Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 48 Politechniki Wrocławskiej Nr 48 Studia i Materiały Nr 20 2000 Jerzy BARTOSZEWSKI*, Józef KOLASA* przetworniki rezystancyjne prądu elektrycznego, boczniki prądu przemiennego, charakterystyki częstotliwościowe boczników BOCZNIKI PRĄDU PRZEMIENNEGO Boczniki prądu przemiennego o górnej granicy pasma częstotliwości sięgającej 1 MHz mają złożoną budowę i wysoką cenę. W pracy podano wyniki badań mające na celu ograniczenie kosztów wykonania boczników klatkowych przez zmniejszenie liczby prętów w klatce. Ze względu na niską cenę boczników prądu stałego, zainteresowanie użytkowników budzi możliwość wykorzystania ich do pomiaru prądów przemiennych. Konstrukcja bocznika prądu stałego jest projektowana tak, aby osiągnąć kompromis między mocą rozpraszaną, wymiarami geometrycznymi i maksymalną temperaturą elementu rezystancyjnego. Właściwości częstotliwościowe tych konstrukcji nie są wyznaczane. Na ogół przypuszcza się, że bocznik dowolnej konstrukcji może być użyty do pomiaru prądu przemiennego, ale nie wiadomo do jak dużej częstotliwości. W ramach niniejszej pracy wyznaczono właściwości częstotliwościowe wybranych fabrycznych boczników prądu stałego produkcji krajowej. Na modelach eksperymentalnych zbadano wpływ kształtu elementu rezystancyjnego oraz wymiarów i materiału końcówek na wartość błędu częstotliwościowego bocznika. Przedstawiono możliwość zmniejszenia błędu częstotliwościowego za pomocą indukcyjności wzajemnej. 1. WSTĘP Pomiar natężenia prądu stałego jest od dawna wykonywany za pomocą boczników. Boczniki charakteryzują się przetwarzaniem prądu na proporcjonalne napięcie, małym współczynnikiem cieplnym rezystancji przy obciążeniu prądem znamionowym, małymi zmianami rezystancji w czasie, prostą konstrukcją i niską ceną. O przydatności boczników do pomiaru natężenia prądów zmiennych decyduje współczynnik częstotliwościowych zmian impedancji bocznika, zależny od pasożytniczych indukcyjności i pojemności. Kryterium oceny bocznika może stanowić wartość największej częstotliwości prądu sinusoidalnego, przy której błąd przetwarzania prądu na proporcjonalne napięcie nie przekroczy zadanej wartości. W przypadku prądów okresowo zmiennych niesinusoidalnych jako podstawę analizy należy przyjąć częstotliwość prądu harmonicznego najwyższego stopnia. Dotyczy to na przykład pomiaru: prądów obciążenia prostowników * Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Politechniki Wrocławskiej, ul. Smoluchowskiego 19, 05-372 Wrocław.
290 sterowanych i nie sterowanych, prądów w obwodach zawierających dławiki o nieliniowej charakterystyce prądowo-napięciowej, prądów rozruchu silników elektrycznych, prądów zwarciowych itp. Boczniki prądu stałego spełniają wymienione wymagania tylko w dość wąskim przedziale częstotliwości, a przedział ten nie jest na ogół znany użytkownikowi. W pracy przedstawiono wyniki pomiarów błędów częstotliwościowych wybranych fabrycznych boczników prądu stałego i ocenę możliwości ich zastosowania do pomiarów prądu przemiennego. Przedstawiono, jaki wpływ na wartość błędu częstotliwościowego bocznika wywierają takie czynniki, jak: kształt elementu rezystancyjnego, wymiary i materiał końcówek. Boczniki prądu przemiennego mają element rezystancyjny w postaci rury lub klatki cylindrycznej, a ich górna częstotliwość pracy wynosi np.1 MHz. Boczniki takie mają więc bardziej złożoną i znacznie wyższą cenę w porównaniu z bocznikami prądu stałego. W pracy przedstawiono wyniki pomiarów błędu częstotliwościowego bocznika jednoklatkowego w zależności od liczby prętów w klatce. Zmniejszenie liczby prętów pozwala uprościć nieco konstrukcję bocznika i zmniejszyć koszty wykonania. 2. KONSTRUKCJA I WŁAŚCIWOŚCI BOCZNIKÓW Właściwości bocznika prądu stałego są charakteryzowane za pomocą wartości znamionowej natężenia prądu oraz odpowiadającego mu znamionowego spadku napięcia. Dopuszczalny błąd przetwarzania prądu na napięcie określa klasa dokładności bocznika Za pomocą boczników mierzy się prądy o natężeniu co najwyżej kilkunastu kiloamperów, głównie ze względu na trudności odprowadzania ciepła wydzielanego w boczniku. Dla zmniejszenia objętości całego bocznika jego element rezystancyjny jest gięty (rys. 1). Pogarsza to jednak warunki odprowadzania ciepła. Jest to szczególnie ważne w przypadku boczników wbudowanych w miernik. Współczesne ręczne multimetry cyfrowe mają na ogół maksymalny zakres prądowy 20 A i znamionowy spadek napięcia 200 mv. Maksymalna moc wydzielana w boczniku wynosi wówczas 4 W, a zalecany przez producenta czas użytkowania nie przekracza 30 s przy przerwach wynoszących co najmniej 15 minut. Boczniki zewnętrzne mają zwykle większe wymiary geometryczne w stosunku do wbudowywanych o tych samych parametrach, a czas ich pracy jest nieograniczony. Końcówki boczników prądu stałego mają kształt prostopadłościanu lub kątownika i są wykonane z miedzi lub z mosiądzu (rys. 2). Miedź co prawda gorzej się obrabia, ale ma czterokrotnie większy współczynnik przewodzenia ciepła i konduktywność w stosunku do mosiądzu. Wymiary końcówek boczników kilkuzakresowych, na natężenia prądu mniejsze od 50 A, są podyktowane względami mechanicznymi i są zbyt duże w stosunku do wymaganych ze względów elektrycznych. Za pomocą boczników można łatwo uzyskać dużą dokładność przetwarzania prądu stałego na napięcie, np. odpowiadającą klasie 0,05. Bocznik prądu przemiennego, oprócz wymienionych właściwości niezbędnych do przetwarzania prądów stałych, powinien ponadto charakteryzować się niezmiennością wartości i fazy napięcia wyjściowego w szerokim paśmie zmian częstotliwości prądu sinusoidalnego o stałym natężeniu. Błędy fazowe bocznika są bardzo ważne w przypadku przetwarzania prądu na potrzeby pomiaru mocy lub energii elektrycznej. Właściwości
częstotliwościowe bocznika nabierają jeszcze większego znaczenia, w przypadku gdy prąd mierzony jest niesinusoidalny. Szerokie spektrum harmonicznych może wystąpić np. w badaniach prądów zwarcia, prądów rozruchu silników elektrycznych itp. Oprócz składowej sinusoidalnej o częstotliwości sieci i natężeniach sięgających niekiedy kilkudziesięciu kiloamperów może występować również składowa aperiodyczna o stałej czasowej od 10 ms do 200 ms oraz impulsy prądu (różne co do kształtu, amplitudy i czasu trwania) o naroście czoła sięgającym 1 GA/s [1, 6]. Wymaga się, aby w tych warunkach błąd pomiaru nie przekraczał wartości (3 5)%. 291 a b c d e f g a b c Rys. 1. Kształty elementu rezystancyjnego boczników prądu stałego (przykłady) Fig. 1. Shapes of the resistance element of the direct current shunt (examples) Rys. 2. Kształty końcówek boczników (przykłady) Fig. 2. Shape of the shunt endings (examples) Boczniki o prądzie znamionowym większym od 2 A mają małą rezystancję rzędu (10 1 10 5 ) Ω, a ich właściwości częstotliwościowe zależą od nieuniknionych pasożytniczych indukcyjności i pojemności. Ponadto mogą występować zmiany rezystancji powodowane zjawiskiem naskórkowości, zarówno w elemencie rezystancyjnym, jak i innych elementach przewodzących bocznika. Z tego powodu wymiary geometryczne bocznika powinny być minimalizowane. Jest to niekorzystne ze względów cieplnych. Wpływ na dokładność może mieć również miejsce podłączenia i sposób ułożenia przewodów obwodu napięciowego, wskutek indukowania napięcia przez pola elektromagnetyczne zakłócające. Boczniki prądu przemiennego o górnej granicy częstotliwości pracy sięgającej 1 MHz są wykonywane jako konstrukcje rurowe (rys. 3) [4, 6]. Rozkład prądu w przekroju poprzecznym elementu rezystancyjnego w postaci cienkościennej rury jest praktycznie równomierny. Prąd płynący w przewodzie rurowym nie wywołuje żadnego pola magnetycznego wewnątrz rury. Wyprowadzenia napięciowe bocznika rurowego umieszcza się więc wewnątrz elementu rurowego, unikając w ten sposób indukowania się napięć zakłócających sygnał wyjściowy bocznika. Stosując układ dwóch współosiowych rur (rys. 3b), sprowadza się do zera również zewnętrzne pole magnetyczne bocznika i zmniejsza długość bocznika. Pole magnetyczne występuje jedynie w przestrzeni między rurami. Boczniki o symetrii cylindrycznej mają bardzo dobre właściwości częstotliwościowe. Szwajcarska firma LEM oferuje tego typu boczniki o prądzie znamionowym zawartym w przedziale (0,1 500) A, znamionowym spadku napięcia odpowiednio (100 18) mv, górnej częstotliwości pracy
292 (1 MHz 10 khz) i współczynniku zmian częstoliwościowych ± (0,0015 0,03)%/kHz [4]. W praktyce można spotkać boczniki klatkowe o symetrii cylindrycznej i różnej liczbie prętów w klatce (rys. 10) [6]. Konstrukcje klatkowe mają właściwości zbliżone do konstrukcji rurowych, a jednocześnie są prostsze w wykonaniu. Boczniki klatkowe i rurowe są wykonywane jako jednozakresowe, a ich cena jest kilkadziesiąt razy większa w stosunku do ceny bocznika prądu stałego. Stąd bierze się duże zainteresowanie użytkowników możliwością stosowania boczników prądu stałego do pomiarów prądów zmiennych, szczególnie prądów o częstotliwości sieci. 1 4 2 3a 1 1 4 2 3b a Rys. 3. Boczniki rurowe prądu przemiennego: a) jednorurowy, b) dwururowy współosiowy; 1 końcówki prądowe, 2 końcówki napięciowe, 3a wyprowadzenia przewodami splecionymi, 3b wyprowadzenia złączem koncentrycznym, 4 rura rezystancyjna Fig. 3. Tabular alternate current shunt: a) one-tube, b) two-tube coaxial; 1 current ending, 2 voltage endings, 3a leads with spliced wires, 3b leads with a concentric coupling, 4 resistance tube b 3. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE BOCZNIKÓW PRĄDU STAŁEGO W celu określenia możliwości zastosowań boczników prądu stałego do pomiarów prądu przemiennego, autorzy wykonali pomiary błędów częstotliwościowych boczników fabrycznych produkcji krajowej oraz modeli boczników zaprojektowanych i przeznaczonych do badań. Pomiary wykonywano metodą porównawczą dla prądu stałego i przemiennego, sinusoidalnego o częstotliwości zawartej w paśmie: (40 4000) Hz, w układzie przedstawionym na rysunku 4 [2]. Boczniki firmy Era o prądzie znamionowym zawartym w przedziale (75 2500) A mają element rezystancyjny wykonany z kilku prostych odcinków taśmy manganinowej, połączonych równolegle, a końcówki mają kształt prostopadłościanów i wykonane są z mosiądzu [3]. Boczniki o prądzie znamionowym mniejszym niż 75 A są trójzakresowe, a element rezystancyjny jest wykonany z pojedynczej taśmy, giętej wzdłuż linii falistej. Końcówki tych boczników są wykonane z mosiądzu. Na rysunku 5 przedstawiono dla porównania zależność błędu przetwarzania od częstotliwości trójzakresowego bocznika 7,5/15/30 A i jednozakresowego 75 A. Boczniki firmy Lumel o prądzie znamionowym: (0,1 15) ka mają element rezystancyjny wykonany z odpowiedniej liczby prostych odcinków drutu manganinowego, połączonych równolegle [5]. Boczniki o prądzie znamionowym mniejszym od 100 A mają element rezystancyjny wykonany z pojedynczego drutu prostego lub giętego wzdłuż linii falistej. Końcówki boczników są prostopadłościenne, wykonane z mosiądzu. Na rysunku 6
przedstawiono dla porównania błąd częstotliwościowy bocznika 100 A/100 mv firmy Lumel i bocznika 75 A/60 mv firmy Era. Zbadano również możliwość pomniejszenia błędu częstotliwościowego za pomocą odpowiedniej indukcyjności wzajemnej. Sposób włączenia indukcyjności wzajemnej przedstawiono na rysunku 4b, a przykładowe wyniki pomiarów na wykresach (rys. 6). Za pomocą indukcyjności wzajemnej można błąd pomniejszyć kilkakrotnie, nie udaje się jednak sprowadzić go do zera. 293 Kalibrator f - var R b I = const P R wz Kalibrator f - var M R b I = const P R wz a mv Rys. 4. Układ pomiarowy do wyznaczania błędów częstotliwościowych boczników: R b bocznik badany, R wz bocznik dwuklatkowy prądu przemiennego, M indukcyjność wzajemna Fig. 4. Measurement system for designating frequency mistakes in shunts: R b the examined shunt, R wz two-cage alternate current shunt, M mutual inductor b mv 15 10 5 0 δu [%] f (Hz) 0 1000 2000 3000 4000 30A 15A 75A 7,5A Rys. 5. Błędy bocznika trójzakresowego 7,5/15/30 A i jednozakresowego 75 A firmy Era Fig. 5. Trirange shunt errors 7,5/15/30 A and one range 75 A made by Era % 12 10 8 6 4 2 0 δu 100 A 75 A 100 A, M 75 A, M f (Hz) 0 1000 2000 3000 4000 Rys. 6. Błędy boczników: 75 A/60 mv firmy Era i 100 A/100 mv firmy Lumel przed kompensacją i po kompensacji za pomocą indukcyjności wzajemnej (M) Fig. 6. Shunt errors: 75 A/60 mv made by Era and 100 A/100 mv made by Lumel before compensation and after compensation by means of mutual inductor (M) 4. BADANIA DOŚWIADCZALNE MODELI BOCZNIKÓW
294 Badania doświadczalne na modelach boczników miały na celu wyznaczenie wpływu na błąd częstotliwościowy takich czynników, jak: kształt elementu rezystancyjnego, wymiary i materiał końcówek oraz sposób ułożenia przewodów. 4.1. BADANIE WPŁYWU KSZTAŁTU ELEMENTU REZYSTANCYJNEGO Wpływ kształtu badano na jednym odcinku drutu lub taśmy o rezystancji 10 mω, zmieniając jego kształt. Przewody obwodu prądowego i napięciowego lutowano bezpośrednio do badanego elementu rezystancyjnego pozbawionego końcówek. Wyniki przedstawiono na wykresach (rys. 7). Najmniejsze błędy częstotliwościowe otrzymano dla elementów prostych. Długość bocznika jest wówczas największa. Skrócenie długości bocznika do połowy długości elementu prostego przez zgięcie elementu rezystancyjnego w płaską pętlę (rys. 1b) spowodowało czterokrotny wzrost błędu. Zgięcie pętli płaskiej (rys. 1c), a przez to skrócenie bocznika do jednej czwartej jego długości pierwotnej, zmniejsza błąd częstotliwościowy, jest on jednak dwukrotnie większy w stosunku do błędu elementu prostego. Nadanie bocznikowi kształtu meandra (rys. 1d) o długości około 1/4 długości elementu prostego spowodowało szesnastokrotny wzrost błędu. Podobne tendencje zmian wartości błędu występują w elemencie wykonanym z taśmy, ale wartości błędów bocznika taśmowego są mniejsze niż drutowego. % 3.0 δu 4 % 0.3 δ U 2 1 2.0 0.2 1.0 0.0 3 1 f 0 1000 2000 3000 4000Hz Rys. 7. Błędy częstotliwościowe drutowego elementu rezystancyjnego w kształcie: 1 prostej, 2 pętli płaskiej(rys 1b), 3 pętli zgiętej (rys. 1c), 4 meandra (rys. 1d) Fig. 7. Frequency errors of the wire resistance element in the shape: 1 line, 2 flat loop (Fig. 1b), 3 bended loop, (Fig. 1c), 4 meander (Fig. 1d) 2 0.1 0.0 f (Hz) 0 1000 2000 3000 4000 Rys. 8. Błędy bocznika jednoprętowego prostego o różnych końcówkach: 1 miedź, (20 20 8) mm, 2 mosiądz, (20 18 10) mm, 3 mosiądz, (10 10 10) mm Fig. 8. Errors of one bar straight shunt with different endings: 1 copper, (20 20 8) mm, 2 brass, (20 18 10) mm, 3 brass, (10 10 10) mm 3 4.2. BADANIE WPŁYWU MATERIAŁU I WYMIARÓW GEOMETRYCZNYCH KOŃCÓWEK Badania wpływu materiału i wymiarów geometrycznych końcówek na wartość błędu częstotliwościowego bocznika wykonano, zmieniając końcówki prostego, drutowego
elementu rezystancyjnego. Stosowano trzy rodzaje końcówek w kształcie prostopadłościanu. Wyniki pomiarów przedstawiono na wykresach (rys. 8). Można z nich wysnuć wniosek, że na wartość błędu wpływa przede wszystkim objętość końcówki, a w drugiej kolejności rodzaj materiału. % 0.8 0.6 δu 3 295 0.4 0.2 0.0-0.2-0.4 0 1000 2000 3000 4000 2 1 Rys. 9. Błędy częstotliwościowe elementu taśmowego prostego w zależności od położenia przewodów prądowych: 1 na krawędzi taśmy, 2 w 1/3 szerokości taśmy, 3 na osi taśmy Fig. 9. Frequency errors of the straight band element depending on the location of the currency leads: 1 on the edge of the band, 2 1/3 width of the band, 3 on axe of the band % 0.14 δu 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 f (Hz) 0 1000 2000 3000 4000 Rys. 10. Szkic bocznika jednoklatkowego czteroprętowego Fig. 10. Scheme of one-cage shunt with four bars Rys. 11. Błąd częstotliwościowy bocznika jednoklatkowego dwuprętowego Fig. 11. Frequency error of one-cage shunt with two bars 4.3. BADANIE WPŁYWU UŁOŻENIA PRZEWODÓW Wpływ na błąd częstotliwościowy bocznika ma również sposób prowadzenia przewodów. Przewody obwodu napięciowego należy układać możliwie blisko elementu rezystancyjnego; w przypadku taśmy wzdłuż jej osi, w taki sposób, aby nie tworzyć pętli. Na rysunku 9 przedstawiono zmiany błędu częstotliwościowego bocznika w zależności od ułożenia przewodu powrotnego obwodu prądowego na powierzchni bocznej prostej taśmy rezystancyjnej i przewodach obwodu napięciowego ułożonych w położeniu ustalonym wzdłuż osi taśmy.
296 Wykonano również model bocznika jednoklatkowego. Następnie zbadano zmianę jego błędu częstotliwościowego w zależności od liczby prętów w klatce (rys. 10). Badania wykonano dla kolejno 6, 4 i 3 prętów w klatce rozmieszczonych równomiernie na obwodzie walca i wzdłuż jego tworzącej. Jako wzorzec stosowano bocznik klatkowy o 12 prętach. W przedziale częstotliwości 40 Hz 4 khz zmiany napięcia wyjściowego bocznika klatkowego o 6, 4 i 3 prętach nie przekraczają rozdzielczości układu pomiarowego, tj. ±0,01%. Redukcja liczby prętów do dwóch spowodowała zauważalne zmiany błędu δu dla częstotliwości większych od 1 khz (rys. 11). 5. UWAGI I WNIOSKI KOŃCOWE We współczesnej technice pomiarowej są chętnie stosowane przetworniki prądu mające wyjściowy sygnał napięciowy. Warunek ten spełniają znane od dawna boczniki. W celu uzyskania dużej dokładności przetwarzania prądu zmiennego, szczególnie impulsów prądowych, niezbędne jest stosowanie boczników rurowych o złożonej budowie i wysokiej cenie. Górna częstotliwość pracy tych boczników sięga 1 MHz dla boczników o prądzie znamionowym nie przekraczającym 5 A i maleje ze wzrostem tego prądu, osiągając np. wartość 10 khz przy 500 A. Ze względów cieplnych boczniki o większych prądach znamionowych mają mniejszy znamionowy spadek napięcia, rzędu 20 mv. Współczynnik częstotliwosciowy zmian impedancji boczników rurowych zawarty jest w granicach: (0,002 0,03)%/kHz. Niższą ceną i zbliżonymi parametrami do parametrów boczników rurowych charakteryzują się boczniki klatkowe. Wyniki badań doświadczalnych, wykonanych przez autorów, wskazują na możliwość znacznego zmniejszenia, w miarę możliwości, liczby prętów w klatce. I tak bocznik mający tylko trzy pręty w klatce osiąga do częstotliwości 4 khz współczynnik częstotliwościowy mniejszy niż 0,003%/kHz. Redukcja liczby prętów do dwóch spowodowała wzrost tego współczynnika do wartości około 0,04%/kHz. Duże zainteresowanie użytkowników elektrycznej aparatury pomiarowej budzi możliwość stosowania boczników prądu stałego w pomiarach prądów przemiennych, szczególnie o częstotliwości sieci. Boczniki te charakteryzuje prostota konstrukcji i niska cena. Jak wynika z badań niektórych boczników fabrycznych ich współczynnik częstotliwościowy mieści się w granicach: (0,04 4)%/kHz w paśmie częstotliwości (0 4) khz i w dużym stopniu zależy od kształtu i wymiarów elementów przewodzących bocznika. Im większy jest prąd znamionowy bocznika, tym większy jest również jego współczynnik częstotliwościowy. Lepsze właściwości częstotliwościowe mają boczniki z końcówkami o małych wymiarach geometrycznych i prostym elemencie rezystancyjnym. Boczniki wykonane z kilku równolegle połączonych taśm rezystancyjnych podlegają mniejszym zmianom z częstotliwością niż boczniki wykonane z drutu (pręta). Przynajmniej kilkakrotnie można zmniejszyć błąd częstotliwościowy przez zastosowanie prostej indukcyjności wzajemnej, której uzwojenie pierwotne stanowi przewód doprowadzający prąd do bocznika, a uzwojenie wtórne włączone jest szeregowo z zaciskami napięciowymi bocznika. Przewody obwodu napięciowego należy prowadzić w miarę możliwości wzdłuż osi geometrycznej elementu rezystancyjnego, jednocześnie nie tworząc pętel. Przewód powrotny obwodu
mentu rezystancyjnego, jednocześnie nie tworząc pętel. Przewód powrotny obwodu prądowego korzystnie jest prowadzić jak najdalej od bocznika. 297
298 LITERATURA [1] BOLOTIN I. B., EJDEL L. Z., Izmierenija w reżimach korotogo zamykanija, Leningrad, Izdatielstwo Energija, 1973. [2] BARTOSZEWSKI J., KOLASA J., Błędy czestotliwościowe rezystancyjnych przetworników prądu elektrycznego, Krajowy Kongres Metrologii, Materiały konferencyjne, Gdańsk, 1998, t. 3, s. 312 319. [3] Katalog firmy Era, Boczniki, Warszawa, 1997. [4] Katalog firmy LEM, Non-inductive coaxial shunts, Geneva, 1998. [5] Katalog firmy Lumel, Mierniki tablicowe analogowe, Zielona Góra, 1995. [6] SCHWAB A. J., Hochspannugsmesstechnik, Berlin, Springer Verlag, 1981. ALTERNATING CURRENT SHUNTS Alternate current shunts with the maximum frequency limit reaching about 1 MHz have got a complicated construction and a high price. Results of studies on lowering the cost of building cage shunts by decreasing the number of bras in cage are described in the paper. Due to low price, the users of the direct current shunts are interested in their use for measuring alternate currents. The construction of the direct current shunt has been designed in the way enabling a compromise between the dissipation power, geometrical dimensions and maximum temperature of the resistance element. Frequency properties of these constructions are not determined. Generally, it is assumed that the shunt of any construction may be used for measuring the alternate current but it is not known to what frequencies. In this paper, properties of the selected direct current shunts produced in our country, are designated. On experimental models, influence of the shape of the resistance element, dimension and material of the endings on the value of the frequency error of the shunt was examined. A possibility of decreasing the frequency error by means of the mutual induction is presented.