POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ FIZYKI SPEC. FIZYKA MEDYCZNA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ FIZYKI SPEC. FIZYKA MEDYCZNA PRACA MAGISTERSKA BIOLOGICZNA OCENA DAWEK MIESZANEGO PROMIENIOWANIA JONIZUJĄCEGO Z ZASTOSOWANIEM METOD STATYSTYKI BAYESOWSKIEJ BIOLOGICAL ASSESSMENT OF MIXED DOSES OF IONIZING RADIATION USING BAYESIAN STATISTICAL METHODS INŻ. IWONA PACYNIAK POD KIERUNKIEM DR MARII KOWALSKIEJ ORAZ PROF. DR. HAB. JANA PLUTY Warszawa, 2014

Praca powstała pod opieką dr. inż. Krzysztofa Fornalskiego.

Składam serdeczne podziękowania Pani dr Marii Kowalskiej za nieocenioną pomoc, poświęcony mi czas i wielkie zaangażowanie. Panu prof. Janowi Plucie dziękuję za cenne rady i pomoc w trakcie powstawania pracy magisterskiej. Krzysztofowi Fornalskiemu dziękuję za mnóstwo cennych rad i ogromną pomoc. Dziękuję Wszystkim moim Bliskim za pomoc, dobre rady, otuchę i nieustanną motywację. Iwona Pacyniak

Streszczenie Promieniowanie jonizujące powstające w reaktorach jądrowych jest promieniowaniem mieszanym, w którego skład wchodzą neutrony i fotony gamma. Te dwa typy promieniowania istotnie różnią się lokalną gęstością jonów wytwarzanych na jednostkę drogi w ośrodku pochłaniającym, co przekłada się na ich odmienną skuteczność biologiczną w przypadku działania na organizm człowieka. W związku z tym, po napromieniowaniu osób mieszanym polem n + γ, ważne jest oszacowanie nie tylko całkowitej dawki pochłoniętej, ale również jej składowej neutronowej i fotonowej. Do wyznaczenia dawki pochłoniętej u przypadkowo narażonej osoby w sytuacji braku dozymetru osobistego lub braku możliwości wykonania pomiarów fizycznych, najpowszechniej wykorzystuje się cytogenetyczną dozymetrię biologiczną. Polega ona na oznaczeniu częstości występowania chromosomów dicentrycznych w limfocytach krwi obwodowej napromieniowanej osoby. Obserwowana częstość dicentryków jest następnie przekształcana na wartość dawki pochłoniętej, przy użyciu współczynników dopasowania krzywych dawka-skutek, wyznaczonych drogą in vitro dla poszczególnych rodzajów promieniowania. Oszacowanie częstości dicentryków pochodzących oddzielnie od promieniowania neutronowego i od fotonowego jest możliwe przy użyciu tzw. metody iteracyjnej, która może być stosowana tylko wtedy, kiedy znany jest stosunek dawki od neutronów i fotonów γ. W przypadku braku takiej wiedzy skutecznym narzędziem do obliczenia dawek okazała się być statystyka bayesowska. Celem pracy było opracowanie metody obliczania dawek pochłoniętych od promieniowania neutronowego i γ posługując się podejściem bayesowskim. Zakłada ona przyjęcie rozkładu prawdopodobieństwa, tzw. prioru, na wielkość, która nie jest precyzyjnie znana z doświadczenia. W przypadku niniejszej pracy nieznaną wielkością jest stosunek składowych dawek mieszanego promieniowania n + γ. Rozważając różne hipotetyczne charakterystyki wiązki n + γ, przedstawiono kilkanaście priorów. W przypadku, gdy znany jest stosunek dawki od neutronów i fotonów γ, opisujący go rozkład prawdopodobieństwa określa się jako informatywny. Natomiast kiedy nie ma żadnych wskazań, co do wartości stosunku składowych dawki całkowitej, wówczas prior nazywany jest nieinformatywnym, ponieważ niesie tylko bardzo ogólne założenia dotyczące rozważanego parametru. Zastosowanie priorów informatywnych do obliczeń składowych dawki pochłoniętej od promieniowania n + γ, bardzo dobrze odzwierciedla rzeczywiste wartości dawek. Prior wyrażony rozkładem Gaussa, beta, czy gamma ze znaną wartością oczekiwaną parametru, daje wyniki porównywalne z wynikami otrzymanymi metodą iteracyjną. Jak się jednak okazuje, także mniej precyzyjne priory nieinformatywne, mogą dawać bardzo dobre wyniki....... 1

Abstract Ionizing radiation arising in a nuclear reactors is a mixed radiation composed mostly of gamma and neutron components. These two types of ionizing radiation have completely different local density of ions generated in absorbed medium, that translates into their different biological effectiveness. Therefore, in a case of overexposures of people to this kind of mixed ionizing radiation n + γ, it is very important to assess not only the total absorbed dose but also its neutron and gamma components. To determine the absorbed dose in accidentally exposed person in a case of absence of a personal dosimeter and if the physical measurements were unavailable, the method most commonly used is cytogenetic biological dosimetry. It involves determination of the frequency of dicentric chromosomes in peripheral blood lymphocytes of irradiated person. The observed yield of dicentric is then converted into the absorbed dose, using the fitted coefficients of an in vitro dose response relationship. Assessment of frequency of dicentrics from neutron radiation and gamma radiation separately is possible, using the iterative method, which can be used only if the ratio of neutron and gamma dose components is known. In a case of lack of such knowledge effective method to calculate this doses proved to be the bayesian statistic method. The aim of this study was to develop the method for calculating the absorbed dose from neutron and γ radiation using bayesian approach. It assumes to assign a probability distribution, called prior, on a parameter which is not precisely known from experience. In a present work such unknown parameter it is the ratio of components of mixed doses n + γ. Considering the hypothetical characteristics of beam n + γ, in this thesis showed several of priors. In a case where the ratio of doses is known, the probability distribution is defined as informative. But when it is unknown then the prior is called uninformative, because then it is a big assumption about the considered parameter. Informative priors which were use to calculate the components of absorbed dose, reflect very well the real value of doses, which were known from physical measurement. Priors such as Gaussian, beta or gamma distribution with known expect value of parameter, gave comparable results to those obtained by iterative method. But as it turns out, the less precise uninformative priors can also give very good results... 2

Spis treści Streszczenie... 1 Abstract... 2 1. Wstęp i cel pracy... 5 1.1 Wprowadzenie... 5 1.2. Cel pracy... 7 2. Reaktor MARIA działanie i zastosowanie... 8 2.1. Źródło wiązek neutronów... 8 2.2. Widmo energetyczne neutronów... 9 2.3. Charakterystyka kanału H8 reaktora MARIA... 9 2.4. Oddziaływanie neutronów i fotonów gamma z materią... 11 3. Dozymetria mieszanego promieniowania n + γ... 12 3.1. Dozymetryczne detektory promieniowania... 12 3.2. Wielkości dozymetryczne... 12 3.3. Biologiczne wskaźniki dawki pochłoniętej... 14 3.4. Analiza częstości dicentryków... 17 3.5. Biologiczna dozymetria mieszanego promieniowania n +... 18 4. Podstawy metod statystycznych... 19 4.1. Nurty statystyczne... 19 4.2. Podstawy metody... 20 4.3. Porównanie metody i klasycznej... 21 4.4. Przykłady zastosowania rozumowania bayesowskiego... 23 5. Statystyczne metody wykorzystane do obliczeń składowych dawki... 26 5.1. Metoda iteracyjna... 26 5.2. Analityczny zapis metody iteracyjnej... 27 5.3. Rozwinięcie analitycznej metody iteracyjnej w rozkład prawdopodobieństwa... 28 5.4. Metoda Bayesowska... 30 5.4.1. Opis metody... 30 5.4.2. Aprioryczne rozkłady prawdopodobieństw priory... 31 5.5. Niepewność wyznaczenia dawki... 42 6. Część doświadczalna... 45 6.1. Napromieniowanie próbek krwi w reaktorze... 45 6.2. Kalibracyjne krzywe dawka skutek dla dicentryków... 46 6.3. Opracowanie wyników... 48 6.3.1. Wyniki biologicznej oceny dawek... 48 6.3.2. Wyniki uzyskane metodą analityczną... 51 6.3.3. Wyniki uzyskane metodą rozkładów prawdopodobieństw... 52 6.3.4.Wyniki uzyskane metodą bayesowską... 53 6.4. Dyskusja wyników... 58 3

7. Wnioski... 64 8. Zakończenie... 66 9. Ocena realizacji celów pracy... 68 Bibliografia... 69 4

1. Wstęp i cel pracy 1.1 Wprowadzenie Wytwarzanie i stosowanie promieniowania jonizującego w przemyśle, medycynie i nauce wiąże się z ryzykiem wystąpienia niezamierzonego lub niespodziewanego zdarzenia radiacyjnego, którego skutkiem może być poważne narażenie zdrowia człowieka oraz znaczne straty materialne. Pewna i dokładna ocena dawki pochłoniętej w ciele człowieka przypadkowo narażonego na działanie promieniowania jest bardzo ważna ze względu na ewentualną konieczność dalszego leczenia choroby popromiennej oraz ocenę zwiększenia ryzyka wystąpienia w przyszłości stochastycznych skutków promieniowania głównie nowotworów. Ma także pomóc w ustaleniu kto został napromieniowany, a kto nie. W celu przeprowadzenia dokładnej rekonstrukcji dawki pochłoniętej wykorzystuje się metody dozymetrii fizycznej oraz biologicznej [1, 2, 3]. Te ostatnie polegają na ocenie różnorodnych zmian wywołanych przez promieniowanie w ciele człowieka. Najdokładniej można odtworzyć dawkę, analizując częstość tzw. chromosomów dicentrycznych (w skrócie dicentryków) w limfocytach krwi obwodowej [1, 2, 3]. Do przeliczenia częstości dicentryków na wartość dawki pochłoniętej stosuje się współczynniki odpowiedniej kalibracyjnej krzywej dawka-skutek, którą opracowuje się we wcześniejszych badaniach in vitro [1, 2, 3]. Ze względu na różnice względnej skuteczności biologicznej różnych rodzajów cząstek i fotonów [4], promieniowanie użyte do opracowania takiej krzywej powinno być jak najbardziej zbliżone do promieniowania, które jest przedmiotem oceny. Zdarza się, że podczas wypadku radiacyjnego pracownik nie posiadał dozymetru osobistego lub też uległ on zniszczeniu albo skażeniu, a na miejscu zdarzenia nie były prowadzone kontrolne pomiary natężenia promieniowania. Ofiarami wypadków radiacyjnych mogą być także osoby nieposiadające dozymetrów indywidualnych. W takiej sytuacji pewną i dokładną ocenę dawki musi zagwarantować dozymetria biologiczna. Stąd potrzeba rozwijania i wdrażania nowych metod statystycznych, które umożliwią i przyspieszą obliczenia dawki i jej niepewności. Dotyczy to zwłaszcza skomplikowanych obliczeń matematycznych dawki pochłoniętej w przypadku narażenia na promieniowanie mieszane o nieznanym stosunku dawek od składowych tego promieniowania. Promieniowanie mieszane to promieniowanie zawierające co najmniej dwa rodzaje cząstek, istotnie różniących się lokalną gęstością jonów wytwarzanych wzdłuż torów cząstek w środowisku pochłaniającym. Najczęściej spotykanym promieniowaniem mieszanym jest promieniowanie neutronowe z towarzyszącym mu promieniowaniem gamma [4]. Zróżnicowanie mikroskopowej struktury torów jonizacji oraz odmienny sposób oddziaływania z DNA komórek powoduje, że neutrony i fotony mają różną skuteczność biologiczną przy tej samej wartości dawki. Zatem ich wpływ na organizm człowieka też jest różny. Stąd potrzeba wyznaczenia nie tylko całkowitej dawki pochłoniętej, ale także dawki od neutronów i dawki od fotonów. 5

Urządzeniem wytwarzającym wysoki strumień neutronów jest reaktor jądrowy. W Polsce znajduje się jeden czynny reaktor jądrowy. Jest to wysokostrumieniowy reaktor badawczy MARIA w Narodowym Centrum Badań Jądrowych (NCBJ) w Świerku. Wykorzystywany jest do produkcji izotopów promieniotwórczych dla potrzeb medycyny i przemysłu oraz do dostarczania wiązek neutronów do badań z zakresu fizyki, dozymetrii neutronów, ochrony przed promieniowaniem i radiobiologii [5, 6]. Warto podkreślić, że w dotychczasowej pracy reaktora MARIA nie odnotowano żadnych incydentów, które spowodowałyby zagrożenie radiacyjne pracowników, okolicznej ludności czy też środowiska, co stanowi potwierdzenie jego bezpiecznej eksploatacji. Temat niniejszej pracy magisterskiej powstał w związku z realizacją zadania badawczego pt.: Przystosowanie metody oznaczania częstości występowania chromosomów dicentrycznych dla potrzeb awaryjnej dozymetrii neutronów reaktorowych. Było ono częścią zadania badawczego nr 6: Rozwój metod zapewnienia bezpieczeństwa jądrowego i ochrony radiologicznej dla bieżących i przyszłych potrzeb energetyki jądrowej, którego koordynatorem, a zarazem wykonawcą było Centralne Laboratorium Ochrony Radiologicznej (CLOR). Zadanie to było z kolei częścią strategicznego projektu badawczego pt.: Technologie wspomagające rozwój bezpiecznej energetyki jądrowej, finansowanego z funduszy Narodowego Centrum Badań i Rozwoju (NCBiR). Celem tego projektu było wytworzenie mechanizmów umożliwiających powstanie w Polsce zaplecza technicznego i naukowego, które będzie zdolne do zapewnienia bezpieczeństwa jądrowego i ochrony radiologicznej kraju, w związku z wprowadzeniem w Polsce energetyki jądrowej. W Ustawie Prawo Atomowe pojęcie bezpieczeństwa jądrowego zdefiniowane jest jako osiągnięcie odpowiednich warunków eksploatacji, zapobieganie awariom i łagodzenie ich skutków, czego wynikiem jest ochrona pracowników i ludności przed zagrożeniami wynikającymi z promieniowania jonizującego z obiektów jądrowych [7]. Z kolei pojęcie ochrony radiologicznej to zapobieganie narażeniu ludzi i skażeniu środowiska, a w przypadku braku możliwości zapobieżenia takim sytuacjom ograniczenie ich skutków do poziomu tak niskiego, jak tylko jest to rozsądnie osiągalne, przy uwzględnieniu czynników ekonomicznych, społecznych i zdrowotnych [7]. Definicja ta odnosi się do tzw. zasady ALARA, która stanowi fundament ochrony radiologicznej na całym świecie. ALARA jest akronimem angielskiego wyrażenia As Low As Reasonably Achievable. Zapewnienie bezpieczeństwa jądrowego i ochrony radiologicznej polega zatem na całkowitym zabezpieczeniu ludności przed szkodliwymi skutkami deterministycznymi i ograniczeniu ryzyka efektów stochastycznych do poziomów uważanych za akceptowalne. Skutki deterministyczne to choroba popromienna, oparzenia skóry, uszkodzenia narządów, prowadzące w ostateczności do skutków śmiertelnych. Do skutków stochastycznych z kolei zalicza się m.in. choroby nowotworowe, a także zmiany dziedziczne u potomstwa. 6

1.2. Cel pracy Celem pracy było opracowanie i walidacja metody przeliczania obserwowanej częstości dicentryków w limfocytach krwi obwodowej osoby narażonej na mieszane promieniowanie n + γ, na dawkę od neutronów i od fotonów γ, posługując się statystyką bayesowską. Dotychczas stosowana metoda iteracyjna sprawdza się tylko wtedy, kiedy stosunek dawek od neutronów i fotonów w wejściowej wiązce promieniowania n + jest dokładnie znany [1, 2, 3]. Tymczasem w większości wypadków radiacyjnych informacja na temat wartości tego stosunku jest niepewna lub w ogóle jej nie ma. Ponadto metoda iteracyjna jest czasochłonna, ponieważ polega na wykonywaniu serii obliczeń, które w każdym kolejnym kroku coraz bardziej przybliżają do ostatecznego wyniku [3]. Statystka bayesowska, pomimo skomplikowanych wyrażeń matematycznych, jest wygodnym narzędziem do obliczania składowych dawki pochłoniętej. Sprawdza się zarówno wtedy, kiedy stosunek dawek od neutronów i fotonów jest dokładnie znany z pomiarów fizycznych, jak i wówczas, gdy informacja na jego temat nie jest pewna. W tym drugim przypadku parametr oznaczający nieznany stosunek składowych dawki n + γ zostaje wyrażony w postaci rozkładu prawdopodobieństwa, zwanego priorem [8, 9]. Obliczenie dawek z zastosowaniem statystyki ułatwiło zapisanie całego algorytmu postępowania w postaci kodu programu, który został napisany na potrzeby niniejszej pracy. W celu walidacji opracowanej metody obliczeniowej w kanale H8 reaktora MARIA został wykonany eksperyment symulujący narażenie człowieka na promieniowanie n +. Polegał on na napromieniowaniu in vitro próbek ludzkiej krwi obwodowej ściśle kontrolowanymi dawkami promieniowania n +. Wartości tych dawek zostały ujawnione dopiero po ich odtworzeniu na podstawie obserwowanej częstości dicentryków. W tym celu posłużono się parametrami krzywych kalibracyjnych dawka-skutek dla neutronów z kanału H8 oraz dla promieniowania (krzywa dla 60 Co), towarzyszącego neutronom. Obie krzywe kalibracyjne zostały wyznaczone w CLOR we wcześniejszych eksperymentach in vitro. Dawki wyznaczono, posługując się metodą iteracyjną i bayesowską. Dodatkowo wykonano obliczenia za pomocą innych metod statystycznych, określonych jako analityczny zapis metody iteracyjnej oraz jej rozwinięcie w rozkład prawdopodobieństwa, które zostały opracowane na potrzeby niniejszej pracy. Aby skrócić czas obliczeń, dla każdej z zastosowanych metod napisano proste w obsłudze programy. 7

2. Reaktor MARIA działanie i zastosowanie 2.1. Źródło wiązek neutronów Reaktor MARIA jest unikalnym narzędziem badawczym i produkcyjnym. Powstający w trakcie reakcji rozszczepienia jąder uranu strumień neutronów, wykorzystywany jest do wytwarzania sztucznych radioizotopów dla celów medycznych, przemysłowych i naukowych. Reaktor MARIA służy także do prowadzenia badań fizycznych, radiochemicznych, dozymetrycznych i radiobiologicznych na wiązkach neutronów [5, 6]. Reakcja rozszczepienia jest reakcją jądrową polegającą na rozpadzie ciężkiego jądra atomu na dwa (rzadziej więcej) mniejsze fragmenty o porównywalnych masach [10]. Największe znaczenie mają reakcje rozszczepienia zachodzące wskutek pochłonięcia neutronu. W wyniku rozszczepienia emitowane są neutrony oraz kwanty gamma, a towarzyszy temu wydzielenie dużej ilości energii, głównie w postaci energii kinetycznej produktów rozszczepienia oraz ciepła. Energia ta pochodzi z różnicy między masą jądra przed rozpadem a masą produktów rozszczepienia [10, 11]. Przykładowy przebieg procesu rozszczepienia przedstawiony jest poniżej: 0n 1 235 + 92U 36 93 140 1 Kr + 56Ba + 3 0 n (2.1) Rysunek 1. Przykładowy przebieg rozszczepienia jądra atomowego [12] Do ciągłej pracy reaktora niezbędne jest paliwo. W praktyce materiałami paliwowymi lub rozszczepialnymi są izotopy: 235 U, 233 U, 239 Pu, 241 Pu. Są one umieszczane w pastylkach, a te z kolei w prętach paliwowych, które wchodzą w skład rdzenia reaktora [13]. Rdzeń zbudowany jest ponadto z prętów regulujących, prętów bezpieczeństwa, moderatora i kanałów badawczych (występujących opcjonalnie w reaktorach badawczych) [10, 13]. Istotnym elementem jest moderator, który służy do spowalniania szybkich neutronów, które po zderzeniu z dużą ilością jąder lekkich pierwiastków, tracą swoją energię. Dlatego też jako materiał na moderator najczęściej stosuje się wodę [10, 13]. Kluczową rolę pełnią także pręty regulujące, które są wykonane z materiałów silnie pochłaniających neutrony (kadm, bor), dzięki czemu kontrolują ich poziom w reaktorze [13]. 8

W pracy reaktora można wyróżnić trzy charakterystyczne stany [13]: stan podkrytyczny, kiedy liczba traconych neutronów (m.in. absorbowanych przez pręty regulujące) n a jest większa niż liczba neutronów wytwarzanych w reakcji rozszczepienia n w, n w /n a < 1; stan nadkrytyczny, kiedy w każdym kolejnym rozszczepieniu zwiększa się liczba neutronów, które mogą wywołać następne reakcje, n w /n a > 1; stan krytyczny, kiedy średnio jeden neutron z każdego rozszczepienia wywołuje jedno kolejne rozszczepienie n w /n a 1, czyli reaktor działa stabilnie. Praca reaktora polega na doprowadzeniu go od stanu podkrytycznego do krytycznego, co zazwyczaj odbywa się za pomocą wynurzania prętów regulujących, kontrolując w ten sposób poziom strumienia neutronów. Wyłączenie reaktora wymaga sprowadzenia go do stanu podkrytycznego, co związane jest najczęściej z całkowitym zanurzeniem prętów [13]. 2.2. Widmo energetyczne neutronów Neutrony powstające w reaktorze w wyniku rozszczepień jąder atomowych paliwa mają średnie energie rzędu 2 MeV. Są one następnie spowalniane do energii termicznych rzędu 0,025 ev. Zatem zakres energetyczny neutronów wewnątrz reaktora obejmuje blisko 8 rzędów wielkości. W widmie neutronów wyróżnia się trzy główne grupy [6]: Neutrony prędkie o energiach ~ 0,5 MeV 15 MeV Neutrony epitermiczne o energiach od kilkuset mev do kilkuset kev Neutrony termiczne o energiach > 25 mev (do kilkuset mev) Wewnątrz reaktora neutrony poruszają się we wszystkich kierunkach. Dopiero wtedy, gdy zostają one wyprowadzane z reaktora na dużą odległość przez tzw. kanał poziomy, można mówić o wiązce neutronów. Neutronom zazwyczaj towarzyszy promieniowanie γ. Jego źródłem są reakcje rozszczepienia jąder atomowych paliwa, rozpady α i β produktów reakcji rozszczepienia, a także reakcje neutronów z jądrami atomowymi materiałów konstrukcyjnych i osłonowych (czyli procesy nazywane aktywacją materiałów neutronami) [10]. 2.3. Charakterystyka kanału H8 reaktora MARIA W obudowie reaktora MARIA znajduje się 8 kanałów poziomych, umożliwiających wyprowadzenie wiązek promieniowania. Kanał H8 przeznaczony jest do radiografii neutronowej i gamma oraz do prowadzenia prac badawczych [5, 6]. Przy tym kanale zostało również utworzone stanowisko do napromieniowania próbek krwi [5, 6]. Przed rozpoczęciem eksperymentów Pracownia Dozymetrii Promieniowania Mieszanego (PDPM) w Świerku przeprowadziła dokładną charakterystykę wiązki promieniowania n + γ w punkcie napromieniowania próbek krwi. Jej wyniki przedstawione są poniżej [5, 6]: 9

Szerokie widmo energii neutronów: 0,4 ev 10 MeV; Maksymalna gęstość strumienia neutronów termicznych: ~10 14 n/cm 2 s; Dominujący udział neutronów termicznych o energiach poniżej 100 kev; Moc kermy tkankowej w punkcie umieszczenia próbek krwi: 577 ± 30 [mgy/h]; Udział kermy tkankowej od promieniowania γ w całkowitej kermie tkankowej w punkcie umieszczenia próbek krwi: 92%; Udział dawki pochłoniętej od promieniowania γ w całkowitej dawce pochłoniętej w próbce krwi: 92%; Stosunek dawki pochłoniętej od neutronów do dawki pochłoniętej od promieniowania γ: 0,087. Rysunek 2. Rozmieszczenie kanałów poziomych reaktora MARIA względem rdzenia [5] Rysunek 3. Widok wylotu kanału H8 [5] 10

2.4. Oddziaływanie neutronów i fotonów gamma z materią Podstawowym efektem fizycznym będącym skutkiem oddziaływania neutronów i fotonów γ z materią jest jonizacja atomów, w wyniku której powstają swobodne elektrony i dodatnio naładowane jony [10, 11]. Ponieważ neutrony i fotony nie posiadają ładunku elektrycznego, jonizują materię za pośrednictwem cząstek wtórnych. W przypadku neutronów są to protony odrzutu lub inne cząstki naładowane, natomiast fotony γ jonizują materię za pośrednictwem elektronów. Mogą to być elektrony comptonowskie, fotoelektrony lub elektrony i pozytony pojawiające się w efekcie tworzenia par tych cząstek kosztem energii fotonu [10, 11]. W przypadku oddziaływania neutronów z materią organiczną wygodnie jest mówić o oddziaływaniu neutron woda, co w praktyce przekłada się na rozpędzanie protonów (jąder wodoru) kosztem energii padających neutronów. Masa protonu jest dużo większa od masy elektronu. Z tego powodu zderzając się z elektronami materii, nie zmienia on swojego kierunku i nadal porusza się wzdłuż linii prostej, tracąc podczas każdego kolejnego zderzenia pewną niewielką część swojej energii. Oddziałując z wieloma elektronami w materii, proton wytwarza wzdłuż swojego toru wiele par jonów. Ulega przy tym stopniowemu spowalnianiu, aż do zatrzymania. Dla odróżnienia, elektron w oddziaływaniu z elektronem orbitalnym traci większość swojej energii, zakrzywiając przy tym swój tor [10]. Wielkością określającą zdolność cząstek do jonizowania ośrodka jest tzw. liniowe przekazywanie energii LET (ang. Linear Energy Transfer), wyrażane w jednostce [kev/μm]. Jest to średnia ilość energii przekazywanej przez daną cząstkę na jednostkę drogi w ośrodku pochłaniającym [14]. Ze względu na wartość LET rozróżnia się promieniowanie o niskim i wysokim LET. Silnie jonizujące protony mają więc wysokie LET, natomiast elektrony charakteryzują się niskim LET i należą do promieniowania słabo jonizującego [11]. Zróżnicowanie ilości energii deponowanej przez protony i elektrony na jednostkę drogi w materiale biologicznym np. komórce (rys. 4) powoduje, że protony (neutrony) i elektrony (fotony γ) mają różną skuteczność biologiczną przy tej samej wysokości dawki. Low LET High LET Rysunek 4. Zależność między LET i rodzajem promieniowania [15] 11

3. Dozymetria mieszanego promieniowania n + γ 3.1. Dozymetryczne detektory promieniowania Dozymetria promieniowania mieszanego, w skład którego wchodzą cząstki o bardzo odmiennym sposobie przekazywania energii, wymaga nie tylko określenia dawki pochłoniętej w ciele człowieka, fantomie lub próbce krwi, ale również wyznaczenia parametrów charakteryzujących jego względną skuteczność biologiczną. Jedynym detektorem promieniowania mieszanego, za pomocą którego można określić dawkę pochłoniętą oraz parametry charakteryzujące skuteczność biologiczną, jest rekombinacyjna komora jonizacyjna [4]. Działanie tego przyrządu oparte jest na zjawisku lokalnej rekombinacji jonów w gazach [16, 17]. Wielkość mierzona, czyli względna skuteczność zbierania jonów, jest bezpośrednio związana z liniowym przekazywaniem energii (LET), a więc parametrem, od którego zależy fizyczne działanie promieniowania na organizm człowieka. Komory kalibruje się tak, aby otrzymany z nich sygnał można było łatwo przeliczyć na wielkość dozymetryczną, jaką jest kerma tkankowa. Z definicji jest to energia wydzielona w jednostkowej masie standardowej tkanki miękkiej [16, 17]. Znając kermę można obliczyć dawkę pochłoniętą w dowolnym obiekcie napromieniowanym, uwzględniając rozpraszanie (narastanie) dawki w tym obiekcie oraz pochłanianie promieniowania w poszczególnych warstwach obiektu, np. w ciele lub ściankach próbówki z krwią [16, 17]. 3.2. Wielkości dozymetryczne Podstawową wielkością fizyczną, której znajomość jest niezbędna, aby określić skutki ekspozycji na dany rodzaj promieniowania, jest dawka pochłonięta. Dawka pochłonięta (D) jest to energia tracona przez promieniowanie na jednostkę masy ośrodka, przez który przechodzi. Wielkość ta stosowana jest dla każdego rodzaju promieniowania, bez względu na materiał [18]. D = de dm (2.3) Jednostką dawki pochłoniętej w układzie SI jest grey: 1 [Gy] = 1 [ J kg ] Biologiczne skutki promieniowania zależą nie tylko od dawki pochłoniętej, ale także od jego energii i współczynnika LET. W ocenie tych skutków należy również uwzględnić różnice we wrażliwości poszczególnych narządów i tkanek. W celu oszacowania ryzyka wystąpienia niepożądanych następstw zdrowotnych dla organizmu człowieka głównie nowotworów, wprowadzone zostały dwa nowe pojęcia dawki [18]. 12

Dawka równoważna w tkance lub narządzie (H T ) to dawka pochłonięta uwzględniająca rodzaj i energię promieniowania jonizującego. D dawka pochłonięta w tkance lub narządzie H T = w R D (2.4) w R czynnik wagowy, uwzględniający rodzaj i energię promieniowania Jednostką dawki równoważnej jest siwert: 1 [Sv] = 1 [ J kg ] Tabela 1. Wartości współczynników wagowych w R w zależności od rodzaju promieniowania [18] Rodzaj promieniowania w R N E U T R O N Y Fotony wszystkich energii 1 Elektrony wszystkich energii 1 < 10 kev >10 kev do 100 kev >100 kev do 2 MeV >2 MeV do 20 MeV > 20 MeV Protony >2 MeV (z wyłączeniem protonów odrzutu) Cząstki α,ciężkie jony, fragmenty rozszczepienia 5 10 20 10 5 5 20 Dawka efektywna (E) to suma ważonych dawek równoważnych H T : E = H T w T (2.5) w T czynnik wagowy danego narządu Jednostką dawki skutecznej jest siwert [Sv]. Czynnik w T wyraża stosunek ryzyka wystąpienia nowotworu po napromieniowaniu wyłącznie tej tkanki lub narządu, do ryzyka nowotworu po równomiernej ekspozycji całego ciała. Czynnik w T dla całego ciała przyjmuje wartość 1, dla gonad 0,2, a dla jelita grubego, żołądka, czerwonego szpiku kostnego i płuc 0,12. Dla pozostałych tkanek i narządów przyjmuje wartość 0,05 lub 0,01 [18]. 13

3.3. Biologiczne wskaźniki dawki pochłoniętej Fizyczne działanie promieniowania jonizującego na organizm człowieka wywołuje w nim serię zmian chemicznych, fizykochemicznych i biologicznych. Zmiany biologiczne są następstwem uszkodzenia kwasu deoksyrybonukleinowego (DNA), a stopień tego uszkodzenia jest bezpośrednio związany z dawką pochłoniętą i liniowym przekazywaniem energii (LET) promieniowania. Ilościowe porównanie wybranych zmian z ocenionymi we wcześniejszych badaniach in vitro skutkami działania znanych dawek promieniowania, pozwala na wierne i dokładne odtworzenie dawki pochłoniętej [1, 2, 3]. Taki sposób oceny dawki nazywany jest dozymetrią biologiczną. Metoda ta jest stosowana na całym świecie w przypadku niespodziewanego i niezmierzonego zdarzenia radiacyjnego albo podejrzenia wystąpienia takiego zdarzenia. Najczęściej stosowaną metodą dozymetrii biologicznej jest analiza częstości tzw. chromosomów dicentrycznych w limfocytach krwi obwodowej [1, 2, 19]. Chromosomy dicentryczne powstają w fazie G 0 cyklu komórkowego w następstwie błędnej naprawy pęknięć obu nici DNA (ang. Double Strand Breaks, DSB DNA). Do powstania tego typu aberracji konieczne jest jednoczesne pojawienie się dwóch DSB DNA w dwóch sąsiadujących ze sobą chromosomach [19]. Podwójne pęknięcie nici DNA Rysunek 5. Pęknięcia nici DNA spowodowane przejściem cząstek jonizujących [15] Jedno DSB DNA powoduje powstanie czterech wolnych końców nici DNA w jednej chromatydzie chromosomu fazy G 0. W procesie naprawy końce te mogą ponownie połączyć się ze sobą albo zostać połączone z końcami należącymi do drugiego chromosomu. Połączenie końców fragmentu centrycznego jednego chromosomu z końcami fragmentu centrycznego drugiego chromosomu daje chromosom posiadający dwa centromery zamiast jednego. Taki chromosom nazywany jest chromosomem dicentrycznym albo dicentrykiem. Fragmenty bez centromerów łączą się w tzw. fragment acentryczny [19]. 14

Rysunek 6. Schemat powstawania dicentryka [15] Rysunek 7. Komórka w stadium metafazy z widocznym dicentrykiem [materiały własne] Zgodnie z biofizycznym modelem indukcji dicentryków zależnym od LET promieniowania, mogą one powstawać w wyniku przejścia przez jądro komórki jednej lub dwóch cząstek jonizujących [20]. Częstość tego pierwszego rodzaju dicentryków jest proporcjonalna do dawki pochłoniętej, a częstość drugiego rodzaju do kwadratu dawki. W przypadku ekspozycji na promieniowanie o wysokim LET (neutrony, protony, cząstki α), prawdopodobieństwo powstania tego typu aberracji chromosomowych w wyniku przejścia jednej cząstki jonizującej jest takie samo dla małych i dużych wartości dawki. Zależność częstości dicentryków (Y) od dawki pochłoniętej (D) można zatem wyrazić równaniem [1, 2, 20]: Y = αd + c (3.2) gdzie: α - współczynnik proporcjonalności zależny od biologicznej skuteczności cząstek c częstość dicentryków spontanicznych w nienapromieniowanej kontroli 15

Natomiast w przypadku promieniowania o niskim LET (fotony, X, elektrony), w obszarze małych dawek prawdopodobieństwo jednoczesnego przejścia dwóch cząstek jonizujących przez jądro komórki jest niewielkie. Zatem dicentryki powstają głównie w wyniku przejścia jednej cząstki jonizującej, ale z bardzo małą częstością. Wzrost dawki powoduje wzrost liczby cząstek przechodzących przez jądro, przez co rośnie częstość dicentryków indukowanych poprzez przejście dwóch cząstek. W związku z tym, w całym badanym zakresie dawek promieniowania o niskim LET, zależność dawka-skutek przybiera postać [1, 2, 20]: gdzie: Y częstość występowania dicentryków Y = αd + βd 2 + c (3.3) D składowa dawki pochodząca od promieniowania α, β współczynniki proporcjonalności zależne od rodzaju promieniowania c częstość dicentryków spontanicznych w nienapromieniowanej kontroli Rysunek 8. Krzywe zależności dawka-skutek [1,2] Krzywa dla promieniowania o wysokim współczynniku LET jest liniowa, a dla promieniowania o niskim współczynniku LET, liniowo kwadratowa. 16

3.4. Analiza częstości dicentryków W celu oceny częstości chromosomów dicentrycznych w limfocytach osoby narażonej lub w limfocytach napromieniowanych w doświadczeniach in vitro, pobudza się je do dzielenia w hodowli przez dodanie do pożywki mitogenu o nazwie fitohemaglutynina [1, 2]. Po ok. 24 godzinach hodowli dodaje się do pożywki kolcemid, który blokuje podział komórki na początku pierwszej mitozy po ekspozycji na promieniowanie. Po kolejnych 24 godzinach wykonywane są preparaty chromosomowe, które barwi się w barwniku Giemsy [1, 2, 3, 18]. W celu dokładnego oszacowania dawki należy przeprowadzić analizę mikroskopową od 500 do 1000 komórek albo znaleźć 100 dicentryków [19, 21]. Znalezioną częstość dicentryków przelicza się na wartość dawki pochłoniętej przy użyciu współczynników odpowiedniej kalibracyjnej krzywej dawka-skutek. Jest to możliwe dzięki podobieństwu częstości dicentryków w limfocytach krwi obwodowej napromieniowanych w organizmie (in vivo) i poza nim (in vitro) [19, 21]. Ze względu na odmienną skuteczność biologiczną różnych rodzajów cząstek i fotonów, promieniowanie użyte do opracowania krzywej kalibracyjnej powinno być jak najbardziej zbliżone do promieniowania, które jest przedmiotem oceny. Niektóre etapy procedury wyznaczenia dawki pochłoniętej ilustrują poniższe zdjęcia. Rysunek 9. Ilustracje kilku przykładowych etapów prowadzących do wyznaczenia dawki [materiały własne] Krzywe kalibracyjne opracowuje się we wcześniejszych badaniach in vitro. Polegają one na napromieniowaniu próbek ludzkiej krwi obwodowej różnymi wartościami dawki pochłoniętej i ocenie częstości występowania dicentryków w kontrolnych i napromieniowanych limfocytach krwi. Napromieniowanie próbek wymaga stałego monitorowania mocy dawki w czasie trwania ekspozycji. Próbki krwi pobierane są od 4 6 ochotników zarówno kobiet, jak i mężczyzn, w wieku od 25 do 70 lat. Uwzględnienie takich indywidualnych czynników jak płeć, wiek oraz osobnicza wrażliwość limfocytów na promieniowanie, zapewnia standaryzację wyników wykorzystanych do opracowania krzywych [19]. Uzyskane dane doświadczalne są dopasowywane do teoretycznego równania dawka-skutek metodą estymacji parametrycznej, nazywaną metodą największej wiarygodności. 17

Analiza częstości dicentryków w limfocytach krwi obwodowej jako biologiczny wskaźnik dawki pochłoniętej w ciele człowieka ma szereg zalet [19, 21]: jest swoista dla promieniowania i bardzo czuła, gdyż spontaniczna częstość tego typu aberracji wynosi 1 dicentryk na 1000 2000 komórek; charakterystyczna struktura dicentryków ułatwia ich identyfikację; częstość dicentryków utrzymuje się we krwi obwodowej na zbliżonym poziomie do kilkunastu tygodni, a później powoli maleje; może być stosowana w zakresie dawek od ok.0,1 do 4 5 Gy; pozwala odróżnić ekspozycję całego ciała od ekspozycji części ciała; jest mało inwazyjna dzięki temu, że materiałem do badań są limfocyty krwi obwodowej, które można łatwo pobrać, przechować i przetransportować. Ich zaletą jest także to, że krążą po całym ciele, nie dzielą się we krwi obwodowej i są zsynchronizowane w stacjonarnej fazie G 0 cyklu komórkowego. Łatwo je stymulować do dzielenia się w hodowli, co pozwala na otrzymanie materiału do badań już po 48 godzinach od rozpoczęcia stymulacji. Wszystkie te czynniki spowodowały, że analiza częstości chromosomów dicentrycznych w limfocytach krwi obwodowej została uznana przez Międzynarodową Agencję Energii Atomowej [1, 2] za wiarygodny i dokładny wskaźnik dawki pochłoniętej. Jedyną wadą tej metody jest jej czasochłonność i konieczność posiadania wysoko wykwalifikowanego personelu. 3.5. Biologiczna dozymetria mieszanego promieniowania n + W przypadku narażenia człowieka na działanie mieszanego promieniowania n + jego ciało zostaje napromieniowane przez neutrony i fotony γ, które różnią się znacząco swoją skutecznością biologiczną. Stąd potrzeba informacji o wartości dawek od neutronów i od fotonów γ, które są potrzebne do oceny ryzyka stochastycznych skutków ekspozycji na neutrony i fotony oraz leczenia objawów ewentualnych skutków deterministycznych, jak np. ostrej choroby popromiennej. Różnice w skuteczności biologicznej neutronów i fotonów przekładają się na różnice w częstości dicentryków indukowanych przez te dwa rodzaje promieniowania [1, 2]. Analiza mikroskopowa preparatów chromosomowych z limfocytów napromieniowanych mieszanym promieniowaniem n +, nie daje możliwości wyznaczenia osobno częstości dicentryków indukowanych przez neutrony i fotony. Częstości te można jedynie obliczyć zakładając, że wartość całkowitej częstości dicentryków zależy addytywnie od poszczególnych składowych dawki całkowitej [1, 2]. Obliczenia te można wykonać tylko wtedy, kiedy dokładnie znany jest stosunek dawek od neutronowej i fotonowej składowej wiązki promieniowania. Przy braku dokładnej informacji pozostaje skorzystać z całej posiadanej wiedzy w celu wyrażenia nieznanego stosunku dawek w postaci rozkładu prawdopodobieństwa, zwanego priorem [22, 23]. 18

4. Podstawy metod statystycznych 4.1. Nurty statystyczne W pracy wykorzystano dwa różne podejścia do statystycznej analizy danych: klasyczne (częstościowe) bayesowskie Podejście klasyczne jest oparte o częstość występowania zdarzenia losowego X w dużej liczbie wykonanych prób n, w szczególności n [24, 25, 26]. P(X) = n X n (4.1) gdzie: P(X) prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia X n X liczba wystąpień zdarzenia X Zgodnie z Prawem Wielkich Liczb Bernouliego ( ) przy dostatecznie dużej liczbie prób częstość wystąpienia danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa [27, 28]. Wobec tego im większa liczebność próby, tym dokładniej można określić średnią z próby [24, 25]. Przykładowo im więcej razy wykonano rzut monetą, tym częstość wypadnięcia orła będzie bliższa ½. Podejście częstościowe zakłada, że próby losowe przeprowadzane są w tych samych warunkach, tak by szansa na wystąpienie zdarzenia X była za każdym razem równie prawdopodobna. Jednak w rzeczywistości nie zawsze można dokładnie odtworzyć doświadczenie, np. doświadczenia medyczne, wybory. Problemy pojawiają się także, gdy rozpatrywane zjawiska lub sytuacje są niepowtarzalne, wówczas trudno jest określić ich poprawność wykorzystując do tego podejście częstościowe. Tak więc stwierdzenie typu prawdopodobieństwo awarii współczesnej elektrowni jądrowej wynosi jeden na milion w podejściu częstościowym nie miałoby sensu, ponieważ nie zbudowano jeszcze miliona elektrowni jądrowych [26]. Twierdzenie sformułowane przez brytyjskiego matematyka i duchownego Thomasa Bayes a (1702 1761), zostało opublikowane dopiero dwa lata po jego śmierci, w 1763 r., w dziele zatytułowanym: An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances [29]. Jest to więc chronologicznie najstarsze podejście wnioskowania statystycznego [30]. Statystyka bayesowska opiera się na tzw. prawdopodobieństwie bezwarunkowym a priori [9, 25, 31]. Stanowi ono wiedzę posiadaną przed przystąpieniem do eksperymentu i określane jest jako miara przekonania o wystąpieniu zdarzenia [9, 26]. Wykorzystywana tu interpretacja prawdopodobieństwa jest więc miarą subiektywną, gdyż jest to stopień ufności, że dane zdarzenie wystąpi [8]. Chcąc zmodyfikować lub wzbogacić przekonania, wykonuje 19

się badanie lub eksperyment zmieniający wstępne oczekiwania prawdopodobieństwo a priori, w prawdopodobieństwo wynikowe a posteriori, czyli miarę racjonalnego wystąpienia zdarzenia [8, 9, 26]. Podejście Bayesa zaczęto wykorzystywać dopiero wówczas, gdy nastąpił rozwój technik numerycznych, co przekształciło metodę bayesowską w jeden z ważnych nurtów współczesnej statystyki. Metoda może być wykorzystana zarówno do określenia prawdopodobieństwa otrzymania reszki w rzucie monetą, jak też do dużo bardziej skomplikowanych analiz, jak choćby obliczenie składowych dawki mieszanego promieniowania jonizującego, czego dotyczy niniejsza praca. 4.2. Podstawy metody Podejście bayesowskie wynika z teorii prawdopodobieństwa warunkowego [9, 25, 31]. Prawdopodobieństwo warunkowe jest to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia X pod warunkiem, że zaszło zdarzenie Y. Jest ono oznaczone symbolem P(X Y) i dane jest wzorem [8, 9, 25, 31]: P(X Y) = P(X Y) P(Y) (4.2) Ponieważ prawdopodobieństwa iloczynów zdarzeń są sobie równe, P(X Y) = P(Y X), to prawdziwe jest równanie: P(X Y) P(Y) = P(Y X) P(X) (4.3) Z reguły iloczynu wynika więc [8, 9, 25, 31]: P(X Y) = P(Y X) P(X) P(Y) (4.4) Powyższy wzór stanowi treść twierdzenia Bayesa, które łączy prawdopodobieństwa warunkowe P(X Y) i P(Y X) przy posiadaniu danych niezależnych od zdarzeń X oraz Y, będących przedmiotem prowadzonych badań. Sens twierdzenia Bayesa staje się bardziej zrozumiały, gdy zostanie ono użyte w tzw. interpretacji subiektywnej i zamiast zdarzeń X i Y do wzoru podstawione będą dane doświadczalne D i hipoteza H [8, 26]: gdzie: P(H D) = p(d H) p(h) p(d) (4.5) p(h D) to prawdopodobieństwo hipotezy a posteriori po uwzględnieniu otrzymanych danych D p(d H) to prawdopodobieństwo otrzymania danych pod warunkiem słuszności hipotezy H, czyli bayesowska funkcja wiarygodności (zwana też z angielskiego funkcją likelihood) 20

p(h) to prawdopodobieństwo hipotezy a priori, czyli to, co jest wiadome o hipotezie H przed otrzymaniem danych (tzw. prior) p(d) to czynnik normalizacyjny: p(d) = p(h)p(d) (4.6) Powyższy czynnik zapewnia normalizację prawdopodobieństwa a posteriori p(h D) = 1, umożliwiając porównanie rozkładów i dalszą analizę. Ostatecznie twierdzenie Bayesa można zapisać następująco: P-STWO A POSTERIORI = FUNKCJA WIARYGODNOŚCI P-STWO A PRIORI (4.7) Prawdopodobieństwo a priori stanowi podstawę analizy. Gdy nie jest ono precyzyjnie znane, czyli nie przyjmuje konkretnej wartości, wówczas można je przedstawić w postaci pewnego rozkładu prawdopodobieństwa [8, 9]. Rozkłady, które zostały użyte do analizy w niniejszej pracy, przedstawione są w rozdziale 5.4.2. Z kolei funkcja wiarygodności dostarcza danych na temat zdarzenia po wykonaniu eksperymentu. Po otrzymaniu danych doświadczalnych następuje więc modyfikacja wstępnych przypuszczeń. Prawdopodobieństwo a priori przechodzi w szukane prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, a posteriori, z wykorzystaniem twierdzenia Bayesa [9]. 4.3. Porównanie metody i klasycznej Podejście bayesowskie różni się od klasycznego występowaniem prawdopodobieństwa a priori [9], co według jednych stanowi przewagę nad podejściem częstościowym, zaś według innych jest jego wadą. Zakłada ono bowiem uwzględnienie w analizie danych doświadczalnych informacji pochodzącej spoza próby losowej, tj. spoza eksperymentu [9, 26]. Czasem jednak może to być bardzo zasadna wiedza, jeśli np. badacz ma często do czynienia z rozważanym zagadnieniem i potrafi częściowo przewidzieć jego zachowanie. Przykładowo, jeśli pan X bardzo często gra w kości i zauważył, że najczęściej wypada mu liczba oczek 5 (z prawdopodobieństwem 60%), a nie tradycyjnie 1/6 17%, to przy kolejnej próbie losowej może założyć, że z dużą pewnością (60%) wypadnie mu właśnie ta cyfra, co wie ze swoich wcześniejszych obserwacji. Jeśli z kolei pan Y ma kostkę, która jest tak dociążona, że z dużym prawdopodobieństwem, np. 90%, wypadnie mu liczba oczek 6, wówczas tę wartość przyjmie w kolejnej próbie jako najbardziej prawdopodobną, dzięki informacji o dociążeniu kostki, którą posiada skądinąd. 21

Jak widać na tych prostych przykładach, często posiada się taką dodatkową informację a priori, którą można wykorzystać w eksperymencie, co pozwala otrzymać dokładniejsze rezultaty badań. Jeśli informacja a priori dobrana jest prawidłowo do badania, wówczas jego wynik daje rezultaty porównywalne z metodą klasyczną [8]. Jeżeli jednak jest przypadkowa, wtedy może negatywnie wpłynąć na wynik wykonywanych doświadczeń, błędnie modyfikując otrzymane dane. Bardzo ważne jest więc bazowanie na konkretnej wiedzy, czego dobrym przykładem jest fakt, że niektóre wielkości fizyczne, jak np. masa, gęstość, czy objętość są zawsze dodatnie, co powinno być wzięte pod uwagę a priori [26]. W podejściu klasycznym rozważane wielkości nie zależą od podejrzeń i przewidywań na ich temat. Są wielkościami wynikającymi bezpośrednio z eksperymentu, są więc obiektywne [8]. Natomiast w podejściu bayesowskim korzysta się z przekonania na temat prawdziwości postawionej hipotezy, czyli wstępnych przypuszczeń dotyczących szukanego parametru. Można więc powiedzieć, że interpretacja prawdopodobieństwa w metodzie ma charakter subiektywny [8]. Przyjmuje się, że szukany parametr jest zmienną losową, więc można go przedstawić za pomocą rozkładu prawdopodobieństwa [8]. Przewagą metody nad podejściem klasycznym jest fakt, że w podejściu bayesowskim nie ma znaczenia wielkość próby, bo zarówno dla małej, jak i większej liczby danych wnioskowanie wygląda tak samo. Podejście klasyczne zakłada natomiast wykonanie wielu prób, n [8]. Zbierając najistotniejsze informacje o obu opisanych powyżej podejściach, dokonano ich porównania w formie poniższej tabeli: Tabela 2. Porównanie podejścia klasycznego i bayesowskiego PODEJŚCIE KLASYCZNE Oparte o miarę częstości wystąpienia zdarzenia Wielkości obiektywne Szacowany parametr wielkość stała Uwzględnia jedynie informacje z próby losowej Duża liczba prób, n PODEJŚCIE BAYESOWSKIE Oparte na prawdopodobieństwie warunkowym Wielkości subiektywne Szacowany parametr zmienna losowa Uwzględnia informacje spoza próby losowej a priori Nie ma znaczenia wielkość próby 22

4.4. Przykłady zastosowania rozumowania bayesowskiego Statystyka bayesowska, podobnie jak klasyczna, może być stosowana w wielu bardzo różnych dziedzinach. Mogą to być trywialne zastosowania w grach losowych, np. określenie prawdopodobieństwa wypadnięcia orła przy rzucie monetą, jak również zastosowania w przemyśle do szacowania ilości wadliwych elementów [32]. Może być stosowana w medycynie do diagnostyki schorzeń, czy interpretacji rezultatów badań przy użyciu testów wykrywających wirusy lub narkotyki [33] oraz w wielu innych dziedzinach nauki. Statystyka bayesowska znalazła także zastosowanie w dozymetrii mieszanego promieniowania jonizującego n + γ [22, 23], co jest przedmiotem niniejszej pracy. Poniżej podano kilka przykładowych możliwości wykorzystania twierdzenia Bayesa wraz z rozwiązaniem zadanego problemu. Przykład 1: W urnie znajduje się 10 kul, które mogą być białe B lub czarne C z wykluczeniem sytuacji, że wszystkie kule są jednakowego koloru. Nie jest znany skład urny, a celem jest podanie proporcji kul białych i czarnych. Jakie proporcje są najbardziej prawdopodobne? Możliwe są następujące proporcje kul opisane kolejnymi modelami: U1 = 9B + 1C U2 = 8B + 2C U3 = 7B + 3C U4 = 6B + 4C U5 = 5B + 5C U6 = 4B + 6C U7 = 3B + 7C U8 = 2B + 8C U9 = 1B + 9C Nie wiadomo nic o proporcjach kul zawartych w urnie, dlatego przyjmuje się, że każdy z podanych modeli jest jednakowo prawdopodobny. Jest to wstępne (ogólne) przypuszczenie, czyli prawdopodobieństwo a priori: P(U1) = P(U2) = = P(U9) = 1/9 Aby przekonać się, który z podanych modeli jest najbardziej prawdopodobny należy teraz przeprowadzić eksperyment, a więc wylosować z urny kule. Niech zadaniem będzie wylosowanie przykładowo 3 kul, a wynikiem wylosowanie kul białych, czyli D=3 białe kule. Który model teraz wydaje się najbardziej prawdopodobny? W celu udzielenia odpowiedzi na to pytanie należy najpierw zastosować twierdzenie Bayesa, które dla niniejszego przykładu przybiera następującą postać: p(u i D) = p(d U i )p(u i) p(d) (4.8) 23

Aby obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania 3 białych kul pod warunkiem słuszności wypisanych modeli po wykonaniu eksperymentu, niezbędne są wiarygodności bayesowskie p(3b U i ), czyli prawdopodobieństwo wylosowania 3 białych kul w każdym modelu: P(3B U1) = 9 10 + 8 9 + 7 8 =0,7 P(3B U2) = 8 10 + 7 9 + 6 8 =0,467 P(3B U3) = 7 10 + 6 9 + 5 8 =0,292 P(3B U4) = 6 10 + 5 9 + 4 8 =0,167 P(3B U5) = 5 10 + 4 9 + 3 8 =0,083 P(3B U6) = 4 10 + 3 9 + 2 8 =0,03 P(3B U7) = 3 10 + 2 9 + 1 8 0,01 P(3B U8) = 2 10 + 1 9 + 0 8 =0 P(3B U9) = 1 10 + 0 9 + 0 8 =0 Jak widać, model U8 oraz U9 nie przewiduje wylosowania 3 białych kul, dlatego też wiarygodność bayesowska, a co za tym idzie także prawdopodobieństwa a posteriori dla tych modeli, są równe 0. Do ostatecznego wyniku potrzebna jest jeszcze znajomość czynnika normalizującego: p(d) = p(3b) = i p(3b U i )p(u i ) = 1 (0,7 + 0,467 + 0,292 + 0,160,083 + 0,03 + 9 0,0083) = 0,1946 Mając już wszystkie potrzebne informacje można przejść do ostatecznego obliczenia prawdopodobieństwa a posteriori: P(U1 3B) = P(U2 3B) = 0,467 1/9 0,1946 0,7 1/9 0,1946 = 0,3997 = 0,267 P(U3 3B) = 0,292 1/9 0,1946 = 0,167 P(U4 3B) = 0,167 1/9 0,1946 P(U5 3B) = 0,083 1/9 0,1946 = 0,095 = 0,047 P(U6 3B) = 0,03 1/9 0,1946 = 0,017 P(U7 3B) = 0,0083 1/9 0,1946 P(U8 3B) = 0 1/9 0,1946 = 0 P(U9 3B) = 0 1/9 0,1946 = 0 = 0,0047 Jak widać z otrzymanych wyników początkowe prawdopodobieństwo a priori równe dla każdego modelu 0,111 rozłożyło się po wykonaniu eksperymentu z losowaniem kul tak, że ostateczne prawdopodobieństwo a posteriori jest największe dla modelu U1 i wynosi ok. 40% szans, że to właśnie proporcje kul tego modelu znajdują się w urnie. 24

Przykład 2: W konferencji naukowej bierze udział 30% fizyków i 70% matematyków. Wśród matematyków jest 40% kobiet, a wśród fizyków kobiety stanowią tylko 10%. Przyjmując, że wybrana losowo osoba jest kobietą należy obliczyć prawdopodobieństwo, że jest ona fizykiem. Zdarzenia: A losowo wybrana osoba to kobieta B1 wybrana losowo osoba jest fizykiem B2 wybrana losowo osoba jest matematykiem Znane z zadania prawdopodobieństwa: P(B1) = 0,3 P(B2) = 0,7 P(A B1) = 0,1 p(a B2) = 0,4 Szukane jest prawdopodobieństwo tego, że wybrana osoba jest fizykiem pod warunkiem, że jest to kobieta, co można wyrazić za pomocą wzoru Bayesa: P(B1 A) = P(A B1)P(B1) P(A B1)P(B1)+P(A B2)P(B2) = 0,1 0,3 0,1 0,3+0,4 0,7 = 0,0968 10% Natomiast, jeśli szukane jest prawdopodobieństwo, że wybrana osoba jest matematykiem pod warunkiem, że jest to kobieta, wygląda następująco: P(B2 A) = P(A B2)P(B2) P(A B2)P(B2)+P(A B1)P(B1) = 0,4 0,7 0,4 0,7+0,1 0,3 = 0,903 90% Początkowe prawdopodobieństwo wyboru fizyka wynosi: P(B1) = 30%, natomiast po zaobserwowaniu zdarzenia A, że wybrana osoba jest kobietą, prawdopodobieństwo wynikowe P(B1 A) uległo znacznemu pomniejszeniu, ponieważ na konferencji jest bardzo mało fizyków wśród kobiet, bo tylko 10%. Zaś w przypadku, gdy szukane jest prawdopodobieństwo, że wybrana osoba to matematyk po zaobserwowaniu zdarzenia A, początkowe prawdopodobieństwo równe P(B2) = 70% wzrasta do P(B2 A) = 90%, ponieważ wśród matematyków jest wiele kobiet. Tak więc wiedząc, że wybrana osoba jest kobietą, początkowe prawdopodobieństwo wyboru fizyka bądź matematyka ulega znacznej modyfikacji. 25

5. Statystyczne metody wykorzystane do obliczeń składowych dawki 5.1. Metoda iteracyjna Pierwszą z metod wykorzystanych do obliczenia składowych dawki w mieszanym polu n + γ jest rekomendowana przez Międzynarodową Agencję Energii Atomowej [1, 2] metoda iteracyjna (klasyczna). Polega ona na kilkukrotnym powtórzeniu obliczeń przybliżających właściwy wynik. Kiedy stosunek dawek od neutronów i fotonów gamma w dawce całkowitej jest znany z pomiaru fizycznego, ich wielkość można obliczyć w następujący sposób [2, 3]: Początkowo wszystkie aberracje są traktowane jako pochodzące od neutronów. Wyznaczona częstość dicentryków (Y calk ) jest więc przeliczana na wartość dawki pochłoniętej (D n ) po przekształceniu równania krzywej dawka-skutek dla neutronów: Y calk = α D n + c (5.1) na postać: D n = Y calk c a (5.2) Dawkę od promieniowania γ (D γ ) oblicza się wykorzystując znany z pomiaru fizycznego stosunek dawki od neutronów i fotonów (ρ) oraz obliczoną wcześniej wartość D n. D γ = D n ρ (5.3) Dla tak wyznaczonej dawki D γ oblicza się częstość dicentryków pochodzących od promieniowania γ, za pomocą parametrów równania krzywej dawka-skutek dla promieniowania γ: 60 Co. Y γ = c + βd γ + γd γ 2 (5.4) W celu obliczenia częstości dicentryków pochodzących od promieniowania neutronowego (Y n ) zakłada się, że oba rodzaje promieniowania działały addytywnie w indukcji dicentryków i stosuje równanie: Y n = Y calk Y γ (5.5) Uzyskaną w powyższy sposób wartość częstości neutronów (Y n ) ponownie przelicza się na dawkę pochodzącą od promieniowania neutronowego (D n ), powtarzając kroki od 2 do 5, aż do momentu znalezienia kompatybilnego rozwiązania dla D n i D γ [2, 3]. 26