SPOSOBY OGRANICZANIA PULSACJI MOMENTU ELEKTROMAGNETYCZNEGO W SILNIKACH PRĄDU STAŁEGO WZBUDZANYCH MAGNESAMI TRWAŁYMI

Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Studia i Materiały Nr 24 2004 Ignacy DUDZIKOWSKI *, Dariusz GIERAK * maszyny elektryczne, magnesy trwałe, moment elektromagnetyczny, pulsacje momentu, ograniczanie SPOSOBY OGRANICZANIA PULSACJI MOMENTU ELEKTROMAGNETYCZNEGO W SILNIKACH PRĄDU STAŁEGO WZBUDZANYCH MAGNESAMI TRWAŁYMI Przeprowadzono analizę polową pulsacji reluktancyjnych momentu elektromagnetycznego w komutatorowych silnikach wzbudzanych magnesami trwałymi. Zbadano skuteczność ograniczania pulsacji momentu od zębów przez zastosowanie następujących sposobów: skosu żłobków wirnika lub skosu magnesów, odpowiedniego rozmieszczenia magnesów na obwodzie stojana, doboru odpowiedniej wartości kąta magnesów, magnesów o różnych wartościach kąta biegunowego. Zastosowano dwuwymiarową polową metodę obliczeń. W celu uwzględnienia wpływu skosu żłobków zastosowano metodę podziału maszyny na warstwy wzdłuż długości wirnika. Analizę przeprowadzono na przykładzie silników dwubiegunowych. 1. WSTĘP Pulsacje momentu elektromagnetycznego występujące w maszynach wzbudzanych magnesami trwałymi są zjawiskiem niekorzystnym. Powodują wibracje mechaniczne, hałas oraz dodatkowe straty mocy w maszynie. Istnieje zatem potrzeba ich ograniczania, co realizuje się najczęściej przez odpowiednie zaprojektowanie obwodu magnetycznego maszyny. Pulsacje momentu elektromagnetycznego w silnikach komutatorowych wzbudzanych magnesami trwałymi są wynikiem sumowania się dwóch składowych [1, 2, 3]: - momentu od zębów (cogging torque) nazywanego w literaturze polskojęzycznej momentem zaczepowym [4], który powstaje w wyniku współdziałania pola magnetycznego stojana z wirnikiem o kątowej zmienności oporu magnetycznego. Składnik ten określa się przy braku zasilania uzwojenia twornika, - momentu tętniącego (ripple torque) na który składają się: * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-372 Wrocław, ul. Smoluchowskiego 19,.ignacy.dudzikowski@pwr.wroc.pl, dariusz.gierak@pwr.wroc.pl

- moment wzajemny (mutual or alignment torque) generowany przez współdziałanie prądu twornika z polem magnetycznym stojana. Jest to składnik dominujący w większości maszyn z magnesami trwałymi, - moment reluktancyjny (reluctance torque) powstający w wyniku współdziałania prądu płynącego w uzwojeniu wirnika ze stojanem o kątowej zmienności reluktancji. Pulsacje wypadkowego momentu elektromagnetycznego można ograniczać zmniejszając moment zaczepowy. Jest to możliwe przez stosowanie: - skosu żłobków wirnika lub skosu magnesów; skos ten może być zrealizowany jako ciągły lub skokowy [5, 7, 9], - niesymetrycznego rozmieszczenia magnesów na obwodzie stojana, - odpowiedniej liczby żłobków wirnika w stosunku do liczby biegunów, - odpowiedniego kształtu i wymiarów zębów wirnika jak i odpowiedniej grubości szczeliny powietrznej [6, 8], - odpowiedniego rodzaju i wymiarów magnesów [9], - dodatkowych nacięć na zębach wirnika lub poprzez zamknięcie żłobków klinami ferromagnetycznymi [4]. Dostępne prace np. [1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] dotyczą analizy tych zjawisk w maszynach synchronicznych wzbudzanych magnesami trwałymi lub w bezszczotkowych silnikach prądu stałego. Brak jest analizy pulsacji momentu elektromagnetycznego w maszynach komutatorowych, których to zagadnień dotyczy prezentowana praca. 2. CEL I ZAKRES PRACY Celem pracy jest analiza skuteczności ograniczania pulsacji momentu elektromagnetycznego w komutatorowych silnikach magnetoelektrycznych następującymi sposobami: - zastosowanie skosu żłobków wirnika, - dobór odpowiedniej wartości kąta magnesów, - niesymetryczne rozmieszczenie magnesów na obwodzie stojana, - zastosowanie magnesów o różnych wartościach kąta biegunowego (różna szerokość magnesów). Analizę przeprowadzono na przykładzie silnika dwubiegunowego. Wyznaczono kątową zależność momentu zaczepowego i wypadkowego momentu elektromagnetycznego dla następujących rozwiązań: a) silnik o klasycznym rozwiązaniu obwodu magnetycznego (rys.1), b) silnik ze skosem żłobków (rys.5), c) silnik o niesymetrycznym rozmieszczeniu magnesów na obwodzie stojana, realizowanym przez:

- symetryczne przesunięcie magnesów względem osi geometrycznej maszyny o kąt α p (rys.2), - przesunięcie jednego z każdej pary magnesów o kąt α p (rys.3), d) silnik z magnesami o różnej wartości kąta biegunowego (różnej szerokości magnesów) (rys.4). Analizę wpływu rodzaju magnesu trwałego na pulsacje momentu zamieszczono we wcześniejszej pracy [2]. 3. BADANY OBIEKT Podstawowe parametry i dane konstrukcyjne silnika są następujące: napięcie zasilania U 300V, prąd obciążenia I 12A, prędkość obrotowa n 8000obr/min., średnica wirnika D=75mm, liczba żłobków Ż=18, liczba działek komutatora K=36. Zastosowano magnesy ferrytowe typu FXD 380 o wysokości h m =8,8mm i kącie biegunowym α m =135. Jako prąd znamionowy silnika przyjęto wartość I n =6A, co podyktowane zostało względami cieplnymi. Analizowane rozwiązania przedstawiono na rys. 1...5. Rys. 1. Silnik o klasycznym obwodzie magnetycznym (model 1) Fig. 1. Motor with classic magnetic circuit (model 1)

Rys. 2. Silnik o magnesach przesuniętych symetrycznie względem osi geometrycznej o kąt α p (model 2) Fig. 2. Motor with magnets symmetrically shift by angle α p (model 2) Rys. 3. Silnik o jednym magnesie z każdej pary biegunów przesuniętym względem osi geometrycznej o kąt α p (model 3) Fig. 3. Motor with one magnet of each pair of poles shift by angle α p (model 3)

Rys. 4. Silnik z magnesami o różnej wartości kąta biegunowego (α m1 α m2, model 4) Fig. 4. Motor with different of polar angle (α m1 α m2, model 4) 4. WYNIKI BADAŃ 4.1. WYNIKI BADAŃ SILNIKA O KLASYCZNYM ROZWIĄZANIU OBWODU MAGNETYCZNEGO (MODEL 1 RYS.1) Analiza silnika o klasycznym rozwiązaniu obwodu magnetycznego (model 1) zawiera: - obliczenia silnika bez skosu żłobków wirnika, - obliczenia silnika ze skosem żłobków wirnika, - analizę wpływu kąta magnesów na wartość pulsacji momentu. Zastosowano dwuwymiarową polową metodę analizy za pomocą programu wykorzystującego metodę elementów skończonych. W celu zamodelowania skosu żłobków wirnika opracowano model uwzględniający podział maszyny na warstwy wzdłuż długości wirnika. Na model obliczeniowy składa się k warstw (rys. 5), każda reprezentuje 1/k długości maszyny. W każdej warstwie wirnik jest obrócony w porównaniu z poprzednią o kąt γ /k (γ kąt skosu żłobków). Im większa jest przyjęta liczba warstw tym większe jest przybliżenie warstwowego modelu 2D silnika do obiektu rzeczywistego.

W celu wyznaczenia skuteczności zmiany wartości kąta magnesów na ograniczenie pulsacji momentu wykonano obliczenia dla różnych wartości kąta α m. Przyjmowano następujące wartości kąta magnesów α m =125, 128, 130, 132, 135, 137, 140, 143, 145. Okresem kątowej zmienności momentu zaczepowego (rys. 6, 7, 9, 10) jest podziałka żłobkowa. Zakres zmiany w stosunku do kąta podstawowego magnesów α m =135 wynosił ±1/2. α ż (α ż kąt odpowiadający podziałce żłobkowej). Rysunek 6 ilustruje wpływ skosu żłobków, rys. 7 wpływ zmiany kąta magnesów na pulsacje momentu elektromagnetycznego i momentu zaczepowego, a rys. 8 wpływ zmiany kąta magnesów na wartość średnią momentu elektromagnetycznego w silniku. γ γ 2 3 γ 1 4 l 1 4 l 1 4 l 1 3 γ 1 4 l Rys. 5. Ilustracja podziału maszyny na warstwy w celu uwzględnienia skosu żłobków wirnika za pomocą metody 2D Fig. 5. Illustration of machine subdivision into slices to take skew of the rotor slots into account

T, Tz [Nm] 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1 - Tz 2 - Tz 3 - T (In=6A) 4 - T (In=6A) -0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Θ [ ο ] Rys. 6. Kątowa zmienność momentu elektromagnetycznego T i momentu zaczepowego T z w silniku o klasycznym rozwiązaniu obwodu magnetycznego (model 1): 1, 3 silnik bez skosu żłobków; 2, 4 silnik ze skosem, γ=α ż =20 Fig. 6. Angular variation of electromagnetic torque T and cogging torque T z in machine with classic construction of magnetic circuit (model 1): 1, 3 machine without the slotes skew; 2, 4 machine with the slotes skew, γ=α ż =20 1,6 1,4 1,2 T, Tz [Nm] 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0-0,2 1 - Tz 2 - Tz 3 - Tz 4 - Tz 5 - Tz 6 - T (In=6A) 7 - T (In=6A) 8 - T (In=6A) 9 - T (In=6A) 10 - T (In=6A) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Θ [ ο ] Rys. 7. Kątowa zmienność momentu elektromagnetycznego T i momentu zaczepowego T z w silniku (model 1) z magnesami o różnej wartości kąta α m Fig. 7. Angular variation of electromagnetic torque T and cogging torque T z in motor (model 1) with different of polar angle α m : 1, 6 α m =130 ; 2, 7 - α m =132 ; 3, 8 - α m =135 ; 4, 9 - α m =137 ; 5, 10 - α m =140

T [Nm] 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 125 130 135 140 145 Rys. 8. Zależność wartości średniej momentu elektromagnetycznego T od wartości kąta magnesów α m (model 1) Fig. 8. The relationship between the electromagnetic torque T and the polar angle α m (model 1) α m [ o ] 4.2. WYNIKI BADAŃ SILNIKA O MAGNESACH PRZESUNIĘTYCH SYMETRYCZNIE WZGLĘDEM OSI GEOMETRYCZNEJ (MODEL 2) Ponieważ okresem pulsacji momentu zaczepowego jest podziałka żłobkowa τ ż, któ- 360 rej odpowiada kąt α ż =, przy analizie wpływu kąta przesunięcia magnesów z osi Ż geometrycznej na pulsacje momentu wartość tego kąta wyrażano za pomocą kąta α ż. Kąt przesunięcia magnesów z osi geometrycznej: α p Wartość współczynnika k zmieniano w zakresie = k (1) α ż 1... 10 Przykładowe wyniki obliczeń zamieszczono na rysunkach 9, 10 i 12. 1 2. Rys. 9. Rozpływ strumienia magnetycznego w przekroju silnika z magnesami przesuniętymi symetrycznie względem osi geometrycznej (model 2) Fig. 9. Magnetic flux distribution in a cross-section of machine (model 2)

T, Tz [Nm] 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1 - Tz 2 - Tz 3 - Tz 4 - Tz 5 - Tz 6 - T 7 - T 8 - T 9 - T 10 - T -0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Rys. 10. Kątowa zmienność momentu elektromagnetycznego T i momentu zaczepowego T z w silniku o magnesach przesuniętych symetrycznie względem osi geometrycznej o kąt α p (model 2) Fig. 10. Angular variation of electromagnetic torque T and cogging torque T z in machine with magnets symmetrically shift by angle α p (model 2): 1, 6 - α p =0 ; 2, 7 - α p =1/10. α ż =2 ; 3, 8 - α p =1/4. α ż =5 ; 4, 9 - α p =0,4. α ż =8 ; 5, 10 - α p =1/2. α ż =10 4.3. WYNIKI BADAŃ SILNIKA O MAGNESACH PRZESUNIĘTYCH WZGLĘDEM OSI GEOMETRYCZNEJ (MODEL 3) Θ [ ο ] Kąt przesunięcia magnesów z osi geometrycznej: α p Wartość współczynnika k zmieniano w zakresie = k (2) Amplituda momentu zaczepowego w modelu 3 dla kąta przesunięcia magnesu α p- =1/2. α ż =10 jest taka sama jak dla modelu 2 dla kąta przesunięcia magnesów α p- =1/4. α ż =5. Przykładowe wyniki obliczeń zamieszczono na rys. 11 i 12. α ż 1... 10 1 2.

T, Tz [Nm] 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1 - Tz 2 - Tz 3 - Tz 4 - Tz 5 - Tz 6 - T 7 - T 8 - T 9 - T 10 - T -0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Rys. 11. Kątowa zmienność momentu elektromagnetycznego T i momentu zaczepowego T z w silniku o magnesach przesuniętych względem osi geometrycznej o kąt α p (model 3) Fig. 11. Angular variation of electromagnetic torque T and cogging torque T z in machine with magnet shift by angle α p (model 3): 1, 6 - α p =0 ; 2, 7 - α p =1/10. α ż =2 ; 3, 8 - α p =1/4. α ż =5 ; 4, 9 - α p =0,4. α ż =8 ; 5, 10 - α p =1/2. α ż =10 1,30 Θ [ ο ] 1,25 Model 2 Model 3 T [Nm] 1,20 1,15 1,10 0 2 4 6 8 10 α p [ o ] Rys. 12. Zależność wartości średniej momentu elektromagnetycznego T od wartości kąta przesunięcia magnesów α p (model 2 i 3) Fig. 12. The relationship between the electromagnetic torque T and the angle of shift α p (model 2 and 3) 4.4 WYNIKI BADAŃ SILNIKA Z MAGNESAMI O RÓŻNEJ WARTOŚCI KĄTA BIEGUNOWEGO (α m1 α m2, MODEL 4). W celu wyznaczenia skuteczności wpływu zastosowania magnesów różniących się między sobą (w każdej parze biegunów) wartością kąta (α m1 α m2 ) na ograniczenie momentu zaczepowego wykonano obliczenia dla różnych wartości α m1 α m2 =k. α ż. 1 Przyjmowano k =... 1. Zachowano stałą wartość α m1 +α m2 =2. α m =270. 10 Przykładowe wyniki obliczeń zamieszczono na rys. 13.

T, Tz [Nm] 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 1 - Tz 5 - T (In=6A) 2 - Tz 6 - T (In=6A) 3 - Tz 7 - T (In=6A) 4 - Tz 8 - T (In=6A) -0,2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Θ [ ο ] Rys. 13. Kątowa zmienność momentu elektromagnetycznego T i momentu zaczepowego T z w silniku z magnesami o różnej wartości kąta biegunowego (model 4) Fig. 13. Angular variation of electromagnetic torque T and cogging torque T z in machine with different of polar angle (model 4): 1, 5 α m1 α m2 =0 ; 2, 6 α m1 α m2 =1/4. α ż =5 ; 3, 7 α m1 α m2 =0,4. α ż =8 ; 4, 8 - α m1 α m2 =1/2. α ż =10 5. WNIOSKI Pulsacje momentu elektromagnetycznego określono za pomocą współczynnika: Tmax T ε = min (3) T av gdzie: T max wartość maksymalna momentu, T min wartość minimalna momentu, T av wartość średnia momentu elektromagnetycznego. W tabeli 1 zamieszczono obliczone wartości amplitudy momentu zaczepowego, wartości współczynnika ε oraz wartości średnie momentu elektromagnetycznego. Z przeprowadzonych badań wynikają następujące wnioski: 1) Największe ograniczenie momentu zaczepowego uzyskuje się przy zastosowaniu skosu żłobków wirnika o jedną podziałkę żłobkową. Moment zaczepowy jest wówczas praktycznie ograniczony do zera (rys. 6). Badania przeprowadzono dla kąta skosu żłobków w przedziale (0,5..1,1). α ż. Dla wartości kąta skosu żłobków γ α ż uzyskuje się mniejsze ograniczenie momentu zaczepowego. Pulsacje momentu elektromagnetycznego są większe od pulsacji momentu zaczepowego. Zdaniem autorów wynika to ze zmiany stanu nasycenia zębów wirnika spowodowanego przepływem prądu przez uzwojenie (rys. 6).

Tabela 1. Wartości współczynnika pulsacji ε, amplitudy momentu zaczepowego T z i wartości średnie momentu elektromagnetycznego T av w różnych modelach silnika Table 1. Pulsation factor ε, cogging torque T z and average electromagnetic torque T av in different models of motor Model ε T av [Nm] T z [Nm] Model 1: - bez skosu żłobków 0,173 1,212 0,100 - ze skosem żłobków 0,028 1,227 0,010 α m =135 0,5. α ż =125 0,197 1,180 0,106 α m =135 0,35. α ż =128 0,190 1,209 0,109 α m =135-0,25. α ż =130 0,197 1,211 0,118 α m =135-0,15. α ż =132 0,196 1,222 0,112 α m =135 0,173 1,212 0,100 α m =135 +0,1. α ż =137 0,153 1,227 0,086 α m =135 +0,25. α ż =140 0,174 1,195 0,049 α m =135 +0,4. α ż =143 0,191 1,207 0,090 α m =135 +0,5. α ż =145 0,305 1,193 0,108 Model 2: α p =0 0,173 1,212 0,100 α p =0,1. α ż =2 0,163 1,212 0,069 α p =0,25. α ż =5 0,142 1,199 0,053 α p =0,35. α ż =7 0,160 1,173 0,054 α p =0,4. α ż =8 0,147 1,165 0,060 α p =0,5. α ż =10 0,240 1,182 0,108 Model 3: α p =0 0,173 1,212 0,100 α p =0,1. α ż =2 0,216 1,211 0,102 α p =0,25. α ż =5 0,181 1,187 0,057 α p =0,35. α ż =7 0,181 1,175 0,059 α p =0,4. α ż =8 0,152 1,166 0,051 α p =0,5. α ż =10 0,156 1,167 0,053 Model 4: α m1 α m2 =0 0,173 1,212 0,100 α m1 α m2 =0,1. αż=2 0,149 1,215 0,087 α m1 α m2 =0,25. α ż =5 0,168 1,224 0,079 α m1 α m2 =0,4. α ż =8 0,153 1,218 0,071 α m1 α m2 =0,5. α ż =10 0,147 1,213 0,060 α m1 α m2 =0,6. α ż =12 0,143 1,208 0,064 α m1 α m2 =0,75. α ż =15 0,152 1,201 0,065 α m1 α m2 =0,9. α ż =18 0,159 1,195 0,061 α m1 α m2 =α ż =20 0,156 1,205 0,064

2) Przez zmianę wartości kąta biegunowego magnesów ograniczono dwukrotnie amplitudę pulsacji momentu zaczepowego w silniku (rys. 7). Pulsacje momentu elektromagnetycznego uległy ograniczeniu w mniejszym stopniu. 3) Symetryczne przesuwanie magnesów względem strefy geometrycznej spowodowało zmniejszenie momentu zaczepowego o 50% (rys. 10). Przesuwanie jednego z każdej pary magnesów spowodowało zmniejszenie momentu zaczepowego również o 50% (rys. 11). Graniczna wartość kąta przesunięcia magnesów ze strefy geometrycznej wynika z konieczności zachowania minimalnej szerokości strefy międzybiegunowej. 4) Zastosowanie magnesów o różnych szerokościach (α m1 α m2 ) umożliwiło zmniejszenie momentu zaczepowego o 40% (rys. 13) i zmniejszenie pulsacji wypadkowego momentu elektromagnetycznego również o 40%. 5) Wykonana analiza obliczeniowa wykazała że zmniejszeniu wartości momentu zaczepowego nie zawsze odpowiada analogiczne zmniejszenie pulsacji momentu elektromagnetycznego. Dlatego przy rozpatrywaniu skuteczności różnych metod należy brać pod uwagę zarówno ograniczenie momentu zaczepowego jak również ograniczenie pulsacji momentu elektromagnetycznego. 6) Przy analizie problemu należy również brać pod uwagę wpływ poszczególnych sposobów ograniczania pulsacji momentu na wartość średnią momentu elektromagnetycznego (rys. 8, 12). LITERATURA [1] Bianchi N., Bolognani S., Reducing Torque Ripple in PM Synchronous Motors by Pole Shifting, International Conference on Electrical Machines ICEM2000, Espoo, Finland, 28-30 August 2000, pp. 1222-1226. [2] Dudzikowski I., Janiszewski S., Gierak D., Polowo-obwodowa analiza momentu elektromagnetycznego w komutatorowym silniku magnetoelektrycznym, Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej Nr 54, Seria: Studia i Materiały Nr 23, Wrocław 2003, s. 15-28. [3] Jahns T.M., Song W.L., Pulsating Torque Minimization Techniques for Permanent Magnet AC Motor Drives A Review, IEEE Trans. on Industrial Electronics, Vol. 43, No. 2, April 1996, pp. 321-330. [4] Łukaniszyn M., Wróbel R., Jagieła M., Moment elektromagnetyczny silników prądu stałego wzbudzanych magnesami trwałymi, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej Nr 1501, Seria: Elektryka z.177, Gliwice 2001, s. 247-254. [5] Łukaniszyn M., Wróbel R., Jagieła M., Optymalizacja kształtu magnesów trwałych w bezszczotkowym silniku prądu stałego, Mat. XXXIX Symp. Masz. Elektr. SME 2003, Gdańsk-Jurata 2003. [6] Mrozek A., Charakterystyki eksploatacyjne synchronicznych silników o magnesach trwałych z ograniczonymi pulsacjami momentu, Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, Seria: Elektryka w druku.

[7] Pochanke A., Moment silników bezzestykowych z magnesami trwałymi w stanie bez prądu, Prace XII Międzynarodowego Symp. Mikromaszyny i Serwonapędy 2000, s. 295-302, Kamień Śląski 2000. [8] Szczypior J., Wpływ kształtu zębów na moment reluktancyjny w bezszczotkowym silniku z magnesami trwałymi, Mat. XXXIX Symp. Masz. Elektr. SME 2003, Gdańsk-Jurata 2003. [9] Szczypior J., Minimalizacja momentu reluktancyjnego w bezszczotkowych silnikach z magnesami trwałymi, Mat. XXXVIII Symp. Masz. Elektr. SME 2002, Cedzyna-Kielce 2002, s. 169-180. METHODS OF REDUCTION ELECTROMAGNETIC TORQUE PULSATIONS IN DC PERMANENT MAGNET MOTORS Electromagnetic torque pulsations in permanent magnet machines are undesirable: they generate mechanical vibrations, noise and stray power losses in the machine and so they must be reduced. This is usually done through the proper design of the machine magnetic circuit. The effectiveness of methods of reducing electromagnetic torque pulsations in permanent magnet commutator motors is analysed. The analysis was carried out for bipolar motor. An angular relation between the cogging torque and the resultant electromagnetic torque was determined for: a) motor with classical magnetic circuit (fig. 1), b) motor with skewed slots (fig. 5), c) motor with an asymmetric arrangement of magnets on the stator s circumference, achieved through: - symmetric shifting of the magnets by angle α p relative the machine s geometric axis (fig. 2), - shifting one magnet in each pair of magnets by angle α p (fig. 3), d) motor with magnets with different polar angles (different magnet width) (fig. 4). A two-dimensional field calculation method was used.