656 PAK vol. 57, nr 6/2011. Doskonała sieć Petriego w projektowaniu współbieżnych układów sterujących

Transkrypt

1 656 PAK vol. 57, nr 6/20 Marian ADAMSKI, Małgorzata KOŁOPIEŃCZYK, Kamil MIELCAREK UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI, INSTYTUT INFORMATYKI I ELEKTRONIKI, ul. Licealna 9, Zielona Góra Doskonała sieć Petriego w projektowaniu współbieżnych układów sterujących Prof. Dr hab. inż. Marian ADAMSKI Profesor zwyczajny, dyrektor Instytutu Informatyki i Elektroniki Uniwersytetu Zielonogórskiego. Zainteresowania badawcze obejmują projektowanie systemów cyfrowych realizowanych w postaci mikrosystemów cyfrowych oraz formalnych metod programowania sterowników logicznych. Członek IEEE, IEE, ACM, Polskiego Towarzystwa Elektrotechniki Teoretycznej i Stosowanej oraz Polskiego Towarzystwa Informatycznego. Dr inż. Kamil MIELCAREK Absolwent i pracownik (obecnie adiunkt) Instytutu Informatyki i Elektroniki Uniwersytetu Zielonogórskiego. Zajmuje się zastosowaniem grafów doskonałych w procesach automatycznej syntezy i optymalizacji układów cyfrowych. Serwerowymi systemami sieciowymi opartymi o system OpenBSD, bezpieczeństwem, oprogramowaniem oraz rozwiązaniami sieciowymi. Prowadzi prace związane z technologiami budowy stron www. M.Adamski@iie.uz.zgora.pl K.Mielcarek@iie.uz.zgora.pl Dr inż. Małgorzata KOŁOPIEŃCZYK Absolwentka Wydziału Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji Uniwersytetu Zielonogórskiego (1999 r.). Obecnie adiunkt w Instytucie Informatyki i Elektroniki Uniwersytetu Zielonogórskiego. Zajmuje się następującymi zagadnieniami: projektowaniem i syntezą sterowników logicznych oraz inżynierią oprogramowania. m.kolopienczyk@iie.uz.zgora.pl Streszczenie W artykule wskazano na korzyści płynące z wykorzystania doskonałych bezpiecznych sieci Petriego w projektowaniu współbieżnych układów sterujących. Przedstawiono sposób sprawdzenia, czy sieć Petriego jest siecią doskonałą poprzez analizę jej stanów globalnych i badanie relacji miedzy jej stanami lokalnymi. Potwierdzono, że grafy współbieżności i sekwencyjności między miejscami sieci są grafami doskonałymi. Konsekwencją doskonałości sieci jest możliwość wykorzystania algorytmów o złożoności wielomianowej do jej analizy dynamicznej i statycznej. Słowa kluczowe: sieć Petriego, sieć doskonała, graf doskonały. Perfect Petri Net in parallel control circuits Abstract This paper is pointing out benefits from application of perfect and safe Petri Nets to design process of parallel control circuits. There is presented a method for verifying the perfectness of Petri Net achieved by analysis of Petri Net global states and relation between Petri Net local states. There is also proved that the concurrency and sequencing graphs of a given Petri Net are perfect. Static and dynamic analysis can be performed using algorithms with polynomial complexity. The presented dependences can also be used to decompose a given Petri Net into components, i.e. state machines, and analyze and verify the project correctness. Petri net analysis is discussed on an example of a real-life object of the beverages mixing system. This paper is divided into five parts. The first section is a brief introduction to issues of perfect and safe Petri Nets. The second section is the theoretical introduction to the subject matter. In the third section an example of perfect Petri nets is presented. In the fourth section the method of constructing the perfect Petri Nets is presented. The last section contains the summary. Keywords: Petri Net, perfect net, perfect graph. 1. Wprowadzenie Teorię grafów [2, 8] wykorzystuje się do opisu przestrzeni stanów w dyskretnych układach sterujących. W szczególności można ją zastosować do dekompozycji współbieżnego automatu cyfrowego (współbieżnej maszyny stanów) na jej sekwencyjne składowe automatowe [14]. W artykule wprowadzono i uzasadniono pojęcie doskonalej, bezpiecznej sieci Petriego [14]. Relacje miedzy stanami lokalnymi wbudowanego mikrosystemu cyfrowego przedstawia się za pomocą grafów współbieżności i sekwencyjności. Grafy te uzyskuje się na podstawie analizy wszystkich oznakowań, reprezentujących stany globalne modelowanego sterownika logicznego. Jak podkreślono w referacie [7] prawie wszystkie rzeczywiste procesy współbieżne powiązane są z podprzestrzeniami stanów lokalnych, dla których relacje współbieżności (zgodności) przedstawiane są grafami doskonałymi [3, 10]. Otrzymane grafy współbieżności i sekwencyjności są grafami doskonałymi, stąd istnieją wyraźne powiązania miedzy parametrami grafu znakowań prawidłowej, doskonalej sieci Petriego a liczbą inwariantów oraz ich mocą. Inwarianty są interpretowane jako podsieci automatowe, umożliwiające blokową syntezę współbieżnego układu sterującego w projektowanym mikrosystemie cyfrowym. Wykorzystane algorytmy dekompozycji sieci doskonałych realizowane są w czasie wielomianowym ze względu na doskonałość sieci Petriego. W artykule przedstawiono sposób wykorzystania grafów doskonałych [10] do badania właściwości prawidłowych, bezpiecznych sieci Petriego [7, 9] pod kątem analizy i syntezy z wykorzystaniem sterowników logicznych. 2. Doskonała Sieć Petriego Potwierdzenie faktu, że graf niekierowany należy do klasy grafów doskonałych umożliwia łatwiejszą analizę jego właściwości oraz zmniejsza złożoność dokładnych algorytmów operujących na grafach do złożoności wielomianowej. Dla każdego grafu G wyróżnia się cztery podstawowe parametry [8, 10]: liczba chromatyczna (G) - minimalna liczba kolorów do pokolorowania grafu; liczba klikowa (G) - wielkość największego grafu pełnego (wielkość największej kliki); liczba stabilności (G) - liczba wierzchołków największego zbioru niezależnego; liczba pokrycia (G) - minimalna liczba klik do pokrycia nimi grafu. W przypadku grafów nieskierowanych występują następujące nierówności: (G) (G) oraz (G) (G) (1) W opisanym przypadku ogólnym, złożoność algorytmów związanych z operacjami na grafach jest problemem należącym do klasy problemów NP-zupełnych. Jeżeli graf spełnia równości (2), (G) = (G) oraz (G) = (G) (2) to pozostając w zgodzie z (1) analizowany graf należy do podzbioru grafów doskonałych [13]. Algorytmy analizy takiego grafu mają złożoność obliczeniową na poziomie wielomianowym [4, 5, 6].

2 PAK vol. 57, nr 6/ Definicja 1: Grafem doskonałym (ang. perfect graph) nazywamy graf, w którym liczba chromatyczna każdego podgrafu jest równa rozmiarowi największej kliki tego podgrafu [3, 10, 13]. Na rysunku 1 pokazano przykładowy graf doskonały przedstawiający relację współbieżności miedzy makromiejscami sieci Petriego, rozpatrywanej w rozdziale trzecim. Parametry grafu współbieżności makrosieci Petriego są następujące: liczba chromatyczna (G) = 4, liczba klikowa (G) = 4, liczba stabilności (G) = 5, liczba pokrycia (G) = 5. x1 y1 x5 x6 x2 y10 y5 x9 y y6 x3 y2 x7 x8 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x x12 x13 PLC y1 y2 y3 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y y x10 y7 y8 x y3 3 x13 x4 x12 y12 y Rys. 2. Fig. 2. Model urządzenia do produkcji napojów Model of beverage production device Rys. 1. Fig Graf współbieżności makrosieci Petriego Concurrency graph of Petri macronet 6 5 Ponieważ zachodzą zależności (2) rozpatrywany graf jest grafem doskonałym. Z tego względu makrosieć Petriego omawiana w rozdziale trzecim jest siecią doskonałą [12, 14]. 3. Badanie właściwości doskonałej sterującej sieci Petriego W celu zobrazowania omawianych w artykule zagadnień posłużono się specyfikacją przemysłowego układu sterowania urządzeniem do produkcji napojów (rys. 2). Badanie właściwości sieci ograniczono do kolorowania grafu współbieżności sieci Petriego w celu jej dekompozycji na podsieci typu maszyna stanowa (P-podsieci). Inspiracją był przykład zaczerpnięty z artykułu [17] i uszczegółowiony w książce []. Ponieważ sieć modeluje rzeczywisty proces przemysłowy to na podstawie postulatu Petriego o jedności miejsca i czasu [16] oraz na podstawie rozważań w pracy [7] istnieje prawie pewność, że grafy opisujące relacje miedzy jej miejscami będą grafami doskonałymi. Aby zademonstrowania słuszność postulatu Petriego w przypadku dobrze skonstruowanych opisów rzeczywistych układów fizycznych, rozważono przykład specyfikacji sterownika logicznego, realizowanego w formie układu mikroprogramowanego []. Układ sterowania składa się z obiektu mechatronicznego oraz sterownika logicznego. Po naciśnięciu przycisku startowego x1 rozpoczyna się napełnianie zbiorników 1 i 2 (y1 i y2), załadunek (sygnał y3) oraz transport pojemników. Składniki dostarczane są do zbiornika 1 przez zawór y10, do zbiornika 2 przez zawór y, aż do momentu ich napełnienia. Napełnienie zbiornika 1 wskazywane jest stanem czujnika x5 = 1, zbiornika 2 stanem czujnika x7 = 1. Transport pojemników odbywa się wózkiem pod wpływem sygnału y12 i kończy się sygnałem x13. Gdy zbiornik 1 lub 2 jest napełniany następuje przygotowywanie składników, zakończone odpowiednimi sygnałami x2 = 1 (zbiornik 1), x3 = 1 (zbiornik2) i x4 = 1 (pojemniki). Przygotowane składniki ulegają mieszaniu w pojemniku 4, do którego wpuszczane są zaworami y5 i y6. Zawory te zostają zamknięte po całkowitym opróżnieniu zbiorników 1, 2 i wymieszaniu składników napoju co sygnalizowane jest odpowiednio czujnikami x6 = 0, x8 = 0, x9 = 0. Jeżeli pojemniki są gotowe następuje niezależne od siebie napełnianie i zamykanie pojemników 5 i 6, zasygnalizowane odpowiednio sygnałami x10 i x. Obydwa pojemniki równocześnie idą do pasteryzacji. Po zakończeniu operacji (x12 = 1) układ jest gotowy do pracy. Uwaga: Zbiorniki 1 i 2 nie mogą być napełniane w trakcie mieszania składników w zbiorniku 3 oraz w trakcie transportu otrzymanego produktu, ze względu na ewentualne zepsucie się składników. Szczegółowa specyfikacja funkcjonowania sterownika logicznego została przedstawiona w postaci interpretowanej, sterującej sieci Petriego (rys. 3). Rys. 3. Fig t2 5 t Y10 5 Y1 Y7 X5 X X Y Y2 /X6 /X8 /X9 X7 X3 Y4 Y5 Y Y X12 Sieć Petriego realizująca algorytm sterowania Petri Net for beverage production control t3 t6 X1 /X t4 Y3 Y12 Y8 X4 X13 X

3 658 PAK vol. 57, nr 6/20 Tab. 1. Tab. 1. Lista sygnałów we/wy List of in/out signals Sygnały wejściowe Sygnały wyjściowe x1 start y1 przygotuj składnik 1 x2 składnik 1 gotowy y2 przygotuj składnik 2 x3 składnik 2 gotowy x4 pojemniki na wózku y3 załaduj pojemniki mieszaj x5 górny poziom w zbiorniku 1 y5 otwórz zawór spustowy składnika 1 x6 dolny poziom w zbiorniku 1 y6 otwórz zawór spustowy składnika 2 x7 górny poziom w zbiorniku 2 y7 napełnij pojemnik 1 x8 dolny poziom w zbiorniku 2 y8 napełnij pojemnik 2 x9 koniec mieszana (x9 = 0) y9 wózek jedzie w prawo x10 pojemnik 1 napełniony y10 napełnij zbiornik 1 x pojemnik 2 napełniony y napełnij zbiornik 2 x12 wózek w prawym skrajnym położeniu x13 wózek w lewym położeniu y12 wózek jedzie w lewo Opis wejść i wyjść sterownika zamieszczono w tabeli 1. Interpretację poszczególnych miejsc sieci Petriego zamieszczono w tabeli 2. Tab. 2. Tab. 2. Interpretacja miejsc sieci Petriego Interpretation of Petri Net places Miejsca sieci Petriego p1 start p2 napełnienie zbiornika 1 p3 napełnienie zbiornika 2 p4 załadowanie pojemników p5 przygotowanie składnika 1 p6 przygotowanie składnika 2 p7 wózek jedzie w lewo p10 otwarcie zaworów spustowych obu zbiorników i mieszanie składników p16 napełnienie pojemnika 1 p17 napełnienie pojemnika 2 p20 wózek jedzie w prawo p8, p9, p, p12, p13, p14, p15, p18, p19 oczekiwanie MP1 MP2 (2,5,8) (3,6,9) (4,7) () (16,18) MP4 MP7 MP25 MP5 (13) 4 (17,19) podsieciami doskonałymi. W następnych krokach w sposób iteracyjny rozbudowuje się je dalej, zachowując ich doskonałość. W rozpatrywanym przykładzie ograniczono się do rozpatrywania tylko P-podsieci pierwszego rzędu, zastępując je w dalszej części pracy makromiejscami (rys. 4). Obok każdego z makromiejsc podano zbiór miejsc między którymi występuje relacja nie współbieżności (sekwencyjności). Dzięki takiemu posunięciu upraszcza się proces wyznaczania grafu znakowań sieci (rys. 5) a tym samym i proces wyznaczania grafu współbieżności. Rys. 5. Fig. 5. Graf znakowań Marking graph MP1 MP2 MP5 MP25 MP7 MP MP25 [1,2,3] MP1 MP2 MP MP4 MP5 MP7 MP5 4 MP25 [2,3] MP4 MP25 MP5 [2,3] Należy zwrócić uwagę, że wierzchołki grafu współbieżności M1 do M z rysunku 1 reprezentują podgrafy puste. Wskazują one na fakt, że miejsca należące do tego samego makromiejsca nigdy nie są równocześnie oznakowane (współbieżne). Twierdzenie 1: Zastąpienie dowolnego wierzchołka w doskonałym grafie współbieżności makrosieci dowolnym podgrafem współbieżności doskonałej sieci Petriego, prowadzi do uzyskania grafu współbieżności nadal reprezentującego doskonałą sieć Petriego. Dowód twierdzenia 1 wynika z faktu, że zastąpienie wierzchołka w grafie doskonałym przez inny graf doskonały nie powoduje utraty doskonałości grafu [3, 13]. Na podstawie twierdzenia 1 graf współbieżności makrosieci rozpatrywany w rozdziale 2 jest grafem doskonałym. W konsekwencji udowodniono, że sieć Petriego z rysunku 3 jest siecią doskonałą. Do dokładnego kolorowania grafu współbieżności i dekompozycji sieci na podsieci typu maszyna stanów można wykorzystać algorytmy o wielomianowej złożoności obliczeniowej. Jeden z rezultatów kolorowania jest następujący []: k = {1, 2, 5, 8, 10,, 16, 18, 20}; k = {1, 3, 6, 9, 10, 12, 17, 19, 20}; k = {1, 4, 7, 15, 17, 19, 20}; k = {13, 14}. Kolory k k wyodrębniają cztery procesy sekwencyjne. Na podstawie pokolorowanej sieci Petriego wyodrębniono trzy y FBD (ang. function block diagram) (rys. 6): mieszalnika, reprezentowany podsieciami k i k, wózka reprezentowany kolorem k, układ sprzęgający oznaczony kolorem k. 7 MP mieszalnika sprzęgający wózka Rys. 4. Fig. 4. Makrosieć Petriego Petri macronet Analiza sieci Petriego wykonywana jest w dwóch etapach. W pierwszym etapie wyznacza się podsieci, które z definicji są Rys. 6. Fig. 6. k k k Modułowa struktura programu sterownika Modular structure of the controller

4 PAK vol. 57, nr 6/ Dokładne kolorowanie sieci z wykorzystaniem biblioteki procedur dla grafów doskonałych [14] umożliwiło wybranie najkorzystniejszego wariantu dekompozycji programu sterownika na y realizowane w formie schematów drabinkowych w osadzonych blokach FBD. W celu implementacji wykorzystuje się nową generację sterowników S firmy Siemens. Dodatkowo analiza kolorowań sieci pozwala na skrócenie ścieżek w sieci Petriego a tym samym redukcję liczby stanów w automatach składowych. Na rysunku 7 pokazano pełną sieć Petriego z naniesionymi kolorami miejsc. MP1 MP2 (2,5,8) (3,6,9) (4,7) MP25 MP4 MP5 MP7 (13) () 1 [1,2,3] X1 /X4 (16,18) 4 (17,19) 2 Y10 t2 X5 3 Y t3 X7 4 t4 Y3 X4 7 MP 5 Y1 t5 X2 6 Y2 t6 X3 7 Y12 X13 Rys. 8. Fig. 8. Pokolorowana makrosieć Petriego Coloured Petri macronet 8 9 MP1 MP2 10 Y4 Y5 Y6 MP MP /X6 /X8 /X MP124 (MP1,MP2,MP4) MP7 () (4,7) MP25 MP5 (13) 16 Y X10 17 Y [2,3] X [2,3] 4 (16,18) (17,19) 7 20 Y9 [1,2,3] 7 MP 8 X12 Rys. 9. Fig. 9. Przykład dalszej redukcji sieci Petriego Example of further reduction of Petri Net Rys. 7. Fig. 7. Pokolorowana modularna sieć Petriego Coloured modular Petri Net Miejsca pokolorowane więcej niż jednym kolorem rozszczepia się na niezależne współbieżne miejsca, spełniające rolę miejsc spoczynkowych. Moduł mieszalnika realizuje następujące czynności (tab. 2): p2 napełnienie zbiornika 1; p3 napełnienie zbiornika 2; p5 przygotowanie składnika 1; p6 przygotowanie składnika 2; p10 otwarcie zaworów spustowych obu zbiorników i mieszanie składników; p16 napełnienie pojemnika 1; p17 napełnienie pojemnika 2; p20 wózek jedzie w prawo; p8, p9, p, p12, p18, p19 oczekiwanie. Moduł sprzęgający realizuje oczekiwanie na otwarcie zaworów spustowych obu zbiorników i mieszanie składników (miejsce p14) oraz na dojazd wózka do lewej strony (miejsce p13). W module wózka możemy wyróżnić następujące czynności (tab. 2): p4 załadowanie pojemników; p7 wózek jedzie w lewo; p17 napełnienie pojemnika 2; p20 wózek jedzie w prawo; p15, p19 oczekiwanie. Przykładowo miejsce P20[1, 2, 3] z rysunku 7 rozszczepiono na miejsca MP i MP, MP (rys. 8). Wyeliminowanie miejsc P17 i P19 pozwoliło skierować przepływ markera k do tranzycji T1 z tranzycji T14 zamiast z tranzycji T18 (rys. 9). 4. Metoda konstruowania hierarchicznej doskonałej sieci Petriego W artykule rozpatrywana jest metoda polegająca na hierarchicznej redukcji sieci Petriego [15] opisującej funkcjonowanie sterownika: 1. Stopniowe, iteracyjne wyodrębnianie w analizowanej sieci Petriego podsieci doskonałych począwszy od podsieci typu P-podsieci i T-podsieci i zastępowanie ich makromiejscami. 2. Jeśli otrzymana w ten sposób sieć bazowa na końcu procesu redukcji jest zbudowaną z jednego makromiejsca i jednej tranzycji to badana sieć jest siecią doskonałą. 3. Jeżeli otrzymana bazowa sieć Petriego jest nieredukowalna lub nie może być dalej redukowana ze względu na zachowanie wymaganej szczegółowości specyfikacji to wyznacza się dla niej graf współbieżności, potwierdzając że jest on grafem doskonałym. 4. Można potwierdzić, że makrosieć z rysunku 9 reprezentuje doskonałą sieć Petriego przedstawioną na rysunku 3. Makromiejsce MP124 z rysunku 9 zastępuje podsieć doskonałą składającą się z makromiejsc MP1, MP2, MP4 z rysunku 8 zbudowaną z miejsc {P2, P5, P8, P3, P6, P9, P10} z rysunku 7. Bezpośrednia analiza grafu znakowań makrosieci bazowej wskazuje, że jest ona makrosiecią doskonałą. W związku z powyższym sieć Petriego z rysunku 3 jest siecią doskonałą.

5 660 PAK vol. 57, nr 6/20 5. Podsumowanie Problem zakwalifikowania dowolnej abstrakcyjnej sieci Petriego do sieci doskonałych jest nadal otwarty. W przypadku sieci Petriego opisujących realne algorytmy sterowania współbieżnego brak doskonałości sieci na ogół świadczy o niewłaściwej interpretacji rzeczywistego procesu za pośrednictwem abstrakcyjnej, ścisłej pod względem matematycznym formy grafowej. Sprawdzenie przynależności sieci do klasy sieci doskonałych przeprowadzane jest na ogół wraz z zamierzoną dekompozycją pełnego algorytmu sterującego na części odpowiadające om FBD. Z tego względu nieznacznie tylko zwiększa pracochłonność projektu. Raz sprawdzona pod względem doskonałości bazowa sieć Petriego z makromiejscami hierarchicznymi będącymi makromiejscami doskonałymi umożliwia modyfikacje i rozbudowę sterownika bez kolejnych szczegółowych analiz. Aktualnie autorzy pracują nad opracowaniem alternatywnej metody zstępującej. Polega ona na hierarchicznym konstruowaniu doskonałej sieci Petriego, przez stopniowe podstawiane do sieci bazowej podsieci, będących z definicji sieciami doskonałymi aż do uzyskania odpowiedniego stopnia szczegółowości opisu. 6. Literatura Adamski M., Chodań M.: Modelowanie układów sterowania dyskretnego z wykorzystaniem sieci SFC, Wydawnictwo PZ, Zielona Góra, Balakrishnan V. K.: Introductory Discrete Mathematics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, Berge C.: Graphs and Hypergraph, North-Hols Mathematical Library, Amsterdam, Chudnovsky M., N. Robertson, P. Seymour, R. Thomas: The strong perfect graph theorem, [5] Cornuéjols G., Cunnigham W. H.: Compositions for perfect graphs, Discrete Mathematics 55 (1985) [6] Cornuéjols G., Xinming L., Vuškovič K.: A polynomial algorithm for recognizing perfect graphs, Proceeding 44th Annual IEEE Symposium, [7] Coudert O.: Exact Coloring of Real-Life Graphs is Easy, Proc. of the 34th Design Automation Conference DAC, Anaheim, CA, USA, June [8] Deo N.: Graph theory with applications to engineering and computer science, Prentice-Hall Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, USA. [9] Fehling R.: A Concept of Hierarchical Petri Nets with Building Blocks, In Proceedings of 14th International Conference on Application and Theory of Petri Nets, Vol. 674, Springer-Verlag, [10] Golumbic M. C.: Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs, Courant Institute of Mathematical Science, New York University, Academic Press [] Kołopieńczyk M.: Application of Address Converter for Decreasing Memory Size of Compositional Mikroprogram Control Unit with Code Sharing, Zielona Góra, [12] Kovalyov A.V.: Concurrency Relation and the Safety Problem for Petri Nets, Institute of Engineering Cybernetics of Belarusian Academy of Science, Minsk [13] Lovász L.: A Characterization of Perfect Graphs, Journal of Combinatorial Theory, [14] Mielcarek K.: Perfect Graphs in Digital Circuits Design, PhD Thesis, University of Zielona Góra, Zielona Góra [15] Murata T.: Petri Nets: Properties, Analysis and Applications, Proceedings of the IEEE, Vol. 77, No. 4, [16] Petri C. A.: Kommunikation mit Automaten, Institut für Instrumentelle Mathematik, Schriften des IIM, Nr. 3, [17] Valette R.: Etude comparative de deux outils de representation: Grafcet et reseau de Petri, Le Nouvel Automatisme, Decembre otrzymano / received: przyjęto do druku / accepted: artykuł recenzowany INFORMACJE Nowa inicjatywa PAK Na stronie internetowej Wydawnictwa PAK został utworzony dział: Niepewność wyników pomiarów w którym są zamieszczane aktualne informacje dotyczące problemów teoretycznych i praktycznych związanych z szacowaniem niepewności wyników pomiarów. W dziale znajdują się: aktualne informacje o publikacjach dotyczących niepewności wyników, informacje o przedsięwzięciach naukowo technicznych i edukacyjnych, o tematyce związanej z niepewnością, dokumenty dotyczące niepewności, pytania do ekspertów (FAQs). Zapraszamy: autorów opublikowanych prac dotyczących niepewności o nadsyłanie tekstów do zamieszczenia w tym dziale, organizatorów przedsięwzięć naukowo technicznych lub edukacyjnych do nadsyłania informacji o imprezach planowanych lub odbytych, zainteresowanych zagadnieniami szczegółowymi do nadsyłania pytań do ekspertów. Materiały mogą mieć formę plików lub linków do źródeł. Warunkiem zamieszczenia w tym dziale strony internetowej PAK materiałów lub linków jest przysłanie do redakcji PAK pocztą zwykłą zgody właściciela praw autorskich na takie rozpowszechnienie. Zamieszczanie i pobieranie materiałów i informacji w tym dziale strony internetowej jest bezpłatne. Redakcja PAK będzie nadzorować zawartość działu, ale za szczegółowe treści merytoryczne odpowiadają autorzy nadsyłanych materiałów. Tadeusz SKUBIS Redaktor naczelny Wydawnictwa PAK