Arch. Min. Sci., Vol. 54 (2009), No 1, p

Transkrypt

1 Ach. Min. Sci., Vol. 54 (009), No 1, p Electonic vesion (in colo) of this aticle is available: ANDRZEJ KWNTA* TRANSTVTY POSTULATE EFFECT ON FUNCTON OF NFLUENCES RANGE RADUS N KNOTHE THEORY WPŁYW POSTULATU TRANZYTYWNOŚC NA FUNKCJĘ PROMENA ZASĘGU WPŁYWÓW W TEOR KNOTHEGO This pape pesents the analysis of the tansitivity postulate effect on the function of vaiability fom in the adius of main influences ange in Knothe theoy. As a esult of pefomed consideations one should find that the peequisite is that the influence ange adius function in ock mass fo Knothe theoy should be monotonically inceasing. Keywods: pediction of defomations, function of influences Teoia Knothego służąca do pognozowania defomacji wywołanych podziemną eksploatacją góniczą piewotnie została opacowana dla powiezchni teenu, a dopieo później została ozwinięta na pzestzeń góotwou. Teoia pognozowania powinna spełniać postulaty matematycznego modelu ośodka. Pomimo, że zeczywisty góotwó odbiega swoją budową od wyidealizowanego ośodka teoetycznego, to stosowana teoia pognozowania defomacji powinna spełniać postulaty matematycznego modelu ośodka. Jednym z postulatów jest postulat tanzytywności (1), któy deteminuje własności funkcji zmienności pomienia zasięgu wpływów głównych w góotwoze (z). Postulat ten można schaakteyzować następująco: wynik obliczeń pzemieszczeń na zadanym poziomie nie zależy od tego czy obliczenia te wykonuje się bezpośednio dla tego poziomu, czy też w takcie obliczeń wyznacza się pzemieszczenia na pośednich poziomach obliczeniowych. W tabeli 1 pzedstawiono zbió wybanych poglądów na postać funkcji zasięgu wpływów głównych w góotwoze, poponowane pzez óżnych autoów. W liteatuze pojawiają się dziwne modele bądź też modyfikacje teoii Knothego, co do któych można mieć poważne zastzeżenia fomalne. Ponieważ ciągle twają pace nad uszczegółowieniem opisu pzejścia defomacji pzez góotwó, należy okeślić dopuszczalne fomy modyfikacji teoii, któe byłyby zgodne z postulatami matematycznymi ośodka. W niniejszej pacy pzepowadzone ozważania teoetyczne opato na elementanej eksploatacji. Schemat ozmieszczenia eksploatacji i hoyzontów obliczeniowych pzedstawiono na ysunku. W wyniku pzepowadzonych obliczeń uzyskano zależność (0), któa wskazuje, że tylko funkcja niemalejąca daje zadość postulatowi tanzytywności. Fakt ten w istotny sposób zmniejsza ilość ozwiązań możliwych do zaakceptowania od stony fomalnej. Słowa kluczowe: pognozowanie defomacji, funkcja wpływu * UNVERSTY OF AGRCULTURE, DEPARTMENT OF GEODESY, BALCKA 53A, KRAKÓW, POLAND

2 ntoduction The mining esults in displacements and defomations both on the suface of and inside the medium. The univesally used theoy of foecasting of defomations was oiginally developed fo the aea suface and only then it was epanded upon the ock mass space. One of the basic elements of the Knothe theoy (1950) is the main influences ange paamete, which esults fom the model paameteisation. To make the theoy of foecasting applicable it should satisfy postulates of the mathematical model of medium. This model was given by Litwiniszyn (196) and one of the postulates is the tansitivity postulate that detemines the popeties of the function of vaiability in adius of the ange of main influences in ock mass (z) (Jędzejec, 1986). New attempts to make the desciption of tansition of the defomation pocess though ock mass (Janusz, 003; Paleczek, 007; Pusek & Jędzejec, 008) moe detailed ae being made constantly; theefoe it is necessay to define the possible foms of the function of vaiability in adius of the ange of main influences inside ock mass in Knothe theoy.. Views on vaiability in adius of main influences ange in ock mass Due to lack of the appopiate set of geodesic measuements esults inside ock mass, the woks on constuction of the (z) function ae mainly based on theoetical consideations (Budyk, 1953) and model tests (Dzęźla, 1979; Kołodziejczyk et al., 000; Kzysztoń, 196). Some attempts to veify the obtained esults wee being made on the andom obsevation mateial (Kowalski 1984). Table 1 pesents the selected foms of the function of the ange of main influences (z) given by diffeent authos. Fom the analysis of consideations made by diffeent authos one may daw the following conclusions: Lack of the appopiate measuing mateial in ock mass fo the need of full veification of the eisting solutions, Thee is an ambiguity in desciption of the couse of vaiability in adius of the main influences ange in ock mass, Based on the volume consevation law we obtain the n paamete values that ae much highe than unity (Budyk), As a esult of the model tests the n paamete values lowe than unity wee obtained (Kzysztoń, Dzęźla), which was confimed by the analysis of the eal limited measuing mateial (Kowalski), The value of adius of the influences ange on the level of the bed being eploited esults fom having adopted the specific fom of (z) function and not fom theoetical consideations.

3 137 Views on the fom of function of the ange of main influences in ock mass TABLE 1 Autho Function Paamete Budyk, 1953 n n tg 5 z Knothe, 1984 () z ( H) H n = 1 Gomysz, 1977 n = 0.61 n n z z0 Dzęźla, 1979 () z ( H) n 0.405, Hm H z0 z0 m 1 Kowalski, 1984 tg( z, H) ch Kot 1981 () z k z H n z H 1n tgβ H = ch μ, 1 n = 0.34; 0.5; 0.45 k 548 k 407 n n The attempts to change the fom of the function of adius of the ange of influence in ock mass, which would take the geomechanical popeties of ocks into consideation, ae being made. n his wok, Paleczek (005) intoduces the elationship between the adius of the ange of influences in ock mass and the ock fimness coefficient, but, unfotunately, the autho has made some fomal mistakes. He assumed that the tansitivity postulate must be satisfied fo the function of adius of the influences ange, while such a fomal equiement efes to the fom of the influences function. Such an incoect assumption negates almost all of the solutions in table 1. n the function of adius of the ange in ock mass poposed by him, the autho intoduces the eploitation coefficient, which, afte all, is an independent paamete of the pediction theoy, and theefoe the two theoy paametes become dependent on each othe. The issue elated to the fom of the function of popagation of influences within ock mass was dealt with by Janusz in his publication (003). As a esult of the consideations pefomed he suggests that vaiability in conveity of the function of cuve of the influences ange in ock mass should be intoduced. The autho poposes the intoduction of two zones in ock mass whee the defomation pocess would un diffeently. Accoding to this autho, it is possible that adius of the ange in ock mass deceases with the gowing distance fom the eploitation aea, which seems to be athe stange idea that has no confimation in the eality. n his consideations, Jędzejec (1986) found the independence between the tansitivity of depessions in Knothe-Budyk theoy and the fom of the function of adius of the ange of influences. The investigations of tansitivity of the theoy wee caied out by Bydłosz (1997), howeve he made a disastous logical eo in his consideations that disavowed these consideations. Theefoe, the autho of this pape thinks that it is necessay to check the pemissible fom of the function of vaiability in adius of the

4 138 main influences ange inside ock mass. Based on the tansitivity postulate, the detailed analysis of this issue with efeence to the vetical displacements of Knothe theoy will be caied out below. 3. Tansitivity postulate The tansitivity postulate is one of the postulates of the mathematical model of medium. This model was given by Litwiniszyn (196) who detemined what conditions the pediction theoy of the mining influences should comply with. By limiting to the vetical displacements, the tansitivity postulate in the opeational notation can be pesented as follows: w( ) F[ w() ;,] F{ F[ w() ;,] ;, } (1) whee:,, designations of levels in ock mass, w(i) vetical displacement on the i th calculation level, F[.] opeato (the tansition function), The tansitivity postulate can be chaacteised as follows: The esult of calculations of tansitions at the peset level does not depend on whethe these calculations ae caied out diectly fo this level o displacements on the intemediate calculation levels ae detemined duing the calculations. Fo schematic ideas of the tansitivity postulate see figue 1. Level W() Level W() Level W() Fig. 1. Diagam of eecution of tansitivity postulate

5 Fom of function (z) fo knothe theoy Let us cay out the analysis concening the fom of the function of the ange of main influences povided that the tansitivity postulate is satisfied. One can put a questions whethe the function of influences based on the Gaussian cuve always satisfies the tansitivity postulate o not. To simplify, the analysis will be caied out fo a flat state of displacements with the assumption of having eploited the elementay volume out. Let us conside the situation as in figue. z=h z=z W P P W z=z W z=0 =0 Fig.. Diagam of eploitation distibution and calculation levels The elementay mine was assumed in the oigin of coodinates. On the specified levels in ock mass and the subsidence occu. Let us choose any point P on the second calculation level, which is within the ange of influences of elementay mine. Let us make the following assumptions and designations: vetical displacements on level and, espectively: w, w vetical displacements of the calculation point P( p, z ): at tansition fom level z = 0 to level z = z / w p / at tansition fom level z = z to level z = z / w p3 / adius of the main influences ange: = (z = z 0), = (z = z 0), = (z = z z )

6 140 eploitation coefficient a eploitation thickness g n accodance with the Knothe theoy, fo elementay mine in a flat state of defomation we can note: a g w() ep d () if we assume that a. g. d = 1, than fo level we have: w () 1 ep (3) the same fo level w () 1 ep (4) vetical displacement of point P at the tansition fom level z = 0 to level z = z will be descibed as follows: 1 w p ep p (5) The calculation of vetical displacement of point P at tansition of calculations though level causes that the subsidence occued on this level is assumed as the eason fo the occuence of vetical displacements on level. Theefoe, to calculate the displacements one should use the integal fomula with the assumption that individual depessions ae thicknesses of individual elements w () ( ) p w p3 ep d (6) n ode to calculate the integal in the above fomula we will use the following mean-value theoem fo definite Riemann integal (Leja 1971): b a b f () h() d f () h() d (7) a

7 This theoem is tue when the function f () is continuous and the function h() has got constant sign within the inteval <a,b>. Using the above-mentioned theoem, we obtain: 141 At the same time we know that 1 ( ) w p p3 ep w ()d (8) 1 ep d 1 (9) that is 1 ( p ) wp 3 ep (10) in ode fo the tansitivity postulate to be satisfied the following equality must be tue: wp wp3 (11) Using the fomulas (5) and (10) with efeence to (11) we obtain: 1 ( ) p 1 p ep ep (1) let us aange the equation (1) p ( p ) ep (13) upon taking the logaithm of and conveting equation (13) we obtain: p ln p 0 (14) Equation (14) is the quadatic equation elative to vaiable ξ. n ode fo the equation to have at least one solution its disciminate should be highe than o equal to 0, that is:

8 14 4p 4 ln p 0 (15) let us aange the inequity (15): p 1 ln 0 (16) nequity (16) is satisfied fo each p when: ln 0 (17) and thus ln ln1 (18) and then ( z ) ( z z ) (19) we also know that z z z (0) The following conclusion esults fom inequities (19) and (0): The tansitivity postulate in Knothe theoy is satisfied when the function descibing the change of the main influences ange adius in ock mass is monotonically inceasing. 4. Summay n spite of the fact that stuctue of the eal ock mass diffes fom the idealised theoetical medium, the applied theoy of foecasting of defomations should satisfy postulates of the mathematical model of medium. n the liteatue, thee occu stange models o modifications of Knothe theoy about which one can have seious fomal esevations. This pape pesents the consideations concening the fom of the vaiability function of main influences adius ange in ock mass fo Knothe theoy. Only the non-deceasing

9 143 function satisfies the tansitivity postulate. This fact to an essential etent educes the numbe of fomally acceptable solutions. At pesent, the mining caied out in the potecting pillas of the shafts being liquidated allows the veification of the fom of the vaiability function of main influences adius ange in ock mass in situ based on the geodesic obsevations. The esults of measuements taken compehensively in mines in which mining is being caied out would allow many inteesting obsevations of the couse of the defomation pocess to be obtained. Refeences Budyk W., Wyznaczanie wielkości poziomych odkształceń teenu. Achiwum Gónictwa i Hutnictwa, t. 1, z. 1, Waszawa. Bydłosz J., Analiza wybanych modyfikacji teoii S. Knothego dotyczących opisu uchów poziomych oaz implikacje fomalne. AGH (paca doktoska), Kaków. Dzęźla B., Zmienność zasięgu wpływów eksploatacji w góotwoze. Pzegląd Góniczy, n 10, Katowice. Gomysz J., Rozkład pzemieszczeń pionowych w góotwoze w otoczeniu ścianowego wyobiska eksploatacyjnego. AGH (paca doktoska), Kaków. Jędzejec E., Popeties of the paamete of the Budyk-Knothe theoy in the light of tansivity of its desciption of a subsiding tough. Pace Komisji Góniczo-Geodezyjnej PAN, Geodezja 3, Kaków. Janusz W., 003. Zasięg wpływów eksploatacji góniczej wewnątz góotwou. Półocznik Akademii Góniczo-Hutniczej. Geodezja tom 9, z. /1, Kaków. Knothe S., Wpływ podziemnej eksploatacji na powiezchnię z punktu widzenia zabezpieczenia na niej obiektów. AGH (paca doktoska), Kaków. Knothe S., Pognozowanie wpływów eksploatacji góniczej. Wyd. Śląsk, Katowice. Kołodziejczyk P., Peciak J., Wesołowski M., 000. Pomienie zasięgu wpływów głównych w świetle badań modelowych. Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej s. Gónictwo z. 46, Gliwice. Kot A., Wpływ czynników góniczo-geologicznych na kształtowanie się wskaźników defomacji powiezchni i paamety teoii S.Knothego i T.Kochmańskiego. Mateiały konfeencyjne. Komisja Ochony Teenów Góniczych PAN, Katowice. Kowalski A., Okeślenie zmienności paametu pomienia zasięgu wpływów głównych w góotwoze z teoii Budyka-Knothego na podstawie badań geodezyjnych pzemieszczeń pionowych góotwou. Główny nstytut Gónictwa (paca doktoska), Katowice. Kzysztoń D., 196. Ekspeymentalne badania paametów okeślających zasięg niecek osiadania wewnątz ośodka sypkiego. AGH (paca doktoska), Kaków. Leja F., Rachunek óżniczkowy i całkowy. Wydawnictwo PWN, Waszawa. Litwiniszyn J., 196. O niektóych liniowych i nieliniowych modelach niecki osiadania w góotwoze sypkim. Pzegląd Góniczy, t.xv, N 5, Katowice. Paleczek W., 005. Model obliczania pomienia zasięgu wpływów głównych na podstawie współczynnika zwięzłości skał. Bezpieczeństwo Pacy i Ochona Śodowiska w Gónictwie, n 3, Katowice. Paleczek W., 007. Wpływ zmian sztywności nadległego góotwou na pomień zasięgu wpływów głównych. Bezpieczeństwo Pacy i Ochona Śodowiska w Gónictwie, n, Katowice. Pusek S., Jędzejec E., 008. Adjustment of the Budyk-Knothe Theoy to Foecasting Defomations of Gateoads. Achives of Mining Sciences vol. 53/1, Kaków. Received: 8 May 008