Fourier - Cálculo en Matlab

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1 Fourier - Cálculo en Matlab

2 <latexit sha1_base64="4t9jg5pwch+ycajqd9yfuwovs14=">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</latexit> <latexit sha1_base64="azz6lhq/xzchq4pdwuo7z9uz1j0=">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</latexit> Periodicidad Fourier - señales a 7empo discreto X k = a k =) período N X( ) =) período 2 a k = a <latexit sha1_base64="okr7dd2nfquauo2p0bp+n/hxeby=">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</latexit> k+n X( ) =X( +2 ) Esto es siempre cierto (cuando transformamos una señal x[n] en 7empo discreto).

3 <latexit sha1_base64="0rtjsgdmpnjcjwczb9ne45cpal0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="goui9jv0jkba3xd8tfj+wcvi7ae=">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</latexit> Periodicidad - Fourier - señales a 7empo discreto Si x[n] es real, hemos visto que: a k = a k <latexit sha1_base64="n6k3m5p5kngieexgeyvix/rxooi=">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</latexit> Como consecuencia: <latexit sha1_base64="qrkkunyanmymglt7hacsnlguvq8=">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</latexit> P k = a k! P k = P k a k = a <latexit sha1_base64="okr7dd2nfquauo2p0bp+n/hxeby=">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</latexit> k+n a k = a k <latexit sha1_base64="n6k3m5p5kngieexgeyvix/rxooi=">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</latexit> genera una simetria par <latexit sha1_base64="x6azlnpt9ffgyi+ds0ntok7keom=">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</latexit> para P k cada N/2...

4 <latexit sha1_base64="azz6lhq/xzchq4pdwuo7z9uz1j0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="ycw7ucm3yw4vywcus1v8eglf5+k=">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</latexit> <latexit sha1_base64="0rtjsgdmpnjcjwczb9ne45cpal0=">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</latexit> <latexit sha1_base64="mk7qkri2ybbhqghmehr9g8tbhd8=">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</latexit> <latexit sha1_base64="mk7qkri2ybbhqghmehr9g8tbhd8=">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</latexit> <latexit sha1_base64="x7ymgdagmt9gkvojuwn0wn4jqnm=">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</latexit> Periodicidad - Fourier - señales a 7empo discreto Si x[n] es real, hemos visto que: X( ) =X ( ) Como consecuencia: <latexit sha1_base64="qrkkunyanmymglt7hacsnlguvq8=">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</latexit> P ( ) = X( )! P ( ) =P ( ) X( ) =X( +2 ) X( ) =X ( ) genera una simetria par <latexit sha1_base64="x6azlnpt9ffgyi+ds0ntok7keom=">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</latexit> para P ( ) cada...

5 Tenemos también una simetría cada pi 2 2

6 <latexit sha1_base64="zl1y3vc3esgp7lfxi1iwt5irwdc=">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</latexit> X k = a k = 1 N X(k 0)= 1 N X k 2 N Decidimos por ejemplo N=15 Tenemos también una simetría cada N/ 2

7 En Matlab! Nos llega un vector (claramente, una secuencia de números finita). Digamos de longitud L.! Si recordáis las formulas de la Serie de Fourier de una señal discreta y periódica (dos sumas; análisis y síntesis), se puede entender que lo mas fácil (computacionalmente) es interpretar que es un periodo de una señal periódica de periodo N>=L.! Decimos N>=L porque podemos siempre rellenar con ceros.! Esta operación se suele llamar Discrete Fourier Transform (), pero coincide CASI exactamente la serie de Fourier de una señal discreta y periódica.

8 En Matlab! Esta operación se suele llamar Discrete Fourier Transform (), pero coincide CASI exactamente la serie de Fourier de una señal discreta y periódica.! EN LA, EL FACTOR 1/N PASA A ESTAR EN LA ECUACIÓN DE SÍNTESIS (Y SE QUITA DE LA ECUACIÓN DE ANÁLISIS) Este factor pasa arriba en la! Son muy parecidas: por esto valen exactamente los mismos resultados que ya hemos obtenidos.

9 En Matlab! EN LA, EL FACTOR 1/N PASA A ESTAR EN LA ECUACIÓN DE SÍNTESIS (Y SE QUITA DE LA ECUACIÓN DE ANÁLISIS) Este factor pasa arriba en la! Hay una razón para hacer esto. (pensad a la formula que relaciona la SF con TF.)

10 PRIMERA PARTE - Definición - Fast Fourier Transform (FFT= approx ) - Relación con SF de una señal discreta - Relación con TF de una señal discreta! En esta primera parte, se interpretan las muestras como como una señal discreta (como muestras de una señal discreta).! En la segunda parte, se interpretarán las muestras como obtenidas a través de un muestreo en el 7empo de una señal con7nua.

11 ESQUEMA Ubicándonos! Tema 1: Señales y sistemas discretos en el dominio del tiempo! Tema 2: Señales y sistemas discretos en el dominio de la frecuencia! Tema 3: Muestreo! Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier " 4.1 Definición: la como el muestreo de la Transformada de Fourier " 4.2 Propiedades " 4.3 Convolución circular: definición y relación con la " 4.4 La en Matlab! Tema 5: Transformada Z! Tema 6: Introducción al diseño de filtros discretos # Comentarios:! Tema muy importante (el más difícil de entender)! Resumen: los ordenadores sólo pueden calcular s, la puede interpretarse como el muestreo de la TF (no siempre la TF de la señal original, sino la de una versión enventanada de la señal original)! Trabajo previo: relación entre la TF de una SD y la TF de un segmento de esa SD 1

12 DEFINICIÓN DE LA Definición de la # Se utiliza sobre SC o sobre SD? periódicas o aperiódicas? # Ecuaciones de análisis y síntesis? # La es una transformación discreto a discreto, toma señales discretas de longitud finita y devuelve una señal discreta de longitud finita Ec. de análisis de la Ec. de síntesis de la! x[n] tiene longitud N (ya veremos qué pasa si no es así), X N [k] tiene longitud N! La definición no es única, depende de N $ Deberemos decir de longitud N! En ocasiones se utiliza la notación: 4

13 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la # Son parecidas a las ecuaciones de la TF, pero más fáciles de calcular! Cuánto vale la en 0? Suma de valores de x[n]!!! Supongamos que N=4 cuánto vale la en 0, 1, 2, 3? 5

14 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la! Supongamos que N=4 cuánto vale la de cualquier señal en 0, 1, 2, 3? Cada punto de la se obtiene realizando N sumas y N multiplicaciones $ En total necesitamos N 2 sumas y N 2 multiplicaciones 6

15 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la : Ejemplos! de longitud 4 de las siguientes señales: # a) # b) 7

16 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la : Ejemplos! de longitud 4 de las siguientes señales: # c) # d) 8

17 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la! Cada valor de la N sumas y N multiplicaciones $ Se puede calcular a través de una matriz $ Matriz de ( es una matriz de Vandermonde!) Para el caso de N=4 Para el caso de N genérico La es muy fácil de calcular en un ordenador!! 9

18 DEFINICIÓN DE LA Cálculo de la! Se puede calcular también con papel y lápiz (simbólicamente)? $ Para casos fáciles sí # a) # b) Qué pasa con el numerador si N es impar? Y si es par? 10

19 DEFINICIÓN DE LA! Papel y lápiz Cálculo de la # c) # d) Más ejemplos: hojas de transformadas y propiedades 11

20 ESQUEMA Ubicándonos # Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier! 4.1 Definición: la como el muestreo de la TF " Introducción " Definición y ejemplos " La como el muestreo de la TF " Problemas y aspectos prácticos! 4.2 Propiedades! 4.3 Convolución circular: definición y relación con la! 4.4 La en Matlab 12

21 COMO TF MUESTREADA Relacionando la con la TF # La se parece a la TF de secuencias, comparemos Ecs. Análisis # Diferencias:! La TF es continua y la es discreta; la TF es de longitud infinita y la es de longitud finita; la TF es periódica y la es aperiódica! Qué pasa si tomamos N muestreas equiespaciadas de la TF en el intervalo [0,2π)? La es algo parecido a la TF muestreada! estudiaremos esto con mayor detalle 13

22 COMO TF MUESTREADA Relacionando la con la TF # Vamos a estudiar la relación entre y TF para tres casos:! a) Secuencias de longitud finita definidas entre 0 y N-1! b) Secuencias de longitud infinita! c) Secuencias de longitud finita pero definidas fuera del intervalo [0,N-1] # Vamos a ver que:! Si tenemos cuidado, en los casos a) y c) la puede utilizarse para obtener muestras de la TF! En el caso b) sólo podremos obtener los valores de forma aproximada (estaremos muestreando una TF que no es exactamente la de la señal, pero que sí está relacionada con la TF original) 14

23 COMO TF MUESTREADA Relacionando la con la TF # a) Secuencias de longitud finita definidas entre 0 y N-1! Si utilizamos el hecho de que la secuencia es finita! Muestreando en los valores: La es la TF muestreada!! 15

24 COMO TF MUESTREADA como TF muestrada: Ejemplo # Ej. 1: La hemos calculado antes 16

25 Calculo de la a_k con! Si pensamos que nuestra señal es realmente periódica y queremos los a_k que tenemos que hacer? DIVIDIR LO QUE NOS DA LA POR N! a k = 1 N X N[k]

26 COMO TF MUESTREADA como TF muestrada: Ejemplo # Ej. 2: La hemos calculado antes La hemos calculado antes Ser consciente de la variable del eje horizontal correspondiente a cada gráfica es fundamental 17

27 COMO TF MUESTREADA como TF muestrada: Ejemplo # Ej. 3: Ojo, la condición no se cumple! La hemos calculado antes La hemos calculado antes La condición no se cumple! la no se corresponde con el muestreo de la TF 18

28 COMO TF MUESTREADA como TF muestrada: Ejemplo # Ej. 4: La hemos calculado antes 19

29 PROBLEMAS E IMPLEMENTACIÓN Problemas: complejidad computacional # Hemos visto que la N puede calcularse a como el producto de un vector de longitud N por una matriz de tamaño N x N! Coste computacional: N 2 sumas y N 2 multiplicaciones complejas! Si N es muy grande (e.g ) es demasiado costoso # Solución: FFT (Fast Fourier Transform)! Es un algoritmo que permite calcular la de forma más eficiente! Cómo? Aprovechando la estructura de la matriz de! N tiene que ser una potencia de 2! Coste computacional: log 2 (N) N sumas y log 2 (N/2) N multiplicaciones complejas # Comparación: N=8192 $ 134 millones () vs. 0.2 millones (FFT) # En la práctica N de hasta 2 16 =65536, las siempre suelen hacerse de potencias de 2 (telefonía celular 4G, telescopios, etc.) 38

30 ESQUEMA Ubicándonos # Tema 4: Fundamentos de la Transformada Discreta de Fourier! 4.1 Definición: la como el muestreo de la TF! 4.2 Propiedades! 4.3 Convolución circular: definición y relación con la! 4.4 La en Matlab # Comentarios:! Bibliografía básica y complementaria: [BB2: Opp&Sch] Cap. 8, Secs ; [BB3: McC&Sch&Yod] Cap. 13, Secs

31 en MATLAB Función en Matlab que calcula la # No existe ni la función dft (idft), sino la función fft (ifft) FFT(x,N) is the N-point FFT, padded with zeros if x has less than N points and truncated if it has more. For length N input vector x, the is a length N vector X, with elements N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), 1 <= k <= N. n=1 The inverse (computed by IFFT) is given by N x(n) = (1/N) sum X(k)*exp( j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), 1 <= n <= N. k=1 # Le damos el valor de las amplitudes y nos devuelve valor de las amplitudes! En qué intervalo de tiempo supone Matlab que está definida la señal x?! Cuáles son los ejes de las amplitudes que nos devuelve fft? 62

32 en MATLAB Función en Matlab que calcula la # Cuáles son los ejes?! Matlab N X(k) = sum x(n)*exp(-j*2*pi*(k-1)*(n-1)/n), 1 <= k <= N. n=1! Form. teórica N-1 X[k] = sum x[n]*exp(-j*2*pi*k*n/n), 0 <= k <= N-1. n=0! Conclusión x = FFT X=fft(x)= n = k = ! x=[ zeros(1,15)];! X=fft(x,N);! k=0:(n-1);! figure; stem(k,abs(x)); 63

33 en MATLAB Estimando la TF de una señal discreta # Asumimos que la señal está definida en [0,N-1] (If not! enventanado)! La equivale a tomar N muestras equiespaciadas en el intervalo [0,2π)! Por tanto: " X=fft(x,N); " Omega=(0:(N-1))*(2*pi/N); " figure; plot(omega,abs(x));! Qué pasa si queremos dibujar varios periodos? " X=fft(x,N); X_per=[X, X, X, X] " Omega=(-N:(3*N-1))*(2*pi/N); " figure; plot(omega,abs(x_per)); %Utilizamos plot (continua) y no stem 64

34 en MATLAB Estimando la TF de una señal discreta! Qué pasa si queremos dibujarla en el intervalo [-π,π)? " X=fft(x,N); X_cent=fftshift(X); " Omega = ((-N/2):(N/2-1))*(2*pi/N); " figure; plot(omega,abs(x_cent)); 65

35 SEGUNDA PARTE! En esta segunda parte, se interpretarán las muestras como obtenidas a través de un muestreo en el 7empo de una señal con7nua.

36 en MATLAB Estimando la TF de una señal continua # Y qué ocurre con la TF de señales continuas?! Paso 1: Utilizamos tema muestreo para relacionar TF de señal continua con TF de señal discreta $ 3 efectos: 1) amplitud modificada por 1/Ts, 2) expansión por Ts del eje de frecuencias, 3) réplicas cada 2π! Paso 2: Utilizamos las transparencia anteriores para relacionar TF de señal discreta con de señal discreta (misma amplitud, eje frec. muestreado) # Por tanto:! A) Eje vertical (amplitud): Paso 1 multiplica por 1/Ts, Paso 2 no hace nada $ Hay que multiplicar la amplitud de la por Ts! B) Eje horizontal (frecuencia): " Paso 1: al muestrear las frecuencias entre 0 y ωs/2 pasan a estar entre 0 y π " Paso 2: Al hacer la las frecuencias entre 0 y π constituyen los primeros N/2 puntos de la " Paso 1 + 2: las N/2 primeros puntos de la corresponden a tomar N/2 muestras de la TF de la señal continua entre 0 y ωs/2 66

37 FFT en Matlab (T, sampling period) N = 51 <latexit sha1_base64="yp0lu1pki5v0+yvhqnigifgtzs8=">aaacg3icbvdlssnafj3uv42vqks3wvjwfzk0optcwy2ruse+ialhmp20qyypzizccf0pn/6kgxekubjc+ddo2iy09ccfwzn3cu89fkojf4bxrvq2nre2d6q76t7+wefr7fhkwjomidxhcu3yyiccuxljvicc4lhkmix8iod+efp4wwfmoeniezflsrvbsuwcgqcqklezuu1lu204aymot5yuzppuvg3optw01ab0wvbsmgt95hxt0pvqdum3ftdwivmsoijr82qfzjhbwyrjgsjk3danvlg5ziigiueqk3gcqhtccbyljwgeuzsvfptrdammtsbhsmkhldtfezmmoj9fvuymojjyva8q//pstatxbk7inbm4rstfquy1kwhfunqymiwenukcespyvg1nocxcydhvgyk5+vi6gvi62dstu1a90yrjqiizca4ugamuqafcgh7oawqewtn4bw/kk/kivcsfy9akus6cgj9qvn4a5rme2w==</latexit>

38 <latexit sha1_base64="wq14rbocs+b3jyktysac6dfjwcs=">aaacfxicbvdlssnafj3uv62vqks3wvjwisfjc7opfny4khxsa5oqjtnjo3qyctmtoyt8hbt/xy0lrdwk7vwbj20w2nrgwugce7n3hj+mrejt/nzkg5tb2zvl3cre/shhufx4pc+ihcpcqxgn+nchalpcce8ssfew5higpsudf3at+4mhzawj2l2cx9gn4ysrgcaolervl52aq5tatkyytjo1tmoyg3aldr1za2lzut70oqoz61vrpmeuok8tqya1ukdrvb+ccyssedojkbrizjmxdfpijueuzxunetigaaynekqogyewbrr4ktprshnrqcrvmakv1n8tkqyfmie+6gyhnipvlxf/80ajdk7dlla4kzih5aigobqm9dwifuw4rplofygie3wrjqzqzsfvkbuvgrx68jrp24bvmoy7zq3dloiogznwdi6aba5ag9yclugbbb7bm3gfb9qt9qk9ax/l1pjwzjycp9a+fwac4p1/</latexit> FFT en Matlab (T, sampling period) Entre dos puntos hay: 2 N =

39 <latexit sha1_base64="kdyl5jcbx45ehka18/eyfjclo9e=">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</latexit> FFT en Matlab (T, sampling period)! s 2 = T = Entre dos puntos hay: 2 NT = <latexit sha1_base64="kthktys0ren5vichjqkxbjptdxq=">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</latexit>

40 <latexit sha1_base64="kdyl5jcbx45ehka18/eyfjclo9e=">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</latexit> FFT en Matlab (T, sampling period)! s 2 = T = Entre dos puntos hay: 2 NT = <latexit sha1_base64="kthktys0ren5vichjqkxbjptdxq=">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</latexit> POR NYQUIST ESTO NO TIENE VALOR!!! NO TIENEN SENTIDO!! SI EL MUESTREO EL TIEMPO ESTA BIEN HECHO, PODEMOS VER SOLO HASTA LA FRECUENCIA! s!!! 2 = T =

41 <latexit sha1_base64="cif0dshn8pxautophuvhf2rqbtg=">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</latexit> <latexit sha1_base64="lm0uk5lillmuya82l/dpoho9+l8=">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</latexit> FFT en Matlab (T, sampling period) Entre dos puntos hay: 2 NT = <latexit sha1_base64="kthktys0ren5vichjqkxbjptdxq=">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</latexit> Numero de puntos: N 2 = 25.5 (26; en esta figura falta un punto)! s 2 = T =

42 en MATLAB Estimando la TF de una señal continua # Si queremos estimar la TF de la señal continua! Ts=.001; t=0:ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);! X=fft(x,N);! Omega=(0:(N-1))*(2*pi/N);! %Esta sería la frec. discreta! Fs=1/Ts; Ws=2*pi*Fs;! X_m = Ts*X(1:N/2);! omega = Omega(1:N/2)/Ts;! %También omega = Omega(1:N/2)*fs;! %También omega = (0:(N/2-1))*Ws/N; Resolución espectral (rads/seg)! figure;! subplot(2,1,1); plot(omega,abs(x_m));! subplot(2,1,2); plot(omega,angle(x_m));! %Ojo, pintamos la mitad 67

43 en MATLAB Estimando la TF de una señal continua # Si queremos estimar también la parte negativa de la TF! Ts=.001; t=0:ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);! X=fft(x,N); X_c = fftshift(x);! Omega=(-N/2:(N/2-1))*(2*pi/N);! %También Omega= pi:(2*pi/n):pi;! %(sigue) Omega=Omega(1:end-1);! X_c = Ts*X_c; omega = Omega/Ts;! %También omega = -(Ws/2):(Ws/N):(Ws/2);! % (sigue) omega=omega(1:end-1);! figure;! subplot(2,1,1);! plot(omega,abs(x_c));! subplot(2,1,2);! plot(omega,angle(x_c)); 68

44 en MATLAB Estimando la TF de una señal continua # Si queremos que las unidades de la TF sean Hz! Ts=.001; t=0:ts:.999; N=length(t); x=sinc((t-.5)/.01);! X=fft(x,N);! X_c = Ts*fftshift(X);! Fs=1/Ts;! f=(-fs/2):(fs/n):(fs/2);! f=f(1:end-1);! figure;! subplot(2,1,1);! plot(f,abs(x_c));! axis([-fs/2 Fs/2 0 max(abs(x_m))])! subplot(2,1,2);! plot(f,angle(x_c));! axis([-fs/2 Fs/2 -pi pi]) 69

45 en MATLAB en Matlab: otros apectos # Qué ocurre si tenemos una señal fuera del intervalo [0,N-1]?! Tenemos que corregirlo nosotros, desplazándola para llevarla al intervalo [0,N-1]! La TF cambia (desplazar en tiempo = multiplicar por una exponencial en frecuencia)! n=-6:6; x=n.^2; N=1000; Omega=0:(2*pi/N):(2*pi-2*pi/N);! X=fft(x,N); %Matlab siempre asume que empieza en 0 (no hay que hacer nada)! X_correg = X.*exp(j*6*Omega); %Como no empieza en 0 sino en ==> corregimos Cuál es X y cuál es X_correg?! figure; subplot(2,1,1); plot(abs(x));! subplot(2,1,2); plot(angle(x));! figure; subplot(2,1,1); plot(abs(x_correg));! subplot(2,1,2); plot(angle(x_correg)); 70