Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 8

Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 8

Zadanie domowe Postaraj się zrozumieć dowód twierdzenia Sylvestera. https://pl.wikipedia.org/wiki/problem_frobeniusa

Algorytm sekwencyjnego obliczania kolejnych cyfr pierwiastka kwadratowego z liczby

Kalkulator Wykonaj dzielenie z resztą 888888888888888:27. Znajdź z dokładnością do trzeciego miejsca po przecinku liczbę, której kwadrat jest równy 5. Rozwinięcia dziesiętne niektórych ułamków zwykłych: 1/99, 5/99, 23/99, 1/11, 1/999, 457/999, 1/37, 1/7.

Kalkulator zabawa Napisz dzień miesiąca, w którym się urodziłaś/urodziłeś. Pomnóż przez 4 i wpisz wynik. Dodaj szczęśliwą liczbę 7. Pomnóż otrzymaną liczbę przez 25. Odejmij 100. Dodaj liczbę określającą miesiąc, w którym się urodziłaś/urodziłeś. Podwój wynik. Odejmij 50. Pomnóż przez 50. Dodaj liczbę utworzoną przez dwie ostatnie cyfry roku, w którym się urodziłaś/urodziłeś. Odejmij 5000.

Kalkulator Ciąg arytmetyczny dwa sposoby wprowadzania. Ciąg geometryczny dwa sposoby wprowadzania.

Kalkulator Gra z wartościami bezwzględnymi: ABS1, ABS2. ABS2 trik z liczbami 100, 190, 900.

Kalkulatorowe zmyłki liczby wykresy funkcji

Martyna S. https://pl.wikipedia.org/wiki/kostki_napiera

Zrób to sam (praca w grupach) Ułóż kilka zadań z wykorzystaniem kalkulatora. zadanie domowe

Zadanie domowe Przygotuj 3 zadania z wykorzystaniem kalkulatora (do oddania na kartkach). Za pomocą kalkulatora znajdź rozwinięcia dziesiętne ułamków 1/17 i 2/23. ABS2 na czym polega trik w tej grze? Oglądnij filmik https://ed.ted.com/lessons/howmany-ways-are-there-to-prove-the-pythagoreantheorem-betty-fei Zadanie Krystiana (patrz slajd nr 10).

Wykłady z dydaktyki matematyki (II etap edukacyjny) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 wykład nr 8: Geometria w szkole podstawowej. Komputery w nauczaniu matematyki

PPM nauczanie początkowe Uczeń kończący klasę III: mierzy i zapisuje wynik pomiaru długości, szerokości i wysokości przedmiotów oraz odległości; posługuje się jednostkami: milimetr, centymetr, metr; wykonuje łatwe obliczenia dotyczące tych miar (bez zamiany jednostek i wyrażeń dwumianowanych w obliczeniach formalnych); używa pojęcia kilometr w sytuacjach życiowych, np. jechaliśmy autobusem 27 kilometrów (bez zamiany na metry); rozpoznaje i nazywa koła, kwadraty, prostokąty i trójkąty (również nietypowe, położone w różny sposób oraz w sytuacji, gdy figury zachodzą na siebie); rysuje odcinki o podanej długości; oblicza obwody trójkątów, kwadratów i prostokątów (w centymetrach); rysuje drugą połowę figury symetrycznej; rysuje figury w powiększeniu i pomniejszeniu; kontynuuje regularność w prostych motywach (np. szlaczki, rozety).

PPM IV-VIII

PPM klasy IV-VI Proste i odcinki Uczeń powinien: 7.1. rozpoznawać i nazywać figury: punkt, prosta, półprosta, odcinek; 7.2. rozpoznawać proste i odcinki prostopadłe i równoległe; 7.3. umieć narysować pary odcinków prostopadłych i równoległych; 7.4. mierzyć odcinek z dokładnością do 1 mm; 7.5. wiedzieć, że aby znaleźć odległość punktu od prostej, należy znaleźć długość odpowiedniego odcinka prostopadłego do prostej. Kąty Uczeń powinien: 8.1. umieć wskazać w dowolnym kącie ramiona i wierzchołek; 8.2. mierzyć z dokładnością do 1 o kąty mniejsze niż 180 o ; 8.3. rysować kąty mniejsze od 180 o ; 8.4. rozpoznawać kąt prosty, ostry i rozwarty; 8.5. umieć porównać kąty; 8.6. rozpoznawać kąty wierzchołkowe i przyległe oraz korzystać z ich własności.

PPM klasy IV-VI Wielokąty, koła i okręgi Uczeń powinien: 9.1. rozpoznawać i nazywać trójkąty ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne, równoboczne i równoramienne; 9.2. konstruować trójkąt o danych trzech bokach i ustalać możliwość zbudowania trójkąta na podstawie nierówności trójkąta; 9.3. stosować twierdzenie o sumie kątów trójkąta; 9.4. rozpoznawać i nazywać: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez; 9.5. znać najważniejsze własności kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i trapezu; 9.6. wskazać na rysunku cięciwę, średnicę oraz promień koła i okręgu; 9.7. rysować cięciwę koła i okręgu, a także, jeśli dany jest środek okręgu, rysować promień i średnicę. Bryły Uczeń powinien: 10.1. rozpoznawać graniastosłupy proste, ostrosłupy, walce, stożki i kule w sytuacjach praktycznych i wskazywać te bryły wśród innych modeli brył; 10.2. wskazywać wśród graniastosłupów prostopadłościany i sześciany i uzasadniać swój wybór; 10.3. rozpoznawać siatki graniastosłupów prostych i ostrosłupów; 10.4. rysować siatki prostopadłościanów. Obliczenia w geometrii Uczeń powinien: 11.1. umieć obliczyć obwód wielokąta o danych długościach boków; 11.2. obliczać pola: kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trójkąta, trapezu przedstawionych na rysunku oraz w sytuacjach praktycznych; 11.3. stosować jednostki pola: mm 2, cm 2, dm 2, m 2, km 2, ar, hektar (bez zamiany jednostek w trakcie obliczeń); 11.4. umieć obliczyć objętość i pole powierzchni prostopadłościanu przy danych długościach krawędzi; 11.5. stosować jednostki objętości i pojemności mililitr, litr, cm 3, dm 3, m 3 ;

PPM etap formalny Własności figur geometrycznych na płaszczyźnie. Dowodzenie twierdzeń geometrycznych Uczeń powinien: 27.1. umieć udowodnić twierdzenie o równości kątów wierzchołkowych (z wykorzystaniem zależności między kątami przyległymi); 27.2. przedstawiać na płaszczyźnie dwie proste w różnych położeniach względem siebie, w szczególności proste prostopadłe i proste równoległe; 27.3. korzystać z własności prostych równoległych, w szczególności stosować równość kątów odpowiadających i naprzemianległych; 27.4. umieć udowodnić twierdzenie o sumie kątów trójkąta; 27.5. korzystać z zależności między kątem zewnętrznym a kątem wewnętrznym trójkąta; 27.6. wykorzystywać cechy przystawania trójkątów, w szczególności do uzasadniania własności trójkątów; 27.7. umieć udowodnić twierdzenia o trójkątach równoramiennych; 27.8. korzystać z nierówności trójkąta (tzn. twierdzenia o tym że dla dowolnych punktów A, B i C na płaszczyźnie ma miejsce nierówność AB + BC AC ); 27.9. wskazywać na płaszczyźnie punkty A, B, C, dla których zachodzi równość AB + BC = AC ; Uczeń powinien: Uczeń powinien stosować poniższe własności figur geometrycznych: 27.10.1. długość łamanej jest większa od długości odcinka łączącego końce tej łamanej; 27.10.2. Jeśli w trójkącie ABC ma miejsce nierówność AC > BC, to BAC > ABC (naprzeciw dłuższego boku leży większy kąt); 27.10.3. Jeśli w trójkącie ABC ma miejsce nierówność BAC > ABC, to AC > BC (naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok); 27.11. wskazywać najdłuższy i najkrótszy bok trójkąta o danych kątach; 27.12. wskazywać największy i najmniejszy kąt trójkąta o danych bokach; 27.13. wykonywać proste obliczenia geometryczne wykorzystujące sumę kątów w trójkącie i własności trójkątów równoramiennych; 27.14. przeprowadzać proste dowody geometryczne wykorzystujące własności prostych równoległych, twierdzenie o sumie kątów trójkąta, własności trójkątów równoramiennych, nierówności geometryczne (nierówność trójkąta i nierówności między bokami i kątami trójkąta) oraz przystawanie trójkątów.

PPM etap formalny Długość okręgu i pole koła Uczeń powinien: 29.1. obliczać długość okręgu o danym promieniu lub danej średnicy; 29.2. obliczać promień lub średnicę okręgu o danej długości; 29.3. obliczać pole koła o danym promieniu lub danej średnicy; 29.4. obliczać promień lub średnicę koła o danym polu; 29.5. obliczać pole pierścienia kołowego o danych promieniach lub średnicach obu okręgów tworzących pierścień; Twierdzenie Pitagorasa Uczeń powinien: 30.1. obliczać długość trzeciego boku trójkąta prostokątnego, gdy znane są długości pozostałych boków, także wtedy, gdy ten trójkąt nie jest wyraźnie wskazany i w zastosowaniach praktycznych; 30.2. obliczać długości odcinków narysowanych na papierze w kratkę, jeśli końce tych odcinków są umieszczone w punktach przecięcia linii tworzących kratki; 30.3. wyprowadzić, wzory na długość przekątnej kwadratu, wysokości trójkąta równobocznego i na pole trójkąta równobocznego, a także umieć korzystać z tych wzorów w innych obliczeniach geometrycznych (także w kontekście praktycznym); 30.4. wykorzystywać twierdzenie Pitagorasa w zadaniach prowadzących do równań z jedną niewiadomą. Układ współrzędnych na płaszczyźnie Uczeń powinien: 31.1. znajdować współrzędne danych (na rysunku) punktów kratowych w układzie współrzędnych na płaszczyźnie; 31.2. rysować w układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty kratowe o danych współrzędnych całkowitych (dowolnego znaku); 31.3. znajdować środek odcinka, którego końce mają dane współrzędne (całkowite lub wymierne) oraz znajdować współrzędne drugiego końca odcinka, gdy dany jest jeden koniec i środek; 31.4. znajdować długość odcinka, którego końce są danymi punktami kratowymi na płaszczyźnie; 31.5. znajdować następne punkty kratowe na prostej AB, dla danych punktów kratowych A i B. Geometria przestrzenna Uczeń powinien: 32.1. obliczać objętości i pola powierzchni graniastosłupów prostych, prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe; 32.2. obliczać objętości i pola powierzchni ostrosłupów prawidłowych i takich, które nie są prawidłowe.

Nauczanie geometrii w SP (IV-VI) uwagi Pojawiają się pojęcia, których się nie definiuje (pierwotne, np. punkt, prosta, inne np. brzeg). Ewolucja definiowania pojęć. Nie ma formalnych dowodów twierdzeń, własności. Korzysta się z własności, których nie ma w PPM, do udowodnienia własności, które są w PPM.

Technologie w nauczaniu matematyki. Część II: Komputery

W PPM (SP+G+PG) nie ma nic! Autorzy podstawy programowej matematyki zapomnieli o komputerach, które mogą (powinny) być wykorzystane do wielu zagadnień, na przykład:

W PPI (podstawa programowa informatyki) jest mnóstwo matematyki!

W PPI jest mnóstwo matematyki!

W PPI jest mnóstwo matematyki!

Zalety Ożywienie lekcji; lekcje matematyki stają się bardziej dynamiczne. Aktywizacja uczniów, którzy dzięki komputerom mogą weryfikować swoje hipotezy. Możliwość błyskawicznego wykonania wielu ćwiczeń podobnego typu. Pokazanie zastosowań matematyki.

Pokazanie zastosowań matematyki

Zalety cd. Praca z programami komputerowymi stwarza okazję do wykorzystania wcześniej poznanych faktów, twierdzeń, może też być dla ucznia impulsem do poznania nowych twierdzeń. Indywidualizacja nauczania. Korekta błędów ucznia przez niego samego, przez drugiego ucznia, przez nauczyciela. Możliwość pisania raportów z lekcji, esejów, sprawozdań z wykonanych projektów. Wizualizacja pojęć, rozwiązań zadań.

Wizualizacja Wizualizacja to obrazowe przedstawienie obiektu, danych lub procesu; jej rezultat może występować w postaci graficznej, numerycznej lub algebraicznej. Wizualizacja jako technika nauczania rozwinęła się głównie w krajach, w których kalkulatory graficzne i komputery są szeroko rozpowszechnione.

Przykład W trójkąt wpisać kwadrat.

Program LOGO Powstał w latach 60-tych w USA. Twórca: Seymour Papert. Uczenie geometrii i programowania. Osłabienie asymetrii w nauczaniu. Logo to język programowania.

LOGO przykłady Czy ulice Czerwona i Czarna są równoległe? ulice.imp Gra gra.imp

Program DERIVE Powstał w latach 80-tych w USA. Operacje algebraiczne. Wykresy funkcji. Rachunek różniczkowy i całkowy.

DERIVE przykład Funkcje (rozróżnianie parametru i zmiennej); tutaj wykorzystuje się tzw. suwaki.

Program CABRI Program do nauki geometrii. Powstał we Francji pod koniec lat 80-tych. Geometria dynamiczna. Programowanie geometryczne makrokonstrukcje. Sytuacje praktyczne.

Zadanie o odcinkach. CABRI przykłady Zadanie praktyczne długość linii brzegowej powiatu wejherowskiego i pole powierzchni tego powiatu. wejherowski.fig

CABRI makrokonstrukcje Makrokonstrukcje to swoiste programy geometryczne pozwalające wykonywać wiele konstrukcji na podobnych obiektach początkowych. Stworzymy w CABRI makrokonstrukcję wpisywania okręgu w trójkąt.

CABRI narzędzie dydaktyczne Powtórz konstrukcję Tworzenie własnego menu Opcje Ustawienie narzędzi proba1.env

GeoGebra Zadanie Herona heron.ggb heron_analitycznie.ggb Nowe narzędzie

CABRI 3d

Excel przykłady Własności ciągu Fibonacciego odkrywane przez uczniów; wykorzystanie opcji dzielenia liczb z resztą. Fibo.xlsx zadanie_tl.xlsx Podnoszenie do kwadratu liczb z cyfrą 5 na końcu.

Metoda skryptu Metoda ta polega na pisaniu (także na analizowaniu ich i poprawianiu) scenariuszy opisujących proces rozwiązywania zadań matematycznych. Program TI-SmartView stanowi przykład programu do analizowania, pisania (rejestrowania), poprawiania rozwiązań zadań, do których używa się kalkulatorów graficznych. To dość wyszukane oprogramowanie uwypukla role języka matematyki. Zwróćmy także uwagę, że metodę skryptu stosujemy, prosząc ucznia o przedstawienie dokładnego toku rozumowania przy rozwiązaniu jakiegoś zadania, o opisanie jego zmagań z problemem matematycznym.

Metoda skryptu przykład Podwojoną sumę liczb 123 i 269 zmniejsz o 19.

Metoda skryptu przykład

Programy do prezentacji 60 60 60 TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

? 120 60 60 60 TRÓJKĄT RÓWNOBOCZNY

Internet Źródło wielu informacji, ciekawych zadań, lekcji, darmowych programów (GeoGebra). Polecana strona: http://mathworld.wolfram.com/ Przykład: What s my angle? What's my angle.exe zadanie domowe

Mathematica http://demonstrations.wolfram.com/ http://demonstrations.wolfram.com/thesevenb ridgesofkoenigsberg/