MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 9 (98) ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI PRĘ TOWO- PŁYTOWYCH METODĄ ELEMENTÓW SKOŃ CZONYCH, Z UWZGLĘ DNIENIEM SKRĘ CANIA NIESWOBODNEGO EUGENIUSZ RUSIŃ SKI (WROCŁAW). Wstę p Przeprwadzenie analizy wytrzymał ś ciwej cienkś ciennych knstrukcji prę twpł ytwych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswbdneg metdami tradycyjnymi [] przysparzał wiele trudnś ci natury bliczeniwej pd wzglę dem szybkś ci jak i zakresu bliczeń. W znanych na ś wiecie i w kraju systemach (np. SEZAM- 69, NASKA, WAT- KM) nie uwzglę dnia się technicznej terii VLASOVA []. Ostatni pjawił się wiele publikacji dtyczą cych bliczania prę twych knstrukcji cienkś ciennych z uwzglę dnieniem skrę - cania nieswbdneg, partych na metdzie sił raz metdzie elementów skń cznych [2, 3] z pracwanymi prgramami na EMC. W niniejszej pracy pdejmuje się próbę mż liwie gólneg kreś lenia macierzy sztywnś ci prstką tneg elementu (superelementu) prę tw- pł ytweg. Wyznaczenie macierzy sztywnś ci takieg elementu jest przydatne w knstrukcjach pwtarzalnych raz zmniejsza efektywny czas bliczeń EMC. Zagadnienie rzważ ane jest jak liniwe. Rzważ ania szczegółwe pierają się na metdzie elementów skń cznych, z uwzglę dnieniem technicznej terii WLASOVA []. 2. Okreś lenie macierzy sztywnś ci elementu prstką tneg prę tw- płytweg Macierz sztywnś ci elementu prę tw- płytweg wyznaczamy analgicznie jak w pracy [4], metdą superpzycji. Okreś la się macierz sztywnś ci pł yty, a nastę pnie rusztu, pkazaneg na rys., składają ceg się z czterech prę tów cienkś ciennych. Macierz sztywnś ci elementu prę tw- pł ytweg wyznacza się w gólnej pstaci jak (2-.) [/ c _ P ]= [Kl[k p ], gdzie: [k u ] macierz sztywnś ci rusztu jednbwdweg ramy bcią ż ne j przestrzennie, [kp] macierz sztywnś ci elementu pł yty. Prstką tny element płyty płą czny jest z dwlnymi elementami prę twymi n, p, r, s wzdłuż krawę dzi płyty w spsób cią gły (rys; ). Wielkś ci wę złwe dniesine są d si prę tów i pwierzchni ś rdkwej pł yty, pminię t mimś ród prę tów. 5»
576 E. RUSIŃ SKI. Rys. i. Knstrukcja rusztw- płytwa jak zbiór elementów prstką tnych prę tw- pwłkwych. 2.. Macierz sztywnś ci prstką tneg elementu płyty. Analizujemy prstką tny element pł y- ty wę złach i, j, k,, gdzie pczą tek ukł adu współ rzę dnych przyję t w wę źe l i", jak pkazan na rys. 2. W każ dym wę źe l zadane są przemieszczenia {V }. Mają ne trzy składwe: przemieszczenie liniwe u zn w kierunku si z, raz dwa brty a x, a, wkół si x i y. Przemieszczenia wę złów mż na zatem przedstawić w pstaci: (2...) Rys. 2. Prstką tny element płyty.
ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 577 Ugólnine sił y wę zł we dpwiadają ce tym przemieszczenim mż na interpretwać jak jedną sił ę i dwa mmenty. (2..2.) P, Funkcję kształ tu przyję t w pstaci wielmianu [5], w którym wystę puje 2 parametrów: u z = tx a (2..3.) cc 8 x 2 y <x. 9 xy 2 u l y 3 u x 3 y a l2 xy 3 Macierz sztywnś ci, wią ż ąa csił y wę zł we z dpwiednimi im przemieszczeniami węzł ów, dla tak przyję tej funkcji kształ tu, kreś la się na pdstawie kinematyczneg pla przemieszczeń wg [6] w pstaci: (2..4.) ' fc, - / / [b] T [D][b]dxdy a b P wyznaczeniu elementów skł adwych pwyż szeg równania i scał kwaniu trzyman macierz sztywnś ci prstką tneg elementu pł yty, którą przedstawin w tablicy I. 2.2. Macierz sztywnś ci rusztu jednbwdweg. Rzważ any ruszt jest zbudwany z czterech prę tów cienkś ciennych n, p, r, s pł ą cznych ze sbą sztywn (rys. ). Przy pł ą czeni u sztywnym zginanie prę tów jedneg kierunku pwduje zginanie i skrę canie prę tów drugieg kierunku. W zwią zku z tym w wę zł ach mgą wystą pić trzy róż ne wielkś ci statyczne: sił a pprzeczna i dwie skł adwe mmentów. Natmiast w rusztach z prę tów cienkś ciennych przy nieswbdnym skrę caniu pwstaje spaczenie przekrju [], w wyniku czeg w wę źe lwystę puje czwarta skł adwa- bimment. Przedstawiny na rys. ruszt jest pisany wę zł ami /, j, k, I z pczą tkiem ukł adu współ rzę dnych w wę źe l i". W celu wyznaczania macierzy sztywnś ci cienkś cienneg elementu (rys. 3) wykrzy- / y z L -/ i / / y u *k s) Rys. 3. Wydzielny element prę ta cienkś cienneg. stuje się zamieszczne w pracy [] równanie róż niczkwe ką tów brtu przekrju przy nieswbdnym skrę caniu w pstaci : (2.2..) «' -,
I i O H N _ l, i TH IN i-i,-. & *t i*- t Lj ^ J O ^ J H) O Cu <4j O <U ^) <i> <U - f Ol *t O r~- Vj rt tł \ w II II! "* N *-< N \D - sł ii._j ' " Qj O ^ ^J <^ (j ^j ^) 4) f^ ^*" "^.» «i! i» 'ia ««.. ^ '. "-< "Q t i ^. - _ 3? a S «B a -> «^ ^ t S J ^- ^. _^ "* 5s I %. ^_^ J^ i 2,, 2 «M S w ^T"^ - "" I ^- ^ S ^ «., " "- <3 «- * * ^ a 2 - lx " ^ ^ - "? ^ ^ a *»i» ««^ ^ ^^ u ii C ff "^ - «a " t»> t * n N M M «- 3 * 2-3 ^ " «^ i i i % i 2 s c "i. T A 2 i «u II u II u II II II u «_ ^ ff «<? ff, c «s W3 5 " II [578]
ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 579 raz równanie si ugię cia prę ta (2.2.2.) EI y z = - Mg gdzie: E mduł Yunga, G mduł Kirchhffa, I d mment bezwł adnś i c przekrju na skrę canie, J m gł ówny wycinkwy mment bezwł adnś i c przekrju, I y mment bezwł adnś i c przekrju na zginanie. Z przedstawinych pwyż szych równań róż niczkwych wyznaczn macierz sztywnś ci dla prę ta cienkś cienneg (rys. 3), którą zamieszczn w tablicy 2. Tablica 2. Macierz sztywnś ci cienkś cienneg elementu prę ta. A 3 4 5 6 7 - B Ą - B M - P R P 2 [*,] = A = 5 = F = 2237, L 3 6EIy L 2 AEIy L Gh ~k 2 = EJ m S S Y 2EI, L F M B A E - P M T S p s T B F 3 4 5 6 7 8 M = - [k csh(ł L)- sinh(fcz,)], gk - [csh(/ ti)-, l] ~[sinh(,kl)- kl], qk q = 2 H,sinh(H/ )- 2csh(fcL) Z" T gdzie: L przyjmuje wartś ci a lub b. k- sidh{kl), P kreś leniu macierzy sztywnś ci prę ta, kreś lamy macierz sztywnś ci rusztu jednbwdweg wedł ug nastę pują ce j zależ nś : ci (2.2..) gdzie: [C] macierz transfrmacji z ukł adu rusztu jednbwdweg d ukł adu lkalneg prę ta.
58 E. RUSIŃ SKI Macierz transfrmacji przedstawia zależ nść (2.2.2.) [C] gdzie: (2.2.3.) J[CJ [ [C E ]\ ' csy siny siny csy Ką t y w tym przypadku przyjmuje dwie wartś ci, zależ nie d płż enia prę ta, w ruszcie jednbwdwym: lub jt/ 2. Macierz sztywnś ci elementarneg rusztu jednbwdweg [k u ] przedstawin w tablicy 3. 2.3. Macierz sztywnś ci elementu prstką tneg prę tw- płytweg. Znają c macierze sztywnś ci elementów, pł yty [k u ] (tabl. ) raz jednbwdweg rusztu [k p ] (tabl. 3) wyznacza się Rys." 4. Prstką tny element prę tw- płytwy. macierz sztywnś ci elementu prę tw- płytweg [fc _ p ] na zasadzie superpzycji jak t pkazan na rys. 4. Zagadnienie sprwadza się d ddania dpwiednich składników d siebie. Ddawania teg nie mż na zrbić wprst, gdyż macierz sztywnś ci [k u ] ma w wę źe l4 składwe (u Zf, x t, a Xl, a y,) natmiast macierz sztywnś ci pł yty ma w wę źe lp 3 skł adwe (u Zl, <x Xl, a y,) W macierzy sztywnś ci płyty brakują ce wiersze i klumny pchdzą ce d deplanacji przekrju prę ta uzupełnia się zerami, w wyniku czeg trzymuje się nwą macierz [k*]. Wówczas równanie (2.) przyjmuje pstać: (2.3..) [fc H _j = [jy[fcji, gdzie: [k%] macierz sztywnś ci elementu płyty z zerwą deplanacją przekrju. Ze wzglę du na wymiary macierzy sztywnś ci [k u _ p ] przedstawia sieją w frmie: (2.3.2.) [*»-J = Odpwiednie pdmacierze [k t ], 4, 5 i 6. [k 2 ] i [k 3 ] zamieszczne są w klejnych tablicach 3. Prgram PPLY Pwyż ej przedstawina macierz sztywnś ci cienkś cienneg elementu prę tw- płytweg, psł uż yła d zbudwania prgramu PPLY. parteg na metdzie elementów skń cznych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswbdneg. Prgram ten napisan w ję zyku
^ xą ^ O - i O ^ O O O O ^ O O ^ C ą -! L.. i ^ a J - t - ł ^ t c J T "" ŁJ " - 5?! n ba < s n, Y c C ^> f. - *- *Ą >? Se S ^ ~* i * & i - ^ - ^ ^ _ą> s a s j ' O c q - ^ v I. f - - y f J», h, < 4 f C «, @ M < f *' ^ ] J* * v; - "5 f ^ i. ""i 35 ^ 3 " M NT ' "3 X. ^ 2. ' ^ u 3 - II EC I II [58]
i-i w m 9 H H T u r I tu 5 ft," O a, K T C * H fir fi t? <? ft s E ft? B? J h 5 M N 3 [582]
i H (S m *t ir\ *J5 Ifu i O CO I! I I E OH a u r M V) O f) ft? Ol tu* t^ (u ia CO <C M O O n TH ^> r a, < w iir «r w u c? Xl et H [583)
VD O T i CO i I an % in T S f "u c Ł i I O hi CO K u 'Ł. O ^j 5 B 2 "33 E u CO " J t T? @ CO - 5 a. a H li 3 [584]
ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 585 FORTRAN 9 i uruchmin g na maszynie cyfrwej serii ODRA 3. Obliczać mż na dwlne knstrukcje płaskie bcią ż ne przestrzennie, składają ce się z elementów: prę tw- pł ytwych ( elementach prstką tnych), prę twych (ruszty), pł ytwych. Prę ty mgą być dwlnym, lecz stałym przekrju, a w pł ą czeniu z pł ytą stanwią jej ż ebrwanie lub wzmcnienie brzegów. Obcią ż eni e zewnę trzne mże być stał e cią głe lub skupine przykładane w wę złach elementów. W danym d prgramu należy pdać dyskretne wielkś ci gemetryczne prę tów i płyty. Jak wyniki trzymuje się przemieszczenia wę złów knstrukcji (u z,x, a x, a y ) raz siły wewnę trzne w elementach prę twych i płytwych. Pnadt prgram PPLY liczby w każ dym elemencie prę twym naprę ż enia : gną ce (er 9 ), nrmalne wycinkwe (a m pchdzą ce d bimmentu), styczne d San- Venanta (T ), styczne wycinkwe (r m ), zredukwane (<r 2 wg hiptezy Hubera), raz w elemencie płyty naprę ż eni a a x, a y, r xy i zredukwane a z. 4. Przykłady liczbwe Na pdstawie pracwaneg prgramu rzwią zan szereg prstych przykładów liczbwych. Jak pierwszy przedstawin przykład ramy płaskiej (rys. 5) bcią ż ne j przestrzennie, której wytrzymałść bliczn dwiema metdami, pwyż szą z uwzglę dnieniem skrę - cania nieswbdneg (PPLY) raz bez skrę cania nieswbdneg (WAT- KM). Wyniki bliczeń wedł ug metd zstał y przedstawine w tablicach 7 i 8. Analiza naprę ż eń stycznych (tabl. 7) wykazała, że system WAT- KM daje zawyż ne wartś ci naprę ż eń stycznych (w tym przypadku 6,5%) przy jednakwym lub mniejszym mmencie skrę cają cym w prównaniu z przedstawiną metdą bliczeń. Rzbież nść Q rdzaj prfilu I I nr prę ta Rys. 5. Mdel ramy skrę canej.
Tabela 7. Zestawienie wewnę trznycli mmentów skrę cają cych i naprę ż eń stycznych w pszczególnych elementach ramy (prównanie z nieswbdnym skrę caniem). Nr prę ta [kgcm] PPLY [kgcm] M* [kgcm] KM- WAT M s [kgcm] [MPa] PPLY [MPa] [MPa] KM- WAT [MPa] [%] 2 3 4 5 6 7 8 9-798, 798, 959, 959, - 798, - 798, 959, 959, - 489,3-6,5-6,5 92,6 92,6-6,5-6,5 92,6 92,6-393,6-2398,6-2398,6 2879,8 2879,8-2398,6-2398,6 2879,8 2879,8-3683, - 29,5-29,5 2882,9 2882,9-29,5-29,5 2882,9 2882,9 4,59 4,59 23,5 23,5 4,59 4,59 23,5 23,5 23, 8,3 8,3 3,68 3,68 8,3 8,3 3,68 3,68 48,9 48,9 27,8 27,8 48,9 48,9' 27,8 27,8 58,9 58,9 7,6 7,6 58,9 58,9 7,6-7,6-6,9-6,9-6,5-6,5-6,9-6,9-6,5 6,5 *M, = - ; PPLY system party na metdzie elementów skń cznych z uwzglę dnieniem skrę cania nieswbdneg, KM system party na metdzie elementów skń cznych (bez skrę cania nieswbdneg) pracwany przez KMS i Wytrz. Mat. WAT. Tabela 8. Zestawienie maksymalnych naprę ż eń nrmalnych i zastę pczych w elementach ramy skrę tnej (prównanie z nieswbdnym skrę caniem). Nr prę ta MPa PPLY MPa K MPa KM- WAT <y, MPa ^(P- K)i / PPLY MPa KM- WAT MPa / 2 3 4 5 6 7 8 9 7,389 7,389,99,99 7,389 7,389,99,99, 237, 237, 75,39 75,39 237, 237, 75,39 75,39 276,87 244,5 244,5 77,38 77,38 244,5 244,5 77,38 77,38 276,87 7,397 7,397 2,576 2,576 7,397 7,397 2,576 2,576, 96,9 96,9 96,7 96,7 96,9 96,9 96,7 96,7 258,7 258,7 9,57 9,57 258,7 258,7 9,57 9,57 2,3 2,3 22,4 22,4 2,3 2,3 22,4 22,4 52,8 52,8-26, - 26, 52,8 52,8-26, - 26, ; ; a = <fg naprę ż eni a gną ce, tf w nrmalne naprę ż eni a wycinkwe (pchdzą ce d nieswbdneg skrę cania), zastę pcze wg hiptezy Hubara. at naprę ż enia. [386]
I ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 587 ta wynika stą d, że przy skrę caniu nieswbdnym prę tów cienkś ciennych cał kwity mment skrę cają cy jest równy (4..) Af s = mmentwi de San Venanta (M v ) i mmentwi gię tn- skrę tnemu (M a ), natmiast w metdzie bez skrę cania nieswbdneg (system WAT- KM) przyjmuje się, że mment całkwity skrę cają cy (4.2) M s = M v, jest równy mmentwi de San Venanta, w wyniku czeg trzymuje się nieadekwatne naprę ż eni a styczne. Z prównania naprę ż eń nrmalnych (<r ) bu metd w tabl. 8 wynikają duże rzbież nś, cipnieważ w metdzie z uwzglę dnieniem skrę cania nieswbdneg są ne równe (4.3.) a n = g a m, tzn. sumie naprę ż eń gną cych (cr g ) i wycinkwych (<r m ) pchdzą cych d bimmentu. W metdzie (WAT- KM) bez skrę cania nieswbdneg naprę ż eni a nrmalne są równe naprę ż enim gną cym (4.4) a n = g? Z prównania naprę ż eń zastę pczych (tabl. 8) wynika, że błą d w bliczeniach prwadznych bez uwzglę dnienia terii prę tów cienkś ciennych jest znaczny i sią ga w tym wypadku 52,8%. Oprócz teg należy zwrócić uwagę na maksymalne naprę ż eni a (przekrój niebezpieczny), które wedł ug bu metd są w róż nych przekrjach ramy (rys. 5). Drugim przykładem jest płyta kwadratwa iztrpwa (rys. 6), pdparta w narż ach i bcią ż na równmiernie (q). W tabl. 9 prównan wyniki analizy. Rys. 6. Płyta kwadratwa iztrpwa bcią ż na równmiernie. metdą elementów skń cznych trzymane prgramem PPLY z przykładem Zienkiewicza [7] i innymi rzwią zaniami przybliż nymi. W tym przypadku, gdzie kncentracja sił w narż ach kmplikuje zagadnienie, uzyskan dsyć dbrą zgdnść zarówn przemieszczeń, jak i naprę ż eń. Przy bardziej zagę szcznej siatce pdział u na elementy uzyskują się wię kszą dkładnść i zbież nść wyników. x Trzecim przykładem liczbwym jest knstrukcja prę tw- pł ytwa skrę cana asymetrycznie. Przedstawiną knstrukcję na rys. 7 pdzieln na trzy elementy
588 E. RUSIŃ SKI Tablica 9. Zestawienie przemieszczeń kwadratwej płyty liczne róż nymi metdami. Obcią ż eni e Siatka cią głe (g) u z (ugię cie) Punkt Punkt 2 Mnż nik PPLY Zienkiewicz Marcus Lee i Ballesteras 2x2 4x4 2x2 4x4,45,677,26,65,8,7,27,249,76.,232,28,265 : " ' Dbcią ż eni e siłą skupiną (P) PPLY 2x2 4x4,7695,966,4662,5977 P Punkt ś rdek bku, punkt 2 ś rdek ptyty, Di sztywnść płyty. P= 98,6 N Rys. 7. Knstrukcja prę tw- płytwa skrę cana asymetrycznie. prę tw- pł ytwe (2.3.2.) Analizę wytrzymałś ciwą przeprwadzn MES z uwzglę - dnieniem skrę cania nieswbdneg prgramem PPLY. Ze wzglę du na brak w literaturze pdbnej analizy cienkś ciennej knstrukcji prę tw- pł ytwej, w tabl. prównan wyniki przemieszczeń wę zła pd siłą skupiną dla trzech przypadków knstrukcji: płytwej, ramwej i ramw- pł ytwej. Przeprwadzna analiza trzech przykł adów wykazał a, że przedstawina metda bliczeń cienkś ciennych knstrukcji prę tw- pł ytwych daje wyniki zadawalają ce. Uwzglę d- nienie ddatkweg stpnia swbdy x (deplanacja przekrju prę ta cienkś cienneg), pzwala na sią gnię ci e wyników zbliż nych, dpwiadają cych rzeczywistym w stsunku d tradycyjnej MES (tabl. 7, 8). Pnadt wyprwadzna macierz sztywnś ci pł yty (tabl. ) w prównaniu z wynikami np. Zienkiewicza (tabl. 9) przy tej samej siatce pdziału daje wyniki dkł adniejsze. D la pdział u na elementy 2x2 róż nica wyników wynsi 8%, a przy 4x4 już 6,8% (tabl. 9). Róż nice wyników maleją przy wzrś cie liczby elementów, na jaką knstrukcja zstała pdzielna. Natmiast jest bardz waż ne, że prgram PPLY
ANALIZA STATYCZNA KONSTRUKCJI 589 Tablica. Maksymalne przemieszczenia trzech typów knstrukcji. Przemieszczenia w wę źe i nr 8 ramwa knstrukcja płytwa ramw- płytwa Mnż nik x [l/ m] -,33685 -,2 3-33,5872 9, -,333 4 -,23 i- 2 2 a*[rad] -,42937 -,326984 -,466 8 a, [rad],92,529,79 dla duż ych elementów daje wyniki dkładniejsze d innych metd, a tym samym ptwierdza mż liwść stswania prgramu d analizy wytrzymałś ciwej cienkś ciennych knstrukcji z pdział em na elementy prę tw- pł ytwe. Taki pdział dla knstrukcji pwtarzalnych pzwala w znaczny spsób skrócić efektywny czas liczenia i nie zajmuje tyle pamię ci EMC, jak przy uż yciu systemu ASKA, SEZAM- 69 lub KM-W AT, w których ddzielnie są liczne macierze sztywnś ci pszczególnych prę tów i pł yt. - Literatura cytwana w tekś cie. Y. Z. VLASOV, Tnkstennye uprugie sterzhni. Gsud. izdat. fizik- matem. literatury, Mskva 959. 2. J. H. AROYRIS, D. RADAJ, Steifigkeitsmatrizen diinnwandiger Stbe undstabsysteme. Ingenieur Archity, Nr 4/ 97. 3. E. RUSIŃ SKI, Obliczanie ram samchdwych wedł ug metdy elementów skń cznych i terii prę tów cienkś ciennych,technika Mtryzacyjna nr i 2/ 78. 4. E. RUSIŃ SKI, Analiza knstrukcji prę tw- tarczwychmetdą elementów skń cznych. MTiS, zeszyt 2/ 98. 5. J. S. PRZEMIENIECKI, Thery f Matrix Structural Analysis. McGraw- Hil 968. 6 O. C. ZIENKIEWICZ, Metda elementów skń cznych.arkady, Warszawa 972. 7. O. C. ZIENKIEWICZ, Y. K. CHEUNG, The finite element methd fr analysis f elastic istrpic and rthtrpic slabs, Prc. Inst. Civ. Eng., 28, s. 47-88, 964. P e 3 M M e CTATIMECKHH AHAJIH3 CTEPJKHE- IIAHEJILHfclX KOHCTPYKirHfi METOflOM KOHE^HBIX 3JIEMEHTOB C Y^IETOM CTECHfiHHOrO B pa6te rracah ycbepniehctbobaiihbih n cpabhemn c npiimehheiwbim fl CHX np DJieiweHiB fljia anajneraa TOHKOCTCHHLIX ctep>khenahejilhłix KOHcrpyKipiH. cnc6 nflpa3flenehhh KOHCTPYKIIHH Ha crepache nahenbhbie ajiemembij cctamae H3 H crephmen Ha Kpaax, a TaiKe npefleneha Macrpima JKeTKcTH TaKr snemesxa c yqeim CTec- He'HHr KpjmeHHH. Onpeflenena TaiKe Maipima HanpSDKemnb H BHeiUHaa cruinraah Harpy3Ka 3JienaHejiH. Pa3pa6TaHa nprpamma Ha H3Bn<e OOPTPAH 9 fljin pac^ieia TOHKOcreHHtK KOHnaHejitHtix H crrep>khe- nahejibhbix. 6 Mech. Teret. i Sts. 4/8
59 E. RUSIŃ SKI Summary THE METHOD OF FINITE ELEMENTS IN STATICAL ANALYSIS OF THE ROD- SHIELD CONSTRUCTION, WITH NON- FREE TORSION, TAKEN INTO ACCOUNT The existing finite elements methd has been imprved fr the analysis f thin- walled rd- shield cnstructins. The rd- shield cnstructin cnsist f a thin panel framed with rds n all sides. The stiffness matrix f such elements has been determined by taking int accunt the nn- fre trsin f the rds. The stress- matrix and external cntinus lading matrix f an element have been als determined. The prgram PPLY in FORTRAN 9 language fr calculatins f thin- walled cnstructins has been wrked ut. The prgram applies t calculatin f rd cnstructins, rd- shield cnstructins and panel cnstructins. The prgram has been tested n cmputer Odra 3. The paper has been illustrated with examples t verify the ttal prcedure. Praca zstał a zł ż naw Redakcji dnia 22 paź dziernika 979 rku.