PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
Zadanie 1. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 2. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń: 3) mnoży i dzieli liczbę naturalną przez liczbę naturalną jednocyfrową, dwucyfrową lub trzycyfrową pisemnie, w pamięci (w najprostszych przykładach) i za pomocą kalkulatora (w trudniejszych przykładach). C Zadanie 2. (0 1) 2. Liczby wymierne (dodatnie i niedodatnie). Uczeń: 1) interpretuje liczby wymierne na osi liczbowej. Oblicza odległość między dwiema liczbami na osi liczbowej; 3) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne. B Zadanie 3. (0 1) 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 3) zamienia ułamki zwykłe na ułamki dziesiętne (także okresowe), zamienia ułamki dziesiętne skończone na ułamki zwykłe. 4. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń: 3) skraca i rozszerza ułamki zwykłe; 12) porównuje ułamki (zwykłe i dziesiętne). B 2 z 14
Zadanie 4. (0 1) 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli liczby wymierne zapisane w postaci ułamków zwykłych lub rozwinięć dziesiętnych skończonych zgodnie z własną strategią obliczeń (także z wykorzystaniem kalkulatora). A Zadanie 5. (0 1) 3. Potęgi. Uczeń: 3) zapisuje w postaci jednej potęgi: iloczyny i ilorazy potęg o takich samych podstawach, iloczyny i ilorazy potęg o takich samych wykładnikach oraz potęgę potęgi (przy wy kładnikach naturalnych). 2. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń: 6) porównuje różnicowo i ilorazowo liczby naturalne. FF Zadanie 6. (0 1) 3. Potęgi. Uczeń: 5) zapisuje liczby w notacji wykładniczej, tzn. w postaci a 10 k, gdzie 1 a < 10 oraz k jest liczbą całkowitą. B 3 z 14
Zadanie 7. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 4. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Uczeń: 1) opisuje część danej całości za pomocą ułamka. 11. Obliczenia w geometrii. Uczeń: 2) oblicza pola: kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trójkąta, trapezu przedstawionych na rysunku (w tym na własnym rysunku pomocniczym) oraz w sytuacjach praktycznych. C Zadanie 8. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 5. Procenty. Uczeń: 4) stosuje obliczenia procentowe do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, np. oblicza ceny po podwyżce lub obniżce o dany procent, wykonuje obliczenia związane z VAT, oblicza odsetki dla lokaty rocznej. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 1) interpretuje dane przedstawione za pomocą tabel, diagramów słupkowych i koło wych, wykresów. PF 4 z 14
Zadanie 9. (0 1) 4. Pierwiastki. Uczeń: 3) mnoży i dzieli pierwiastki drugiego stopnia. 10. Figury płaskie. Uczeń: 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. 2. Działania na liczbach naturalnych. Uczeń: 6) porównuje różnicowo i ilorazowo liczby naturalne. B Zadanie 10. (0 1) 4. Pierwiastki. Uczeń: 1) oblicza wartości pierwiastków drugiego i trzeciego stopnia z liczb, które są odpowiednio kwadratami lub sześcianami liczb wymiernych. C Zadanie 11. (0 1) 6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń: 2) oblicza wartości liczbowe wyrażeń algebraicznych; 3) redukuje wyrazy podobne w sumie algebraicznej; 5) mnoży jednomiany, mnoży sumę algebraiczną przez jednomian oraz, w nietrudnych przykładach, mnoży sumy algebraiczne. FF 5 z 14
Zadanie 12. (0 1) 7. Równania. Uczeń: 2) sprawdza, czy dana liczba spełnia równanie stopnia pierwszego z jedną niewiadomą. D Zadanie 13. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 6. Wyrażenia algebraiczne. Uczeń: 1) opisuje za pomocą wyrażeń algebraicznych związki między różnymi wielkościami. C Zadanie 14. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 8. Wykresy funkcji. Uczeń: 4) odczytuje i interpretuje informacje przedstawione za pomocą wykresów funkcji (w tym wykresów opisujących zjawiska występujące w przyrodzie, gospodarce, życiu codziennym). B 6 z 14
Zadanie 15. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 4) wyznacza średnią arytmetyczną i medianę zestawu danych. D Zadanie 16. (0 1) IV. Użycie i tworzenie strategii. 9. Statystyka opisowa i wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa. Uczeń: 5) analizuje proste doświadczenia losowe (itp. rzut kostką, rzut monetą, wyciąganie losu) określa prawdopodobieństwa najprostszych zdarzeń w tych doświadczeniach (prawdopodobieństwo wypadnięcia orła w rzucie monetą, dwójki lub szóstki w rzucie kostką, itp.). A 1 pkt poprawna odpowiedź. 0 pkt odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie 17. (0 1) 10. Figury płaskie. Uczeń: 7) stosuje twierdzenie Pitagorasa. 9. Wielokąty, koła, okręgi. Uczeń: 2) konstruuje trójkąt o trzech danych bokach; ustala możliwość zbudowania trójkąta (na podstawie nierówności trójkąta). PP 7 z 14
Zadanie 18. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 10. Figury płaskie. Uczeń: 9) oblicza pola i obwody trójkątów i czworokątów. 14. Zadania tekstowe. Uczeń: 3) dostrzega zależności między podanymi informacjami. NC Zadanie 19. (0 1) V. Rozumowanie i argumentacja. 10. Figury płaskie. Uczeń: 21) konstruuje okrąg opisany na trójkącie oraz okrąg wpisany w trójkąt. C 1 pkt poprawna odpowiedź. 0 pkt odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi. Zadanie 20. (0 1) III. Modelowanie matematyczne. 10. Bryły. Uczeń: 3) rozpoznaje siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów. D 8 z 14
ZADANIA OTWARTE Uwagi: Za każde inne niż przedstawione poprawne rozwiązanie przyznaje się maksymalną liczbę punktów. Jeśli na jakimkolwiek etapie rozwiązania zadania uczeń popełnił jeden lub więcej błędów rachunkowych, ale zastosował poprawne metody obliczania, to ocenę rozwiązania obniża się o 1 punkt. W pracy ucznia uprawnionego do dostosowanych kryteriów oceniania dopuszcza się: 1. lustrzane zapisywanie cyfr i liter (np. 6 9,...) 2. gubienie liter, cyfr, nawiasów 3. problemy z zapisywaniem przecinków w liczbach dziesiętnych 4. błędy w zapisie działań pisemnych (dopuszczalne drobne błędy rachunkowe) 5. luki w zapisie obliczeń obliczenia pamięciowe 6. uproszczony zapis równania i przekształcenie go w pamięci; brak opisu niewiadomych 7. niekończenie wyrazów 8. problemy z zapisywaniem jednostek (np. C OC,...) 9. błędy w przepisywaniu 10. chaotyczny zapis operacji matematycznych 11. niepoprawny zapis indeksów dolnych i górnych (np. x 2 x2, m 2 m2,...). Zadanie 21. (0 3) V. Rozumowanie i argumentacja. 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 7) stosuje obliczenia na liczbach wymiernych do rozwiązywania problemów w kontekście praktycznym, w tym do zamiany jednostek (jednostek prędkości, gęstości itp.). 7. Równania. Uczeń: 7) za pomocą równań lub układów równań opisuje i rozwiązuje zadania osadzone w kontekście praktycznym. Przykładowe rozwiązania I sposób Porównajmy ceny poszczególnych roślin: 21 16 = 5 16 11 = 5 Zatem różnica cen kaktusa i fiołka oraz storczyka i kaktusa wynosi 5 zł. Za fiołka i kaktusa Maria zapłaciłaby 11 zł, czyli cenę fiołka można obliczyć następująco: 11 5 = 6 6 : 2 = 3 Zatem za wszystkie rośliny Maria zapłaciła: 3 + 3 + 5 + 3 + 10 = 24 Odpowiedź: Maria zapłaciła za wszystkie rośliny 24 zł. 9 z 14
II sposób I cena fiołka II cena kaktusa III cena storczyka II + III = 21 zł I + III = 16 zł II I = 5 zł I + III = 16 zł I + II = 11 zł III II = 5 zł Zatem różnica między ceną kaktusa i ceną fiołka oraz storczyka i kaktusa wynosi 5 zł. x cena fiołka x + 5 cena kaktusa x + 10 cena storczyka x + x + 5 = 1 x = 3 x + 5 = 8 x + 10 = 13 3 + 8 + 13 = 24 Odpowiedź: Maria zapłaciła za rośliny 24 zł. III sposób Jeśli dodamy 21 zł, 16 zł i 11 zł, otrzymamy kwotę za dwa zestawy roślin. Zatem jeden zestaw kosztuje (31 + 16 + 11) : 2 = 24 21 zł 16 zł 11 zł (21 + 16 + 11) : 2 = 24 Odpowiedź: Maria zapłaciła za rośliny 24 zł. IV sposób fiołek kaktus storczyk razem 21 zł 16 zł 11 zł Przyjmujemy cenę kaktusa i doliczamy zgodnie z warunkiem w pierwszym wierszu cenę storczyka oraz zgodnie z warunkiem w trzecim wierszu cenę fiołka. Liczymy, ile kosztują razem fiołek i storczyk, porównujemy z warunkiem w drugim wierszu. 10 zł 1 zł 20 zł 30 zł - za dużo 9 zł 2 zł 19 zł 28 zł - za dużo 8 zł 3 zł 18 zł 26 zł - za dużo wzrost o 1 zł spadek o 2 zł Fiołek i storczyk kosztują razem 16 zł, więc 26 zł to o 10 zł za dużo. Zatem cenę kaktusa musimy zwiększyć o 5 zł. 3 zł 8 zł 13 zł 16 zł 10 z 14
Obliczamy cenę trzech roślin: 3 + 8 + 13 = 24 Odpowiedź: Maria zapłaciła za rośliny 24 zł. Próbny egzamin gimnazjalny z Nową Erą P 6 3 punkty pełne rozwiązanie poprawne obliczenie kwoty, jaką Maria zapłaciła za wszystkie rośliny (24 zł) P 5 2 punkty zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.) zastosowanie poprawnego sposobu obliczenia kwoty, jaką Maria zapłaciła za rośliny poprawne wyznaczenie cen dwóch roślin obliczenie ceny dwóch zestawów roślin 11 + 16 + 21 = 48 (wskazanie, że jest to cena dwóch zestawów) sprawdzenie trzech warunków dla kilka zestawów cen roślin i dostrzeżenie reguły zmian tych cen sprawdzenie trzech warunków dla kilka zestawów cen roślin i trafienie na właściwy zestaw cen P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane dostrzeżenie, że różnica między ceną kaktusa i ceną fiołka oraz storczyka i kaktusa jest równa 5 zł ułożenie trzech równań z 3 niewiadomymi (akceptujemy ilustrację graficzną układu) sprawdzenie trzech warunków dla jednego zestawu cen roślin P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne Uwaga Jeśli uczeń wyznaczy ceny trzech roślin i na tym poprzestanie, przyznajemy 3p. Jeśli uczeń tylko poda ceny trzech roślin, przyznajemy 1p. 11 z 14
Zadanie 22. (0 2) V. Rozumowanie i argumentacja. 11. Obliczenia w geometrii. Uczeń: 2) Uczeń oblicza pola: kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trójkąta, trapezu przedstawionych na rysunku (w tym na własnym rysunku pomocniczym) oraz w sytuacjach praktycznych. Przykładowe rozwiązania I sposób Trójkąt I jest równoramienny, czyli jego dwa boki mają tę samą długość, więc można je oznaczyć tą samą literą na przykład a. Skoro krótszy bok prostokąta ma długość a, to znaczy, że dłuższy ma długość 3a. 3a a I II a P I = P II = a a 2 3a a 2 = 3 a a 2 P II = 3P I II sposób Wysokością obu trójkątów jest krótszy bok prostokąta, zatem oba trójkąty mają równe wysokości. Ponieważ trójkąt I jest równoramienny, to jego podstawa jest taka sama jak wysokość, czyli jak krótszy bok prostokąta. Podstawa trójkąta II jest 3 razy dłuższa od krótszego boku prostokąta, czyli 3 razy dłuższa od podstawy trójkąta I. A zatem skoro wysokości są równe, a jedna podstawa jest 3 razy dłuższa od drugiej, to pole trójkąta II jest 3 razy większe od pola trójkąta I. P 6 2 punkty pełne rozwiązanie poprawne wykazanie, że pole trójkąta II jest 3 razy większe od pola trójkąta I P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane zauważenie, że podstawa trójkąta I jest 3 razy krótsza od podstawy trójkąta II zauważenie, że oba trójkąty mają taką samą wysokość P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu rozwiązanie błędne lub brak rozwiązania 12 z 14
Zadanie 23. (0 4) IV. Użycie i tworzenie strategii. 11. Bryły. Uczeń: 2) oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka, kuli (także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym). Przykładowe rozwiązania I sposób Z rysunku wynika, że prostopadłościan ma dwa wymiary większe od długości krawędzi sześcianu, więc sześcian ma krawędź długości 5 cm. Powierzchnia prostopadłościanu po wycięciu sześcianu zmniejszyła się o pola czterech kwadratów o boku 5 cm, ale przybyły dwa takie kwadraty, więc pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest mniejsze od pola początkowego prostopadłościanu o pole dwóch kwadratów. Pole powierzchni prostopadłościanu: P p = 2 (5 7 + 5 10 + 7 10) = 310 (cm 2 ) Pole kwadratu: P k = 5 2 = 25 (cm 2 ) Pole powierzchni powstałej bryły: P = 310 2 25 = 310 50 = 260 (cm 2 ) Odpowiedź: Pole powierzchni pozostałej części prostopadłościanu jest równe 260 cm 2. II sposób Obliczamy pola powierzchni poszczególnych ścian powstałej bryły: jedna ściana o wymiarach 2 cm 5 cm jedna ściana o wymiarach 5 cm 7 cm jedna ściana o wymiarach 5 cm 10 cm trzy ściany o wymiarach 5 cm 5 cm dwie ściany, które można podzielić na prostokąty o wymiarach 2 cm 5 cm i 7 cm 5 cm P = 2 5 + 5 7 + 5 10 + 3 5 5 + 2 (2 5 + 7 5) = 260 (cm 2 ) Odpowiedź: Pole powierzchni pozostałej części prostopadłościanu jest równe 260 cm 2. P 6 4 punkty pełne rozwiązanie poprawne obliczenie pola powierzchni tej bryły (284 cm 2 ) P 5 3 punkty zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale dalsza część rozwiązania zawiera usterki (błędy rachunkowe, niedokonanie wyboru właściwych rozwiązań itp.) zastosowanie poprawnego sposobu obliczenia pola powierzchni bryły, dopuszczalne usterki: pominięcie jednej ściany policzenie pola jednej ściany dwukrotnie policzenie pola jednej ściany z błędnych wymiarów obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu (310 cm 2 ) i zauważenie, że jego pole zmniejszy się o pole dwóch kwadratów 13 z 14
P 4 2 punkty zasadnicze trudności zadania zostały pokonane bezbłędnie, ale rozwiązanie nie zostało dokończone lub dalsza część rozwiązania zawiera poważne błędy merytoryczne obliczenie pól przynajmniej 6 ścian figury (na 8) P 2 1 punkt dokonano istotnego postępu, ale zasadnicze trudności zadania nie zostały pokonane obliczenie pola powierzchni prostopadłościanu (310 cm 2 ) podanie wymiarów bryły P 0 0 punktów rozwiązanie niestanowiące postępu brak rozwiązania lub rozwiązanie błędne 14 z 14