RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zajęca wyrówawcze AJD w Częstochowe; 2009/200 Irea Fdyte PODSTAWOWE WIADOMOŚCI Z KOMBINATORYKI Nech X { x x x } =, 2, będze daym zborem -elemetowym Z elemetów tego zboru a róże sposoby możemy budować owe zbory lub cąg sończoe Cąg - wyrazowy ( Î ) o wyrazach w zborze X możemy tratować jao fucję f :,2,, X oreśloą a zborze -perwszych lczb aturalych o wartoścach w zborze X Defcja: Kombacją -elemetową (bez powtórzeń) ze zboru -elemetowego X azywamy ażdy zbór utworzoy z elemetów zboru X, przy czym dowoly elemet zboru X może występować w ombacj bez powtórzeń co ajwyżej raz Króto: - elemetowa ombacja bez powtórzeń ze zboru -elemetowego jest -elemetowym podzborem tego zboru Twerdzee Lczba C wszystch -elemetowych ombacj (bez powtórzeń) ze zboru -elemetowego wyos : æ ö C = ç gdze 0 è ø Przyład W zebrau wyborczym wzęło udzał 30 uczestów spośród tórych wybrao 4-osobowy zarząd Istało zarządu 4 æ C 30 = 30 ö ç = 27 405 è4 ø możlwych sposobów wyboru Defcja Permutacją zboru X { x x } =,, azywamy ażdy - wyrazowy, różowartoścowy cąg utworzoy ze wszystch elemetów zboru X Iaczej : f :,2,, X permutacją zboru X azywamy ażdą wzajeme jedozaczą fucję Twerdzee Lczba P wszystch permutacj zboru -elemetowego, w tórym wszyste elemety są rozróżale, wyos: P =! Przyład Wsal wyładowej, w tórej zajduje sę 30 mejsc zasadło 30 studetów Isteje 30! różych możlwośc ch rozsadzea - -
Defcja Załóżmy, że -elemetowy zbór X podzeloy jest a m podzborów X, X2,, X m, z tórych ażdy zawera odpowedo, 2, m erozróżalych mędzy sobą elemetów, przy czym + 2 + + m = Każdą permutację taego zboru X azywamy permutacją z powtórzeam tego zboru Dwe tae permutacje są erozróżale, jeżel różą sę jedye mejscam erozróżalych elemetów W przecwym wypadu permutacje są rozróżale Twerdzee Lczba (, 2,, P m ) rozróżalych permutacj z powtórzeam zboru X wyos (, 2,, m )! P =!!! 2 m Przyład Z pęcu cyfr: 4, 4, 5, 5, 5 możemy zbudować lczb pęcocyfrowych ( 2,3) 5! P 5 = = 0 różych 2!3! Defcja Waracją -wyrazową ze zboru -elemetowego X azywamy ażdy - wyrazowy cąg o wyrazach w zborze X Jeżel wszyste wyrazy cągu są róże, to mówmy o waracj bez powtórzeń, jeżel atomast wyrazy cągu powtarzają sę, to mówmy, o waracj z powtórzeam Iym słowy: -wyrazową waracją z powtórzeam ze zboru - elemetowego X azywamy fucję f :{, 2,, } X = { x, x2, x } eoecze różowartoścową, atomast -wyrazową waracją bez powtórzeń ze zboru - elemetowego X azywamy różowartoścową fucję f :{, 2,, } X = { x, x2, x } Twerdzee Lczba V wszystch -wyrazowych waracj bez powtórzeń ze zboru -elemetowego wyos :! V =, gdze,, ( -)! Î Natomast lczba V wszystch -wyrazowych waracj z powtórzeam ze zboru - elemetowego wyos : V = gdze, Î Przyład Spośród 30 uczestów zebraa wyborczego ależy wybrać 4-osobowy zarząd złożoy z przewodczącego, wceprzewodczącego, seretarza sarba Moża to 4 30! zrobć a V 30 = = 657720 sposobów 30-4! ( ) Przyład Na parterze 0-pętrowego blou wsada do wdy 7 pasażerów Mogą o 7 7 wysąść a pętrach a V 0 = 0 sposobów - 2 -
Rachue prawdopodobeństwa Dośwadczee losowe, częstość względa wyu, prawdłowość statystycza Defcja Dośwadczeem losowym azywamy tae dośwadczee, tóre teoretycze moża powtórzyć esończee wele razy w tych samych waruach w olejych powtórach otrzymać rózące sę mędzy sobą wy Przyład Dośwadczee D Iteresujące as wy rzut moetą wypade orzeł czy resza 2 rzut oścą lość ocze, tóra wypade 3 rzut oścą parzysta, czy eparzysta lczba ocze, tóra wypade 4 losowae umerów w Toto-lotu ombacja lczb, tóra wypade 5 -rote strzelae do celu lczba trafeń 6 -rote strzelae do celu w tórym strzale cel został trafoy Defcja Załóżmy, że w pewym dośwadczeu losowym D teresuje as wy A p w rzuce oścą teresuje as, czy wypade parzysta lczba ocze Jeżel przy - rotym powtórzeu dośwadczea D w tych samych waruach teresujący as wy A otrzymamy A razy, to lczbę A ha = azywamy częstoścą względą wyu A Oczywśce ha Î 0; Moża zaobserwować, że częstość względa wyu ma pewą własość, tóra służy jao fudamet asjomatyczej defcj prawdopodobeństwa Maowce, moża zauważyć, że wraz ze wzrostem (lczby dośwadczeń) częstość względa h wyu A staje sę blsa pewej lczbe p, zwaej prawdłowoścą statystyczą wyu A Oczywśce, A róweż pa Î 0; Np częstość wyrzucea orła w rzuce moetą staje sę blsa 2, częstość wyrzucea 3 ocze w rzuce oścą staje sę blsa Celem rachuu 6 prawdopodobeństwa jest ustalee prawdłowośc statystyczej wyu A w dośwadczeu D, zwaej dalej prawdopodobeństwem zajśca zdarzea A, przy użycu stosowego modelu matematyczego A -3-
Nr dośw D 2 Przestrzeń zdarzeń elemetarych, zdarzee elemetare, zdarzee losowe Przestrzeń zdarzeń elemetarych zdarzee elemetare są pojęcam perwotym rachuu prawdopodobeństwa Przestrzeń zdarzeń elemetarych będzemy ozaczal lterą W, a zdarzee elemetare lterą w Dla daego dośwadczea losowego D teresującego as wyu A ustalamy przestrzeń zdarzeń elemetarych uwzględając astępujące zasady: Zdarzee elemetare w ma być matematyczym modelem pojedyczego, możlwego wyu dośwadczea D ; 2 Dwa róże zdarzea elemetare mają reprezetować wyluczające sę pojedycze wy dośwadczea D ; 3 Przestrzeń zdarzeń elemetarych W ma być zborem wszystch możlwych, pojedyczych, wyluczających sę wzajeme zdarzeń elemetarych Iteresujący as wy A może być reprezetoway przez pojedycze zdarzee elemetare lub przez pewe podzbór przestrze zdarzeń elemetarych zawerający węcej ż jedo zdarzee elemetare Defcja Jeżel przestrzeń zdarzeń elemetarych W jest zborem sończoym, to zdarzeem losowym azywamy ażdy podzbór A przestrze W Zbór pusty Æ azywamy zdarzeem emożlwym, a zbór W azywamy zdarzeem pewym Przyład Załadamy, że rozpatrujemy dośwadczea losowe teresujące as wy poumerowae w taej olejośc ja w poprzedm przyładze Przestrzeń zdarzeń elemetarych W moc W zboru W { or, } - 4 - Objaśea zdarzeń elemetarych w W= ; W= 2 o - w rzuce moetą wypade orzeł, r - wypade resza W= w, w,, w ; W= 6 w - a ostce wypadło ocze dla Î {,2,,6} 2 3 { p, } 2 6 W= ; W= 2 4 {,,, }: {, 2,, 49 }, {,2,,6} W = Î Î ; W= C49 6 2 6 æ49ö = ç = 398386 è6 ø 5 { s, s,, s }: s { t, c}, {,2,, } W = Î Î ; 2 æ2+ - ö æ+ ö W= C 2 = ç = = ç + è ø è ø lub W= { w0, w,, w} 6 ( s, s,, s ) : s { t, c}, {, 2,, } W = Î Î ; 2 W= V 2 = 2 p - a ostce wypadła parzysta lczba ocze, - wypadła eparzysta lczba ocze,,, - w Toto-lotu wylosowao 2 6 lczby :, 2,, 6 t - strzelec trafł w pojedyczym strzale, c - strzelec chybł w pojedyczym strzale w - w ser - strzałów strzelec trafł do celu Î 0,,, - razy, s s = t ozacza, że strzelec trafł w -tym strzale, = c ozacza, że strzelec chybł w -tym strzale
Przyjmujemy astępujące owecje słowe: - Jeżel AÎS w Î A, to mówmy, że zdarzee elemetare w sprzyja zajścu zdarzea A - Zdarzee A zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz choć jedo ze zdarzeń elemetarych w ależących do A, tz wy dośwadczea jest reprezetoway przez jedo lub węcej zdarzeń elemetarych ależących do A - Suma AÈ A2È zdarzeń A, A2, zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz co ajmej jedo ze zdarzeń A, A 2, - Iloczy AÇ A2 Ç zdarzeń A, A 2, zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz ażde ze zdarzeń A, A 2, - Różca A\B zdarzeń A B zachodz wtedy tylo wtedy, gdy zachodz zdarzee A e zachodz zdarzee B - Mówmy, że zdarzee A pocąga zdarzee B lub, że z zajśca zdarzea A wya zajśce zdarzea B wtedy tylo wtedy, gdy AÌ B - Zdarzea A B wyluczają sę wzajeme wtedy tylo wtedy, gdy AÇ= B Æ - Dopełee A' =W \ A zdarzea A azywamy zdarzeem przecwym do A - Zbór pusty Æ azywamy zdarzeem emożlwym, a zbór W azywamy zdarzeem pewym Przyład Nr dośwd Ops zdarzea z opsaą przestrz W 2 A - a ostce wypadła parzysta lczba ocze B - a ostce wypadły co ajwyżej 4 ocza Zdarzee A= { w2, w4, w6} B = { w, w2, w3, w4} 3 A - a ostce wpadła parzysta lczba ocze A= { p} 6 A - strzelec trafł w perwszym strzale A= {( t, s2,, s) : sî{ t, c}, Î{ 2,3,, } } B - strzelec trafł w ostatm strzale C - strzelec trafł w perwszym ostatm B= {( s,, s-, t) : s Î{ t, c}, Î{,, -}} strzale AÇ B ( t, = s2,, s-, t) : sî{ t, c}, Î{ 2,, -} A= ( x, y) :0< x,0 y < x 9 A - wybralśmy put pożej prostej y = x 3 Prawdopodobeństwo Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, a S - zborem wszystch zdarzeń losowych w tej przestrze Prawdopodobeństwem w W azywamy fucję P: S 0; spełającą astępujące waru: ) P( W ) = ; 2) jeśl A ÎS, A Ç A = dla,, Æ ¹ Î, to P( A A ) P( A ) P( A ) È È = + + 2 2 Jeżel AÎ S, to lczbę PA ( ) azywamy wówczas prawdopodobeństwem zdarzea A - 5 -
Własośc prawdopodobeństwa: ) P ( Æ ) = 0 (prawdopodobeństwa zdarzea emożlwego wyos zero) 2) Jeżel zdarzea A, A2,, A m ( mî ) wyluczają sę param, tz A Ç= A Æ dla,,,2,, m P A ÈA È È= A P A + P A + + P A ¹ Î, to ( ) ( ) ( ) ( ) 2 m 2 3) Jeżel zdarzee A pocąga zdarzee B ( AÌ B), to PA ( ) PB ( ) 4) Dla dowolych zdarzeń A B zachodz warue: P( AÈ B) = P( A) + P( B) -P( AÇB) 4 Prawdopodobeństwo lasycze Defcja Mówmy, że w sończoej przestrze W (lczba elemetów zboru W jest sończoa) jest oreśloe prawdopodobeństwo lasycze P, jeżel ażde zdarzee elemetare w tej przestrze jest jedaowo prawdopodobe Uwaga Prawdopodobeństwo lasycze P ma astępujące własośc: ) Jeżel W,( =Î ), tz W= { w, w2,, w}, to P( { w } ) = dla Î {, 2,, } A 2) PA ( ) = AÌW W = ( Î ), to PA ( ) =, ", tz jeśl A, { 0,, 2,, } ( A - ozacza lczbę elemetów zboru A) Modele z lasyczym prawdopodobeństwem stosujemy wtedy, gdy waru dośwadczea wsazują a to, że ażdy wy opsyway przez pojedycze zdarzee elemetare jest jedaowo możlwy Przyład W ure jest N ul przy czym spośród ch jest bałych, < N, N, Î Losujemy bez zwracaa K ul Jae jest prawdopodobeństwo tego, że wśród wylosowaych K N, 0 m K,, N - ³ K -, czyl ul mamy dołade bałych? ( : = max{ 0, K - N + } m {, K} = : ) 2 Rozwązae Zdarzeem elemetarym jest ombacja wylosowaych K ul spośród æn ö N Zatem W=ç Wybór ażdej ombacj jest jedaowo możlwy, zatem stosujemy èk ø prawdopodobeństwo lasycze Nech Î,, będze zdarzeem polegającym A, 2 a tym, że wśród wylosowaych K ul mamy dołade bałych Zauważmy, że do ażdej ombacj bałych ul, wybraej spośród wszystch bałych ul, możemy dobrać a æn - ö ç sposobów pozostałe K - czarych ul Zatem zdarzeu A sprzyja èk - ø æöæn - ö A = ç ç zdarzeń elemetarych Wobec tego èøèk - ø - 6 - m
æöæn -ö ç ç A K {,, 2} p PA ( ) è øè - ø " = = = Î W ænö ç èkø Przyład Weźmy pod uwagę opsae już wcześej dośwadczee polegające a - rotym strzelau do celu, przy czym teresuje as lczba trafeń Możemy tutaj zbudować dwe róże przestrzee zdarzeń elemetarych: W = { w0, w,, w}, gdze w j ozacza, że strzelec trafł dołade j-razy w ser -strzałów, { 0,,, } W = + ; ( s, s,, s ): s { t, c}, {, 2,, } jî, W = Î Î 2 2 s = t ozacza, że strzelec trafł w -tym strzale, s strzale; W = V 2 = 2 2 Nech = c ozacza, że strzelec chybł w -tym Aj ozacza zdarzee w przestrze W 2 polegające a tym, że strzelec traf dołade j-razy w ser -strzałów Zdarzee to ozacza to samo co zdarzee elemetare w j w przestrze W Poeważ przyjmujemy, że w ażdym pojedyczym strzale jest jedaowo możlwe osągęce celu ja jego chybee, to w przestrze W 2 ażde zdarzee elemetare reprezetuje wy jedaowo możlwy Wobec tego stosujemy prawdopodobeństwo lasycze w W 2 Poeważ æö A ç j j j { 0,,, } P( A è ø " Î j ) = =, W 2 to wdzmy, że prawdopodobeństwa zdarzeń A j są róże W przestrze W ozaczają oe prawdopodobeństwa zdarzeń elemetarych w j, a dołade: æö ç j { 0,,, } P j ( wj) P( A è ø " = Î j) = 2 æö æö ç 0 ç P w0 = è ø = < P w = è = ø, o le ³ 2 2 2 2 2 Wdzmy teraz, że p ( ) ( ) - 7 -
5 Prawdopodobeństwo waruowe Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Załóżmy, że BÎ S jest zdarzeem losowym o dodatm prawdopodobeństwe, tz PB ( ) > 0 Prawdopodobeństwem waruowym azywamy fucję P( g B) : S 0; oreśloą wzorem: ( ÇB) P A " P( AB) : = AÎS PB ( ) Wartość P( AB ) azywamy wówczas prawdopodobeństwem zajśca zdarzea A pod waruem, że zaszło zdarzee B Twerdzee Fucja P( g B) : S 0; jest (owym) prawdopodobeństwem w W Twerdzee Jeżel A, A2,, A S, ( ) Î Î ( ) P AÇA2Ç Ç A ¹ 0, to ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P AÇ A2Ç Ç= A P A P A2 A P A3 AÇ A2 P A AÇ A2Ç Ç A - Dowód Stosując wzór a prawdopodobeństwo waruowe otrzymujemy, że P A P A A P A A Ç A P A A Ç A Ç Ç= A ( ) ( 2 ) ( 3 2) ( 2 -) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Ç Ç Ç ) P A ( - ) ( ) ( ) ( ) P AÇ A2 P AÇ A2Ç A3 P AÇ A2Ç ÇA P AÇ A2Ç ÇA = P A P A Ç A P A Ç A Ç Ç A P A Ç A Ç Ç A P A A A 2 2 2-2 2 - Przyład Z tal 52 art wycągęto losowo artę Jae jest prawdopodobeństwo, że jest to sódema, jeżel wadomo, że wycągęta arta e jest fgurą a asem Rozwązae Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest sończoa { w, w52} {,2,,52} ( ) W=, gdze w Î ozacza wycągęce -tej arty Stosujemy prawdopodobeństwo lasycze Nech A będze zdarzeem polegającym a wycągęcu sódem Wówczas A = 4 Natomast przez B ozaczmy zdarzee polegające a wyborze blot Wówczas B = 36 AÇ B= 4 Teraz P( AB) ( Ç ) Ç W Ç 4 P A B A B A B = = = = = PB ( ) W B B 36 9 Zadae (do samodzelego rozwązaa) ) Z paperowej torby zawerającej 5 cuerów mętowych 7 owocowych wyberamy losowo, bez zwracaa trzy razy po jedym cueru Jae jest prawdopodobeństwo tego, że za perwszym drugm razem wyberzemy cuere owocowy, a za trzecm razem - mętowy? - 8 -
6 Prawdopodobeństwo całowte Twerdzee Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Jeżel B, B, ( Î ) są zdarzeam param wyluczającym sę ( ) (tz B Ç B =, dla,, {,, } Æ ¹ Î, o dodatch prawdopodobeństwach A jest tam zdarzeem, że AÌ B È È B, to zachodz wzór: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P A = P A B P B + + P A B P B Dowód P( A) = P AÇ B È È B = P AÇB È È AÇ B = ( ( ) ) (( ) ( ) ) ( Ç ) + + ( Ç = ) ( ) ( ) + + ( ) ( ) P A B P A B P A B P B P A B P B Przyład W pewej fabryce maszyy typu X, Y, Z dają odpowedo: 25%, 35% 40% producj daego wyrobu Maszyy te produują odpowedo: 5%, 4% 2% braów Wylosowao próbę tego towaru a) Jae jest prawdopodobeństwo, że wylosowalśmy towar dobry? b) Jae jest prawdopodobeństwo, że został o wyproduoway przez maszyę typu X soro oazał sę wadlwy? Rozwązae Ozaczmy przez: A- zdarzee polegające a wylosowau produtu maszyy typu X, B- typu Y, C - typu Z, D - zdarzee polegające a wylosowau produtu dobrego, W - wadlwego a) Oblczamy: 95 25 96 35 98 40 P( D) = P( D A) P( A) + P( D B) P( B) + P( D= C) P( C) + + = 0,9655 00 00 00 00 00 00 P AW Zgode ze wzorem a prawdopodobeństwo b) Naszym zadaem jest oblczyć : ( ) waruowe otrzymujemy, że P( AÇW) P( AW) = PW ( ) Z waruów zadaa wya, że PA ( Ç W) = PWAPA ( = ) ( ) 5 25 = 00 00 80 Natomast ze wzoru a prawdopodobeństwo całowte otrzymujemy, że 5 25 4 35 2 40 PW ( ) = PWAPA ( ) ( ) + PWBPB ( ) ( ) + PWC ( = ) PC ( ) + + = 345 00 00 00 00 00 00 0000 Iaczej : PW ( ) = - PD ( ) =- 0,9655 = 0,0345 Teraz 0000 0000 00 25 P( AW ) = = = = 80 345 27600 276 66-9 -
W ostatm zadau zastosowalśmy metodę, opartą a tzw wzorze Bayesa: Twerdzee Bayesa Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Jeżel B, B, ( Î ) są zdarzeam param wyluczającym sę ( ) (tz B Ç B =, dla,, {,, } Æ ¹ Î, o dodatch prawdopodobeństwach A jest tam zdarzeem, że AÌ B È È B, oraz PA> ( ) 0, to zachodz wzór: P,, ( B j A) P( A Bj) P( Bj) ( ) ( ) + + ( ) ( ) " = jî P A B P B P A B P B Dowód Dla dowole ustaloego j {,, } ( j A) P B Î mamy: ( j Ç ) ( Ç j) ( j) ( j) PA ( ) PA ( ) P( A B ) P( B ) + + P( A B ) P( B ) P B A P A B P A B P B = = = Występujące we wzorze Bayesa prawdopodobeństwa : P( B j ) dla jî K azywamy "prawdopodobeństwam a pror" (prawdopodobeństwa wyzaczoe a podstawe przyjętych z góry założeń przed formacją o zajścu zdarzea A), atomast prawdopodobeństwa waruowe: P( Bj A ) dla jî K azywamy "prawdopodobeństwam a posteror" (prawdopodobeństwa wyzaczoe po dośwadczeu, w oparcu o formację, że zaszło zdarzee A) Reguła ajwęszego prawdopodobeństwa a posteror Załóżmy, że w przestrze probablstyczej ( W, SP, ) mamy dae dwa cąg zdarzeń (sończoe lub e): A, A 2, oraz B, B 2,, przy czym zdarzea w ażdym cągu wyluczają sę param oraz suma zdarzeń ażdego cągu jest zdarzeem pewym Załóżmy poadto, że możemy zaobserwować, tóre ze zdarzeń A, A 2, zajdze, ale e możemy tego zrobć w odeseu do zdarzeń B, B 2, Jeżel po dośwadczeu oazuje sę, że zaszło zdarzee A, to oblczając prawdopodobeństwa a posteror ( j ) zdarzee P B A dla j Î{,2, } wyberając ajwęsze z ch domyślamy sę, że zaszło to B, dla tórego prawdopodobeństwo a posteror jest ajwęsze Przyład Przyjmjmy waru zadaa z poprzedego przyładu Załóżmy, że e moglśmy obserwować procesu producj, ale wybralśmy wadlwą próbę towaru Oblczając prawdopodobeństwa a posteror : P( AW), P( BW), P( CW ) wyberając ajwęsze z ch, przypuszczamy, tóry załad wyproduował wybraą próbę - 0 -
7 Zdarzea ezależe Defcja Nech W będze przestrzeą zdarzeń elemetarych, S - zborem wszystch zdarzeń losowych, a P: S 0; - prawdopodobeństwem w tej przestrze Mówmy, że dwa zdarzea A, BÎ S są ezależe, wtedy tylo wtedy, gdy P( AÇ B) PA = ( ) PB ( ) Mówmy, że zdarzea A, A2,, AÎS,( Î ) są wzajeme ezależe (lub, że tworzą zespół zdarzeń wzajeme ezależych) wtedy tylo wtedy, gdy dla dowolych desów j < j2 < < j mamy: (*) P( Aj Aj ) P( Aj ) P( Aj ) Ç Ç = g g Uwaga Dwa zdarzea A, BÎ S o dodatm prawdopodobeństwe są ezależe wtedy tylo wtedy, gdy: P( AB) = PA ( ) lub P( BA) PB ( ) = Przyład Bersteja Na płaszczyzę rzucamy symetryczy czworośca, tórego trzy ścay pomalowae są odpowedo a: czerwoo, ebeso zeloo, a czwarta ścaa zawera wszyste trzy olory Nech C ozacza zdarzee polegające a tym, że przy rzucau czworoścau, a płaszczyzę upadła ścaa zawerająca olor czerwoy, N -ebes, Z - zeloy W= czt,,,, gdze c - ozacza zdarzee elemetare Przestrzeą zdarzeń elemetarych jest : polegające a tym, że przy rzucau czworoścau, a płaszczyzę upadła ścaa czerwoa, - ebesa, z - zeloa, a t - trójolorowa Poeważ ażde zdarzee elemetare jest jedaowo możlwe, to w przestrze W P jest prawdopodobeństwem lasyczym Poadto, C c, t, N, t, Z z, t, C N C Z N Z C N Z = t = { = } = Ç = Ç = Ç = Ç Ç 2 PC ( ) = PN ( = ) = PZ ( = ), 4 2 P( CÇ N) = P( CÇ Z) = P( N Ç Z) = = = PCPN ( ) ( ) = PCPZ ( ) ( ) = PNPZ ( ) ( ), atomast 4 2 2 3 PC ( N Z) æ ö Ç Ç =¹ ç = PCPNPZ ( = ) ( ) ( ) 4 8 è2ø Ozacza to, że zdarzea C, N, Z są param ezależe, ale e są wzajeme ezależe zespołowo Przyład Strzelec dwurote strzela do celu Nech {( tt, ),( tc, ),( ct, ),( cc, )} W=, gdze t - ozacza trafee w pojedyczym strzale, a c - ozacza chybee w pojedyczym strzale p Î 0;, Przyjmujemy, że strzelec trafa do celu w pojedyczym strzale z prawdopodobeństwem ( ) a chyba - z prawdopodobeństwem q = -p Poeważ wy pojedyczych strzałów są od sebe ezależe, to przyjmujemy, że prawdopodobeństwo zdarzea elemetarego reprezetującego wy dwurotego strzelaa do celu jest loczyem prawdopodobeństw wyów osągętych w pojedyczych strzałach Wobec tego przyjmujemy, że : () ( ) () () 2 2 P (, t t = p, P (, t c pq = P (, c t, P (, c c = q = - -
Nech A ÌW będze zdarzeem polegającym a trafeu w perwszym strzale, a B ÌW - a trafeu w drugm strzale Wówczas: A= (,),(, tt = tc), B (,),( tt ct,), AÇ B= (,) tt Zdarzea A B są ezależe, poeważ : 2 PA ( ) = p + pq= PB ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 PAPB ( ) ( ) = p + pq = p + p( - p) = p + p- p = p= PA ( ÇB) 8 Schemat Beroull'ego Załóżmy, że dośwadczee D polega a - rotym powtórzeu tego samego dośwadczea D, przy czym za ażdym razem w dośwadczeu D teresuje as wy A Wówczas dośwadczee D azywamy schematem Beroull'ego, a ażdorazowe powtórzee dośwadczea D - próbą Beroull'ego Zdarzee polegające a otrzymau wyu A w dośwadczeu D azywamy sucesem w pojedyczej próbe Beroull'ego, zaś zdarzee polegające a otrzymau zdarzea przecwego A' - porażą Poeważ w dośwadczeu D teresują as tylo dwa wy: A A', to przestrzeń probablstyczą ( W, S, P) modelującą dośwadczee D oreślamy astępująco: W = s p { w w },, gdze s w ozacza suces w pojedyczej próbe Beroull'ego, zaś porażę; prawdopodobeństwo P w W oreśloe jest waruam: s p ( w ) ( w ) p w - P = p=, P= q - p, gdze p Î 0; ( p jest prawdopodobeństwem sucesu, q - prawdopodobeństwem poraż) Jeżel suces jest możlwy, ale e jest pewy, to pqî, (0;) Przyjmujemy, że przestrzeń W modelująca D jest postac : { (, 2,, ) : s {, p w w w w w w w }, {,2,, } } W = =Î Î, tz przestrzeń ta jest zborem - wyrazowych cągów, przy czym ażdy wyraz cągu jest sucesem lub porażą Teraz, mając a uwadze ezależość wyów olejych prób defujemy prawdopodobeństwo P w W astępująco: - " P( w) = P( w) P( w2) P( w) = pq, wîw gdze jest lczbą wszystch sucesów Ozaczmy, przez, E ( E,, 0 ) w s występujących w cągu w ( w, w2,, w ) = ÌW zdarzee polegające a tym, że w - próbach Beroull'ego otrzymamy dołade - sucesów Zdarzeu E, sprzyja tyle zdarzeń elemetarych w, a le sposobów moża ustawć sucesów w s w -wyrazowym cągu æö w = ( w,, E, = C = w ) ; wobec tego: ç èø Zatem: (, ) PE æö =ç pq èø - - 2 -
Przyład Ile razy ależy rzucać ostą, aby prawdopodobeństwo tego, że choć raz wypade "5" było emejsze ż 0,5? Rozwązae Próbą Beroull'ego jest pojedyczy rzut ostą, sucesem - wypadęce "5" w pojedyczym rzuce Prawdopodobeństwo sucesu wyos: p = Lczba prób jest ezaa 6 Przyjmując ozaczea z poprzedego paragrafu ależy ta wyzaczyć, aby P E + + P E ³ 0,5 Wówczas 0,5 = - 0,5³ (, ) (, ) æö 0 0 5 ³ -P( E, È È E, ) = P( W\ ( E, È È E, )) = P( E,0 ) p ( p) - æ ö = ç - = 0 ç 6 è ø è ø æ ö Zatem ³ log 5 ç» 3,8 Wobec tego ależy rzucać ostą co ajmej 4 razy 6 è2 ø Masymale prawdopodobeństwo w schemace Beroull'ego Oblczymy teraz ajbardzej prawdopodobą lczbę sucesów w schemace - prób Beroull'ego Przyjmujemy za ajbardzej prawdopodobą tę lczbę sucesów -, dla tórej P E jest ajwęsze w zborze wszystch prawdopodobeństw : prawdopodobeństwo (, ) { P( E, ) : Î { 0,,, } } P( E, ) (a) (, ) (a) P E - ³ oraz (b) æö pq ç èø æ ö ç p q è-ø - - -+ W tym celu rozwążemy erówośc: (, + ) (, ) P E P E ³ ; (b) dla Î{,2,, - }, o le ³ 2 æ ö ç p q è+ ø æö pq ç èø + -- - ;! p!( -)! ³ ;! q ( -)!( - + )!! p ( + )!( --)!! q!( -)! ;! ( -)!( - + )! p ³ ;!( -)!! q!!( -)! p ( + )!( --)!! q ; - + p -p ³ ; q + q ; p - p + p ³ q ; ( + ) p³ ( p+ q) ; ( + ) p³ p - p q + q ; p-( - p) ( p+ q) ; ( + ) p- - 3 -
Jeżel węc lczba { 0,,, } Î speła obydwe erówośc: ( + ) p- ( + ) p, to jest oa ajbardzej prawdopodobą lczbą sucesów w schemace - prób Beroull'ego, gdyż wartośc prawdopodobeństw ze zboru P( E, ) : { 0,,, } P( E,0 ) P( E, ) P( E, -) P( E, ) oraz P( E, ) ³ P( E, + ) ³ ³ P( E, -) ³ P( E, ) Î spełają erówośc: Dołada aalza rozwązań erówośc (a) oraz (b) poazuje, że zawsze steje jeda lub co ajwyżej dwe ( w przypadu, gdy ( + ) pî ) ajbardzej prawdopodobe lczby sucesów w schemace - prób Beroull'ego Przyład Oblcz ajbardzej prawdopodobą lczbę "szóste" przy 3 rzutach ostą Rozwązae Przyjmując ozaczea poprzedego paragrafu wosmy, że : = 3, p=, ( + ) p- =, ( + ) p= 2 Wobec tego = 2 jest ajbardzej prawdopodobą 6 3 3 lczbą "szóste " przy 3 rzutach ostą - 4 -