CIAŁA. CIAŁA LICZBOWE.

CIAŁA. CIAŁA LICZBOWE. Są óżne (le ównowżne) defne ł lzowego. Nzęśe zyue sę że est to ło tóe zwe wszyste lzy ntulne oz ego dzłn są ozszezen dodwn nożen lz ntulnyh. WNIOSEK 8. Kżde ło lzowe F zwe ło lz wyenyh. Dowód. Dl dowolne lzy wyene est n Ν lu n Ν n gdze N lzy ntulne. Z defn ł ł lzowego wyn że Ν F oz n F zyl Ζ F. Wystzy tez zyoneć onstuę ł ułów dl eśen lz łowtyh. PRZYKŁAD. Cł lzowy są.n.: ło lz zezywstyh ło lz ; wyenyh ło lz zesolonyh { } ( ) { ; }. Cł ne stnow zó { ; }. PRZYKŁAD. Peśeń Ζ n est łe (nelzowy) wtedy tylo wtedy gdy n est lzą ewszą. Dl Ζ ozwży eleent t że Ζ le Ζ. Wtedy { ; Ζ } z dzłn n welonh zenne eduą stnow ło. Neh F { } zyuey dl żdego F oz. Wtedy ( F ) est łe zeenny. PRZYKŁAD. Dzłn w lzh zesolonyh ożn ttowć dzłn n welonh zenne o wsółzynnh zezywstyh gdze. W nlogzny sosó ożn ozwżyć welony o tzeh th zennyh gdze zyue sę że oz. Otzyuey wtedy ło nezeenne tóego eleenty nzywą sę wtenon. Z owyższego osu wyn że żdy wtenon est ost d gdze d R. Pondto szyo ożn swdzć zgodne z zdny ównoś że n.. DEFINICJA. Stutu ( K ' ' ) est odłe ł ( ) K F ' ' oz ( ' ' ) K K y ). ( F ) est ozszezene ł ( K ) wtedy tylo wtedy gdy ( ) odłe ł ( F ). F wtedy tylo wtedy gdy K est łe (w dlszy ągu ędzey oć K est UWAGA. W dlszy ągu ędzey złdć że ozwżne ł są zeenne (edyny wyąte oże yć wsonne ło wtenonów). Wyn to.n. z nstęuąego twedzen ftu że w zdeydowne węszoś zydów zestzene lnowe ozwż sę wyłązne nd ł zeenny. 5

WNIOSEK 9. Jeżel ( F ) est ozszezene ł ( K ) to ( ) zestzeną lnową nd łe ( K ) gdze dzłn z ł ( ) dzłn zestzen lnowe (ćwzen). F est ówneż F ttuey o DEFINICJA. Stoeń ozszezen ł F względe ego odł K est to wy zestzen lnowe F nd łe K (wy ten oznz sę syole [ F : K ] ). PRZYKŁAD 5. Cło 9 eleentowe z zyłdu est ozszezene ł Ζ ło eleentowe z tego sego zyłdu ozszezene ł Ζ. Cło lz zesolonyh est ozszezene ł lz zezywstyh. Tzy wyenone tu ł są ozszezen ston. Z zy ożn zyąć odowedno: { } { } { }. Nezeenne ło wtenonów est ozszezene ston ł lz zezywstyh. Z zę ożn zyąć { }. Pozue sę też że ło wtenonów est ozszezene ston ł lz zesolonyh. TWIERDZENIE. Podzó K ł F stnow odło wtedy tylo wtedy gdy sełn żdy z nstęuąyh wunów: ) Zwe zynne óżne eleenty ) K [ K ( K )] Dowód. Ozywśe żde ło sełn wun ) ). Złóży tez że wun ) ) są sełnone. N odstwe ) stneą w K ewne eleenty. Zgodne z ) K. Eleenty są óżne wę zynne eden z nh ne est zee neh n.. N oy duge zęś wunu ) y K. Wey uż wę że K. Jeśl K to zyuą w ewsze zęś wunu ) y K. Jeżel eszze to dl w duge zęś wunu ) y K. Zte K wz z żdy eleente zwe eleent zewny oz odwotny (o le ). Pożey tez że dl dowolnyh K ówneż K. My ( ) K o K. Jeżel to K. Jeżel to ( ) K o K. Łązność dodwn nożen zeenność dodwn ozdzelność nożen względe dodwn są sełnone w ły zoze F wę ty dze w ego odzoze K. WNIOSEK. Część wsóln neuste odzny { t } t T ł F. ówneż K odł ł F est odłe Dowód. Zgodne z twedzene łtwo ozue sę że eśl t T K t. Pondto t T K t o t T [ ]. K t TWIERDZENIE 5. Jeżel K est odłe ł F X dowolny odzoe F to zęść wsóln wszysth odł ł F zweąyh K oz X est odłe ł F. (ćwzen) DEFINICJA. Rozszezene odł K ł F o odzó t T K t to X F est to nnesze K X ; odło ł F zweąe K oz X. (Rozszezene to oznzy syole 6

gdy X {... n } to szey K (... n ) w szzególnoś dl { } X szey K. Mówy wtedy że est to ozszezene ł K o eleenty... n ; w szzególnoś o eden eleent.) DEFINICJA 5. Lz zezywst lu zesolon est lgezn (od. zestęn) wtedy tylo wtedy gdy est (od. ne est) ewste ewnego welonu nezeowego o wsółzynnh wyenyh. WNIOSEK. Lz zezywst lu zesolon est lgezn wtedy tylo wtedy gdy est ewste ewnego welonu nezeowego o wsółzynnh łowtyh. DEFINICJA 6. Dl ł F ego odł K eleent F est lgezny względe K gdy stnee nezeowy welon o wsółzynnh z ł K t że est ego ewste. TWIERDZENIE 6. Jeśl est eleente lgezny względe ł K to stnee welon neozłdlny o wsółzynnh z ł K tóego ewste est. Welon ten est dzelne żdego welonu f K [ ] sełnąego wune f. Dowód. Soo est lgezny względe K to stnee g K [ ] t że g. Jeśl g est neozłdlny w K [ ] to tez ewsze zęś twedzen est uż sełnon. Złóży wę że g ne est neozłdlny w K [ ] to oznz że ożn go ozłożyć n zynn neozłdlne g gg... g n. My wę g g g... g n. W ele K ne dzelnów ze wę dl ewnego {...n} us yć g. Neh tez f K [ ] gdze f. Wey (o. wnose 7) że ożn wyonć dzelene z esztą welonu f zez g zyl f g dl ewnyh welonów K [ ] st ( ) < st( g ). Zte f g zyl g. Oznz to że est wsólny ewste welonów g zyl dzel o te welony n oy twedzen. Zgodne z defną nwęszego wsólnego dzeln us dzelć ówneż NWD ( g ) zyl est ewste tego nwęszego wsólnego dzeln. Jednże NWD ( g ) us yć welone stły o g est neozłdlny oz g ne oże dzelć gdze ze względu n wune st ( ) < st. Zte us yć zyl g f. g Z ońowe zęś twedzen 6 wyn że wystęuąy w n welon neozłdlny est wyznzony ednoznzne z dołdnośą do zynn stłego. Możn wę sfoułowć WNIOSEK. Kżdy eleent lgezny est ewste welonu neozłdlnego wyznzonego ednoznzne z dołdnośą do zynn stłego. DEFINICJA 7. Stoeń eleentu lgeznego względe ł K est to stoeń welonu neozłdlnego nd łe K tóego ewste est. Ten welon neozłdlny nzyw sę welone nlny eleentu. 7

UWAGA. Ne stneą unweslne yte ozstzygąe e welony są ozłdlne e ne. Kyte te stneą dl ł lz zesolonyh (ło lgezne donęte) oz dl ł lz zezywstyh (o. twedzene 7). Dl ł lz wyenyh stnee yteu zęśowo ozstzygąe o neozłdlnoś welonów. Nzyw sę ono yteu Ensten est sfoułowne w onższy twedzenu. f... n n n n TWIERDZENIE 7. Jeśl dl welonu o wsółzynnh łowtyh stnee lz ewsz sełną wun ( n ) dl {... n } wyenyh. oz to f est neozłdlny nd łe lz PRZYKŁAD 6. Welon f 5 5 est neozłdlny nd łe lz wyenyh o w yteu Ensten wystzy zyąć 5. Kyteu Ensten ożn stosowć ówneż względe welonów tóe ezośedno ne sełną ego złożeń le ożn e do te ost doowdzć. Jest ozywste że eżel est n n ewste welonu f... n n to est ewste n welonu g f ( ) ( ) ( ) ( ) n... n n. Ozywśe eśl u est ewste welonu g to u est ewste welonu f. Z stnen ewst welonu f w ele K wyn ego ozłdlność w K le ne odwotne. Jedn dzo łtwo ozć (ćwzen) że ozłdlność (od. neozłdlność) welonu f w ele K est ównowżn ozłdlnoś (od. neozłdlnoś) welonu g w ele K gdze ozywśe K. Dl otzyuey g f 5 5. Zte welon g est neozłdlny nd. TWIERDZENIE 8. Dl ł K ego ozszezen F eleentu lgeznego F \ K n est sełnon ówność K {... n ;... n K } gdze n oznz stoeń welonu f nlnego dl. n Dowód. Zwene {... n ;... n K } K wyn ezośedno z defn ozszezen ł. Pozoste udowodnć że n K {... n ;... n K }. Wey że K est nneszy odłe ł F zweąy K. Z defn ł (doze oeślonyh dzłń) wyn że dl dowolne lzy ntulne eleenty ost... nleżą do K. Tze wę ozć że us yć sełnon neówność n. W ty elu ozwży welon g ( ).... Dzel on sę z esztą zez welon f K (zyoneć soe odowedne twedzene!!!). Istneą wę welony [ ] n te że g f st ( ) < n. Zte d d... d n d d d n K. Pondto y g f f wę... dl ewnyh g n tzn.... d d... d n. Oznz to że... nleży do zou wystęuąego o we stone ównoś w teś twedzen. Zó ten zwe K (o wystzy zyąć... n ) oz (o wystzy zyąć... n ). Jeżel ożey że zó ten o dołązenu dzłń stnow ło to żądne zwene ędze udowodnone. N oy twedzen tze ozć że 8

n dl u v {... n ;... n K } n u v uv {... ;... K } ówneż. Ozywśe v. Neh n n n u... n v ozwży dl n v d d... d n dl ewnyh n... n d d... d n K. Wtedy u v ( d ) ( d )... ( n d n ) n zyl est żądne ost. Rozwży welon g d d... d n. Welony f g są względne ewsze o st ( g ) < n st( f ) (stąd ( f g ) ) oz f o welon nlny est neozłdlny. N oy twedzen K [ ] est dzedzną dełów głównyh dl dowolnego ł K zgodne z wnose 7 stneą K [ ] te że f g. W szzególnoś f g le f wę g. Oznz to że g gdze est ost... dl ewnyh... K. Wey uż z ewsze zęś dowodu że ostć t de sę n zeduowć do... n. Tez otzyuey u v u g n n u (... ) (... ) n n n s sn s s... sn n n n t t... t n. s... gdze Identyzne ozedno t ostć de sę zeduowć do UWAGA. Dl ł K ego ozszezen F eleentów lgeznyh F \ K n ogół K K nwet gdy są ewst tego sego welonu. PRZYKŁAD 7. Pewst welonu są. Welon ten est neozłdlny nd (hoć est ozłdlny nd R nd C). My tu oz ( ) le o ( ) ne zwe lz zesolonyh. Dl welonu stneą ztey ewst zesolone (wszyste 5 o nezeowe zęś uoone) onewż ( )( ) (zuwży że nlogzny ozłd y dl welonów tego tyu dowolnego ston) zte są to óżne od ewst ątego ston z edyn są one oeślone wzoe π π ε os sn dl { }. W ty zydu otzyuey 5 5 ( ε ) ( ε ) ( ε ) onewż ε ε ε ε ε ε. ε WNIOSEK. Kżdy eleent ł K de sę ednoznzne zsć w ost... n n n lgeznego. Zó {... } gdze n est stone welonu f nlnego dl eleentu K nd łe K. Dowód. Dug zęść est ozywst. Pozoste swdzć ednoznzność. Jeśl n n... n d d... d n to n ( d ) ( d )... ( n dn ) zyl yłoy ewste welonu tóego stoeń est nższy od ston welonu nlnego szezność dl welonu nezeowego. Zte us yć d d... n d n. stnow zę zestzen lnowe 9

WNIOSEK. Dl ł K ego ozszezen F eleentów lgeznyh F \ K ędąyh ewst tego sego welonu neozłdlnego f K [ ] ł K K są zoofzne. Dowód. Wyn to n. z ftu że dwe zestzene lnowe nd ty sy łe są zoofzne wtedy tylo wtedy gdy ą ten s wy. K F L oz [ F : K ] [ L : F ] n to [ L K ] n Dowód. Neh zą F nd K ędze Β {... } {... } ;... ; n TWIERDZENIE 9. Jeśl :. zą L nd F Β n. Pożey że Β {... } stnow zę zestzen L nd łe K. Wystzy wę ozć że żdy weto L de sę w sosó ednoznzny zsć o on lnow wetoów zou B o slh nleżąyh do ł K. Soo L zą L nd F est Β to stnee zedstwene ednoznzne... n n gdze... n F. Z tego osttnego nleżen ftu że Β est zą F nd K wyn że stneą......... n... n K sełnąe wune...... n n... n. Wtedy otzyuey...... n... n n...... nn... n WNIOSEK. Jeżel K F L to [ L : K ] < [ L : F ] < [ F : K ] <. n TWIERDZENIE. Dl żdego ł K welonu K [ ] ze stnee te ło L ędąe ozszezene ł K że w eśenu [ ] f ston węszego od L welon f ozłd sę n lozyn zynnów lnowyh. Dowód. Stosuey zsdę ndu tetyzne ze względu n stoeń welonu f. Dl welonu ston ewszego (I o nduyny) twedzene est ozywste o dotyzy to sytu gdy f tylo eden ewste to nleżąy do K: tylo [ K : K ]. Możey wę zyąć że f est welone ston węszego od złóży że twedzene est wdzwe dl welonów ston neszego od n. Dl dowolnego ozszezen ł K w szzególnoś zweąego olwe ewste K welonu f stnee ło K. W ty ele f ozłd sę o f ( ) g dl ewnego g K le wtedy st ( g ) < n. N oy złożen nduynego g ozłd sę n lozyn zynnów lnowyh w onsewen f ówneż. DEFINICJA 8. Cło ozłdu welonu f nd łe K est to nnesze ozszezene ł K zweąe wszyste ewst welonu f. PRZYKŁAD 8. Cłe ozłdu welonu nd R est C; welonu ( ) ( ) nd est ( ) ; welonu nd est π π ( ε ) (tz zyłd 7) gdze ε os sn. Ozywśe ożn tu zstąć 5 5 ( ε ) zez ( ε ) ( ε ) zy ( ε ) o te ł są ówne le w zyłdze 7 est elowo zostwon lu. Z zsu ońowego w ty zyłdze wyn edyne że ε ε ε ( ε ) wę ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ) ( ε ). (Poszę uzuełnć sodzelne z zego wyn ówność!!!) Nwązuą do wnosu zuwży że ówneż o że tylo to duge zwe lzy ło est zoofzne z

zesolone. Ne są to ł ozłdu welonu onewż żdne z nh ne zwe wszysth ewstów tego welonu. TWIERDZENIE. Dl dowolne lzy ewsze lzy ntulne stnee ło o eleenth. Jest to ło ozłdu welonu. Dowód. Ozywśe dl est to ło Ζ. Zgodne z twedzene 9 stnee te ło L ędąe ozszezene ł Ζ że w eśenu Ζ [ ] welon f ozłd sę n lozyn zynnów lnowyh zyl ( e ) ( e )... gdze. Pozue sę że eżel ło hteystyę (zyoneć defne hteysty!!!) oz lzy n są względne ewsze to wszyste ewst welonu lzy n są ednootne (ćwzen). Ponewż są względne ewsze to wszyste ewst dugego zynn są óżne e e... e z dzłn z L stnow odło ł L. N óżne od ze. Pożey że { } oy twedzen wystzy ozć że ewst welonu. Otzyuey: ( e e ) ( e e ) e e ( e e ) e e ( e e ) e e oz dl e ( e e ) ( e e ) e ( e ) ( e e ) ( e e ) ( e e ) WNIOSEK 5. Kżde dw ł ozłdu tego sego welonu K [ ] zoofzny ozszezen ł K. Dowód. Kozysty z wnosu stosuey nduę tetyzną. e e są f są TWIERDZENIE. Jeżel K est łe sońzony ąy n eleentów to dl żdego n K est ewste welonu. Dowód. W ele żdy K est eleente odwlny. K est łe (wę eśene) sońzony n oy twedzen oznz to że n o wszysth ne-dzelnów ze est tu n. WNIOSEK 6. Kżde dw ł ąe eleentów są zoofzne. Dowód. Z osttnego twedzen wyn że żdy eleent ł -eleentowego lo est zee lo ewste welonu zyl żdy eleent tego ł est ewste welonu. Zte est to ło ozłdu tego welonu. Stosuey wnose 5. TWIERDZENIE. Dl lzy ntulne n stnee ło ąe n eleentów wtedy tylo wtedy gdy n dl ewne lzy ewsze ewne lzy ntulne. Kżde ło ąe eleentów est zoofzne z łe ozłdu welonu (neozłdlnego) f Ζ [ ] gdze st ( f ). Dowód. Wey uż z wnosu 6 że eśl est lzą ewszą Ν to stnee ło ąe eleentów. Jest to ło ozłdu welonu. Złóży tez że ło K n eleentów. W żdy ele stnee edyn ozywśe

... K gdze est dowolną lzą ntulną. Istneą ożlwoś: lo stnee lz ewsz t że... ; lo t lz ne stnee. To ozuowne est nlogzne w zydu eśen z edyną le z włsnoś ł wyn że w ewszy zydu us to yć lz ewsz wtedy ło K hteystyę wę zwe Ζ o odło. W dug zydu K zwe odło lz wyenyh hteystyę zeo le est zoe nesońzony. Osttezne ło sońzone K us yć ozszezene ł Ζ. Jeśl zez oznzyy stoeń tego ozszezen to wnosuey że K eleentów: dl zy { v...v } żdy eleent K de sę ednoznzne zsć o v... v gdze Ζ. Ay udowodnć dugą zęść twedzen zuwży że zwsze stnee welon f neozłdlny ston o wsółzynnh z ł Ζ (tz n. Zdne st. 9 w odęznu A. Błyn-Bul Alge PWN Wszw 97 dzo zhę do ozwązn tego zdn). N oy twedzen wnosu 5 eśeń Ζ [ ] est dzedzną dełów głównyh. Zgodne z twedzene deł ( f ) o geneowny zez Ζ eleent neozłdlny est sylny. Istnee eofz [ ] [ ] ϕ : Ζ ( f ) (tz twedzene 6) gdze w eśenu lozowy stoąy z we stony ego zee est wstw ( f ). Zgodne z defną zewozu y dl dowolnego g Ζ [ ] : g ϕ ( ( f ) ) ϕ ( g ) g ( f ) ( f ) g ( f ). Zte deł sylny f est ąde eofzu ϕ. N oy twedzen 9 eśeń [ ] ( f ) ostć ą wstwy tego eśen lozowego (ł). Neh g Ζ [ ] [ g ] { h Ζ [ ] ; g ( f ) h} { h Ζ [ ] ; h g ( f )}. Oznz to że óżn g f Ζ est łe. Bdy ą h dzel sę zez f zyl welony g h dą tę są esztę zy dzelenu zez f. Zte żd g wyznzon zez elę zystwn według dełu ( f ) est esztą ls [ ] ( f ) z dzelen g zez f. Ozywśe wszyste te eszty są welon ston neszego od o wsółzynnh z Ζ wę est h. Wystzy tez sozystć z wnosu 6. PRZYKŁAD 9. Wyznzyć ło ąe 8 eleentów. Ozywśe te ło stnee o 8. Zgodne z ozwżn twedzen nleży w Ζ [ ] znleźć welon neozłdlny ston. Może to yć. Gdyy to ył welon ozłdlny to zynne eden z zynnów usły yć welone I ston zyl ły on ewste w Ζ. Łtwo edn zuwżyć że n n ne są ego ewst. Wszyste eszty z dzelen są welon ston ożn zsć wyn dzłń w onższyh telh. Oe tele są syetyzne o dodwne est zeenne w żdy ele nożene est zeenne w żdy ele sońzony. Tele dodwn łtwo swdzć o wystzy t zstosowć wyłązne dzłne odulo. W tel nożen żdy wyn est esztą z dzelen lozynu zez welon. N zyłd w osttn weszu zedosttne olune y onewż

( ) : ( ) Pzyony że eżel welon w dny ele ewst to est ozłdlny le neonezne odwotne. Z owyższyh ozwżń wyn że n. welon 6 ( ) ( ) est ozłdlny w Ζ o że ne on ewstów w Ζ. Dl welonów ston węszego od zstosown w ty zyłdze etod zwodz o n. welon ston ne ąy ewstów w Ζ oże dć sę ozłożyć n lozyn dwóh welonów ston dugego. Wystzy (odone wyże) w Ζ ozwżyć welon ( ) ( ) zuwżyć że o ozłdlnoś żden z eleentów ł Ζ ne est ego ewste. PRZYKŁAD. Znleźć welon neozłdlny w Ζ ston wyznzyć ego ło ozłdu (t dug zęść o doow). Ozywśe welonu neozłdlnego nleży szuć wśód tyh tóe ne ą ewst w Ζ. Swdźy zy doy ędze. Ne on ewst w Ζ. Gdyy ył ozłdlny to usły yć lozyne dwóh welonów ston zyl dy zy stneą Ζ te że ( ) ( ). Wtedy ( ) ( ) ( ). Poównuą wsółzynn zy odowednh otęgh otzyuey ułd ównń:

Rozwżą ewsze osttne ównne otzyuey ltentywę ułdów w Ζ : Podstwą wun z ewszego słdn do ozostłyh tzeh ównń y zyl. W ty osttn ułdze duge ównne est sełnone edyne w zydu gdy. Wtedy edn ne est sełnone ewsze ównne. Dl dugego słdn ltentywy y zyl. Tez stneą ozwązn: (lu odwotne). Zte welon ne est doy o de sę ozłożyć:. Szuy dle. Łtwo ożn zuwżyć że n. welony ne są doe o est h ewste wę są ozłdlne w Ζ. Rozwży. J ozedno otzyuey zyl wę W ewszy zydu y zyl. Odeuą ewsze ównne od tzeego dostey w onsewen le wtedy duge ównne ne est sełnone zyl ne ozwązń. W dug zydu y zyl. Sytu dentyzn ozedno tylo zenły sę ol. Ne ozwązń.

W tze zydu: zyl. Otzylśy dołdne to so o w zydu ewszy wę ozwązń. W zwty zydu: zyl Identyzne w zydu. Zte welon est neozłdlny w Ζ. Wszysth eleentów (eszt z dzelen zez ) est w ty ele 8. Polzy n. wyn nożen dl eleentów. My 5 6 5 6 5 5 6 5 6 : Zte (Poonuę wyonć to zdne doowe w sosó zesołowy zydzelą żdeu eleenty tóe us onożyć. W ten sosó otzyy łą tele nożen z dodwne nt ne ownen eć łootu). UWAGA. W ou ozwżnyh owyże zyłdh eleenty ł sońzonyh są welon. Jest to nezwodn etod onstu ł sońzonyh. Możey edn o ostu oznzyć te welony lte n. n... otzyy (neoeślony lże) zó eleentów z oeślony n nh (w telh) dzłn. Z tel tyh wynne że dn stutu est łe le wyszune ozostłyh włsnoś est dość tudne. Możn też uość zsy ne tą o dodze łe de ozszezn. Wystzy zyoneć że onstuowne ło est ozszezene ł Ζ o nestneąy w Ζ ewste welonu. Kżdy eleent est ost... gdze est włśne ty ewste welonu neozłdlnego ston. PRZYKŁAD. W zyłdze 9 zyuey. Wtedy ozywśe żdy eleent est ost (o dzo łtwo ożn zuwżyć) gdze Ζ. Jeśl tez w sosó nolny wyony dzłn to otzyy doy wyn od wune że uwzględny ż est ewste welonu zyl. Otzyuey n. o otwedz zgodność z telą. 5

DEFINICJA 9. Cło ąe dołdne Glos (oznz sę e syole ( ) eleentów nzyw sę sońzony łe GF od sótu Glos feld) UWAGA 5. Z twedzen onstu zeowdzone w ego dowodze wyn że w zydu ł sońzonyh ozszezene ł Ζ o eleent lgezny est ednoześne łe ozłdu ewnego welonu f neozłdlnego nd Ζ zyl zwe wszyste ewst tego welonu. Stoeń ozszezen tego ł est ówny stonow welonu f. Te stwedzen ne są edn wdzwe w zydu ł nesońzonyh w szzególnoś ł lzowyh (o. zyłdy 7 8). PRZYKŁAD. W zyłdze 9 gdze zyuey o ewste welonu ło Ζ ownno zweć ozostłe dw ewst tego welonu. Z złożen y zuwży że wtedy ( ) ( ) oz ( ) ( ) ( ) ( ) 6 5 6 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] Zte tze ewst welonu neozłdlnego są eleenty nleżąe do ł Ζ ( ). Ozywśe łtwo ożn swdzć że ozostłe eleenty tego ł tzn. ne są ewst tego welonu. PRZYKŁAD. Rozwży welon 6 [ ] 5. Z yteu Ensten wyn że est on neozłdlny nd. Zte eśl est ego ewste to owyższy welon est nlny zgodne z defną 7 wnose [ : ] 5. Ozywśe ło F ozłdu welonu 5 6 zwe w szzególnoś ewste y F. Z twedzen 9 wyn że [ F : ] [ F : ] [ : ] [ F : ] 5. Te ozuowne dotyzy dowolnyh eleentów lgeznyh nd dowolny ł wę wyn stąd WNIOSEK 7. Jeżel F f F est welone nlny dl oz L est łe ozłdu welonu f nd F to [ L : F ] dzel sę zez [ F : F ]. est eleente lgezny nd łe F [ ] TWIERDZENIE. Jeżel welon f est neozłdlny nd łe lzowy F to żden ewste welonu f ne est welootny. Dowód. Neh F ędze łe lzowy. Wtedy n welonh nleżąyh do F [ ] ożey wyonywć oeę óżnzown. Pzyuśćy że est otny ewste welonu f w ele L ego ozłdu gdze. Wtedy otzyuey f ( ) g f ' ( ) g ( ) g'. Stąd wyn że est ówneż ewste welonu f ' F [ ]. Soo dzel welony f f ' F [ ] to dzel ówneż h nwęszy wsólny dzeln h F [ ] tzn. est ewste welonu 6

h le st( h) st( f ) st( f ') st ( f ') < st( f ) wę ( h) st( f ) st <. Wey edn że f est neozłdlny wę h f est ożlwe edyne w zydu gdy h est welone stły óżny od ze. Pzezy to edn teu że h ewste. TWIERDZENIE 5. Jeżel są eleent lgezny względe ł lzowego F to stnee t eleent że F ( ) F ( ). Dowód. Z defn ło lzowe zwe odło lz wyenyh wę nesońzene wele eleentów. Zte eśl f est welone nlny eleentu g est welone nlny eleentu zez... n oz... oznzyy wszyste ewst welonów odowedno f g to stnee d F te że d d dl wszysth {... n} {... } (z d zyuey dowolny eleent óżny od ). Neh d dl t ustlonego d ozwży welon h f ( d). Wtedy h F ( )[ ] o F ( ) d F F ( ) Pondto otzyuey h f ( d) f welonów g h. Gdyy dl ewnego {... } yło h ( ) f ( d ) yłoy ewste welonu f zyl dl ewnego {... n} d d stąd d d zyl d. wę est ewste wsólny to y szezność z oeślene d. Oznz to że est edyny ewste wsólny welonów g h F ( )[ ] zyl est nwęszy wsólny dzelne welonów g h. Oznz to że F ( )[ ] zyl F ( ). Pondto d gdze d F ( ) wę F ( ). F F. Zwene F ( ) F ( ) est ozywste o d F d F. Stąd wyn że Stosuą ndue tetyzną ożn udowodnć nstęuąy wnose. WNIOSEK 8. Jeżel... n są eleent lgezny względe ł lzowego F to stnee t eleent że F (... n ) F ( ). DEFINICJA 5. Eleent sełnąy wune F (... n ) F ( ) eleente ewotny ozszezen F (... n ) F. PRZYKŁAD. Rozwży welon f g [ ]. Zuwży że zyl Oznzy nzywy. Jego ewst są est łe ozłdu welonu f o zwe wszyste ewst welonu f. Zgodne z oeduą ozną w dowodze twedzen 5 ożey zyąć. Wtedy 7

Z owyższego wyn że z d ożey zyąć dowolną lzę wyeną óżną od ± neh n. d. Wtedy y d. Szuy nlnego welonu tóego ewste est. 7 6 9 6 9 8 8 78 96 8 8. Szuny welone est 98 8 8. Jest to welon ston 8. Możn yło sę tego sodzewć soo wey uż że [ ] :. Wyn stąd w szzególnoś że welon 98 8 8 est nlny. Jo ćwzene nleży ozć że zezywśe są ewst tego welonu (eśl toś he znleźć ozostłe ztey ewst zesolone tego welonu to nwdę ne onę!). Ten zyłd lustue dzłne twedzen y wyznzony eleent ewotny. So wyznzene ł ozłdu dnego welonu zęsto est ożlwe ótszą dogą. Możn n. zuwżyć że. Dl zwen wystzy zuwżyć że wę. Z ole ozywste. Łtwo zuwżyć że [ ] : o est ewste welonu neozłdlnego [ ]. Ozywśe { } ;. Tez nleży szuć welonu [ ] f nlnego dl. Zuwży tylo że ozedno znlezony welon ston 8 wszyste wsółzynn w ele. PRZYKŁAD 5. W ewnyh szzególnyh zydh eleent ewotny ożn znleźć dzo łtwo. Pożey że dl dowolnyh dwóh lz wyenyh th że zhodz ówność. Równość t wyn 8

z twedzen 5 o welon nlny dl f oz g są odowedno h wszyst ewst odowedno ± ± wę z d ożn zyąć wtość. Równość tę ożn edn wyzć ezośedno ez odwoływn sę do twedzen. Szuy welonu nlnego dl. zyl stąd ( ) [ ] tzn.. Po zenesenu wszystego n edn stonę uoządownu otzyuey ( ). Możn ezośedno ozć że welon ston stoąy o lewe stone est neozłdlny nd le ne est to onezne onewż ożey n e zynn lnowe ozłd sę on w swo ele ozłdu. Ozywśe est ewste tego welonu to wyn z onstu. Swdzy że ego ozostły ewst są. Rozwżny welon zwe wyłązne zyste otęg zenne wę osttn eleent też us yć ego ewste ( ( ). Podone est ewste owyższego welonu wtedy tylo wtedy gdy est ego ewste. Otzyuey ( ) ( )( ) ( ( )( ) ( [( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) Zte ( ) [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )]. An żden zynn lnowy n welon ędąy lozyne dwóh zynnów lnowyh ne wszysth wsółzynnów wyenyh. est zoe eleentów ost Wey że ( ) ( ) ( ) gdze. Jeżel ożey że dą sę zsć w te ost to ( ) ( ) ędze łe ozłdu welonu. Dl ewszego eleentu nleży ozywśe zyąć ozostłe ze; dl osttnego ozostłe ze; dl dugego. Pzehodzy do wyzn ównoś. My ( ) ( ) z defn ł stąd zwene ( ) ( ) ozywste. Ay wyzć zwene ( ) ( ) ( ) ( ) oz ( ) ( ). wę ówneż est zuwży że 9