Modelos y Simulación

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1 1 Modelos y Simulación Clase 6: Unidad 3: Sistemas complejos - Sistemas dinámicos Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación Clase 6

2 2 Temas de hoy Introducción a sistemas complejos y sistemas dinámicos - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 1, 3, 4 y 5. Libros (opcional): [1] Introduction to Modeling and Simulation with Matlab and Python - Gordon and Guilfoos, Cap. 9 Facultad de Ingeniería - Universidad de Buenos Aires Modelos y Simulación Clase 6

3 Sistemas complejos

4 Qué es un sistema complejo? 4 Por ejemplo: - Sistema climático - Internet - Sistemas económicos - Redes sociales - Ecosistemas biológicos - Poblaciones y enfermedades Sistemas NO-COMPLEJOS Conjunto de componentes independientes (por ej. Gas ideal) Modelos estadísticos Sistemas Complejos Componentes dependientes Conjunto de componentes fuertemente acoplados (por ej. Cuerpo rígido) Modelos determinísticos

5 Sistemas dinámicos

6 Qué es un sistema dinámico? 6 Por ejemplo: - Crecimiento de población - Péndulo - Movimiento de planetas - Sistema financiero Nota 1: x es un vector de variables de estado del sistema Nota 2: Estas ecuaciones son de primer orden pero son suficientes para describir un sistema dinámico de cualquier orden.

7 Espacio de Fases 7 El espacio de fases es donde viven las variables de estado del sistema. Cualquier estado del sistema se representa unívocamente por un punto en el espacio de fases. Un sistema dinámico evoluciona en el tiempo como una trayectoria en el espacio de fases.

8 Espacio de Fases 8

9 Propiedades del espacio de Fases 9 En un sistema deterministico, las trayectorias nunca se bifurcan ya que no pueden existir múltiples estados futuros a partir de una única condición inicial. Comportamiento de trayectorias: Diverger a infinito Converger a un punto fijo estable Oscilar alrededor de un punto (ciclo límite) Atractor Cuenca de un atractor: conjunto de puntos en el espacio de fases que llevan a un atractor

10 Atractores, cuencas, puntos fijos 10 inestables y ciclos límite Atractor (punto fijo estable) Cuenca de atractor Punto fijo inestable Ciclo límite (atractor)

11 Ecuaciones de diferencia (tiempo discreto) 11 Los sistemas dinámicos en tiempo discreto son fáciles de entender y simular. Ecuación de diferencia Serie temporal

12 Ejemplos (1 dimensión) 12 Lineal Autónomo 1er Orden Lineal Autónomo 3er Orden NO-Lineal Autónomo 1er Orden NO-Lineal NO-Autónomo 3er Orden

13 Reducción a sistemas autónomos de 1er orden 13 Cualquier sistema dinámico puede escribirse como un sistema autónomo de primer orden definiendo nuevas variables de estado (aumentando la dimensión). Ejemplo 1: sistema orden 2 Nueva variable de estado Serie de Fibonacci Sistema con 2 dimensiones Ejemplo 2: sistema NO-autónomo Nueva variable de estado (clock) Sistema con 2 dimensiones

14 Sistemas dinámicos Lineales

15 Comportamiento de sistemas lineales (1) xt = Axt <latexit sha1_base64="ev/ucjxtkpqxm4a5gckcy+co7pm=">aaach3icbvdlsgmxfm3uv62vuzdugkuqxdijom6eqhuxfewd2mhipjk2npmgusowyf7ejb/ixoui4q5/y/pqauubwmk593lvpv4suallghi5hcwl5zx8amftfwnzy9zeqakokzrvasqi2fciyokhraocbgvekphae6zu9w6gfv2bscwj8b76mxmc0gm5zykblbnmwssg0px89dfzav/in+9vnmwkcgxn+ojx9dlxlfolawq8t+wjkaijkq751wphnalycfqqpzq2fyotegmccpyvwolimae90mfntumsmowko/syfkcvnvyjqv8iekrod6qkukofelpyukga9ybif14zaf/csxkyj8bcoh7kjwjdhidh4taxjiloa0ko5hpxtlteego60oiowz49ez7utkq25nenxfl1ji482kp76bdz6byv0s2qocqi6am9odf0bjwbr8ah8tkuzrmtnl30b8bgg6tro1y=</latexit> xt, xt 1+b <latexit sha1_base64="rphmt1jymkz6ano+5r+fzibcptg=">aaacohicbvdlssqwfe19o76qlt0ehwexorqiklgr3bgsfcczmnyhtvmnpmljbswh9gp8dx/ars7duvlc+gwmmwpqjbcc556tm3tyglrwdy7zao2nt0xotc/mvubmfxax7owvs51kirigtusiwghrthdjgsbbsfaqgikdwzrb7vgpn++y0jyrf9bnmr+ta8kjtgkyqmpvezgbmydk74sobojfxq5bbvhdbax2uoy3oc7pi6utjl116k6v8chwb6ckbnxasd+9mkfzzcrqqbruu04kfk4uccpyufeyzvjcb8k1axsoscy0n/c+wecayuicjcoccbjh/p7isax1nzy+a6vhpayv5l9aqmshh7zdtofnxkyzmen7y6nmyehwmsiouwiurncaqhu3/jg9iypqmflxtdducayj4hk77hp8tlm9obxenipw0draqc7arqfogj2ibqloat2hz/ripvpv1of12b86zg1mvtgfsr6+abvvrfq=</latexit> N 2R 1, b 15 A 2 RN N <latexit sha1_base64="kknhnrss38nk/vy1cibibm2hzjk=">aaacixicbvc7tsmwfhv4lvikmljyfcsmkkfimbzymkqc6enqquu4tmvvcslbqaqi/ac/wq+wwh+witbeznfgpbmg5uqwjs+51+f6edgjulnwp7gwuls8slpzq65vbg5tmzu7hrklapm2jlgkeh6shffo2ooqrnqxicj0gol646tc7z4qiwne79qkjm6ihpwgfcolqyf56irijbwgvcgcymfx82v6m92ntufrkejyzazmzapbrcf5yjegbspqdcxvx49wehkumens9m0rvm6khkkykazqjjleci/rkpq15ej7ugnxmwweacahqst04qow7o+jfivstkjpd+bbylktj//vfjk/ooougnm3ptxofof4ah4kdkoi5nfbnwqcfztoglcgen+ir0ggrhsovr2mprvdpoic1g2nb05rjcsyogrybwfggnjgddtanwibnsdgetydf/bqpblvxrvxmw1dmmqzpfcnjk8fvfakoq==</latexit> Punto Fijo x*: Todo punto del espacio de fases en donde el sistema permanece por siempre, es decir: xt = xt 1 <latexit sha1_base64="+qgmwog5yoruq1ehkwsbnk9g2jk=">aaachhicbvdlsgmxfm3uv62vuzcudbbbjwvgbn0irtcuk9ghtmoqstntaozbckcswyz9dx/arf6bo3er+an+h5l2frx1qodknhtzb44xc67asr6n0tlyyupaeb2ysbm1vwpu7rvulejkmjqskex4rdhbq9yedoj1ysli4anw9ky3ud9+yflxklyhccycgaxc7nnkqeuuedglcaw9p33mxmbxeoaawqmduwbvqlkt4evif6skcjrc86fxj2gssbcoiep1bssgjyusobusq/qsxwjcr2taupqgjgdksscfyfcxvvryj6q+iecjoturkkcpcedpynxpne/l4r9ex+upzk0h/9jjergnwei6he4nakoe86rwn0tgqyw1ivryvt+mqyijbz1nrqdjz8ewsfpnnvvzu/nq/bqiqiwo0be6qta6qhv0ixqoish6qi/ofb0zz8a78wf8tktlrtgzj/7a+pof+1+iuw==</latexit> Primer resultado: Existe un único punto fijo en los sistemas lineales y es el 1 siguiente: x = (A I) b, <latexit sha1_base64="y35wljpw/soax90k9mpcbasc4s4=">aaacnhicbzdlsgmxfiyz9vbrbdslm2arqtgyi0ldcfu3uqtgl9bosybntkgzc0lglmm8iq/hc7jvbxdcis59bjptflt1qodlf87jofntgfehdennyywsli2vzfdza+sbm1v69k5d+chhpiz95vomjqrh1cm1ssujzyat5nqmnozhvzjv3bmuqo/dyvfalbf1pepqjkssunq57si5sj3oie4cwxnyleyfi7g4xzv4sbmvzxh6t+pjrp43ssy44dyykerbgtwu/txu+th0iscxq0k0tcoqvos4pjironcobqkqhqi+asn0keuefy0/gmmdpfsg43n1panh6u+ocllcjfxbvsyritlciv6b64nkwznp0jmziuofosqengx3qgaldxmhyy9ygiubkucyu7u/xapeezbk55wyxpy1yr7qjyvt8e1pvnkzwpqfe2affiajyqacrkev1aagj+azvibx7ul71z60z0lprkt7dsgf0l5/ams4q1o=</latexit> siempre y cuando exista la inversa de (A I). <latexit sha1_base64="+ynatgcaxy72vjagfhcfke4mewc=">aaacfhicbzdlssnafizp6q3ww9sfczedraglsykclqtudffbxqanztkztemnf2ymqgl5dv/arb6bo3hr3hfwozy0ebr6yodjp9f53zgzqszrwygtlc4tr5rxk2vrg5tb5vzow0ajilrfih6jrosl5syklcuup91yuby4nhbc8vwe79xtivku3qljtj0ad0pmm4kvlgbmxq0fydvy/fqio/7gm+xoyfatujun9bfsaqpqrhngfva9icqbdrxhwmqebcxksbfqjhcavfqjpdemyzykpy0hdqh00ukhmnsofq/5kdavvgiq/uxicsdljhb1zx6inm/l4r85t+yd57yr/9xjwrgniozkttxpofiryh1chhoukd7rgilg+n5erlhgorspfw2mpw/dx2if1g3nt6fvxmvhurn24qbqymmznoaamtacahk8whm8gw/gi/fqvm1ks0brswu/wnj/ahbsnqi=</latexit> Analizamos el comportamiento en torno al punto fijo x*. x, entonces yt = Ayt 1 Definimos yt = xt t El estado del sistema luego de t iteraciones será: yt = A y0 <latexit sha1_base64="agmvz0xw5/bzqkvtygsmbsbsuey=">aaacjnicbvdlsgmxfm34rpu16tjnsai6smyiobuh6szlbfuatprmmmldm5khusouyb7b3/ah3oofubnx58rvmnooufspbe7outf35nir4boc59nawfxaxlktrbxxnza3tu2d3booy0vzjyyive2paca4zdxgifgzuowenmanb3it+y0hpjqp5t2mityjsf9yn1mcrurax+2awmdzk1habxyjf69x6zsrwimbdu2su3bgwppezukj5ah27e92l6rxwcrqqbruuu4enyqo4fswtnionysihzi+axkqscb0jxl/kcwhrulhp1tmsmbjdbojiyhwo8azldmeetblxh+9ns4enjko/kun4tkkguk6ge7hakois8xwjytgqywmivrxsz+ma6iibzns0qtjzsywt+qnzdfwu7ns5tqpqid20qe6qi46rxv0i6qohih6rm/obb1at9ab9w59teoxrlxnd/2b9fudafwmwa==</latexit> <latexit 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sha1_base64="ygtatjgzsfr1pmdb0uzdly61hdk=">aaacjhicbvdlsgmxfm34rpu16tjnsiiuyowiuhgqblxwsa9oa8mkmty0kxmso0iz5hp8dx/arf6bo3hhxqxfyaydobyecjycc2/uzfeiwtu4zqe1sli0vljawcuub2xubds7u3udxoqygg1fqjoe0uxwywraqbbmpbgjpmea3va68xsptgkeyjsyrawtkl7kpqcejns1j9obgyhnj6o0c/gc/14v03uyspyuxxlkzhh4nrg5kaec1a793e6fna6ybcqi1i3xiacteawccpyw27fmeafd0mctqyujmo4k4w+l+naopeyhyhwjekxodyqk0houekyy21hpepn4r9ft2ymz08e/7yrcrjewssfd/vhgchgwgo5xxsiiksgekm72x3rafkfgci2aynzzgozj/atsgn57wqpc5rev0d46qmfirweogm5qfduqry/ogb2gv+vjerpery9j6ykv9+yhp7c+fgdbdqxk</latexit> Usando la descomposición en autovalores y autovectores: A = yt = U t UT y0 t T Definimos ut = U yt, entonces finalmente ut = u0 <latexit sha1_base64="72phac0s2gjzbsetsopwwn890n4=">aaacmhicbzdlssnafiyn9vbrlerszwarxjvebd0ivtcuxfro2kity2qyaydolsxmhblyil6gl+bw30bx4saft+gktvfbdwx8/oc6vxszkqrhvgmlhcwl5zxyamvtfwnzs9/eayko4zhyogir77hieezdykkqgenenkdazattdq/yfpuecegjsclhmxec1a+ptzgssurpx3aa5md104vsfipwbqdo36hrhvorroyu2dorrs0yb5whs4aqkklr0z9tl8jjqekjgrkiaxqxdflejcwmzbu7esrgeij6pkswraertjr+xayplojbp+lqhrko1d8dkqqegawuqsxvflo5xpw354l84mx26z85kq3jrjiqt5b7cymygrl70kocymlgchdmvn0p8qbxhkxyukkmmwdtmifwuc1ufhtsrv8wfpxbhtghh8aep6aorkedwacdb/aensgl9qi9au/ax6s0pbu9u+bpaf/fpycq9q==</latexit> U UT <latexit 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16 <latexit sha1_base64="/vu4i38bcwgwayjaz59la5ocktm=">aaachhicbvdlsgmxfm34rpu16tkfwsk4kdipgi5eim5cvrapaichk8m0oznmkgse0nbpb/gdbvup3ilbwr/wo8y0g2jrhcdjoefemxw/4uxpx/m0fhaxlldwc2vf9y3nrw17z7eh4lqswicxj2xlx4pyjmhdm81pk5eurz6ntb9/nenneyovi8wdhitujxbxsjarra3l2qejdjfuahtodifoipy5v0bweilpljllz1jwhqaclebenc/+6gqxssmqnofyqtzyeu0osdsmcdoudljfe0z6uevbbgocueuojx8zwypdbdcmptlcwwn7u2oii6ugkw+cedy9natl5l9aolkbm9t1eo4omuhstqwzlg9tdnums6rgwcqlmg8mweqy835ielhiok2errmmmo1hhjqqzwtw7wmpepvhvad74bacawtoqbxcgbqoawiewbn4bi/wo/vqvvnvu+uclffsgt9lfxwd6ksgcq==</latexit> <latexit 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17 <latexit sha1_base64="j/ndpcyboep74g26waa2izvl3yi=">aaachnicbzdlsgmxfiyz9vbrbdslm2grblhmfituhkiblxxsbdphykrpg5q5kjyrdkpxvoyv4fbfwj241rfwocy0rbr6ipdx/+fkjl8xca7asj6m3mli0vjkfrwwtr6xuwvu7zrugevk6jquowx5rdhba1yhdok1ismi7wnw9izxmd+8y1lxmlifjgkot/ob73fkqeuuut9yav9gq1qzusmc2gn8jjnvskrlimswrzi1kfwx7bku0axqrvnz6yy09lkavbcl2ryvgzmsczwkni50ysuiqoekz9oaa+iz5astr4zxova6ubdkfqlae/xnrep8prlf050+gyga9zlxx6+rsgvntkpv3el5emxaajpd3osfhhbnweeul4ycsdqqkrl+p6ydigkfnwhbb2ppx/axguwsrfnmtfi9newur3voab0hg52hkrpgnvrhfn2jr/seno0h48v4nd6mrtljnrolfpxx/gxs7p+r</latexit> <latexit sha1_base64="j/ndpcyboep74g26waa2izvl3yi=">aaachnicbzdlsgmxfiyz9vbrbdslm2grblhmfituhkiblxxsbdphykrpg5q5kjyrdkpxvoyv4fbfwj241rfwocy0rbr6ipdx/+fkjl8xca7asj6m3mli0vjkfrwwtr6xuwvu7zrugevk6jquowx5rdhba1yhdok1ismi7wnw9izxmd+8y1lxmlifjgkot/ob73fkqeuuut9yav9gq1qzusmc2gn8jjnvskrlimswrzi1kfwx7bku0axqrvnz6yy09lkavbcl2ryvgzmsczwkni50ysuiqoekz9oaa+iz5astr4zxova6ubdkfqlae/xnrep8prlf050+gyga9zlxx6+rsgvntkpv3el5emxaajpd3osfhhbnweeul4ycsdqqkrl+p6ydigkfnwhbb2ppx/axguwsrfnmtfi9newur3voab0hg52hkrpgnvrhfn2jr/seno0h48v4nd6mrtljnrolfpxx/gxs7p+r</latexit> <latexit sha1_base64="j/ndpcyboep74g26waa2izvl3yi=">aaachnicbzdlsgmxfiyz9vbrbdslm2grblhmfituhkiblxxsbdphykrpg5q5kjyrdkpxvoyv4fbfwj241rfwocy0rbr6ipdx/+fkjl8xca7asj6m3mli0vjkfrwwtr6xuwvu7zrugevk6jquowx5rdhba1yhdok1ismi7wnw9izxmd+8y1lxmlifjgkot/ob73fkqeuuut9yav9gq1qzusmc2gn8jjnvskrlimswrzi1kfwx7bku0axqrvnz6yy09lkavbcl2ryvgzmsczwkni50ysuiqoekz9oaa+iz5astr4zxova6ubdkfqlae/xnrep8prlf050+gyga9zlxx6+rsgvntkpv3el5emxaajpd3osfhhbnweeul4ycsdqqkrl+p6ydigkfnwhbb2ppx/axguwsrfnmtfi9newur3voab0hg52hkrpgnvrhfn2jr/seno0h48v4nd6mrtljnrolfpxx/gxs7p+r</latexit> <latexit sha1_base64="j/ndpcyboep74g26waa2izvl3yi=">aaachnicbzdlsgmxfiyz9vbrbdslm2grblhmfituhkiblxxsbdphykrpg5q5kjyrdkpxvoyv4fbfwj241rfwocy0rbr6ipdx/+fkjl8xca7asj6m3mli0vjkfrwwtr6xuwvu7zrugevk6jquowx5rdhba1yhdok1ismi7wnw9izxmd+8y1lxmlifjgkot/ob73fkqeuuut9yav9gq1qzusmc2gn8jjnvskrlimswrzi1kfwx7bku0axqrvnz6yy09lkavbcl2ryvgzmsczwkni50ysuiqoekz9oaa+iz5astr4zxova6ubdkfqlae/xnrep8prlf050+gyga9zlxx6+rsgvntkpv3el5emxaajpd3osfhhbnweeul4ycsdqqkrl+p6ydigkfnwhbb2ppx/axguwsrfnmtfi9newur3voab0hg52hkrpgnvrhfn2jr/seno0h48v4nd6mrtljnrolfpxx/gxs7p+r</latexit> <latexit sha1_base64="+0/orsk7orh6v6hnsd08wxciug0=">aaach3icbzdlsgmxfiyz9vbrrerstbaigrtmikvuhkiblxxsbdphykrpg5q5kjwrh6f7x8mxcktv4e7c9gv8djptinp6ipdx/+fkjl8bcq7ankdgbmv1bx0jv1ny2t7z3svuh7rueenkmjqqgey4rdhbfdyedoj1qsmi5wrwdsc3qd9+yflxwl+hogs2r4y+h3bkqeto8th2af/hslmppjojlk0jpspxd5mvwtuplsykosu8dfygjzrvwyl+9fobjtzmaxveqa5lhmanrakngk0kvuixknaxgbkurp94tnnj7c8tfkkvph4euh8f8ez9pzeqt6nyc3wnr2ckfr1u/nfrq/tche0wulqt7ocrmj/olw8igshaavi4zywjiginhequ34/piehcquda0mfyizesq+u8ymm+uyjvr7oi8ugihantzkeaqqnb1ebnrnetekgv6m14nt6nd+nz3pozspld9kem6tdqsz/o</latexit> <latexit sha1_base64="+0/orsk7orh6v6hnsd08wxciug0=">aaach3icbzdlsgmxfiyz9vbrrerstbaigrtmikvuhkiblxxsbdphykrpg5q5kjwrh6f7x8mxcktv4e7c9gv8djptinp6ipdx/+fkjl8bcq7ankdgbmv1bx0jv1ny2t7z3svuh7rueenkmjqqgey4rdhbfdyedoj1qsmi5wrwdsc3qd9+yflxwl+hogs2r4y+h3bkqeto8th2af/hslmppjojlk0jpspxd5mvwtuplsykosu8dfygjzrvwyl+9fobjtzmaxveqa5lhmanrakngk0kvuixknaxgbkurp94tnnj7c8tfkkvph4euh8f8ez9pzeqt6nyc3wnr2ckfr1u/nfrq/tche0wulqt7ocrmj/olw8igshaavi4zywjiginhequ34/piehcquda0mfyizesq+u8ymm+uyjvr7oi8ugihantzkeaqqnb1ebnrnetekgv6m14nt6nd+nz3pozspld9kem6tdqsz/o</latexit> <latexit sha1_base64="+0/orsk7orh6v6hnsd08wxciug0=">aaach3icbzdlsgmxfiyz9vbrrerstbaigrtmikvuhkiblxxsbdphykrpg5q5kjwrh6f7x8mxcktv4e7c9gv8djptinp6ipdx/+fkjl8bcq7ankdgbmv1bx0jv1ny2t7z3svuh7rueenkmjqqgey4rdhbfdyedoj1qsmi5wrwdsc3qd9+yflxwl+hogs2r4y+h3bkqeto8th2af/hslmppjojlk0jpspxd5mvwtuplsykosu8dfygjzrvwyl+9fobjtzmaxveqa5lhmanrakngk0kvuixknaxgbkurp94tnnj7c8tfkkvph4euh8f8ez9pzeqt6nyc3wnr2ckfr1u/nfrq/tche0wulqt7ocrmj/olw8igshaavi4zywjiginhequ34/piehcquda0mfyizesq+u8ymm+uyjvr7oi8ugihantzkeaqqnb1ebnrnetekgv6m14nt6nd+nz3pozspld9kem6tdqsz/o</latexit> <latexit sha1_base64="+0/orsk7orh6v6hnsd08wxciug0=">aaach3icbzdlsgmxfiyz9vbrrerstbaigrtmikvuhkiblxxsbdphykrpg5q5kjwrh6f7x8mxcktv4e7c9gv8djptinp6ipdx/+fkjl8bcq7ankdgbmv1bx0jv1ny2t7z3svuh7rueenkmjqqgey4rdhbfdyedoj1qsmi5wrwdsc3qd9+yflxwl+hogs2r4y+h3bkqeto8th2af/hslmppjojlk0jpspxd5mvwtuplsykosu8dfygjzrvwyl+9fobjtzmaxveqa5lhmanrakngk0kvuixknaxgbkurp94tnnj7c8tfkkvph4euh8f8ez9pzeqt6nyc3wnr2ckfr1u/nfrq/tche0wulqt7ocrmj/olw8igshaavi4zywjiginhequ34/piehcquda0mfyizesq+u8ymm+uyjvr7oi8ugihantzkeaqqnb1ebnrnetekgv6m14nt6nd+nz3pozspld9kem6tdqsz/o</latexit> Ejercicio: sistema lineal 17 x t =0.5x t 1 + y t y t = 0.5x t 1 + y t Determine si existe punto fijo y si es único 2- Determine el tipo de punto fijo 3- Simule el sistema partiendo de distintas condiciones iniciales y grafique las trayectorias en el espacio de fases.

18 Ejemplos Sistemas Lineales y NO-Lineales

19 <latexit sha1_base64="u5amsyqn9ethqksrf1eazorkjm4=">aaab/nicbzblsgnbeizr4ivgv9slm8yguaoziugy6mzlrpoazag9pt1jk54h3tvigajewk3ewj249spewhpyk8xce39o+pirqqv4vuqkjbb9zzvwvtfwn8qbla3tnd296v5bw8epyrzfyhmrrkc1lylilrqoetdrniae5b1vfj3xow9carfh9zhjubvsysqcwsga6+5xginqza7bm5flcaqoqahmoprd92owhjxcjqnwpcdo0m2oqsekn1b6qeyjzwm65d2deq25drpzqvnyyhyfbleyl0iyc39pzdtuehj6pjokonkltdz8t+br/mof7rhcupmikhr5xoblg1qsjemebfgf4gzlxablspj7crtrrrmaxcomggcxhmvon9udw7fntczvevezjuaytsgbc2jadtshbqyg8awv8go9ww/wu/uxby1zxcwh/jh1+qo87jzg</latexit> <latexit sha1_base64="u5amsyqn9ethqksrf1eazorkjm4=">aaab/nicbzblsgnbeizr4ivgv9slm8yguaoziugy6mzlrpoazag9pt1jk54h3tvigajewk3ewj249spewhpyk8xce39o+pirqqv4vuqkjbb9zzvwvtfwn8qbla3tnd296v5bw8epyrzfyhmrrkc1lylilrqoetdrniae5b1vfj3xow9carfh9zhjubvsysqcwsga6+5xginqza7bm5flcaqoqahmoprd92owhjxcjqnwpcdo0m2oqsekn1b6qeyjzwm65d2deq25drpzqvnyyhyfbleyl0iyc39pzdtuehj6pjokonkltdz8t+br/mof7rhcupmikhr5xoblg1qsjemebfgf4gzlxablspj7crtrrrmaxcomggcxhmvon9udw7fntczvevezjuaytsgbc2jadtshbqyg8awv8go9ww/wu/uxby1zxcwh/jh1+qo87jzg</latexit> <latexit sha1_base64="u5amsyqn9ethqksrf1eazorkjm4=">aaab/nicbzblsgnbeizr4ivgv9slm8yguaoziugy6mzlrpoazag9pt1jk54h3tvigajewk3ewj249spewhpyk8xce39o+pirqqv4vuqkjbb9zzvwvtfwn8qbla3tnd296v5bw8epyrzfyhmrrkc1lylilrqoetdrniae5b1vfj3xow9carfh9zhjubvsysqcwsga6+5xginqza7bm5flcaqoqahmoprd92owhjxcjqnwpcdo0m2oqsekn1b6qeyjzwm65d2deq25drpzqvnyyhyfbleyl0iyc39pzdtuehj6pjokonkltdz8t+br/mof7rhcupmikhr5xoblg1qsjemebfgf4gzlxablspj7crtrrrmaxcomggcxhmvon9udw7fntczvevezjuaytsgbc2jadtshbqyg8awv8go9ww/wu/uxby1zxcwh/jh1+qo87jzg</latexit> <latexit sha1_base64="u5amsyqn9ethqksrf1eazorkjm4=">aaab/nicbzblsgnbeizr4ivgv9slm8yguaoziugy6mzlrpoazag9pt1jk54h3tvigajewk3ewj249spewhpyk8xce39o+pirqqv4vuqkjbb9zzvwvtfwn8qbla3tnd296v5bw8epyrzfyhmrrkc1lylilrqoetdrniae5b1vfj3xow9carfh9zhjubvsysqcwsga6+5xginqza7bm5flcaqoqahmoprd92owhjxcjqnwpcdo0m2oqsekn1b6qeyjzwm65d2deq25drpzqvnyyhyfbleyl0iyc39pzdtuehj6pjokonkltdz8t+br/mof7rhcupmikhr5xoblg1qsjemebfgf4gzlxablspj7crtrrrmaxcomggcxhmvon9udw7fntczvevezjuaytsgbc2jadtshbqyg8awv8go9ww/wu/uxby1zxcwh/jh1+qo87jzg</latexit> a<latexit sha1_base64="il5ywskmgyfabiljljpykttm5s0=">aaab/hicbzdlssnafizp6q3ww9wlm8eiucqjclosunhzgr1ag8pkctoonuzczeqoob6aw30dd+lwd/effa4nbrza/whg4z/nzdn8qsk4nq776ztw1jc2t8rblz3dvf2d6ufrr8epythmsyhvl6aabzfyntwi7cukarqi7abt27zefucleszvzsxbp6jjyuecuwotfh1wa27dxyj8ba+aghrqdqtfgzbmaytsmeg17ntuyvymksozwhllkgpmkjvsmfytshqh9rpfoxnyzp2qjgjlnzrk4f6cygik9swkbgdezusv1nlz31qo8w9xtpvrtz9xmaqgjvsuh6wcmjjkszcqk2rgzcxqpri9n7ajvzqzm1ffbuotxvaxohd1z3lrsta4ksiqwwmcwjl4caunuimmtiebwhm8w4vz6lw6b877srxkfdph8evoxzf8nzvi</latexit> <latexit sha1_base64="il5ywskmgyfabiljljpykttm5s0=">aaab/hicbzdlssnafizp6q3ww9wlm8eiucqjclosunhzgr1ag8pkctoonuzczeqoob6aw30dd+lwd/effa4nbrza/whg4z/nzdn8qsk4nq776ztw1jc2t8rblz3dvf2d6ufrr8epythmsyhvl6aabzfyntwi7cukarqi7abt27zefucleszvzsxbp6jjyuecuwotfh1wa27dxyj8ba+aghrqdqtfgzbmaytsmeg17ntuyvymksozwhllkgpmkjvsmfytshqh9rpfoxnyzp2qjgjlnzrk4f6cygik9swkbgdezusv1nlz31qo8w9xtpvrtz9xmaqgjvsuh6wcmjjkszcqk2rgzcxqpri9n7ajvzqzm1ffbuotxvaxohd1z3lrsta4ksiqwwmcwjl4caunuimmtiebwhm8w4vz6lw6b877srxkfdph8evoxzf8nzvi</latexit> <latexit sha1_base64="il5ywskmgyfabiljljpykttm5s0=">aaab/hicbzdlssnafizp6q3ww9wlm8eiucqjclosunhzgr1ag8pkctoonuzczeqoob6aw30dd+lwd/effa4nbrza/whg4z/nzdn8qsk4nq776ztw1jc2t8rblz3dvf2d6ufrr8epythmsyhvl6aabzfyntwi7cukarqi7abt27zefucleszvzsxbp6jjyuecuwotfh1wa27dxyj8ba+aghrqdqtfgzbmaytsmeg17ntuyvymksozwhllkgpmkjvsmfytshqh9rpfoxnyzp2qjgjlnzrk4f6cygik9swkbgdezusv1nlz31qo8w9xtpvrtz9xmaqgjvsuh6wcmjjkszcqk2rgzcxqpri9n7ajvzqzm1ffbuotxvaxohd1z3lrsta4ksiqwwmcwjl4caunuimmtiebwhm8w4vz6lw6b877srxkfdph8evoxzf8nzvi</latexit> <latexit sha1_base64="il5ywskmgyfabiljljpykttm5s0=">aaab/hicbzdlssnafizp6q3ww9wlm8eiucqjclosunhzgr1ag8pkctoonuzczeqoob6aw30dd+lwd/effa4nbrza/whg4z/nzdn8qsk4nq776ztw1jc2t8rblz3dvf2d6ufrr8epythmsyhvl6aabzfyntwi7cukarqi7abt27zefucleszvzsxbp6jjyuecuwotfh1wa27dxyj8ba+aghrqdqtfgzbmaytsmeg17ntuyvymksozwhllkgpmkjvsmfytshqh9rpfoxnyzp2qjgjlnzrk4f6cygik9swkbgdezusv1nlz31qo8w9xtpvrtz9xmaqgjvsuh6wcmjjkszcqk2rgzcxqpri9n7ajvzqzm1ffbuotxvaxohd1z3lrsta4ksiqwwmcwjl4caunuimmtiebwhm8w4vz6lw6b877srxkfdph8evoxzf8nzvi</latexit> Modelos de crecimiento poblacional 19 Crecimiento exponencial: Ejercicio: 1- Qué tipo de sistema es? 2- Encuentre el o los puntos fijos 3- Clasifique el o los puntos fijos en estables o inestables? 4- Simule el sistema. x t : tamaño de población : tasa de crecimiento Crecimiento logístico (Convergencia a población límite) con Ejercicio: 1- Qué tipo de sistema es? 2- Encuentre el o los puntos fijos 3- Clasifique el o los puntos fijos en estables o inestables? 4- Simule el sistema.

20 Modelo predador-presa 20 r : tasa de crecimiento de presas d : tasa de mortalidad de predadores dx(y) : Influencia negativa en presas ry(x) : Influencia positiva en predadores

21 Modelo predador-presa: simulación 21 Influencia negativa en presas Influencia positiva en predadores SIMULACION: Diagrama de fases (x,y) Presas Predadores tiempo

22 Material de Lectura - Material de lectura (esta clase): Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 1, 3, 4 y 5. Libros (opcional): [1] Introduction to Modeling and Simulation with Matlab and Python - Gordon and Guilfoos, Cap. 9 - Leer para la próxima clase: Libros (Mínimo): [2] Introduction to the Modeling and Analysis of Complex Systems - Sayama, Cap 5, 6 y 7. Libros (opcional): [6] Programming for Computations Python - Linge and Langtangen, Cap 4. [10] Introduction to Computational Science_ Modeling and Simulation for the Sciences - Angela B. Shiflet, George W. Shiflet-(2014), Cap 2,4 y 6. [11] Dynamical Systems with Applications using MATLAB - Stephen Lynch (2014) [12] Essential Matlab for Engineers and Scientists - Brian Hahn and Dan Valentine (2013), Cap 12