Aneta Włodarczyk, Marcin Zawada Politechnika Częstochowska. Przełącznikowy model Markowa jako przykład niestacjonarnego modelu kursu walutowego

Transkrypt

1 DYAMICZE MODELE EKOOMERYCZE IX Ogólnoolke Semnarum aukowe 6 8 wrześna 5 w orunu Kaedra Ekonomer Sak Unwere Mkołaa Koernka w orunu Anea Włodarczk Marcn Zawada Polechnka Częochowka Przełącznkow model Markowa ako rzkład neaconarnego modelu kuru waluowego. Wrowadzene Modele regre rzełącznkowe umożlwaą modelowane zarówno gwałownch ak onowch kokowch zman w ozome badane zmenne ekonomczne rz czm zmana arameru modelu rzełącznkowego naęue wraz ze zmaną reżmu anu do kórego należ część warośc roceu. Zaoowana model rzełącznkowch oeraą ę na ogólnm założenu że badane zereg czaowe można modelować rz użcu roceów ochacznch zdenowanch ako cąg zmennch loowch o znanm e rozkładu warunkowego w każdm reżme. W modelach rzełącznkowch zakłada ę że zarówno mechanzm eruąc zmanam w obrębe ozczególnch reżmów ak mechanzm zman reżmu e loow. Zaem ecczn charaker m modelom nadaą: oberwowaln roce ekonomczn oraz neoberwowaln roce eruąc. Manem rzełącznkowch model Markowa Markov wchng model MSM określana e kaegora model rzełącznkowch w kórch roceem eruącm zmanam reżmu e ednorodn łańcuch Markowa. Klaa model rzełącznkowch uwzględna zarówno zman mechanzmu zachowana ę zawk ekonomcznch orzez określene odmenne rukur dnamczne modelu w każdm reżme ak zman warośc aramerów ch rozkładów dzęk rzełączenu do nnego reżmu. Perwze wzmank na ema modelu rzełącznkowego można odnaleźć w rac Goldelda Quanda or. J. Sawck ouąc rzełącznkowe modele Markowa wrowadza oęce odwónego roceu ochacznego ab odkreślć nene neoberwowalne zmenne eruące zmanam reżmów obok oberwowalne zmenne obaśnane or. Sawck 4. 5.

2 78 Anea Włodarczk Marcn Zawada Goldeld Quand 973 w kóre rozważano model regre lnowe o wółcznnkach zmenaącch ę wraz ze zmaną reżmu eruącego roceem. Rozzerzenem de ego modelu e rzełącznkow model Markowa zaroonowan rzez Hamlona or. Hamlon 989. Celem rac e o zachowana ę wbranch kurów waluowch względem PL rz wkorzanu rzełącznkowch model Markowa. Arkuł kłada ę z częśc eoreczne zaweraące eckacę o meod emac aramerów rzełącznkowego modelu Markowa oraz emrczne obemuące emacę werkacę rzełącznkowch model kuru złoego.. Heerokedaczn rzełącznkow model Markowa Szczególn rzadek roceów generowanch rzez rzełącznkow model Markowa anową mezann nezależnch dencznch rozkładów..d. mxure drbuon. ech reżm w kórm znadue ę roce w chwl będze ndekowan rzez neoberwowalną zmenną loową kóra rzmue możlwch warośc z rzerzen anów {... }. Rozważana doczą heerokedaczne eckac modelu zn. ozom zmennośc roceu odlega loowm rzełączenom do różnch reżmów anów kórm erue zmenna. Innm łow roce ochaczn generuąc badane zawko e mezanną klku rozkładów normalnch o różnch średnch warancach or. Hamlon 994: ~ µ σ gdze: neoberwowalna zmenna będąca ednorodnm łańcuchem Markowa P określa o anach macerz rawdoodobeńw rześca [ ] reżm w akm znadue ę zmenna w chwl zbór zawera wzke doęne normace doczące oberwowalnego roceu do chwl włączne. Macerz rawdoodobeńw rześca dla łańcucha Markowa oada naęuące włanośc macerz ochaczne: P M K M K M K dla {.. }. M oraz

3 Przełącznkow model Markowa ako rzkład neaconarnego modelu kuru ależ zauważć ż rawdoodobeńwo rześca anowące elemen macerz P ze anu w chwl - do anu w chwl ełnaą właność Markowa:... Pr Pr 3 dla dowolnego oraz dowolnego cągu... - należącego do rzerzen anów łańcucha Markowa. Macerz P wkorzwana e do określena zależnośc omędz rozkładam bezwarunkowm neoberwowalne zmenne reżmowe w kolench okreach: dla Pr Pr aęne denue ę warunkową unkcę gęośc dla zmenne oberwowalne : } ex{ σ µ πσ dla... 5 gdze wekor µ µ σ σ zawera aramer modelu rzełącznkowego oac kóre należ ozacować. Z kole warunkowa unkca gęośc 5 określa unkcę gęośc rozkładu bezwarunkowego zmenne :. 6 Pr Warunkow rozkład zmenne eruące zmanam reżmu można rzedawć w oac lorazu łączne unkc gęośc rzez unkcę gęośc rozkładu brzegowego: Pr Pr Pr 7 dla.... Maąc do dozc oberwowalne dane doczące zmenne można wkazać z określonm rzez owżz zacunek rawdoodobeńwem ż oberwaca w chwl zoała wgenerowana w neoberwowalnm reżme. W zależnośc od zakreu zboru normac w oarcu o kór

4 8 Anea Włodarczk Marcn Zawada rzerowadza ę owżze wnokowana można wróżnć dwa rawdoodobeńw określonch rzez relacę 7: - rawdoodobeńwa lrowane ler robabl wznaczane na odawe zboru normac dla < - rawdoodobeńwa wgładzone moohed robabl wznaczane na odawe wzkch normac zawarch w róbe aczne. Ab móc wnokować na ema kór z reżmów generue daną warość zmenne oberwowalne nezbędne e uzkane ozacowań wekora aramerów. 3. Emaca aramerów rzełącznkowego modelu Markowa Donuąc oberwacam zmenne dla... można zbudować unkcę wargodnośc: L ~... log 8 gdze unkcę gęośc rozkładu bezwarunkowego zmenne określa 6. Ocen wekora aramerów można uzkać m.n. meodą nawękze wargodnośc w wnku makmalzac wrażena 8 uwzględnaąc naęuące ogranczena doczące elemenów ego wekora: Pr Pr dla Udowodnono ż ocena wekora aramerówˆ uzkana meodą nawękze wargodnośc anow rozwązane naęuącego emu nelnowch równań: Pr ˆ ˆ µ Pr ˆ ˆ µ Pr ˆ ˆ σ Pr ˆ Pr ˆ ˆ ρ Pr dla....

5 Przełącznkow model Markowa ako rzkład neaconarnego modelu kuru... 8 Jednm ze oobów makmalzac konruowane dla orzeb rzełącznkowego modelu Markowa unkc wargodnośc 8 e zaoowane odowedne wer algormu Execaon Maxmzaon zaroonowanego erwone rzez Demera Larda Rubna 977. Zaoowane algormu EM do kla model rzełącznkowch wmaga wrowadzena zależnośc omędz ozacowanm na odawe doęnch normac rawdoodobeńwam lrowanm że oberwaca zoała wgenerowana rze reżm 7 a warunkam narzuconm na aramer orzez układ równań wnkaąc z orzeb makmalzac unkc wargodnośc 8. Po ualenu warośc ocząkowch dla wzkch aramerów modelu w każde erac algormu EM wkonwane ą dwa krok. Perwz krok execaon olega na wznaczenu rawdoodobeńw lrowanch Pr zgodne z relacą 7. Krok drug maxmzaon rowadz do wznaczena wekora aramerów makmalzuącego unkcę wargodnośc co anow rozwązane emu nelnowch równań. Hamlon 99 udowodnł że cąg orzmanch w en oób ozacowań e zbeżn do lokalnego makmum unkc wargodnośc Przełącznkow model Markowa dla kurów wman złoego Przedmoem badań będze heerokedaczn rzełącznkow model Markowa oac w kórm zmenna oznacza dwuanow łańcuch Markowa: oznacza an reżm woke zmennośc kuru waluowego naoma oznacza an nke zmennośc kuru waluowego. Zaem rzełącznkow model Markowa doarcza normac o średnch ozomach logarmcznch ó zwrou kurów waluowch w zależnośc od obowązuącego reżmu aramer µ µ warancach kładnka loowego charakerzuącch ozczególne an aramer σ σ oraz rawdoodobeńwach rześca ze anu do anu aramer. Badana emrczne zoał rzerowadzone w oarcu o średne dzenne noowana BP kuru PLUSD PL CHF w okree oraz PLEUR w okree Emacę aramerów ego modelu rzerowadzono w akece Ox wkorzuąc kod rogramowe naane rzez Hamlona: a odawe wnków zamezczonch w abel można wnokować ż warośc oczekwane warance rzane odowednm anom różną ę od ebe dla każdego kuru waluowego. Przkładowo wnk uzkane dla ó zwrou PLUSD wkazuą ż w reżme woke zmennośc kuru waluowego średna dzenna oa zwrou z nwec w USD wno około % Por. Demer A.P. Lard.M. Rubn D.B Por. Hamlon J. D

6 8 Anea Włodarczk Marcn Zawada co odowada derecac złoego naoma w reżme nke zmennośc zło wzmacnał ę średno o 6% dzenne. Waranca odowadaąca erwzemu reżmow e onad czerokrone wżza od waranc charakerzuące drug reżm co uzaadna wbór modelu rzełącznkowego do ou zachowana kuru PLUSD. ależ zwrócć onado uwagę ż rawdoodobeńwa urzmana ę anów woke nke zmennośc ą woke co odzwercedla eek gruowana waranc w zeregach ó zwrou. Różnce w ozacowanach aramerów dla ozczególnch walu mogą wnkać z ch eccznch włanośc. abela. Paramer rzełącznkowego modelu Markowa walua wekor PL EUR n 558 PL CHF n 83 PL USD n 83 µ µ σ σ ρ P P Log lk Źródło: Oblczena włane. W nawaach odano błęd andardowe ocen aramerów modelu ozacowane na odawe drugch ochodnch logarmu unkc wargodnośc. abela. e werkuące dnamczną eckacę rzełącznkowego modelu Markowa e PL USD PLEUR PL CHF e Whe na auokorelacę e Whe na eek ARCH e Whe na właność Markowa e LM na auokorelacę w reżme e LM na auokorelacę w reżme ** 4.56 e LM na auokorelacę na rzerzen reżmów ** ** e LM na eek ARCH Źródło: oblczena włane * *oznacza oność wnku na ozome %. aęne zaoowano e werkuące dnamczną eckacę modelu rzełącznkowego or. Hamlon 996: Wnk eów zamezczonch w abel owerdzaą ż rez modelu dla kuru PLUSD ełnaą założena bałego zumu zn. ne ą korelowane oraz ą homokedaczne zarówno w obrębe każdego z reżmów ak na rzerzen reżmów. e LM wkazue na oną auokorelacę rez na rzerzen reżmów w rzadku kurów PLEUR PLCHF. Właność Markowa e ełnona dla każdego rozważanego kuru waluowego.

7 Przełącznkow model Markowa ako rzkład neaconarnego modelu kuru a wkree rzedawano logarmczne o zwrou kuru PLUSD lewa kala na le rawdoodobeńw wgładzonch rzebwana roceu w reżme rawa kala: oausd robab Wkre. Kzałowane ę logarmcznch ó zwrou kuru PLUSD na le wgładzonch rawdoodobeńw oągnęca anu woke zmennośc Przełącznkowe modele Markowa mogą ować różne zachowań kurów waluowch or. Engle Hamlon 99: - amerę w rwałośc ozczególnch reżmów wzro kuru waluowego może bć krók lecz gwałown aza derecac walu kraowe: aramer µ oąga dużą dodaną warość małą warość odcza gd adek kuru ma charaker onow długorwał aza arecac walu kraowe: aramer µ oąga uemną małą co do modułu warość woką warość - zman kuru waluowego w danm okree mogą bć całkowce nezależne od reżmu generuącego warośc roceu w orzednm okree odobne ak w rocee błądzena loowego - eek long wng kór olega na węowanu rzelaaącch ę długorwałch okreów derecac arecac walu kraowe aramer µ µ ą rzecwnch znaków oraz maą woke warośc. Wnk ozacowań aramerów model rzełącznkowch dla kurów PL USD PLEUR PLCHF owerdzaą węowane eeku long wng. Warośc rawdoodobeńw rześca ą unkem wśca do wznaczena średne długośc rwana okreów arecac derecac kuru wman or. Marh : a 3 d 4 gdze: a średna długość rwana okreu arecac d średna długość rwana okreu derecac.

8 84 Anea Włodarczk Marcn Zawada abela 3. Średna długość rwana okreów arecac derecac kuru waluowego w dnach Walua Arecaca Derecaca PLUSD PLEUR PLCHF Źródło: oblczena włane. 5. Podumowane Prz modelowanu krókookreowch wahań kuru waluowego zwkle węue orzeba uwzględnena uwarunkowań u loowego czl rezgnaca z undamenalnch eor kuru waluowego na rzecz modelowana robablcznego. Do głównch zale model Markowa należ zalczć: - należą one do kla model nelnowch - modelowane kokowch bardzo dużch co do warośc bezwzględne zman w ozome zmenne ekonomczne umożlwa łańcuch Markowa kór erue zmanam reżmu dzęk czemu roce może rzełączać ę gwałowne - możlwość ou dnamk roceu w zerokm zakree ocząwz od częch ounkowo umarkowanch zman a kończwz na rzadkch gwałownch zmanach. - rozkład zmenne obaśnane w m modelu e mezanną klku rozkładów normalnch a o ne mlkue zależnośc że rozkład e zmenne e normaln. Leraura Demer A. P. Lard. M. Rubn D. B.977 Maxmum Lkelhood rom Incomlee Daa va he EM Algorhm Journal o he Roal Sacal Soce vol Engel C. Hamlon J. D.99 Long Swng n he Dollar: Are he n Daa and Do Marke Know I? Amercan Economc Revew vol Hamlon J. D.99 Anal o me Sere ubec o Change n Regme Journal o Economerc vol Hamlon J. D.994 me Sere Anal Prnceon Unver Pre Prnceon ew Jere. Hamlon J. D. 996 Seccaon eng n Markov-Swchng me Sere Model Journal o Economerc vol Marh I. W. Hgh-requenc Markov Swchng Model n he Foregn Exchange Marke Journal o Forecang vol Sawck J.4 Wkorzane łańcuchów Markowa w analze rnku kaałowego Wdawncwo UMK oruń.