3.3. Energia mechaniczna. Rodzaje energii mechanicznej

Transkrypt

1 Energia mecaniczna. Rodzaje energii mecanicznej Dwa lub więcej oddziałującyc wzajemnie ciał nazywamy układem ciał. Siły wzajemnego oddziaływania na siebie ciał tworzącyc układ są siłami wewnętrznymi w tym układzie. Siły, które pocodzą spoza układu, to siły zewnętrzne. Jeśli np. trzymamy w ręce klocek na pewnej wysokości nad Ziemią, to w układzie Ziemia klocek siła, którą nasza ręka działa na ten klocek, jest siłą zewnętrzną, a siła przyciągania ziemskiego jest siłą wewnętrzną. Jeśli układem ciał są dwa klocki i ściśnięta między nimi sprężyna (rys. 3.7), to siła, którą sprężyna działa na klocki, jest siłą wewnętrzną w układzie, a siły, którymi nasze ręce działają na klocki, a także siła przyciągania ziemskiego, są siłami zewnętrznymi. Rys. 3.7 Klocek podniesiony na wysokość spadając, może wykonać pracę, np. stłuc leżące na stole jajko, a odepcnięte przez sprężynę klocki mogą wprawić w ruc inne, leżące w pobliżu przedmioty. Mówimy, że układ posiada energię mecaniczną, jeśli może wykonać pracę. Aby układ uzyskał taką energię, należało wcześniej, działając siłą zewnętrzną (czyli pocodzącą spoza układu), wykonać pracę, np. podnieść klocek na wysokość lub ścisnąć sprężynę. W pierwszym przypadku zmieniliśmy energię potencjalną ciężkości, w drugim energię potencjalną sprężystości 1. Zmiana obu tyc rodzajów energii mecanicznej wiąże się ze zmianą wzajemnyc położeń ciał tworzącyc układ. Energia mecaniczna może się także zmieniać wtedy, gdy zmienia się prędkość ciała. Wprawiając ciało w ruc lub zmieniając jego prędkość, zmieniamy energię kinetyczną ciała. 1 Ten rodzaj energii poznasz w drugiej części podręcznika.

2 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 13 Zmiana energii mecanicznej układu ciał jest równa pracy siły zewnętrznej F z wykonanej nad układem. DE mec. = W z (3.4) Z powyższego wzoru wynika, że jednostką energii w SI jest 1 J. Jeśli w danej cwili znamy położenia i prędkości ciał tworzącyc układ, mówimy, że znamy stan układu ciał. Jeśli zmieni się położenie lub prędkość coćby jednego ciała wcodzącego w skład układu, zmieni się stan tego układu. Zmiany energii mecanicznej wiążą się ze zmianą stanu układu ciał. Jeśli zmieniła się energia mecaniczna, to musiał się zmienić stan układu. Energia potencjalna grawitacyjna Zmiana wzajemnego położenia ciał, które oddziałują siłami grawitacji lub sprężystości, prowadzi zawsze do zmiany energii potencjalnej. W przypadku oddziaływania grawitacyjnego zmiana odległości ciała od Ziemi powoduje zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej układu Ziemia ciało, a w przypadku oddziaływania sprężystego zmiana kształtu, czyli odkształcenie np. sprężyny, jest przyczyną zmiany energii potencjalnej sprężystości układu klocków. Jeśli podnosimy klocek na pewną wysokość rucem jednostajnym, stan układu Ziemia klocek zmienia się tylko przez zmianę wzajemnego położenia ciał tworzącyc układ. Prędkość klocka jest wówczas stała. Siła zewnętrzna, którą w takim przypadku działamy na klocek, równoważy siłę wzajemnego oddziaływania klocka i Ziemi (siłę ciężkości). Tak więc: Zmiana energii potencjalnej układu ciał jest równa pracy siły zewnętrznej równoważącej w każdym punkcie siłę wzajemnego oddziaływania ciał (siłę wewnętrzną). DE p = W siły zewnętrznej równoważącej siłę wewnętrzną = W z, r (3.5)

3 14 y 0 Rys. 3.8 F z mg Obliczmy pracę wykonaną przy podnoszeniu ciała rucem jednostajnym na niewielką wysokość (rys. 3.8). W z, r = F z cos 0 = mg Praca ta jest równa przyrostowi energii potencjalnej układu Ziemia ciało, lub inaczej mówiąc: energii potencjalnej ciała oddziałującego z Ziemią. Zwykle przyjmuje się, że w położeniu początkowym (dolnym) jego energia potencjalna wynosi zero, więc energia końcowa (na wysokości ) jest równa skąd DE p = W z = E p 0 = mg E p = mg (3.6) złowiek podnoszący kamień z ziemi przyjmuje, że energia potencjalna kamienia na ziemi jest równa zeru. złowiek mieszkający na drugim piętrze i podnoszący teczkę z podłogi przyjmie, że energia potencjalna teczki jest równa zeru na podłodze. Przy opuszczaniu ciała z pewnej wysokości na poziom zerowy praca wykonana przez siłę F zr jest ujemna (siła zwrócona w górę, a przemieszczenie = r w dół) W z, r = F z, r cos 180 = mg zatem energia potencjalna maleje. Obliczmy dla takiego przypadku pracę siły ciężkości, a więc pracę W w siły wewnętrznej w układzie Ziemia ciało. Zatem W w = W graw. = mg cos 0 = mg W z, r = W w (3.7) Otrzymany związek między pracą siły zewnętrznej równoważącej siłę wewnętrzną W z, r i pracą siły wewnętrznej W w jest bardzo ważny. Bywają bowiem przypadki, gdy na ciało nie działają siły zewnętrzne, a energia potencjalna układu ulega zmianie. Tak jest np. podczas swobodnego spadania, gdy na spadające ciało działa tylko siła ciężkości, a więc siła wewnętrzna w układzie Ziemia ciało. Zmianę energii potencjalnej możemy wówczas obliczyć, podstawiając do wzoru (3.5) uzyskany wyżej związek (3.7). Zmiana energii potencjalnej układu dwóc ciał jest równa pracy siły wewnętrznej wziętej ze znakiem minus. DE p = W w (3.8)

4 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 15 Energia kinetyczna Tak jak ze zmianą położenia ciała wiąże się zmiana jego energii potencjalnej względem innego ciała, z którym tworzy ono układ, tak ze zmianą prędkości ciała jest związana zmiana energii kinetycznej. Energia kinetyczna ciała zmienia się wówczas, gdy działające na nie siły nie równoważą się, a ic wypadkowa nadaje ciału przyspieszenie, a więc zmienia jego prędkość. Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa pracy siły wypadkowej (sumy sił: wewnętrznej i zewnętrznej) działającej na to ciało. DE k = W Fwyp. (3.9) Załóżmy, że na poruszające się ciało działa stała siła wypadkowa F wyp.. Prędkość początkowa ciała jest równa 0 (rys. 3.9). iało to porusza się rucem jednostajnie przyspieszonym. F s 0 F F mg s Rys. 3.9 at WF wyp = Fscos0 = ma υ0t+ Po wstawieniu a= υ υ0 i wykonaniu przekształceń otrzymujemy: t m m0 Ek = WF = = Ekinetyczna wkońcowymstanie E wyp. kinet ycznawpoczątkowymstanie Tak więc (jeśli dla 0 = 0, E k = 0) energia kinetyczna ciała poruszającego się z szybkością wyraża się wzorem E k = m υ

5 Z asada zacowania energii mecanicznej Rozważmy obecnie następujący problem. W pewnej odległości od Ziemi znajduje się ciało o masie m (rys. 3.10). m Fz Fgr. = Fw Fwyp. Rys Siła przyciągania ziemskiego Fgr. to siła wewnętrzna w układzie Ziemia ciało. Załóżmy, że na ciało działa także dowolna siła zewnętrzna Fz. Sumując obie siły, otrzymujemy siłę wypadkową Fwyp.. Praca siły wypadkowej przy niewielkim przemieszczeniu = r jest równa: WFwyp. = Fwyp. r =( Fz + Fw ) r = = Fz r + Fw r Zmiana energii kinetycznej ciała jest równa tej pracy (wzór 3.9) WFwyp. = Ek Praca siły zewnętrznej równa jest zmianie całkowitej energii mecanicznej układu (wzór 3.4). Fz r = Emec. Natomiast praca siły wewnętrznej jest równa zmianie energii potencjalnej ze znakiem minus (wzór 3.8) Fw r = Ep

6 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 17 Zatem DE k = DE mec. DE p Stąd DE mec. = DE p + DE k (3.10) Zmiana energii mecanicznej jest równa sumie zmian energii kinetycznej i potencjalnej, a energia mecaniczna jest sumą obu tyc energii. Zauważ, że jeśli DE p = 0, to DE mec. = DE k, a jeśli DE k = 0, to DE mec. = DE p. Zadajmy obecnie pytanie bardzo ważne dla naszyc rozważań: Kiedy energia mecaniczna jest zacowana (nie zmienia się)? Powyższe pytanie można sformułować inaczej: Kiedy zmiana energii mecanicznej jest równa zeru (DE mec. = 0)? Odpowiedź jest nam znana: energia mecaniczna układu ciał nie zmienia się, gdy siły zewnętrzne nie wykonują pracy nad tym układem. lub W z = 0 Wówczas Ekinetyczna Ekinetyczna Epotencjalna Epotencjalna ( w stanie końcowym w stanie początkowym ) ( w stanie końcowym w stanie początkowym ) 0 E kinetyczna w stanie końcowym E E E potencjalna w stanie końcowym kinetyczna w stanie początkowym potencjalna w stanie początkowym (3.11) Korzystając z definicji pracy stałej siły (3.), można łatwo zauważyć, że praca siły zewnętrznej działającej na rozważane ciało układu jest równa zeru, gdy: yf z 0, nie działa siła zewnętrzna; y r =0, ciało nie ulega przemieszczeniu; cos a = 0, siła zewnętrzna działa, ale jest prostopadła do przemieszczenia. y Pierwszą z wyżej przedstawionyc możliwości zilustrujemy na przykładzie swobodnie spadającego ciała (przykład 3.).

7 18 Przykład 3. Układ kulka Ziemia; spadanie kulki Przeanalizujemy ruc kulki spadającej swobodnie. Kulka tworzy z Ziemią układ ciał oddziałującyc grawitacyjnie. Siła ciężkości jest więc w tym układzie siłą wewnętrzną. Na wysokości : E = mg, E = 0, E = E + E = mg p1 k1 mec. 1 p1 k1 Tuż przed zetknięciem z pod łożem: 1 1 Ep = 0, Ek = m, Emec. = Ep + Ek = m Rys Na kulkę nie działają siły zewnętrzne, bo spada swobodnie, bez oporu. Skoro F z = 0, więc W z = 0, więc DE mec. = 0, czyli Zatem E mec. = E mec.1 m mg Podobne rozumowanie można przeprowadzić dla wszystkic rodzajów rucu, w któryc na ciało działa jedynie siła ciężkości, np. rzutów, o któryc mówiliśmy w paragrafac 1.3 i 1.4. Trzeci z wymienionyc wyżej przypadków, w któryc siła zewnętrzna nie wykonuje pracy (cos a = 0), zilustrujemy na dwóc przykładac.

8 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 19 Prz yk ł ad 3. 3 Układ klocek Ziemia; ruc klocka po gładkiej równi Przeanalizujemy zsuwanie klocka o masie m po bardzo gładkiej równi pocyłej (rys. 3.1). Emec.1 = Ep1 + Ek1 = mg m Fs 90O Ep = 0 Emec. = Ep + Ek = 1 m Fc Rys. 3.1 Przyjmijmy, że układ ciał tworzą tylko Ziemia i klocek oddziałujące wzajemnie siłami grawitacji. W tym układzie ciężar ciała Fc jest siłą wewnętrzną, a siła sprężystości równi Fs siłą zewnętrzną (jej źródłem jest nienależąca do układu równia). Ruc klocka odbywa się wzdłuż równi, więc kąt między siłą zewnętrzną i przemieszczeniem wynosi 90, a cos 90 = 0. Praca siły zewnętrznej jest równa zeru. Energia mecaniczna układu Ziemia klocek jest zacowana. Emec.1 = Emec. czyli mg m Otrzymany wynik wskazuje, że wszystkie ciała zsuwające się (z pomijalnie małym tarciem) z równi pocyłyc o takic samyc wysokościac (niezależnie od kąta nacylenia do poziomu) uzyskują u podstawy taką samą szybkość równą szybkości, którą uzyskałyby, spadając swobodnie z wysokości. Stwierdzenie, że równia jest bardzo gładka, oznacza, że można pominąć tarcie między równią i ciałem zsuwającym się po równi.

9 130 Przykład 3.4 Układ kulka waadła Ziemia; ruc kulki waadła Przeanalizujemy ruc kulki zawieszonej na nitce i wycylonej tak, że znajduje się ona na wysokości nad najniższym możliwym położeniem, czyli położeniem równowagi (rys. 3.13). F s Emec. 1 = Ep1 + Ek1 = mg 90 O F w E p = 0 1 Emec. = Ep + Ek = m F c Rys W układzie Ziemia kulka siła ciężkości kulki F c jest siłą wewnętrzną, a siła sprężystości nitki ( F s ) siłą zewnętrzną. W każdym punkcie toru przemieszczenie r jest prostopadłe do siły F s, więc praca siły sprężystości jest równa zeru. Energia mecaniczna układu kulka Ziemia nie zmienia się, czyli całkowita energia mecaniczna w położeniu początkowym jest równa całkowitej energii mecanicznej kulki przy przecodzeniu przez najniższe położenie. E mec.1 = E mec. m mg Także i w tym przypadku szybkość kulki przy przecodzeniu przez położenie równowagi jest równa szybkości, którą uzyskałaby kulka, spadając swobodnie z wysokości. Wszystkie nasze rozważania dotyczyły układów ciał oddziałującyc siłami zależnymi tylko od położenia tyc ciał, a nie np. od ic prędkości. Takie siły nazywamy siłami zacowawczymi. Dotąd wprowadziliśmy dwie takie siły: grawitacji i sprężystości.

10 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 131 Ostatecznie zasadę zacowania energii sformułujemy więc następująco: Jeśli na układ ciał oddziałującyc wzajemnie siłami zacowawczymi nie działają siły zewnętrzne lub działają, ale nie wykonują pracy, to energia mecaniczna układu jest zacowana. Prz yk ł ad 3. 5 Ruc w górę równi (bez tarcia) Obliczymy wartość prędkości, którą nadano klockowi znajdującemu się u podnóża gładkiej równi pocyłej nacylonej do poziomu pod kątem 30, jeśli przebył wzdłuż równi drogę 1,6 m aż do zatrzymania. s 0 30O Ep = 0 Rys W cwili początkowej całkowita energia mecaniczna ciała jest równa tylko energii kinetycznej (Ep = 0). Na wysokości ciało zatrzymało się, więc Ek = 0, a Ep = mg. Podczas rucu energia mecaniczna układu Ziemia ciało jest zacowana (T = 0, bo założyliśmy, że równia jest gładka), więc m 0 mg Z rysunku 3.14 wynika, że sin s s sin Po wstawieniu do równania wyrażającego zasadę zacowania energii otrzymujemy 1 g s sin 0 skąd 0 g s sin Po podstawieniu danyc liczbowyc i przyjęciu, że g = 10 m/s, otrzymujemy: 0 4 m s

11 13 Przykład 3.6 Szybkość spadającego swobodnie ciała na wysokości nad podłożem iało znajduje się w punkcie A na wysokości H = 15 m nad podłożem (rys. 3.15). Po przebyciu 3 4 drogi znajdzie się w punkcie na wysokości 1 H. 4 A E mgh mec. A = H E p =0 B E mec. = mg + 1 m W punkcie A: W punkcie : Rys E p = mgh E k = 0 E p = mg m Ek W układzie Ziemia ciało na ciało nie działa żadna siła zewnętrzna, więc całkowita energia mecaniczna w punkcie jest równa energii w punkcie A. m mgh mg skąd 1 Po podstawieniu H 4 1 gh gh 4 czyli skąd (jeśli g = 10 m/s ): 3 gh 15 m s gh g 3 gh 4

12 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 133 Przykład 3.7 Diabelska pętla Obliczymy minimalną wysokość H, którą musi mieć zjeżdżalnia dla wózków w wesołym miasteczku, aby wózki wraz z pasażerami mijały bezpiecznie najwyższy punkt pętli. Opory rucu pomijamy. Promień pętli R = 5 m (rys. 3.16). A H F s B R F c E p = 0 Rys W najwyższym punkcie pętli wózek 3 ma (względem podłoża) energię potencjalną i energię kinetyczną E p = mg R m Ek Korzystając z zasady zacowania energii, możemy napisać równanie: E mec.a = E mec.b m mgh mgr (3.1) Należy jeszcze obliczyć minimalną szybkość min, którą musi mieć wózek w najwyższym punkcie pętli, aby minął bezpiecznie ten punkt. Na ogół w tym punkcie na wózek działają dwie siły: siła ciężkości F c mg i siła sprężystości F s, którą szyny działają na wózek. Wypadkowa tyc sił stanowi siłę dośrodkową potrzebną do utrzymania wózka w rucu po okręgu. Minimalna prędkość w najwyższym punkcie musi mieć taką wartość, aby siła dośrodkowa też była minimalna, tzn. równa tylko mg (F s = 0, co oznacza, że wózek i szyny stykają się, ale siła ic wzajemnego nacisku jest równa zeru). 3 Rozmiary wózka są pomijalnie małe w porównaniu z promieniem pętli i wysokością zjeżdżalni. Dla przejrzystości rysunku proporcje nie są uwzględnione.

13 134 skąd m mg R min mmin mgr (3.13) (3.14) Wstawiając wzór (3.14) do (3.1), obliczymy szukaną wysokość: 1 H R R czyli 5 H R H 1,5 m Minimalna wysokość, z której zjeżdża wózek, musi wynosić 5 R. Z równania (3.13) możemy obliczyć minimalną szybkość umożliwiającą bezpieczne minięcie najwyższego punktu pętli (czyli utrzymanie się w rucu po okręgu). min gr Omówimy teraz przykłady, w któryc energia mecaniczna ulega zmianie. W takic przypadkac należy skorzystać ze związku DE mec. = DE p + DE k = W z (3.15) Przykład 3.8 Łyżwiarz Obliczymy drogę, którą przebędzie łyżwiarz do cwili zatrzymania się, jeśli jego prędkość początkowa ma wartość 0, a współczynnik tarcia łyżew o lód jest równy f. Układ ciał, który rozważamy, tworzą łyżwiarz i Ziemia. Jeśli łyżwiarz porusza się po torze poziomym (równolegle do powierzcni Ziemi), nie zmienia się jego energia potencjalna DE p = 0. W tym przypadku: DE mec. = DE k = W z Siłą zewnętrzną działającą na łyżwiarza i wykonującą pracę jest siła tarcia kinetycznego, zwrócona przeciwnie do prędkości (a więc i do przemieszczenia). Praca siły tarcia jest równa: W z = Ts cos 180 = mgfs ( 1)

14 Rozdział 3. Praca, moc, energia mecaniczna 135 czyli zatem skąd DE k = mgfs E kinetyczna w stanie końcowym E kinetyczna w stanie początkowym = mgfs m 0 0 mgfs 0 s gf Przykład 3.9 Tarcie sanek o śnieg Obliczymy współczynnik tarcia sanek o śnieg. Sanki ześlizgujące się z górki o wysokości zatrzymały się w odległości d, mierzonej od punktu A będącego rzutem wierzcołka górki A na płaszczyznę poziomą (rys. 3.17). d A s 1 B E p = 0 s A' Rys W punkcie A energia kinetyczna sanek jest równa zeru, a ic energia potencjalna względem poziomej płaszczyzny, na której leżą punkty A i B, E p = mg. W punkcie B sanki nie mają ani energii potencjalnej względem tej płaszczyzny, ani energii kinetycznej (bo zatrzymały się). Zatem całkowita energia mecaniczna jest równa zeru. Siłą zewnętrzną, która wykonała pracę, jest siła tarcia; jej wartość na równi wyraża się wzorem T 1 = mgf cos a, a na poziomej powierzcni T = mgf. Zatem DE mec. = W z = T 1 s 1 cos T s cos mg = mgfs 1 cos a mgfs = fs 1 cos a + fs

15 136 skąd f s cos s 1 Z rysunku wynika, że s = d s 1 cos a, więc f d Zadania 1. Z działa o masie M = 1000 kg wystrzelono pocisk o masie m = 1 kg. Oblicz energię kinetyczną działa uzyskaną po wystrzale, wiedząc, że pocisk opuszcza lufę z prędkością o wartości = 400 m/s.. Pocisk o masie m = 50 g uderza w deskę o grubości d = 6 cm z szybkością 1 =400 m/s i wylatuje z niej z szybkością = 00 m/s. Oblicz wartość średniej siły oporu deski. 3. Oblicz drogę, którą przebędzie na poziomym lodowisku łyżwiarz rozpędzony do prędkości o wartości 0 = 10 m/s dzięki posiadanej energii kinetycznej. Współczynnik tarcia łyżew o lód f = 0,1. Przyjmij, że g = 10 m/s. 4. Klocek o masie m = 0,5 kg wiszący na lekkiej nici podniesiono o 1 m pionowo do góry z przyspieszeniem o wartości a = m/s. Oblicz pracę wykonaną przez siłę F, którą działano na nitkę (g = 10 m/s ). 5. Piłkę rzucono na podłogę z wysokości (rys. 3.18). Wyprowadź wzór na szybkość, którą nadano piłce, jeśli po odbiciu od podłogi podskoczyła na wysokość 1,5. Pomiń opory rucu, a uderzenie o podłogę potraktuj jako doskonale sprężyste (tzn. załóż, że piłka nie straciła energii w tym zderzeniu). A 0 B Rys