) = xs (0) + ya (0), stad y = V x,y (0) xs (0). A (0) 11

7 Definicja 2 Niech X (t) oznacza warto sć dowolnego waloru w chwili t, gdzie t = 0 lub t = T. Wówczas przez zdyskontowana warto sć X (t) rozumiemy: X (t) = A (0) A (t) X (t). W szczególności zachodza zwiazki: X (T ) = R X (T ) X (0) = X (0) Ã (t) = Ã (0) = A (0) Ṽ x,y (T ) = x S (T ) + yã (T ) Ṽ x,y (T ) = x S (T ) + ya (0). Warto zauważyć, że na ogół S (T ) S (0). Uwaga 5 Na zmianę warto sci portfela maja wpływ zmiany warto sci instrumentu ryzykownego i przyrost warto sci instrumentu pozbawionego ryzyka: V x,y (T ) V x,y (0) = xs (T ) + ya (T ) (xs (0) + ya (0)) = x (S (T ) S (0)) + y (A (T ) A (0)) Natomiast na zmianę zdyskontowanych warto sci portfela ma wpływ wył acznie zmiana zdyskontowanych warto sci akcji: Ṽ x,y (T ) Ṽx,y (0) = Ṽx,y (T ) V x,y (0) = x S (T ) + ya (0) (xs (0) + ya (0)) ( ) = x S (T ) S (0) Portfel replikujacy Niech H będzie instrumentem finansowym typu europejskiego tzn. jego wypłata H (T ) w chwili T zależy od wartości S (T ). Przykładami instrumentu H sa (europejskie) opcje kupna i sprzedaży, dla których odpowiednio: H (T ) = max {S (T ) X, 0} H (T ) = max {X S (T ), 0}, gdzie X > 0 jest cena wykonania opcji. Definicja 3 Portfel (x, y) nazywamy portfelem replikujacym instrument H, je sli V x,y (T ) = H (T ). 12

8 Definicja 4 Model nazywamy zupełnym, gdy dla dowolnego instrumentu H istnieje portfel replikujacy. Umiejętność konstrukcji portfela replikujacego (x, y) umożliwia nam wyznaczenie wartości H (0), gdyż korzystajac z zasady jednej ceny otrzymujemy V x,y (0) = H (0). Przykład poniżej pokazuje konkretny sposób wyznaczania portfela replikujacego. Przykład 6 Niech S będzie akcja, dla której S (0) = 100. Współczynniki wzrostu i spadku to odpowiednio U = 0, 1 i D = 0, 1, ponadto T = 1. Dynamikę ceny akcji ilustruje poniższy diagram: S (0) S (1) 100 (1 + 0, 1) = (1 + ( 0, 1)) = 90 t = 0 t = 1 Niech H (1) będzie warto scia opcji kupna z cena wykonania X = 105. Wówczas: { H ω 5, gdy ω = U (1) = 0, gdy ω = D. Przy stopie R = 5% wyznaczmy portfel replikujacy (x, y) instrument H. Poczatkowa warto sć portfela V x,y (0) jest suma pieniędzy zainwestowanych w akcje xs (0) oraz w obligacje ya (0). Dla prostoty rozumowania przyjmujemy A (0) = 1, stad: V x,y (0) = xs (0) + y. Warto sć V x,y (1) wynosi wówczas: V x,y (1) = xs (1) + y (1 + R). Aby portfel byłreplikujacy musi być spełniony warunek: V x,y (1) = H (1) czyli { xs U (1) + y (1 + R) = 5 xs D (1) + y (1 + R) = 0. Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy: { 110x + 1, 05y = 5 90x + 1, 05y = 0. (1) 13

9 Rozwiazaniem układu sa: x = 1 4, y = Ostatecznie portfelem replikujacym jest: ( ) 1 (x, y) = 4, 150, 7 którego warto sć poczatkowa wynosi: V x,y (0) = xs (0) + y = = , 57. Należy zwrócíc uwagę, że x = 1 4 i y = jest jedynym rozwiazaniem układu równań (1), a zatem jest dokładnie jeden portfel replikujacy. Z zasady jednej ceny warto sć V x,y (0) = 3, 57 jest równa H (0), czyli cenie opcji. Przygladnijmy się teraz dokładniej uzyskanemu portfelowi oraz strategii replikujacej: w chwili t = 0 inwestor majac do dyspozycji 3, 57złpożycza 21, 43zł ) i zakupuje akcję za kwotę 25zł. ( w chwili t = 1 inwestor spłaca pożyczona kwotę wraz z odsetkami 21, 43 1, 05 = 22, 50. Warto sć jego portfela wynosi wówczas: { xs U { (1) + y (1 + R), gdy ω = U 27, 50 22, 50, gdy ω = U xs D (1) + y (1 + R), gdy ω = D = 22, 50 22, 50, gdy ω = D { 5, gdy ω = U = 0, gdy ω = D, zatem dokładnie tyle, ile warto sć wypłaty opcji. W powyższym przykładzie przedstawiona została idea tworzenia portfela replikujacego. Ideę tę można uogólnić na dowolna opcję kupna, dla której H (T ) = max {S (T ) X, 0}. Wówczas portfel replikujacy wyznacza się z warunku: V x,y (T ) = H (T ), który jest równoważny układowi równań: { xs U (T ) + ya (T ) = max { S U (T ) X, 0 } xs D (T ) + ya (T ) = max { S D (T ) X, 0 }. 14

10 Jeśli X S U (T ), to wartość opcji jest równa zero, zatem portfelem replikujacym jest (0, 0), a( H (0) = ) 0. W przypadku, gdy X S D (T ), portfelem replikujacym jest 1, X A(T ), a H (0) = S (0) X A(T ). W sytuacji, gdy S D (T ) < X < S U (T ), układ równań ma postać: { xs U (T ) + ya (T ) = S U (T ) X xs D. (T ) + ya (T ) = 0 Jego rozwiazaniem sa: S (0) (1 + U) X x = S (0) (U D) (1 + D) (S (0) (1 + U) X) y = (U D) A (T ) Wyznaczmy teraz cenę portfela replikujacego, która z zasady jednej ceny jest równa cenie instrumentu H w chwili t = 0: H (0) = V x,y (0) S (0) (1 + U) X (1 + D) (S (0) (1 + U) X) = S (0) A (0) S (0) (U D) (U D) A (T ) S (0) (1 + U) X (1 + D) (S (0) (1 + U) X) A (0) = U D (U D) A (T ) ( S (0) (1 + U) X = D ). U D 1 + R Podobne rozumowanie przeprowadza się replikujac opcję sprzedaży. Zobaczmy na przykładzie, jaka rolę odgrywa w powyższym rozumowaniu arbitraż. Przykład 7 Niech T = 1, S (0) = 200, S U (1) = 220, S D (1) = 210, A (0) = 1 oraz R = 4, 5%. Wyznaczmy portfel replikujacy dla opcji kupna z data wyga snięcia T = 1 i cena realizacji X = 215. Współczynniki wzrostu i spadku wynosza odpowiednio U = 0, 1, D = 0, 05. Ponieważ S D (1) < X < S U (1), zatem skład portfela replikujacego wynosi S (0) (1 + U) X x = = = 0, 5 S (0) (U D) 10 (1 + D) (S (0) (1 + U) X) 1, 05 ( ) y = = = 100, 48 (U D) A (T ) 0, 05 1, 045 Warto sć portfela replikujacego wynosi: V x,y (0) = xs (0) + y = 0, , 48 = 0, 48 < 0. 15

11 Czy możemy przyjać, że H (0) = V x,y (0)? Nie, bo cena byłaby ujemna. Zasada jednej ceny gwarantowała prawdziwo sć H (0) = V x,y (0). Nieuprawnione jest korzystanie tutaj z tej zasady, a to za sprawa arbitrażu, który istnieje ponieważ R < D. Uwaga 6 W sytuacji ogólnej, gdy H jest dowolnym instrumentem finansowym, dla którego H ω (T ) = H ω, gdzie H ω 0 sa ustalonymi liczbami, portfel replikujacy wyznaczamy z układu równań: { xs U (T ) + ya (T ) = H U xs D (T ) + ya (T ) = H D, którego rozwiazania sa postaci: { x = H U H D S U (T ) S D (T ) y = (1+U)HD (1+D)H U (U D)A(T ). (2) Powyższy układ da się rozwiazać dla każdego H, zatem model dwumianowy jest modelem zupełnym. Przy założeniu braku arbitrażu, z zasady jednej ceny, otrzymujemy warto sć instrumentu H w chwili t = 0: H (0) = V x,y (0) (3) = H U H D S U (T ) S D (T ) S (0) + (1 + U) HD (1 + D) H U A (0) (4) (U D) A (T ) = HU H D U D + (1 + U) HD (1 + D) H U U D Zmiana prawdopodobieństwa R. (5) Jeśli chcemy zastosować model dwumianowy w praktyce, to musimy określić parametry U, D i p. Okazuje się, że w pewnych sytuacjach, takich jak wycena instrumentów pochodnych (szczegóły w kursie Instrumenty Inżynierii Finansowej), nieznana wielkość p możemy zastapić inna (znana) wielkościa p. Definicja 5 Dwa prawdopodobieństwa P 1 i P 2 okre slone na tym samym ciele F sa równoważne, gdy dla dowolnego A F : P 1 (A) > 0 wtedy i tylko wtedy, gdy P 2 (A) > 0. Uwaga 7 Warto zauważyć, że je sli P 1 i P 2 sa równoważne, to gdy zdarzenie A F ma prawdopodobieństwo zero względem P 1, to również P 2 (A) = 0 i na odwrót. 16

12 Model dwumianowy dopuszcza dokładnie dwa możliwe scenariusze (ruchy ceny). Zbiór możliwych scenariuszy, dziedzina prawdopodobieństwa oraz prawdopodobieństwo P sa odpowiednio równe: Ω = {U, D} F = {, {U}, {D}, {U, D}} P (U) = p, P (D) = 1 p, gdzie 0 < p < 1. Jakiekolwiek inne prawdopodobieństwo P 1 określone na F, które również dopuszczałoby dwa scenariusze tzn.: P 1 (U) = p 1, P 1 (D) = 1 p 1, gdzie 0 < p 1 < 1 jest równoważne P, gdyż oba sa jednocześnie dodatnie: A P (A) P 1 (A) 0 0 {U} p p 1 {D} 1 p 1 p 1 Ω 1 1 Możemy stanać przed problemem decyzyjnym: czy zainwestować kwotę S (0) zakupujac akcję, czy kwotę S (0) ulokować w bezpiecznej inwestycji ze stał a i znana stopa zwrotu R. Powstaje pytanie, która z inwestycji przyniesie nam większy zysk. Wartość bezpiecznej inwestycji po okresie T wyniesie: S (0) (1 + R). W przypadku akcji nie można być pewnym jej przyszłej wartości. Niemniej jednak można obliczyć jej oczekiwana przyszł a wartość E (S (T )) korzystajac z lematu: Lemat 1 E (S (T )) = S (0) (1 + E (K)) Dowód. S (T ) = S (0) (1 + K) E (S (T )) = E (S (0) (1 + K)) Korzystajac z liniowości wartości oczekiwanej otrzymujemy: E (S (T )) = S (0) E (1 + K) = S (0) (1 + E (K)). 17

13 Wstępny wybór inwestycji (nie uwzględniajac ryzyka) można przeprowadzić przez porównanie oczekiwanych stóp zwrotu R oraz E (K). Naturalne jest oczekiwanie rekompensaty za ryzyko, co przekłada się na relację E (K) > R. Przypadek E (K) < R może odpowiadać sytuacji, w której możliwy jest duży zwrot z bardzo małym prawdopodobieństwem. Natomiast sytuacja E (K) = R świadczy o równoważności inwestycji w walor ryzykowny i walor pozbawiony ryzyka na poziomie oczekiwanych stóp zwrotu. Ten ostatni przypadek będzie nas szczególnie interesował. Zbadajmy, kiedy zachodzi zwiazek E (K) = R. Dla dowolnej wartości prawdopodobieństwa p (0, 1) możemy tak dobrać wielkości U i D aby E (K) = R. W tym celu należy rozwiazać równanie: Up + D (1 p) = R. Mamy jedno równanie i dwie niewiadome U oraz D. Rozwiazań jest nieskończenie wiele: U = D + R D, D R. p Chcac zachować porzadek D < U ograniczamy zbiór do: U = D + R D, D < R. p Oczywiście możemy również rozwiazać równanie względem D: D = U U R 1 p, U R. Chcac zachować porzadek D < U ograniczamy zbiór do: D = U U R 1 p, R < U. Uwaga 8 Uzyskane restrykcje: D < R i R < U sa równoważne z brakiem arbitrażu. Przykład 8 Je sli p = 1 2 względem ryzyka, gdy oraz R = 5% to model dwumianowy jest neutralny 0, 05 D U = D + 0, 5 = D D 50 U = 0, 1 D, gdzie D < 0, 05 Gdyby D = 1% to U = 0, 11 = 11%. 18

14 Powyższe podejście ma wadę, wymaga dokonania zmiany wartości U i D, na które w praktyce nie mamy wpływu. Wielkości U i D powinny zostać odczytane z rynku. Możliwe jest, na szczęście, inne podejście, które jak się okaże jest dla nas bardziej interesujace. A mianowicie dla ustalonych wielkości U i D można wyznaczyć prawdopodobieństwo (równoważne prawdopodobieństwu wyjściowemu) dla którego w modelu dwumianowym spełniony jest warunek E (K) = R. W tym celu rozwiażemy równanie: Up + D (1 p ) = R względem zmiennej p. Jest to równanie liniowe z jedna niewiadoma, którego rozwiazanie istnieje i jest jedyne: R D U D. Jeśli 0 < R D U D < 1, to p = R D U D nazywamy prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka. Charakterystyki zmiennych losowych np. wartość oczekiwana, odchylenie standardowe itp. liczone względem tego prawdopodobieństwa oznaczamy dodajac symbol : E (), V ar (). Oczywiście prawdopodobieństwa P (wyznaczone przez p ) i P (wyznaczone przez p) sa równoważne. Lemat 2 E (S (T )) = S (0) (1 + R) E ( S (T ) ) = S (0) Dowód. E (S (T )) = S (0) (1 + U) p + S (0) (1 + D) (1 p ) Ponieważ p jest prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka, zatem zachodzi: Up + D (1 p ) = R. Jest to równoważne z: stad otrzymujemy: (1 + U) p + (1 + D) (1 p ) = 1 + R, E (S (T )) = S (0) (1 + U) p + S (0) (1 + D) (1 p ) = S (0) (1 + R) ( ) ( ) S (T ) E S (T ) = E = S (0). 1 + R Istnieje zwiazek miedzy brakiem arbitrażu a prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka, o czym mówi poniższe twierdzenie. 19

15 Twierdzenie 3 (Pierwsze fundamentalne twierdzenie wyceny) W modelu dwumianowym brak arbitrażu jest równoważny istnieniu prawdopodobieństwa neutralnego względem ryzyka p takiego, że 0 < p < 1. Dowód. Korzystajac z założenia o braku arbitrażu udowodnimy, że istnieje prawdopodobieństwo neutralne względem ryzyka. Skorzystajmy z uprzednio udowodnionego twierdzenia: brak arbitrażu D < R < U Przy założeniu braku arbitrażu zachodzi: 0 < R D U D < 1, stad p = R D U D jest prawdopodobieństwem, a jednocześnie rozwi azaniem równania Up + D (1 p ) = R względem p. Ostatecznie z definicji p = R D U D jest prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka. Wychodzac z założenia, że p jest prawdopodobieństwem neutralnym względem ryzyka oraz pamiętajac o jedyności rozwiazania równania Up + D (1 p) można zapisać: Ponieważ: p = R D U D (0, 1). 0 < R D U D, zatem D < R R D U D < 1, zatem R < U Ostatecznie D < R < U, a zatem nie istnieje możliwość arbitrażu. Uwaga 9 Ze względu na jednoznaczno sć rozwiazania liniowego wypowied z twierdzenia można wzmocníc zastępujac istnienie prawdopodobieństwa wyrażeniem: istnieje dokładnie jedno prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo neutralne względem ryzyka p może różnić się od nieznanego (rzeczywistego) prawdopodobieństwa p. W konsekwencji probabilistyczny model dwumianowy z prawdopodobieństwem p może nie pokrywać się z prawdziwym (nieznanym) modelem. Pomimo tego p odgrywa kluczowa rolę w wycenie instrumentów pochodnych, mowa tu o tzw. wycenie martyngałowej (szczegóły w kursie Instrumenty Inżynierii Finansowej). 20

16 1.2 Model trójmianowy W przyszłości cena akcji może wzrosnać, spaść lub pozostać na tym samym poziomie w porównaniu z obecna cena. Model dwumianowy w naturalny sposób uogólnia się do modelu trójmianowego. W modelu trójmianowym cena akcji w chwili zero S(0) jest wielkościa znana. Cena akcji w przyszłości S (T ) jest zmienna losowa określona na zbiorze zdarzeń (wyników): Ω = {U, M, D}, gdzie D < M < U, w następujacy sposób: gdzie S (T ) : {U, M, D} { S D (T ), S M (T ), S U (T ) }, S D (T ) = S (0) (1 + D) S M (T ) = S (0) (1 + M) S U (T ) = S (0) (1 + U). Cena akcji przyjmuje konkretna wartość z odpowiednim prawdopodobieństwem. Niech P będzie prawdopodobieństwem wyznaczonym przez liczby p i q, gdzie 0 < p, q, p + q < 1. Dziedzina prawdopodobieństwa P jest rodzina podzbiorów Ω: F = {, {U}, {M}, {D}, {U, M}, {U, D}, {M, D}, Ω}. Stopa zwrotu K w modelu trójmianowym ma rozkład prawdopodobieństwa postaci: U z prawdopodobieństwem p M z prawdopodobieństwem q. D z prawdopodobieństwem 1 p q Przykład 9 Niech S (0) = 10, S D (T ) = 9, S M (T ) = 10, S U (T ) = 12, p = 1 4, q = 1 2. Wyznaczmy rozkład K: U = SU (T ) S (0) S (0) M = SM (T ) S (0) S (0) D = SD (T ) S (0) S (0) = = = = 0, 2 = 0 = 0, 1. Ostatecznie szukany rozkład ma postać: 0, 2 z prawdopodobieństwem z prawdopodobieństwem 1 2 0, 1 z prawdopodobieństwem

17 Twierdzenie 4 Brak możliwo sci arbitrażu równoważny jest warunkowi: Dowód. D < R < U. Udowodnijmy, że jeśli możliwość arbitrażu nie istnieje to prawdziwy jest warunek D < R < U. a)przypuśćmy, że R D: ( Niech (x, y) = 1, S(0) chwili t = T wartość portfela wynosi: ) wówczas V 1, S(0) (0) = S (0) S(0) A (0) = 0. W V 1, S(0) (T ) = S (T ) S (0) A (0) A (T ) S (0) (U R) = S (0) (M R) S (0) (D R) z prawdopodobieństwem p z prawdopodobieństwem q z prawdopodobieństwem 1 p q. Ostatecznie V S(0) 1, (T ) 0. Natomiast gdy ω {M, U}, co zachodzi z prawdopodobieństwem p + q > 0, zachodzi V S(0) 1, (T ) > 0. Otrzymujemy sprzeczność z brakiem arbitrażu. b) Przypuśćmy, że U R: ( Niech (x, y) = 1, S(0) ) wówczas V 1, S(0) W chwili t = T wartość portfela wynosi V 1, S(0) (T ) = S (T ) + S (0) A (0) A (T ) S (0) (R U) = S (0) (R M) S (0) (R D) (0) = S (0) + S(0) A (0) = 0. z prawdopodobieństwem p z prawdopodobieństwem q z prawdopodobieństwem 1 p q Ostatecznie V S(0) 1, (T ) 0. Natomiast gdy ω {M, D}, co zachodzi z (T ) > 0. Otrzymujemy prawdopodobieństwem 1 p > 0, zachodzi V 1, S(0) sprzeczność z brakiem arbitrażu. Udowodnimy, że jeśli prawdziwy jest warunek D < R < U, to nie istnieje możliwość arbitrażu. Rozważmy dowolny portfel (x, y), dla którego V x,y (0) = 0, a zatem: xs (0) xs (0) + ya (0) = 0 y = A (0). 22

18 Wartość portfela w chwili T wynosi: V x,y (T ) = xs (T ) + ya (T ) = = xs (0) (1 + U) xs(0) A (T ) xs (0) (1 + M) xs(0) A (T ) xs (0) (1 + D) xs(0) A (T ) xs (0) (U R) xs (0) (M R) xs (0) (D R) Jeśli x = 0, to V x,y (T ) = 0. Jeśli x > 0, to korzystajac z założenia otrzymujemy Vx,y U (T ) = xs (0) (U R) > 0 oraz Vx,y D (T ) = xs (0) (D R) < 0. Jeśli x < 0, to Vx,y U (T ) < 0 oraz Vx,y D (T ) > 0. Zatem nie można stworzyć portfela arbitrażowego. Uwaga 10 Warunek D < R < U gwarantuje brak arbitrażu. Warto zauważyć, że nie nakłada on restrykcji na relację między stopa R i wielko scia M. Przykład 10 Niech S (0) = 10, U = 5%, M = 0%, D = 2%, A (0) = 1, R = 6%, T = 1, p = q = 1 3. Ponieważ nie zachodzi relacja D < R < U, to z powyższego twierdzenia wynika istnienie arbitrażu. Dowód twierdzenia, ( a scíslej ) podpunkt b), wskazuje przepis na portfel arbitrażowy: (x, y) = 1, S(0) = ( 1, 10) i wówczas V 1,10 (0) = = 0. W chwili t = 1 warto sć portfela jest zmienna losowa: 0, 1, gdy ω = U V 1,10 (1) = 0, 6 gdy ω = M 0, 8 gdy ω = D. o rozkładzie: 0, 1 z prawdopodobieństwem 1 3 0, 6 z prawdopodobieństwem 1 3 0, 8 z prawdopodobieństwem Portfel replikujacy Niech H będzie instrumentem, dla którego H = f (S (T )), gdzie f jest funkcja nieujemna. Sprawdźmy czy można wyznaczyć portfel replikujacy. Gdyby taki portfel (x, y) istniał, zachodziłby warunek: V x,y (T ) = f (S (T )) xs (T ) + ya (T ) = f (S (T )). 23

19 Ostatecznie warunek jest równoważny układowi trzech równań z dwiema niewiadomymi: xs U (T ) + ya (T ) = f ( S U (T ) ) xs M (T ) + ya (T ) = f ( S M (T ) ) xs D (T ) + ya (T ) = f ( S D (T ) ). W sytuacji ogólnej układ ten nie ma rozwiazania. Przykład 11 Rozwiazaniem układu jest stał a, jest x = 0 i y = b zatem xs (0) + ya (0) = b A(T ) A(T ). o warto sci b w chwili T jest wart Przykład 12 Rozważmy układ xs U (T ) + ya (T ) = b xs M (T ) + ya (T ) = b xs D (T ) + ya (T ) = b, gdzie b 0 Warto sć portfela replikujacego wynosi A (0). Zauważmy, że walor pozbawiony ryzyka b A(T ) A (0) w chwili 0. xs U (T ) + ya (T ) = b xs M (T ) + ya (T ) = b xs D (T ) + ya (T ) = c, gdzie b 0 i c 0 sa stałymi takimi, że b c. Dwa pierwsze równania jednoznacznie wskazuja rozwiazanie x = 0 i y = b A(T ), które po podstawieniu do trzeciego równania daje: b = c, zatem układ jest sprzeczny. Nie jest możliwa replikacja. Sytuacja z układu jest typowa dla opcji sprzedaży, dla której nie istnieje portfel replikujacy. Niech S (0) = 100, U = 0, 1, M = 0, D = 0, 1, T = 1, a cena realizacji opcji sprzedaży wynosi 95. Wówczas wypłata opcji to: 0, gdy ω = U 0, gdy ω = M. 5, gdy ω = D Wniosek 1 Model trójmianowy nie jest zupełny. W przypadku ogólnym tj. replikacji instrumentu H, dla którego H ω (T ) = H ω, H ω 0, można postawić warunek na istnienie portfela replikujacego sformułowany za pomoca poniższego twierdzenia: Twierdzenie 5 Portfel replikujacy istnieje, wtedy i tylko wtedy, gdy: S M S D S U S D HU + SU S M S U S D HD = H M. 24

20 Dowód. Aby portfel replikujacy (x, y) istniał, prawdziwe musza być w szczególności pierwsze i trzecie równanie układu: xs U (T ) + ya (T ) = H U xs M (T ) + ya (T ) = H M. xs D (T ) + ya (T ) = H D Rozwiazania równań sa takie jak we wzorze (2), tzn. x = HU H D S U (T ) S D (T ) y = (1+U)HD (1+D)H U (U D)A(T ). Aby cały układ miałrozwiazanie, prawdziwe musi być również drugie równanie, co jest równoważne warunkowi: H U H D S U S D SM + SU H D S D H U S U S D = H M S M S D S U S D HU + SU S M S U S D HD = H M. Obserwacja 1 Niech w 1 = SM S D S U S D oraz w 2 = SU S M S U S D. Zauważmy, że w i > 0 oraz w 1 +w 2 = 1. Z warunku SM S D H U + SU S M H D = S U S D S U S D H M wynika, że H M jest srednia ważona wielko sci H U i H D : w 1 H U + w 2 H D = H M. Wniosek 2 Przy ustalonych warto sciach ceny S (1) oraz wielko sciach H U i H D warto sć H M jest wyznaczona jednoznacznie z równania: w 1 H U + w 2 H D = H M Zmiana prawdopodobieństwa Przypomnijmy podstawowe założenia modelu: U z prawdopodobieństwem p K = M z prawdopodobieństwem q D z prawdopodobieństwem 1 p q gdzie D < M < U oraz 0 < p, q, p + q < 1. Jakiekolwiek inne prawdopodobieństwo P 1, które dopuszczałoby trzy scenariusze tzn. 25

21 P 1 ({U}) = p 1, P 1 ({M}) = q 1, P 1 ({D}) = 1 p 1 q 1, gdzie 0 < p 1, q 1, p 1 + q 1 < 1 jest równoważne P, gdyż oba sa jednocześnie dodatnie: A P (A) P 1 (A) 0 0 {U} p p 1 {M} q q 1 {D} 1 p q 1 p 1 q 1 {U, M} p + q p 1 + q 1 {U, D} 1 q 1 q 1 {M, D} 1 p 1 p 1 Ω 1 1 Podobnie jak w przypadku dwumianowym interesować nas będzie sytuacja, w której oczekiwane stopy zwrotu z inwestycji w walor ryzykowny i walor pozbawiony ryzyka sa takie same. Wyznaczmy zatem prawdopodobieństwo P względem którego: Równanie przyjmuje postać: E (K) = R. Up + Mq + D (1 p q ) = R, ponieważ: otrzymujemy: R = R(p + q + (1 p q )) (U R) p + (M R) q + (D R) (1 p q ) = 0. Otrzymaliśmy równanie z dwiema niewiadomymi p i q. Rozwiazań tego równania jest nieskończenie wiele, zatem w modelu trójmianowym jest nieskończenie wiele prawdopodobieństw neutralnych względem ryzyka wyznaczonych przez (p, q ). Przykład 13 Wyznaczmy prawdopodobieństwa neutralne względem ryzyka dla modelu trójmianowego, gdy U = 0, 1, M = 0, 05, D = 0, 1 oraz R = 0, 05. Równanie E (K) = R przyjmuje postać: (0, 1 0, 05) p + (0, 05 0, 05) q + ( 0, 1 0, 05) (1 p q ) = 0 Rozwiażmy je: 0, 05p 0, 15 (1 p q ) = 0 26